1 TĐT
CH NG II: HÀM S LŨY TH A – ƯƠ Ố Ừ HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ
LOÂGARÍT
LÝ THUY TẾ
A. LŨY TH A VÀ LÔGARÍTỪ:
I. LŨY TH AỪ
1. Caùc ñònh nghóa: 2. Caùc tính chaát :
o
{
n
n th��a so�
a a.a...a=
o
a a=
1
a
∀
o
a=
0
1
a∀ 0
o
nn
aa
−
=1
o
mnm
n
a a=
o
m
nmnm
n
aa
a
−
= =
1 1
o
m n m n
a .a a
+
=
o
o
m n n m m.n
(a ) (a ) a= =
o
n n n
(a.b) a .b=
o
o
n n
a b
b a
−
� � � �
=
� � � �
� � � �
II. LÔGARIT
1. Ñònh nghóa: 2. Caùc tính chaát : 3. Đoåi cô soá
o
a
log b a b
α
= α =�
oĐi u ki n: ề ệ
0
1
0
a
a
b
>
>
o
a
log 1 0=
o
a
log a 1=
o
a
log a
α
= α
o
log b
a
a b=
o
a 1 2 a 1 a 2
log (b .b ) log b log b
= +
o
1
a a 1 a 2
2
b
log log b log b
b
� �
= −
� �
� �
o
a a
log b .log b
α
= α
o
=
2
a a
log b 2.log b
o
1
log log
n
bn
b
a a
=
c
ac
log b
log b log a
=
* Heä quaû:
ab
1
log b log a
=
a
a
1
log b log b
α
=α
B. HÀM S LŨY TH A -HÀM S MŨ - HÀM S LÔGARÍTỐ Ừ Ố Ố :
1) Haø m so á luy õ thöø a
y x=
α
( laø haèng soá)
Soá muõ Haøm soá
y x=
α
Taäp xaùc ñònh D
= n (n nguyeân döông)
n
y x=
D = R
= n (n nguyeân aâm hoaëc n = 0)
n
y x=
D = R \ {0}
laø soá thöïc khoâng nguyeân
y x=
α
D = (0; +)
Chuù yù: Haøm soá
1
n
y x=
khoâng ñoàng nhaát vôùi haøm soá
( *)
n
y x n N=
.
2) Haøm soá muõ
x
y a=
(a > 0, a
1).
Taäp xaùc ñònh: D = R.
Taäp giaù trò: T = (0; +).
Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán.
Nhaän truïc hoaønh laøm tieäm caän ngang.
0<a<1
y=ax
y
x
1
a>1
y=ax
y
x
1
2 TĐT
Ñoà thò:
3) Haøm soá logarit
loga
y x=
(a > 0, a
1)
Taäp xaùc ñònh: D = (0; +).
Taäp giaù trò: T = R.
Khi a > 1 haøm soá ñoàng bieán, khi 0 < a < 1 haøm soá nghòch bieán.
Nhaän truïc tung laøm tieäm caän ñöùng.
Ñoà thò:
4. Giôùi haïn ñaëc bieät
1
0
1
lim(1 ) lim 1
x
x
x x
x e
x
� �
+ = + =
� �
� �
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
+=
0
1
lim 1
x
x
e
x
−=
5. Ñaïo haøm
( )
1
( 0)x x x
−
= >
α α
α
;
( )
1
.u u u
−
=
α α
α
Chuù yù:
( )
n
nn
v i x neu n chan�� � �
xv i x neu n le�� � �
n x 1
1 0
0
−
� �
>
=� �
� �
.
( )
1
n
nn
u
u
n u −
=
;
( )
ln .
u u
a a a u
=
( )
x x
e e
=
;
( )
.
u u
e e u
=
( )
1
log ln
a
xx a
=
;
( )
log ln
a
u
uu a
=
( )
1
ln xx
=
(x > 0);
( )
ln u
uu
=
C. PHÖÔNG TRÌNH MŨ THÖÔØNG G PẶ
Dng c b n: ạ ơ ả
x
a m
=
(1)
+
m 0
: ph ng trình (1) vô nghi mươ ệ
+
m 0>
:
xa
a m x log m
= =�
D. PHÖÔNG TRÌNH LÔGARÍT THÖÔØNG G PẶ
a>1
y=logax
1
y
x
O
0<a<1
y=logax
1
x
y
O
3 TĐT
Dng c b n: ạ ơ ả
m
a
log x m x a
= =�
,
m
∀
ﾡ
Phöông phaùp:
1) Đa v cùng c sư ề ơ ố : log
a M = log
a N
M = N
2) Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá.
E. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG G PẶ
Ñònh lyù: Vôùi 0 < a <1 thì : a
M < a
N
M > N (nghòch bieán)
Ñònh lyù: Vôùi a > 1 thì : a
M < aN
M < N (ñoàng bieán )
Phöông phaùp:
1) Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn : aM < aN (
>
, ,
)
2) Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá.
F. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG G PẶ
Ñònh lyù: Vôùi 0 < a <1 thì : loga M < loga N
M >N (nghòch bieán)
Ñònh lyù: Vôùi a > 1 thì : loga M < loga N
M < N (ñoàng bieán)
Phöông phaùp:
1) Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn:
<
a a
log M log N
(
>
, ,
)
2) Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá.
BÀI T PẬ
Bài toán 1: Rút g n và tính giá tr c a bi u th cọ ị ủ ể ứ
Baøi 1 : Tính giaù trò caùc bieåu thöùc sau :
1)
3 1 3 4
3 2 0
2 .2 5 .5
A10 :10 (0, 25)
− −
− −
+
=−
ĐS: A= -10 2)
1 3
3 5
0,75
1 1
B 81 125 32
− −
−
� � � �
= + −
� � � �
� � � �
ĐS:B=
−80
27
3)
0,75
2
0,5
3
1
C 27 25
16
−
� �
= + −
� �
� �
ĐS: C=12 4)
+
1
2
4 log 2 2
2
D = log
ĐS: D=
5
2
5)
= + +
3 9 9
log 5 log 36 4log 4
81 27 3E
ĐS:E=857 6)
2
log 3
1 121 5
3
8 log 27 log 25.log 11F
= + −
ĐS:F=23
7)
= − +
3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
G
ĐS:G= -4 8)*
= −
3 3
15 405
log 135 log 5
log 3 log 3
H
ĐS: H=3
Baøi 2 * : Ruùt goïn bieåu thöùc:
1) A = (a-4 – b-4) : ( a-2 – b-2) ĐS:
= +
2 2
1 1
Aa b
2) B =
4
1
4
1
2
1
2
1
4
1
4
1
yxyxyx
ĐS:
= −B x y
3) C =
3
4
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
bbaaba
ĐS:
= −
2
C a b
Bài toán 2: Gi i ph ng trìnhả ươ
Bài 1. Ph ng trình mũươ
1. Phöôn g trình m ũ : Đa v cùng ư ề
c sơ ố a
M = a
N
M = N
2. Phöông trình m ũ : Ñaët aån phuï
Ví dụ: Gi i ph ng trình ả ươ
25 8
5 25
x x− + =
Ví dụ: Gi i ph ng trìnhả ươ
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
4 TĐT
Bài t pậ: Giaûi caùc phöông trình sau
1)
x 1 2 x 1
9 27
+ +
=
2)
2
x 3x 2
2 4
− + =
3)
2 3 3 7
7 11
11 7
x x− −
� � � �
=
� � � �
� � � �
4)
+
=
2
x 3x
5 625
5)
2
3 6
2 16
x x− +
=
6)
2
2 3
1
17
7
x x
x
− −
+
� � =
� �
� �
Bài t pậ: Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
9 10.3 9 0
x x
− + =
2)
25 3.5 10 0
x x
+ − =
3)
2.16 17.4 8 0
x x
− + =
4)
1
4 9.2 2 0
x x+− + =
5)
1
4 3.2 8 0
x x+
− + =
6)
9 10.3 9 0
x x
− + =
Bài t pậ: Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
1
3 3 4
x x−
+ =
2)
3
2 2 2 0
x x−
− − =
3)
x x x
6.9 13.6 6.4 0
4)
2 2
2.2 9.14 7.7 0
x x x
− + =
Bài 2. Ph ng trình logaritươ
Dng c b n: ạ ơ ả
α
= α =�
a
log x x a
,
∀α ﾡ
1. Phöông phaùp 1: Đa v cùng c sư ề ơ ố :
loga M = loga N
M = N
2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån
phuï chuyeån veà phöông
trình ñaïi soá.
Ví dụ: Gi i ph ng trình ả ươ
1)
( )
3
log 5 3 2x+ =
2)
( ) ( )
2 2
log x 3 log x 1 3− + − =
3)
( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2
log x 1 log x 1 log 7 x 1- + + - - =
Bài t pậ: Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
( ) ( )
4 2
log 3 log 7 2 0x x+ − + + =
2)
( )
3 3
log log 2 1 0x x+ + − =
3)
( )
( )
2
7 1
7
log 2 log 8 0x x+ + − =
4)
( ) ( )
3 1
3
log 2 7 log 5 0x x− + + =
Bài t pậ: Giaûi caùc phöông trình sau :
1)
( ) ( )
2 2
log 5 log 2 3x x− + + =
2)
( )
( )
2
3 3
log 5 log 2 5x x x
− − = +
3)
( ) ( )
5 5 5
log log 6 log 2x x x= + − +
4)
( ) ( )
3 1
3
log 2 7 log 5 0x x− + + =
Ví dụ: Gi i ph ng trìnhả ươ
2
22
4 log x log x 2+ =
Bài t pậ: Giaûi caùc phöông
trình sau :
1)
2
2 2
log log 6 0x x− − =
2)
2
3 3
3log 10 log 3x x= −
3)
2
2 2
log 5log 4 0x x− + =
4)
2
5 5
log 4log 3 0x x− + =
Bài toán 3:
B T PH NG TRÌNH MŨ TH NG G PẤ ƯƠ ƯỜ Ặ
Đnh lýị: V i 0 < a <1 thì : aớM < aN
M > N (ngh ch bi n)ị ế
Đnh lýị: V i a > 1 thì : aớM < aN
M < N (đng bi n )ồ ế
1. Ph ng phápươ : Bi n đi ph ng trình v d ng c b n : aế ổ ươ ề ạ ơ ả M < aN (
, , >
)
Ví dụ: Gi i các b t ph ng trình ả ấ ươ
1)
2
2 2
3 9
x x− +
>
2
2 2 2
3 3
x x− +
>�
2
2 2 2x x− + >�
2
2 0x x− >�
0
2
x
x
<
>
2)
2
4 11
6 8
2
1
2
x
x x
− −
+ +
� � >
� �
� �
2
4 11 6 8
22
x x x+ + +
>�
2
4 11 6 8x x x+ > + +�
2
2 3 0x x+ − <�
1 3x< <
5 TĐT
3)
1 2
2 2 25
x x− +
+
24.2 25
2
x
x
+� �
9.2 50
x
۳
50
29
x
۳
2
50
log 9
x۳
4)
1
2 3
x x+
>
2 3 .3
x x
>�
23
3
x
� �>�� �
� �
2
3
log 3x<�
5)
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ < −
Gi i: ả
Nh n xét r ng: ậ ằ
( ) ( ) ( )
1
10 3 10 3 1 10 3 10 3
−
+ − = − = +�
Khi đó b t ph ng trình đc vi t d i d ng: ấ ươ ượ ế ướ ạ
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ −
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
−
− +
+ +� �
3 1
1 3
x x
x x
− +
−
− +
3 1 0
1 3
x x
x x
− +
+ <�− +
( ) ( )
2
50
1 3
x
x x
−<�− +
3 5
1 5
x
x
− < < −
< <
V y nghi m c a b t ph ng trình là: ậ ệ ủ ấ ươ
( ) ( )
3; 5 1; 5− −
Bài t pậ: Gi i các b t ph ng trình sau :ả ấ ươ
1)
3 6
2 1
x−
>
2)
2
3 9
x x−
<
3)
2
3
2 4
x x− +
<
4)
2
3 4 1
2 4
x x x+ − −
>
5)
2
2 3
7 9
9 7
x x−
� �
� �
� �
6)
2
1
2
1
33
x x
x x
− −
−
� �
� �
� �
7)
2
4 11
6 8
2
1
2
x
x x
− −
+ +
� � >
� �
� �
8)
2
1
2
12
2
x
x x
−
−
9)
( ) ( )
13
2
5 2 6 5 2 6
x
x
−
+
+ > −
2. Ph ng phápươ : Đt n ph .ặ ẩ ụ
Ví dụ : Gi i các b t ph ng trình sau : ả ấ ươ
1)
. 2 0
x x
4 32− + <
2
2 3.2 2 0
x x
− + <�
(1)
Đt ặ
(1) tr thành ở
2
3 2 0t t− + <
1 2t< <�
1 2 2
x
< <�
0 1x< <�
2)
. 2 0
x x
4 32− + >
2
2 3.2 2 0
x x
− + >�
(1)
Đt ặ
(1) tr thành ở
2
3 2 0t t− + >
2
1
t
t
>
<
2 2
2 1
x
x
>
<
1
0
x
x
>
<
3)
1
2 2 – 3 0
x x+ −
+ <
2.2 2 3 0
x x−
+ − <�
(1)
Đt ặ
(1) tr thànhở
1
2 3 0tt
+ − <
2
2 3 1 0t t− + <�
11
2t< <�
12 1
2
x
< <�
1 0x− < <�
4)
. 0
x 2x x
4 25 1− <
2
5 5
1 2. 2 2
x x
� � � �
− <�� � � �
� � � �
(1)