Link xem tivi trực tuyến nhanh nhất xem tivi trực tuyến nhanh nhất xem phim mới 2023 hay nhất xem phim chiếu rạp mới nhất phim chiếu rạp mới xem phim chiếu rạp xem phim lẻ hay 2022, 2023 xem phim lẻ hay xem phim hay nhất trang xem phim hay xem phim hay nhất phim mới hay xem phim mới link phim mới

Link xem tivi trực tuyến nhanh nhất xem tivi trực tuyến nhanh nhất xem phim mới 2023 hay nhất xem phim chiếu rạp mới nhất phim chiếu rạp mới xem phim chiếu rạp xem phim lẻ hay 2022, 2023 xem phim lẻ hay xem phim hay nhất trang xem phim hay xem phim hay nhất phim mới hay xem phim mới link phim mới

intTypePromotion=1
ADSENSE

Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: Phần 1 - Lê Quang Xe

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

9
lượt xem
1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách "Luyện thi Toán chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: Phần 1" được biên soạn bởi thầy giáo Lê Quang Xe, hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán liên quan đến chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn trong chương trình môn Toán lớp 10 (SGK mới); bên cạnh đó, tài liệu còn tổng hợp nhiều ví dụ minh họa (có đáp án và lời giải chi tiết) giúp các em nắm vững được nội dung bài học. Cùng tham khảo cuốn sách để nắm được nội dung chi tiết nhé.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: Phần 1 - Lê Quang Xe

  1. LÊ QUANG XE LUYỆN THI TOÁN TOÁN  1x + b 2y + c 3 a    a3 a 2x +b CHUYÊN ĐỀ x+ 1y + c 2z = d 3 b 3y +c z = HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 1z = d1 d2 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
  2. Muåc luåc Phần I ĐẠI SỐ Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 2 Bài 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 2 A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B Một số dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 | Dạng 1. Giải hệ phương trình bậc nhất bằng ba ẩn bằng phương pháp Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 3 | Dạng 2. Tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính cầm tay . . . . . . . 6 C Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 D Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Bài 2. ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 23 A Các dạng toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 | Dạng 1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 | Dạng 2. Ứng dụng trong giải bài toán Vật Lý, Hóa Học, Sinh Học. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 | Dạng 3. Ứng dụng trong giải bài toán kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 B Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 C Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Bài 3. BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ 1 45 A Bài tập tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 B Bài tập sách giáo khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 C Bài tập nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
  3. PHẦN I ĐẠI SỐ
  4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BAChûúng ẨNBẬC NHẤT 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN §1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Định nghĩa 1.1. ○ Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + by + cz = d, trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng không. Mỗi bộ ba số (x0 ; y0 ; z0 ) thỏa mãn ax0 + by0 + cz0 = d gọi là một nghiệm của phương trình bậc nhất ba ẩn đã cho. ○ Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ gồm một số phương trình bậc nhất ba ẩn. Mỗi nghiệm chung của các phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. ○ Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là   a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2   a3 x + b3 y + c3 z = d3 trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ số còn lại là các hệ số. Ở đây, trong mỗi phương trình, ít nhất một trong các hệ số ai , bi , ci (i = 1, 2, 3) phải khác 0. Ví dụ 1 Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem mỗi bộ ba số (1; 1; 2), (−1; 3; 0) có phải là một nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.      2x − 2y + x = − 7   2xy + y = 1  x + 3y + 2z = 8 a) x + 2y − 2z = 5 b) 2x + 3y + 5z = −2 c) 2x + 2y + z = 6   2     − x + 3y − 2z = −2; − 4x − 7y + z − 4; 3x + y + z = 6. Ê Lời giải. GV: LÊ QUANG XE
  5. Trang 3 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Hệ phương trình ở câu a) không phải là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ ba chứa x2 . Hệ phương trình ở câu b) không phải là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ nhất chứa xy. Hệ phương trình ở câu c) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. ○ Thay x = 1; y = 1; z = 2 vào vế trái của từng phương trình của hệ ở câu c) và so sánh với vế phải, ta được: — Phương trình thứ nhất: 1 + 3 · 1 + 2 · 2 = 8 (thỏa mãn); — Phương trình thứ hai: 2 · 1 + 2 · 1 + 2 = 6 (thỏa mãn); — Phương trình thứ ba: 3 · 1 + 1 + 2 = 6 (thỏa mãn). Vậy (1; 1; 2) là một nghiệm của hệ phương trình. ○ Thay x = −1; y = 3; z = 0 vào vế trái của từng phương trình của hệ ở câu c) và so sánh với vế phải, ta được: — Phương trình thứ nhất: (−1) + 3 · 3 + 2 · 0 = 8 (thỏa mãn); — Phương trình thứ hai: 2 · (−1) + 2 · 3 + 0 = 4 6= 6 (không thỏa mãn). Vậy (−1; 3; 0) không phải nghiệm của hệ phương trình.  B MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 1 Giải hệ phương trình bậc nhất bằng ba ẩn bằng phương pháp Gauss Để giải hệ phương trình dạng tam giác, trước hết ta giải từ phương trình chứa một ẩn, sau đó thay giá trị tìm được của ẩn này vào phương trình chứa hai ẩn để tìm giá trị của ẩn thứ hai, cuối cùng thay các giá trị tìm được vào phương trình còn lại để tìm giá trị của ẩn thứ ba. Ví dụ 1 Giải hệ phương trình   x + y + 3z = 10 (1) y − z = 3 (2)   2z = 4. (3) Ê Lời giải. Từ phương trình (3) ta có z = 2. Thay z = 2 vào phương trình (2) ta được y − 2 = 3 hay y = 5. Thay y = 5 và z = 2 vào phương trình (1) ta được x + 5 + 3 · 2 = 10 hay x = −1. Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (−1; 5; 2).  o a) Để giải một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ta đưa hệ đó về một hệ đơn giản hơn (thường có dạng tam giác), bằng cách sử dụng các phép biến đổi sau đây: ○ Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số khác 0. ○ Đổi vị trí hai phương trình của hệ. ○ Cộng mỗi vế của một phương trình (sau khi đã nhân với một số khác 0) với vế tương ứng của phương trình khác để được phương trình mới có số ẩn ít hơn.  THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131
  6. Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Trang 4 Từ đó có thể giải hệ đã cho. Phương pháp này được gọi là phương pháp Gauss b) Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Ví dụ 2 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss    x − y + 2z = 4  x − 2y + 3z = 10  2x − y + 3z = 1  a) 2x + y − z = −1 b) 2x + 3y − z = 2 c) x + y + 2z = 1       x + y + z = 5; x + 5y − 4z = 1; 5x + 2y + 9z = 4. Ê Lời giải. a) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với (−2) và cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình  x − y + 2z = 4  3y − 5z = −9   x + y + z = 5. Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với (−1) và cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình  x − y + 2z = 4  3y − 5z = −9   2y − z = 1. 2 Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với − và cộng với phương trình thứ ba theo từng 3 vế tương ứng ta được hệ phương trình    x − y + 2z = 4  3y − 5z = −9   7  z = 7. 3 Từ phương trình thứ ba, ta có z = 3. Thế vào phương trình thứ hai ta được 3y − 5 · 3 = −9 hay y = 2. Thay z = 3 và y = 2 vào phương trình đầu tiên, ta được x − 2 + 2 · 3 = 4 hay x = 0. Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (0; 2; 3). b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với (−2) và cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình  x − 2y + 3z = 10  7y − 7z = −18   x + 5y − 4z = 1 Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với (−1) và cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình  x − 2y + 3z = 10  7y − 7z = −18   7y − 7z = −9 GV: LÊ QUANG XE
  7. Trang 5 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Từ hai phương trình thứ hai và thứ ba, suy ra −18 = −9, điều này vô lí. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. c) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được hệ phương trình   x + y + 2z = 1 2x − y + 3z = 1   5x + 2y + 9z = 4. Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với (−2) và cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình    x + y + 2z = 1 −3y − z = −1   5x + 2y + 9z = 4. Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ với (−5) và cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình   x + y + 2z = 1 −3y − z = −1   −3y − z = −1. Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau, ta được hệ tương đương dạng hình thang ® x + y + 2z = 1 −3y − z = −1. Rút z theo y từ phương trình thứ hai của hệ ta được z = −3y + 1. Thế vào phương trình thứ nhất ta được x + y + 2(−3y + 1) = 1 hay x = 5y − 1. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {(5y − 1; y; −3y + 1) | y ∈ R} .  Ví dụ 3 Ba bạn Lan, Anh và Khoa đi chợ mua trái cây. Bạn Lan mua 2 kí cam và 3 kí ổi hết 295 nghìn đồng, bạn Khoa mua 4 kí táo và 1 kí ổi hết 345 nghìn đồng và bạn Anh mua 2 kí táo, 3 kí cam và 1 kí ổi hết 355 nghìn đồng. Hỏi giá một kí mỗi loại cam, táo và ổi là bao nhiêu? Ê Lời giải. Gọi x, y, z (nghìn đồng) lần lượt là giá của một kí mỗi loại cam, táo và ổi (điều kiện x, y, z ≥ 0). Bạn Lan mua 2 kí cam và 3 kí ổi hết 295 nghìn đồng nên ta có 2x + 3z = 295. Bạn Khoa mua 4 kí táo và 1 kí ổi hết 345 nghìn đồng nên ta có 4y + z = 345.  THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131
  8. Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Trang 6 bạn Anh mua 2 kí táo, 3 kí cam và 1 kí ổi hết 355 nghìn đồng nên ta có 3x + 2y + z = 355. Do đó, ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn   2x + 3z = 295 4y + z = 345   3x + 2y + z = 355. Giải hệ phương trình trên ta được x = 50, y = 70 và z = 65. Vậy giá của một kí cam là 50 nghìn đồng, giá của một kí táo là 70 nghìn đồng và giá của một kí ổi là 65 nghìn đồng.  Dạng 2 Tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính cầm tay Ta có thể dùng máy tính cầm tay để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Sau khi mở máy, ta lần lượt thực hiện các thao tác sau: ○ Vào chương trình giải hệ phương trình nhất ba ẩn, ấn — Đối với máy tính CASIO fx-570VN PLUS: MODE 5 2 . — Đối với máy tính CASIO fx-580VNX: MENU 9 1 3 . ○ Nhập các hệ số để giải hệ phương trình. Ví dụ 1 Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:     x − y + z = −3  x − 3y + z = 5  5x + y − 4z = 2  a) 3x + 2y + 3z = 6 b) − 2x + y + 2z = 5 c) 3x + 3y − 2z = 4       2x − y − 4z = 3; x + 2y − 3z = 2; x − y − z = −1. Ê Lời giải. Vào chương trình giải hệ phương trình nhất ba ẩn, ấn ○ Đối với máy tính CASIO fx-570VN PLUS: MODE 5 2 . ○ Đối với máy tính CASIO fx-580VNX: MENU 9 1 3 . a) Nhập các hệ số để giải hệ phương trình: ○ Nhập hệ số của phương trình thứ nhất: 1 = − 1 = 1 = − 3 = ○ Nhập hệ số của phương trình thứ hai: 3 = 2 = 3 = 6 = ○ Nhập hệ số của phương tình thứ ba: 2 = − 1 = − 4 = 3 = Ấn tiếp phím = , ta thấy màn hình hiện x = 1. Ấn tiếp phím = , ta thấy màn hình hiện y = 3. Ấn tiếp phím = , ta thấy màn hình hiện z = −1. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1; 3; −1). GV: LÊ QUANG XE
  9. Trang 7 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN b) Nhập các hệ số để giải hệ phương trình: ○ Nhập hệ số của phương trình thứ nhất: 1 = − 3 = 1 = 5 = ○ Nhập hệ số của phương trình thứ hai: − 2 = 1 = 2 = 5 = ○ Nhập hệ số của phương tình thứ ba: 1 = 2 = − 3 = 2 = Ấn tiếp phím = , ta thấy màn hình hiện No Solution. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. c) Nhập các hệ số để giải hệ phương trình: ○ Nhập hệ số của phương trình thứ nhất: 5 = 1 = − 4 = 2 = ○ Nhập hệ số của phương trình thứ hai: 3 = 3 = − 2 = 4 = ○ Nhập hệ số của phương tình thứ ba: 1 = − 1 = − 1 = − 1 = Ấn tiếp phím = , ta thấy màn hình hiện Infinite Solution. Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm.  C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1 Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (−3; 2; −1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.     x + 2y − 3z = 1 −x+y+z = 4  a) 2x − 3y + 7z = 15 b) 2x + y − 3z = −1   2   3x − 4y + z = −3; 3x − 2z = −7. Ê Lời giải. Hệ phương trình ở câu a) không phải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ ba chứa x2 . Hệ phương trình ở câu b) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Thay x = −3; y = 2; z = −1 vào vế trái của từng phương trình của hệ ở câu c) và so sánh với vế phải, ta được: ○ Phương trình thứ nhất: −(−3) + 2 + (−1) = 4 (thỏa mãn); ○ Phương trình thứ hai: 2 · (−3) + 2 − 3 · (−1) = −1 (thỏa mãn); ○ Phương trình thứ ba: 3 · (−3) − 2 · (−1) = −7 (thỏa mãn). Vậy (−3; 2; −1) là một nghiệm của hệ phương trình.  Bài 2 Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (1; 5; 2), (1; 1; 1) và (−1; 2; 3) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?     4x − 2y + z = 5  x + 2z = 5 a) 4xz − 5y + 2z = −7 b) 2x − y + z = −1     − x + 3y + 2z = 3; 3x − 2y = −7.  THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131
  10. Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Trang 8 Ê Lời giải. Hệ phương trình ở câu a) không phải là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn vì phương trình thứ hai chứa xz. Hệ phương trình ở câu b) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. ○ Thay x = 1; y = 5; z = 2 vào vế trái của từng phương trình của hệ ở câu c) và so sánh với vế phải, ta được: — Phương trình thứ nhất: 1 + 2 · 2 = 5 (thỏa mãn); — Phương trình thứ hai: 2 · 1 − 5 + 2 = −1 (thỏa mãn); — Phương trình thứ ba: 3 · 1 − 2 · 5 = −7 (thỏa mãn). Vậy (1; 5; 2) là một nghiệm của hệ phương trình. ○ Thay x = 1; y = 1; z = 1 vào vế trái của từng phương trình của hệ ở câu c) và so sánh với vế phải, ta được phương trình thứ nhất: 1 + 2 · 1 = 3 6= 5 (không thỏa mãn). Vậy (1; 1; 1) là nghiệm của hệ phương trình. ○ Thay x = −1; y = 2; z = 3 vào vế trái của từng phương trình của hệ ở câu c) và so sánh với vế phải, ta được: — Phương trình thứ nhất: (−1) + 2 · 3 = 5 (thỏa mãn); — Phương trình thứ hai: 2 · (−1) − 2 + 3 = −1 (thỏa mãn); — Phương trình thứ ba: 3 · (−1) − 2 · 2 = −7 (thỏa mãn). Vậy (−1; 2; 3) là một nghiệm của hệ phương trình.  Bài 3 Giải hệ phương trình    2x = 3 x+y = 2   2x − 2y + z = −1. Ê Lời giải. Ta có     3  3   x =   2x = 3  x = 2   2 x+y = 2 ⇔ x+y = 2 ⇔ 3       +y = 2 2x − 2y + x = −1    2 2x − 2y + z = −1  2x − 2y + z = −1    3  3 3   x =   x =   x =     2    2   2 1 ⇔ y=1 ⇔ y= ⇔ y=1     2     2     2    3 1  2x − 2y + z = −1 2 · − 2 · + z = −1 z = −3. 2 2 Å ã 3 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ; ; −3 .  2 2 GV: LÊ QUANG XE
  11. Trang 9 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Bài 4 Giải các hệ phương trình sau:    2x + y − 3z = 3  4x + y + 3z = −3  x + 2z = −2  a) x + y + 3z = 2 b) 2x + y − z = 1 c) 2x + y − z = 1       3x − 2y + z = −1; 5x + 2y = 1; 4x + y + 3z = −3. Ê Lời giải. a) Ta có    2x + y − 3z = 3   x + y + 3z = 2  x + y + 3z = 2 x + y + 3z = 2 ⇔ 2x + y − 3z = 3 ⇔ −y − 9z = −1       3x − 2y + z = −1 3x − 2y + z = −1 −5y − 8z = −7     25  x + y + 3z = 2   x + y + 3z = 2   x=        37 x + y + 3z = 2   55  −y − 9z = −1 ⇔ y= 55 ⇔ −y − 9z = −1 ⇔ 37 ⇔ y = 37     2    37z = −2  z=−   2   37  z = −  z = − 2 . 37 37 Å ã 25 55 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ; ;− . 37 37 37 b) Ta có     4x + y + 3z = − 3 4x + y + 3z = −3  2x + y − z = 1 ⇔ 6x + 3y − 3z = 3     5x + 2y = 1 5x + 2y = 1   4x + y + 3z = −3  4x + y + 3z = −3  ⇔ 10x + 4y = 0 ⇔ 5x + 2y = 0     5x + 2y = 1 5x + 2y = 1. Từ hai phương trình cuối, ta suy ra 0 = 1, điều này vô lí. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. c) Ta có   x + 2z = −2  x + 2z = −2  ® x = −2z − 2 2x + y − z = 1 ⇔ y − 5z = 5 ⇔     y = 5z + 5. 4x + y + 3z = −3 y − 5z = 5 Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của nó là S = {(−2z − 2; 5z + 5; z) | z ∈ R} .  Bài 5 Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng. Hà quên không lưu hóa đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng. Hỏi mỗi bạn Lan và Minh phải trả cho Hà bao nhiêu tiền?  THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131
  12. Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Trang 10 Ê Lời giải. Gọi số tiền mua văn phòng phẩm của Hà, Lan và Minh lần lượt là x, y, z (nghìn đồng), với điều kiện x, y, z ≥ 0. Vì tổng số tiền phải trả của cả ba bạn là 820 nghìn đồng nên x + y + z = 820. Số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng nên 1 x − y = 5. 2 Số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng nên −y + z = 210. Do đó, ta có hệ phương trình      x + y + z = 820    x + y + z = 820  4y + 220 = 820  y = 150 1 x−y = 5 ⇔ x = 2y + 10 ⇔ x = 2y + 10 ⇔ x = 310     2   z = y + 210  z = y + 210  z = 360. − y + z = 210 Vậy số tiền mua văn phòng phẩm của Hà, Lan và Minh lần lượt là 310 nghìn đồng, 150 nghìn đồng và 360 nghìn đồng.  Bài 6 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:    x − 2y = 1  3x − y + 2z = 2  x − y + z = 0  a) x + 2y − z = −2 b) x + 2y − z = 1 c) x − 4y + 2z = −1       x − 3y + z = 3; 2x − 3y + 3z = 2; 4x − y + 3z = 1. Ê Lời giải. a) Ta có      x − 2y = 1   x − 2y = 1 x − 2y = 1  x + 2y − z = −2 ⇔ 4y − z = −3 ⇔ 4y − z = −3       x − 3y + z = 3 −y+z = 2 3z = 5     1 x − 2y = 1   x − 2y = 1   x=       3   1  4y − z = − 3 1 ⇔ ⇔ y = −3 ⇔ y=−       3 z = 5   5   3  z=  5 z = . 3 3 Å ã 1 1 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ;− ; . 3 3 3 b) Ta có      3x − y + 2z = 2   x + 2y − z = 1 x + 2y − z = 1  x + 2y − z = 1 ⇔ 3x − y + 2z = 2 ⇔ − 7y + 5z = −1       2x − 3y + 3z = 2 2x − 3y + 3z = 2 − 7x + 5z = 0. Từ phương trình thứ hai và thứ ba, suy ra −1 = 0, điều này vô lí. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. GV: LÊ QUANG XE
  13. Trang 11 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN c) Ta có     x − y + z = 0 x − y + z = 0  ® ® x−y+z = 0 x = −2y + 1 x − 4y + 2z = −1 ⇔ − 3y + z = −1 ⇔ ⇔     z = 3y − 1 z = 3y − 1. 4x − y + 3z = 1 3y − z = 1 Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của nó là S = {(−2y + 1; y; 3y − 1) | y ∈ R} .  Bài 7 Tìm phương trình của parabol (P) : y = ax2 + bx + c (a 6= 0), biết (P) đi qua ba điểm A(0; −1), B(1; −2) và C(2; −1). Ê Lời giải. (P) đi qua A(0; −1) nên a · 02 + b · 0 + c = −1 hay c = −1. 2 (P) đi qua B(1; −2) nên a · 1 + b · 1 + c = −2 hay a + b + c = −2. (P) đi qua C(2; −1) nên a · 22 + b · 2 + c = −2 hay 4a + 2b + c = −1. Do đó ta có hệ phương trình    c = −1 a + b + c = −2   4a + 2b + c = −1. Giải hệ này ta được a = 1; b = −2; c = −1. Vậy phương trình của (P) là y = x2 − 2x − 1.  Bài 8 Giải các hệ phương trình sau:    4x + y − 3z = 11   x + 2y + 6z = 5 x + y − 3z = −1  a) 2x − 3y + 2z = 9 b) − x + y − 2z = 3 c) y − z = 0       x + y + z = −3; x − 4y − 2z = 13; − x + 2y = 1. Ê Lời giải. a) Ta có      4x + y − 3z = 11   x + y + z = − 3  x + y + z = −3  2x − 3y + 2z = 9 ⇔ 2x − 3y + 2z = 9 ⇔ − 3y − 7z = 23       x + y + z = −3 4x + y − 3z = 11 − 5y = 15     x + y + z = −3   x + y + z = −3   x = 2 ⇔ − 3y − 7z = 23 ⇔ z = −2 ⇔ y = −3       y = −3 y = −3 z = −2. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là (2; −3; −2). b) Ta có      x + 2y + 6z = 5   x + 2y + 6z = 5  x + 2y + 6z = 5 − x + y − 2z = 3 ⇔ 3y + 4z = 8 ⇔ 3y + 4z = 8       x − 4y − 2z = 13 − 6y − 8z = 8 3y + 4z = −4. Từ phương trình thứ hai và thứ ba, suy ra 8 = −4, điều này vô lí. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.  THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131
  14. Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Trang 12 c) Ta có     x + y − 3z = − 1 x + y − 3z = −1  ® ® x + y − 3z = −1 x = 2z − 1 y−z = 0 ⇔ y−z = 0 ⇔ ⇔     y=z y = z. − x + 2y = 1 3y − 3z = 0 Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của nó là S = {(2z − 1; z; z) | z ∈ R} .  Bài 9 Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:      2x + y − z = − 1   2x − 3y + 2z = 5  x − y − z = −1  a) x + 3y + 2z = 2 b) x + 2y − 3z = 4 c) 2x − y + z = −1       3x + 3y − 3z = −5; 3x − y − z = 2; − 4x + 3y + z = 3 Ê Lời giải. Å ã 2 2 5 a) Nghiệm của hệ phương trình là ;− ; . 3 3 3 b) Hệ phương trình vô nghiệm. c) Hệ phương trình có vô số nghiệm.  Bài 10 Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ phương trình:  2x − 3y + 4z = −5  − 4x + 5y − z = 6   3x + 4y − 3z = 7. Å Ê Lờiã giải. 22 131 39 Nghiệm của hệ phương trình là ; ;− .  101 101 101 Bài 11 Ba bạn Nhân, Nghĩa và Phúc đi vào căng tin của trường. Nhân mua một li trà sữa, một li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90 000 đồng. Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngọt và trả 50 000 đồng. Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140 000 đồng. Gọi x, y, z lần lượt là giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó. a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z. b) Tìm giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó. Ê Lời giải. GV: LÊ QUANG XE
  15. Trang 13 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN a) Vì Nhân mua một li trà sữa, một li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90 000 đồng nên ta có x + y + 2z = 90000. Vì Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngọt và trả 50 000 đồng nên ta có x + 3z = 50000. Vì Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140 000 đồng nên ta có x + 2y + 3z = 140000 Từ đó, ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:   x + y + 2z = 90000 x + 3z = 50000   x + 2y + 3z = 140000. b) Sử dụng máy tính cầm tay để giải hệ phương trình trên, ta được (35000; 45000; 5000) là nghiệm của hệ phương trình. Vậy giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó lần lượt là 35 000 đồng, 45 000 đồng và 5 000 đồng.  Bài 12 Tại một quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Nhóm chim chiếm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú. Hỏi mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm bao nhiều phần trăm trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng? Ê Lời giải. Gọi x, y, z lần lượt là số phần trăm nhóm động vật có vú, chim và cá có nguy cơ tuyệt chủng (điều kiện x, y, z ≥ 0). Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng nên x + y + z = 55. Nhóm chim chiếm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá nên y − z = 0,7. Nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú nên z − x = 1,5. Do đó, ta có hệ phương trình   x + y + z = 55 y − z = 0,7   − x + z = 1,5. Giải hệ phương trình này, ta được x = 17,1; y = 19,3 và z = 18,6. Vậy nhóm động vật có vú chiếm 17,1%; nhóm chim chiếm 19,3% và nhóm cá chiếm 18,6% các loài có nguy cơ tuyệt chủng.  D BÀI TẬP RÈN LUYỆN  THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131
  16. Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Trang 14 Bài 1 Kiểm tra xem mỗi bộ số (x; y; z) đã cho có là nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không.   x + 3y + 2z = 1 a) 5x − y + 3z = 16 (0; 3; −2), (12; 5; −13), (1; −2; 3);   − 3x + 7y + z = −14  3x − y + 4z = −10  b) − x + y + 2z = 6 (−2; 4; 0), (0; −3; 10), (1; −1; 5);   2x − y + z = −8  x + y + z = 100 c) (4; 18; 78), (8; 11; 81), (12; 4; 84). 5x + 3y + 1 z = 100 3 Ê Lời giải.   x + 3y + 2z = 1 a) Bộ (1; −2; 3) là nghiệm của hệ phương trình 5x − y + 3z = 16   − 3x + 7y + z = −14.  3x − y + 4z = −10  b) Bộ (−2; 4; 0) là nghiệm của hệ phương trình − x + y + 2z = 6   2x − y + z = −8.  x + y + z = 100 c) Cả 3 bộ (4; 18; 78), (8; 11; 81), (12; 4; 84) là nghiệm của hệ phương trình 5x + 3y + 1 z = 100. 3  Bài 2 Giải hệ phương trình    x − 2y + 4z = 4  4x + 3y − 5z = −7   x + y + 2z = 0 a) 3y − z = 2 b) 2y = 4 c) 3x + 2y = 2       2z = −10. y + z = 3. x = 10. Ê Lời giải.     x − 2y + 4z = 4  x = 22 a) Ta có 3y − z = 2 ⇔ y = −1     2z = −10 z = −5.     4x + 3y − 5z = − 7  x = −2  b) Ta có 2y = 4 ⇔ y=2     y+z = 3 z = 1.    x + y + 2z = 0  z = 2 c) Ta có 3x + 2y = 2 ⇔ y = −14     x = 10 x = 10. GV: LÊ QUANG XE
  17. Trang 15 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN  Bài 3 Giải hệ phương trình    3x − y − 2z = 5   x + 2y + 6z = 5 x + 4y − 2z = 2  a) 2x + y + 3z = 6 b) − x + y − 2z = 3 c) − 3x + y + z = −2       6x − y − 4z = 9. x − 4y − 2z = 1. 5x + 7y − 5z = 6. Ê Lời giải.      3x − y − 2z = 5  3x − y − 2z = 5  x = 2 a) Ta có 2x + y + 3z = 6 ⇔ 5y + 13z = 8 ⇔ y = −1       6x − y − 4z = 9 y = −1 z = 1.      x + 2y + 6z = 5   x + 2y + 6z = 5  x + 2y + 6z = 5 b) Ta có − x + y − 2z = 3 ⇔ 3y + 4z = 8 ⇔ 3y + 4z = 8 suy ra hệ phương trình vô       x − 4y − 2z = 1 3y + 4z = 3 0=5 nghiệm.   x + 4y − 2z = 2  x + 4y − 2z = 2  c) Ta có − 3x + y + z = −2 ⇔ 13y − 5z = 4 suy ra hệ phương trình vô số nghiệm (x; y; z)     5x + 7y − 5z = 6 13y − 5z = 4 ® x + 4y − 2z = 2 thỏa mãn 13y − 5z = 4.  Bài 4 Tìm số đo ba góc của một tam giác, biết tổng số đo của góc thứ nhất và góc thứ hai bằng hai lần số đo của góc thứ ba, số đo của góc thứ nhất lớn hơn số đo của góc thứ ba là 20◦ . Ê Lời giải. Gọi 3  góc của tam giác lần lượt  là x, y, z.  ◦ ◦ ◦   x + y + z = 180   x + y + z = 180  x = 80 Ta có x + y − 2z = 0◦ ⇔ z = 60◦ ⇔ y = 40◦        x − z = 20◦ x − z = 20◦ z = 60◦ . Bài 5 Bác Thanh chia số tiền 1 tỉ đồng của mình cho ba khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 84 triệu đồng. Lãi suất cho ba khoản đầu tư lần lượt là 6%, 8%, 15% và số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất bằng tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai và thứ ba. Tính số tiền bác Thanh đầu tư cho mỗi khoản. Ê Lời giải. Gọi 3  khoản đầu tư lần lượt là x,  y, z triệu đồng.   x + y + z = 1000  x + y + z = 1000   x + y + z = 1000  x = 500 Ta có 6x + 8y + 15z = 8400 ⇔ 2y + 9z = 2400 ⇔ 2y + 9z = 2400 ⇔ y = 300           THẦYxXE−TOÁN y − z- ĐT: = 0967.003.131 0 y + z = 500 z = 200 z = 200.
  18. Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Trang 16 Bài 6 Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một parabol và độ cao h của quả bóng được tính bởi công thức h = 1 2 at + v0 t + h0 , trong đó độ cao h và độ cao ban đầu h0 được tính bằng mét, t là thời gian của 2 chuyển động tính bằng giây, a là gia tốc của chuyển động tính bằng m/s2 , v0 là vận tốc ban đầu được tính bằng m/s. Tìm a, v0 , h0 biết sau 0, 5 giây quả bóng đạt được độ cao 6, 075 m; sau 1 giây quả bóng đạt độ cao 8, 5 m; sau 2 giây quả bóng đạt độ cao 6 m. Ê Lời giải.      h(0, 5) = 6, 075  0, 125a + 0, 5v 0 + h 0 = 6, 075 a = −9, 8  Ta có h(1) = 8, 5 ⇔ 0, 5a + v0 + h0 = 8, 5 ⇔ v0 = 12, 2        h(2) = 6 2a + 2v0 + h0 = 6 h0 = 1, 2. Bài 7 Một cửa hàng bán đồ nam gồm áo sơ mi, quần âu và áo phông. Ngày thứ nhất bán được 22 áo sơ mi, 12 quần âu và 18 áo phông, doanh thu là 12580000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo sơ mi, 10 quần âu và 20 áo phông, doanh thu là 10800000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo sơ mi, 15 quần âu và 12 áo phông, doanh thu là 12960000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo sơ mi, mỗi quần âu và mỗi áo phông là bao nhiêu? Biết giá từng loại trong ba ngày không thay đổi. Ê Lời giải. Gọi giá  bán mỗi áo sơ mi, mỗi quần âu và  mỗi áo phông lần lượt là x, y, z triệu đồng.  22x + 12y + 18z = 12580000  x = 250000 Ta có 16x + 10y + 20z = 10800000 ⇔ y = 320000      24x + 15y + 12z = 12960000 z = 180000. Bài 8 Ba nhãn hiệu bánh quy là A, B, C được cung cấp bởi một nhà phân phối. Với tỉ lệ thành phần dinh dưỡng theo khối lượng, bánh quy nhãn hiệu A chứa 20% protein, bánh quy nhãn hiệu B chứa 28% protein và bánh quy nhãn hiệu C chứa 30% protein. Một khách hàng muốn mua một đơn hàng như sau ○ Mua tổng cộng 224 cái bánh quy bao gồm cả ba nhãn hiệu A, B, C. ○ Lượng protein trung bình của đơn hàng này (gồm cả ba nhãn hiệu A, B, C) là 25%. ○ Lượng bánh nhãn hiệu A gấp đôi lượng bánh nhãn hiệu C. Tính lượng bánh quy mỗi loại mà khách hàng đó đặt mua. Ê Lời giải. Gọi lượng  bánh quy mỗi loại mà kháchhàng đó đặt mua lần lượt là x, y, z.   x + y + z = 224  x = 96 Ta có 20x + 28y + 30z = 25 · 224 ⇔ y = 80      x − 2z = 0 z = 48. GV: LÊ QUANG XE
  19. Trang 17 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Bài 9 Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau      − x + 2y − 3z = 2   x − 3y + z = 1 x + y − 3z = −1  a) 2x + y + 2z = −3 b) 5y − 4z = 0 c) 3x − 5y − z = −3       − 2x − 3y + z = 5. x + 2y − 3z = −1. − x + 4y − 2z = 1. Ê Lời giải.     x= −4  − x + 2y − 3z = 2     11 a) 2x + y + 2z = −3 ⇔ y = 7     − 2x − 3y + z = 5   12 z = . 7  x − 3y + z = 1  b) 5y − 4z = 0 hệ phương trình vô nghiệm.   x + 2y − 3z = −1  x + y − 3z = −1  c) 3x − 5y − z = −3 hệ phương trình vô số nghiệm.   − x + 4y − 2z = 1  Bài 10 Trong các hệ phương trình sau, hệ nào là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (−1; 2; 1), (−1, 5; 0, 25; −1, 25) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?      3x − 2y + z = − 6   5x − 2y + 3z = 4  −1   2x − 4y − 3z = a) − 2x + y + 3z = 7 b) 3x + 2y − z = 2   4      5 4x − y + 7z = 1. x − 3y + 2z = −1. c) 3x + 8y − 4z =   2    2x + 3y − 2z = 1 . 4 Ê Lời giải.  3x − 2y + z = −6  a) Bộ (−1; 2; 1) là nghiệm của hệ phương trình − 2x + y + 3z = 7   4x − y + 7z = 1.  5x − 2y + 3z = 4  b) Cả 2 bộ (−1; 2; 1), (−1, 5; 0, 25; −1, 25) không là nghiệm của hệ phương trình 3x + 2y − z = 2   x − 3y + 2z = −1.   −1   2x − 4y − 3z =   4  5 c) Bộ (−1, 5; 0, 25; −1, 25) là nghiệm của hệ phương trình 3x + 8y − 4z =   2    2x + 3y − 2z = 1 . 4   THẦY XE TOÁN - ĐT: 0967.003.131
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2