intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 21: Phương trình mặt cầu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST
Báo xấu
2
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 môn Toán - Chuyên đề 21: Phương trình mặt cầu" cung cấp kiến thức về cách xác định và xử lý các dạng bài phương trình mặt cầu trong không gian. Nội dung gồm lý thuyết rõ ràng, ví dụ minh họa, bài tập tự luận, trắc nghiệm ba mức độ, bài tập đúng sai và câu hỏi trả lời nhanh. Đây là phần kiến thức được khai thác nhiều trong đề thi hiện nay. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu chuyên đề này để nâng cao kỹ năng giải bài toán mặt cầu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 21: Phương trình mặt cầu

  1. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ 21. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/ Để đảm bảo quyền lợi cho giáo viên đã mua tài liệu, thì nội dung file pdf này bên mình sẽ cắt giảm đi số lượng câu hỏi so với file thực tế. PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ I. ĐỊNH NGHĨA MẶT CẦU Cho trước điểm I và số dương R . Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I một khoảng bằng R . Nhận xét - Điểm M thuộc mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM  R . - Điểm M nằm trong mặt cầu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM  R . - Điểm M nằm ngoài mặt cẩu tâm I bán kính R khi và chỉ khi IM  R . Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu tâm I ( 2;1;5) bán kính 3. Các điểm A(10;1; 2), B (0;1; 4) và C (0;3; 4) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu đó? Giải Do IA  (10  (2)) 2  (1  1) 2  (2  5) 2  153  3 nên điểm A(10;1; 2) nằm ngoài mặt cầu đó. Vì IB  (0  (2))2  (1  1)2  (4  5)2  5  3 nên điểm B (0;1; 4) nằm trong mặt cầu đó. Do IC  (0  ( 2)) 2  (3  1) 2  (4  5)2  9  3 nên điểm C (0;3; 4) nằm trên mặt cầu đó. Trong bài hoc này, nếu không có chú ý gì thêm thì ta hiểu các bài toán đuợc xét trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương trình của mặt cầu tâm I ( a; b; c ) bán kính R là: ( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  R 2 . Ví dụ 2: Viết phương trình của mặt cầu, biết: a) Tâm I (1; 2;3) bán kính R  10 ; b) Tâm I (3; 1; 5) và đi qua điểm B (0; 2;1) . Giải a) Phương trình của mặt cầu tâm I (1; 2;3) bán kính R  10 là: 2 2 2 ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  100 . b) Bán kính mặt cầu là: R  IB  (0  3)2  (2  1) 2  (1  5) 2  54. Phương trình của mặt cầu tâm I (3; 1; 5) bán kính R  54 là: 2 2 2 ( x  3)  ( y  1)  ( z  5)  54 . Nhận xét - Cho mặt cầu tâm I ( a; b; c ) bán kính R có phương trình là: ( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  R 2 . Ta có thể viết phương trình đó về dạng: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 v?i d  a 2  b2  c 2  R 2 . Vậy mỗi mặt cầu đều có phương trình dạng: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 . - Ngược lại, xét phương trình có dạng: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 . Ta có: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  x 2  2ax  a 2  y 2  2by  b 2  z 2  2cz  c 2  a 2  b 2  c 2  d  ( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  a 2  b 2  c 2  d . Do đó, phương trình x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 xác định một mặt cầu khi và chỉ khi a 2  b 2  c 2  d  0 . Ngoài ra, nếu a 2  b 2  c 2  d  0 thì phương trình đó xác định mặt cầu tâm I ( a; b; c ) và bán kính R  a 2  b 2  c 2  d . Ví dụ 3: Mỗi phương trình sau có là phương trình mặt cầu hay không? Vì sao? a) 2 x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  1  0 ; b) x 2  y 2  2 x  6 y  8 z  3  0 . Giải a) Phương trình 2 x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  1  0 không phải là phương trình của một mặt cầu vì các hệ số của x 2 và y 2 khác nhau. b) Phương trình x 2  y 2  2 x  6 y  8 z  3  0 không phải là phương trình của một mặt cầu vì không có biểu thức z 2 . Ví dụ 4: Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu? Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (nếu có). a) x 2  y 2  z 2  4 x  10 y  2 z  14  0 ; b) x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  20  0 . Giải a) Ta có: x 2  y 2  z 2  4 x  10 y  2 z  14  0  x 2  y 2  z 2  2  2  x  2  5  y  2 1 z  14  0  ( x  2)2  ( y  5)2  ( z  1)2  16. Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I (2; 5;1) bán kính R  16  4 . b) Ta có: x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  20  0  x 2  y 2  z 2  2 1 x  2  2  y  2  3  z  20  0  ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3) 2  6  0. Vậy phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu. III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG THỰC TIỄN Phương trình mặt cầu có nhiều ứng dụng trong thực tiễn như trong thiết kế xây dựng, tính toán các yếu tố kĩ thuật,... Ta sẽ tìm hiểu qua một số ví dụ dưới đây. Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí I (3; 2; 7) . a) Sử dụng phương trình mặt cẩu để mô tả ranh giối bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km . b) Điểm A( 2;1;8) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm A( 2;1;8) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không? c) Điểm B (2;3; 4) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm B (2;3; 4) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không? Giải a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giối bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là: ( x  3)2  ( y  2)2  ( z  7) 2  9. b) Ta có: IA  [ 2  (3)]2  (1  2) 2  (8  7) 2  3  3 . Vì IA  R nên điểm A nằm trong mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm A(2;1;8) có thể sử dụng dịch vụ của trạm này. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 2 2 2 c) Ta có: IB  [2  (3)]  (3  2)  (4  7)  35  3 . Vì IB  R nên điểm B nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm B (2;3; 4) không thể sử dụng dịch vụ của trạm này. Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí I (21;35;50) . a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng, biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km . b) Nếu người đi biển ở vị trí C (42;37; 0) thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng hay không? c) Nếu người đi biển ở vị trí D (5121; 658; 0) thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng hay không? Giải a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: ( x  21) 2  ( y  35)2  ( z  50)2  40002. b) Ta có: IC  (42  21)2  (37  35)2  (0  50) 2  2945  4000. Vì IC  R nên điểm C nằm trong mặt cẩu. Vậy người đi biển ở điểm C (42;37; 0) thì có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng. c) Ta có: ID  (5121  21)2  (658  35)2  (0  50) 2  26400629  4000. Vì ID  R nên điểm D nằm ngoài mặt cầu.Vậy người đi biển ở điểm D (5121; 658; 0) không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng. PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1. Viết phương trình mặt cầu  Tâm I (a; b; c)  Dạng 1. Cơ bản ( S ) :   ( S ) : ( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  R 2 .   BK : R  Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và đi qua điểm A.  Tâm I Phương pháp: ( S ) :  (dạng 1)  BK : R  IA  Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu (S ) có đường kính AB, với A, B cho trước.  Tâm I  là trung điểm của AB . Phương pháp: ( S ) :  1   BK : R  AB  2  Dạng 4. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và tiếp xúc với các trục và mp tọa độ.  Tâm I Phương pháp: ( S ) :   BK : R  IM với M là hình chiếu của I lên trục hoặc mp tọa độ.  Dạng 5. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  Tâm I  Phương pháp: ( S ) :   BK : R  d  I ; ( P )   Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  0 được xác định axM  byM  czM  d bởi công thức: d ( M ;( P))   a2  b2  c2  Dạng 6. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Phương pháp: Gọi ( S ) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 Vì A, B, C, D  (S ) nên tìm được 4 phương trình  a, b, c, d  (S ).  Dạng 7. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua 3 điểm A, B, C và tâm thuộc mp ( P). Phương pháp: Gọi ( S ) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 Vì A, B, C  (S ) nên tìm được 3 phương trình và I (a; b; c)  ( P) là phương trình thứ tư. Giải hệ bốn phương trình này  a, b, c, d  (S ).  Dạng 8. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. (dạng này mình sẽ đưa vào bài phương trình mặt phẳng, các bạn học cũng có thể tự tìm để hiểu hơn) Phương pháp: Dựa vào mối liên hệ R 2  d 2[I ;( P )]  r 2 và cần nhớ C  2 r và Sđt   r 2 . Câu 1. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I 1;  4;3 và đi qua điểm A  5;  3;2  . Câu 2. (Chuyên Sơn La -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1;1 và B 1;  1;3 . ViẾt phương trình mặt cầu có đường kính AB Câu 3. (Việt Đức Hà Nội 2019) Viết phương trình mặt cầu  S  tâm A  2;1; 0  , đi qua điểm B  0;1; 2  ? Câu 4. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội -2019) Gọi  S  là mặt cầu đi qua 4 điểm A  2; 0; 0  , B 1;3; 0  , C  1; 0;3  , D 1; 2;3  . Tính bán kính R của  S  . Câu 5. (Sở Bình Phước - 2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho phương trình x 2  y 2  z 2  2  m  2  x  4my  2mz  5m 2  9  0 . Tìm các giá trị của m để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 2. Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu, đường thẳng M1 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) R I Cho mặt cầu S ( I ; R ) và mặt phẳng ( P ). M2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( P ) H P và có d  IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ). Khi đó:  Nếu d  R : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. I R  Nếu d  R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. P H Lúc đó ( P ) là mặt phẳng tiếp diện của ( S ) và H là tiếp điểm.  Nếu d  R : mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu theo thiết diện I d R là đường tròn có tâm H và bán kính r  R 2  IH 2 . P H r A Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Viết phương trình mặt ( P )  (Q ) : ax  by  cz  d  0 và tiếp xúc với mặt cầu ( S ). Phương pháp:  Vì ( P )  (Q ) : ax  by  cz  d  0  ( P ) : ax  by  cz  d   0.  Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu.  Vì ( P ) tiếp xúc ( S ) nên có d I ;( P )  R  d . Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  2  0 Câu 12. (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Viết phương trình mặt cầu tâm I  3; 2; 4  và tiếp xúc với Câu 13. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  5  0 . Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với  S  và song song với mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  11  0 Câu 14. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  :2 x  y  2 z  1  0 và điểm M 1; 2; 0  . Mặt cầu tâm M , bán kính bằng 3 cắt phẳng  P  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu? Câu 15. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I ( 1; 2;1) và mặt phẳng ( P ) có phương trình x  2 y  2 z  8  0 . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình của mặt cầu có tâm I  0;1;3 và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) :2 x  y  2 z  2  0 ? NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 3. Một số bài toán liên quan đến mặt cầu (tiếp tuyến, khoảng cách,…) 2 Câu 29. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2   z  1  5 . Có tất cả bao nhiêu điểm A  a, b, c  ( a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của  S  đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? Câu 30. (Mã 102-2023) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2   S  :  x  1   y  2    z  1  4 và đường thẳng d đi qua A 1; 0;  2  , nhận u  1; a ; 4  a  ( với a   ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt  S  tại hai điểm phân biệt mà tiếp diện của  S  tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Tính a 2 NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 4. Ứng dụng Câu 32. Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt đất phẳng. Tâm quả bóng cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc toạ độ O là hình chiếu vuông góc của tâm quả cầu trên mặt đất, tia Oz chứa tâm của quả cầu, các trục Ox, Oy thuộc mặt đất như hình vẽ. Viết phương trình của mặt cầu bề mặt quả bóng. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 33. Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian Oxyz . Cho biết tọa độ tâm mặt cầu là I (360; 200; 400) và bán kính r  2 m . Viết phương trình mặt cầu. Câu 34. Trong không gian Oxyz , trong khoảng thời gian từ 0 đến 1, một vật thể chuyển động sao cho  1 1  tại mỗi thời điểm t  [0;1] , vật thể đó ở vị trí M  sin t; 2 sin t cos t ; sin t  cos t  . Hỏi trong quá  2 2  2 2 2 trình chuyển động nói trên, vật thể có luôn thuộc mặt cầu ( S ) : x  y  z  1  0 hay không? Câu 35. Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một router phát sóng wifi có đầu thu phát được đặt tại điểm I (4; 2;10) . a) Cho biết bán kính phủ sóng wifi là 40 m. Viết phương trình mặt cầu ( S ) biểu diễn ranh giới của vùng phủ sóng. b) Một người sử dụng máy tính tại điểm M (6;12; 0) . Hãy cho biết điểm M nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu ( S ) và người đó có thể sử dụng được sóng wifi của router nói trên hay không. c) Câu hỏi tương tự đối với người sử dụng máy tính ở điểm N (14;6;50) . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Câu 46. Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian Oxyz bằng phần mềm 3 D. Biết phương trình mặt cầu là (S ) : ( x  24)2  ( y  24)2  ( z  24)2  100 (đơn vị cm) và phương x  24 y  24 z  24 trình đường thẳng trục xoay là d :   . 1 1 3, 25 a) Tìm tọa độ giao điểm của d và ( S ) . b) Tính số đo góc giữa d và trục Oz . Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dành cho học sinh trung bình 2 2 Câu 1. (Đề minh họa 2022) Trong không gian Oxyz , mặt cầu  S  :  x  1   y  2   z 2  9 có bán kính bằng A. 3 . B. 81 . C. 9 . D. 6 . 2 2 2 Câu 2. (Mã 102 - 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x   y  2    z  1  6 . Đường kính của  S  bằng A. 3 . B. 6. C. 2 6 . D. 12 . 2 2 2 Câu 3. (Mã 104-2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  2    y  1   z  3   4 . Tâm của  S  có tọa độ là A.  2;1; 3 . B.  4; 2; 6  . C.  4; 2;6 . D.  2; 1;3 . Câu 4. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2  S  : x  1   y  2   z  3  16 . Tâm của  S  có tọa độ là A.  1;  2;  3 . B. 1;2;3 . C.  1;2;  3 . D. 1;  2;3 . 2 Câu 5. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2   y  2   z 2  9 . Bán kính của  S  bằng A. 6 . B. 18 . C. 3 . D. 9 . Câu 6. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x  y 2  ( z  1)2  16 . Bán 2 kính của (S ) là: A. 32 B. 8 C. 4 D. 16 Câu 7. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2  S  :  x 1   y  2   z  3  4 . Tâm của  S  có tọa độ là A.  1; 2;3 . B.  2; 4; 6  . C.  2; 4;6  . D. 1; 2; 3 . Câu 8. (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  7  0 . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 3 . B. 15 . C. 7. D. 9 . Câu 9. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  7  0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 7 . B. 9 . C. 15 . D. 3 . Câu 10. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  8 x  2 y  1  0 . Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu  S  . A. I  –4 ;1; 0  , R  2. B. I  –4;1; 0  , R  4. C. I  4; – 1; 0  , R  2. D. I  4; – 1; 0  , R  4. Câu 11. Trong không gian vơi hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  8 x  2 y  1  0 . Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu  S  : A. I  4;1; 0  , R  2 . B. I  4;1; 0  , R  4 . C. I  4; 1; 0  , R  2 . D. I  4; 1; 0  , R  4 . Câu 12. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  0 ; 0 ;  3  và đi qua điểm M  4; 0;0  . Phương trình của  S  là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2 2 A. x 2  y 2   z  3  25 . B. x 2  y 2   z  3  5 . 2 2 C. x 2  y 2   z  3  25 . D. x 2  y 2   z  3  5 . Câu 13. (Mã 110 2017) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2  y 2  z 2  2 x  2 y  4 z  m  0 là phương trình của một mặt cầu. A. m  6 B. m  6 C. m  6 D. m  6 Câu 14. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm I 1;1;1 và A 1; 2;3 . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là 2 2 2 2 2 2 A.  x  1   y  1   z  1  5 B.  x  1   y  1   z  1  29 2 2 2 2 2 2 C.  x  1   y  1   z  1  5 D.  x  1   y  1   z  1  25 Câu 15. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 7  , B  3;8; 1 . Mặt cầu đường kính AB có phương trình là 2 2 2 2 2 2 A.  x  1   y  3   z  3  45 . B.  x  1   y  3   z  3  45 . 2 2 2 2 2 2 C.  x  1   y  3   z  3  45 . D.  x  1   y  3   z  3  45 . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dành cho học sinh khá giỏi Câu 23. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 0; 0  , C  0; 0;3  , B  0; 2; 0  . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2  MB2  MC 2 là mặt cầu có bán kính là: A. R  2 . B. R  3 . C. R  3 . D. R  2 . Câu 24. (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 4  , B 1; 3;1 , C  2; 2;3  . Tính đường kính l của mặt cầu  S  đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng  Oxy  . A. l  2 13 . B. l  2 41 . C. l  2 26 . D. l  2 11 . Câu 25. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A  1; 0; 0  , B  0; 0; 2  , C  0; 3; 0  . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là 14 14 14 A. . B. . C. . D. 14 . 3 4 2 Câu 26. (Sở Hà Nội 2019) Cho hai điểm A, B cố định trong không gian có độ dài AB là 4 . Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA  3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng 9 3 A. 3 . B. . C. 1. D. . 2 2 Câu 27. (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz . Cho tứ diện đều ABCD có A  0;1; 2  và hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng  BCD  là H  4;  3;  2  . Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . A. I  3;  2;  1 . B. I  2;  1; 0  . C. I  3;  2;1 . D. I  3;  2;1 . Câu 28. (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 4  , B 1; 3;1 , C  2; 2;3  . Tính bán kính R của mặt cầu  S  đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng  Oxy  . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 A. R  41 . B. R  15 . C. R  13 . D. R  26 . Câu 29. (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Trong không gian Oxyz , gọi  S  là mặt cầu đi qua điểm D  0;1; 2  và tiếp xúc với các trục Ox , Oy , Oz tại các điểm A  a ; 0; 0  , B  0; b ;0  , C  0; 0; c  trong đó a, b, c   \ 0;1 . Bán kính của  S  bằng 5 3 2 A. 5. B. . C. . D. 5 2 . 2 2 2 2 2 Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  25 và hình nón  H  có đỉnh A  3; 2; 2  và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón  H  cắt mặt cầu tại M , N sao cho AM  3 AN . Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu  S  và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón  H  . 2 2 2 71 2 2 2 70 A.  x  1   y  2    z  3  . B.  x  1   y  2    z  3  . 3 3 2 2 2 74 2 2 2 76 C.  x  1   y  2    z  3  . D.  x  1   y  2    z  3  . 3 3 Câu 31. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  1; 2; 3  . Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ? 2 2 A.  x  1  y 2  z 2  13 B.  x  1  y 2  z 2  17 2 2 C.  x  1  y 2  z 2  13 D.  x  1  y 2  z 2  13 Câu 32. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1; 2;3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB  2 3 A. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  16. B. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  20. C. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  25. D. ( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  9. Câu 33. (Sgd Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz , giá trị dương của m sao cho mặt phẳng 2 2  Oxy  tiếp xúc với mặt cầu  x  3   y 2   z  2   m 2  1 là A. m  5 . B. m  3 . C. m  3 . D. m  5 . Câu 34. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox . Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ? 2 2 A.  x  1  y 2  z 2  13 . B.  x  1  y 2  z 2  13 . 2 2 C.  x  1  y 2  z 2  13 . D.  x  1  y 2  z 2  17 . Câu 35. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , trong các mặt cầu dưới đây, mặt cầu nào có bán kính R  2 ? A.  S  : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  3  0 . B.  S  : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  10  0 . C.  S  : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  2  0 . D.  S  : x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  5  0 . Câu 36. Trong không gian Oxyz , mặt cầu có tâm I 1;1;1 và diện tích bằng 4 có phương trình là 2 2 2 2 2 2 A.  x  1   y  1   z  1  4 B.  x  1   y  1   z  1  1 2 2 2 2 2 2 C.  x  1   y  1   z  1  4 D.  x  1   y  1   z  1  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 37. (Mã 104-2022) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 . Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng x  2 y  2 z  3  0 là 2 2 2 2 2 2 A.  x  1   y  2    z  3  2 . B.  x  1   y  2    z  3  2 . 2 2 2 2 2 2 C.  x  1   y  2    z  3  4 . D.  x  1   y  2    z  3  4 . Câu 38. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  3; 2; 1 và đi qua điểm A  2;1; 2  . Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với  S  tại A ? A. x  y  3 z  9  0 B. x  y  3 z  3  0 C. x  y  3 z  8  0 D. x  y  3 z  3  0 Câu 39. (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng   có phương trình 2 x  y  z  1  0 và mặt cầu  S  có phương trình 2 2 2  x  1   y  1   z  2   4 . Xác định bán kính r của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng   và mặt cầu  S  . 2 42 2 3 2 15 2 7 A. r  . B. r  C. r  . D. r  3 3 3 3 Câu 40. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I  2;1; 4  và tiếp xúc với mặt phẳng   : x  2 y  2 z  7  0 . A. x2  y 2  z 2  4 x  2 y  8z  4  0 . B. x2  y 2  z 2  4 x  2 y  8 z  4  0 . C. x2  y 2  z 2  4 x  2 y  8z  4  0 . D. x2  y 2  z 2  4 x  2 y  8z  4  0 . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Câu 98. (THPT Trần Hưng Đạo – Nam Định 2023) Trong không gian O xyz , cho đường thẳng x 1 y  2 z 1 (S): x2  y2  z2  2x  4y  6z 13  0 . Lấy điểm d:   và mặt cầu 1 1 1 M kẻ được ba tiếp tuyến M A , M B , M C M ( a ; b ; c ) với a  0 thuộc đường thẳng d sao cho từ đến mặt cầu ( S ) ( A , B , C là tiếp điểm) thỏa mãn   60 , BMC  90 CMA  120 . Tồng AMB   a  b  c bằng A. 10 B. 1 C. 2 D. 2 3 PHẦN D. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  2)2  y 2  ( z  1)2  13 có tâm I . Gọi B là điểm trên tia Oz sao cho B thuộc mặt cầu (S ) . Mệnh đề Đúng Sai a) Tâm I của mặt cầu (S ) có toạ độ là (2;0; 1) . b) Bán kính của mặt cầu (S ) bằng 13 . c) Toạ độ của điểm B(0;0; 2) . d)  x  2  2t  Phương trình đường thẳng IB :  y  0 (t  ) .  z  1  3t  Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD  A BC  D có AB  3, AD  4, AA  5 . Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho đỉnh A trùng với gốc toạ độ O , đỉnh B thuộc tia Ox , đỉnh D thuộc tia Oz . Gọi I là trung điểm của CA . Mệnh đề Đúng Sai Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 a) Toạ độ của đỉnh B(3;0;0) . b) Các đỉnh của hình hộp chữ nhật thuộc mặt cầu tâm I . c) 3 5  Toạ độ của điểm I  ; ; 2  . 2 2  d) Phương trình mặt cầu tâm I, bán kính IB là 2 2  3  5 2 25  x     x    ( x  2)  .  2  2 2 Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(6;1;0), B(1;3;2) và C (1; 1;1) . Mệnh đề Đúng Sai a) Trọng tâm của tam giác ABC là I (2;1;1) . b) Biết rằng C là trọng tâm của tam giác ABE . Toạ độ của điểm E là (2; 7;1) . c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oyz ) bằng 37 .     d) Xét điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz ) sao cho | MA  MB  MC | 3 5 . Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM bằng 37 . x  t  Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (3;1;9) , đường thẳng d :  y  1  t mặt phẳng  z  2  2t  ( ) : x  y  z  3  0 . Mệnh đề Đúng Sai  a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là n  (1;1; 1) . b) Điểm M thuộc đường thẳng d . c) Một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d đều có tọ ̣ độ dạng A(t; 1  t; 2  2t ) . d) Đường thẳng  đi qua điểm M , cắt đường thẳng d và song song với mặt x 1 y  2 z  4 phẳng ( ) có phương trình là   . 2 3 5 Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (3;  2; 5), B (2;1;  3) và C (  1; 2;1) . Mệnh đề Đúng Sai a) Hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Oz là A (0;0;5) . b) Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng (Oyz ) là B (2;0; 3) . c) Biết rằng E là điểm nằm trên trục O x và F là nằm điểm trên mặt phẳng (Oyz ) sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng EF . Khi đó EF  5 . d) Gọi I ( a ; b; c ) là trực tâm của tam giác ABC . Khi đó a  b  c  2 . Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; 3), B (0;1;  6) và mặt phẳng ( P ) : 4 x  y  2 z  13  0 . Mệnh đề Đúng Sai a) Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A . b) Đường thẳng  đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng ( P ) có  x  1  4t  phương trình tham số là  y  2  t  z  3  2t  c) Điểm C (  3; 3;1) là giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng ( P ) . d) Gọi d là một đường thẳng nằm trong ( P ) và d đi qua B sao cho khoảng cách từ A đến d đạt giá trị nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của d có toạ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ độ là (a; b; c ) với a là số nguyên tố. Giá trị của a  b  c bằng 6. Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;3), B(2;1;1) và C (3;3; 2) . Mệnh đề Đúng Sai   a) Toạ độ của vectơ AB là (3;1; 2) . b) Độ dài của đoạn thẳng AC bằng 42 .  c) Góc BAC là góc tù. d) Xét các điểm M trên mặt phẳng (Ozx) thoả mãn điều kiện   90 . AMB Khi đó, giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM lớn hơn hoặc bằng 3. Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(0;1;1), B(3;0; 1), C (0; 21; 19) và mặt cầu ( S ) : ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2  1 . Mệnh đề Đúng Sai a) Tâm I của mặt cầu (S ) có toạ độ là (1; 1; 1) .       b) Toạ độ của điểm D sao cho 3DA  2 DB  DC  0 là (1; 4; 3) . c) Đường thẳng  đi qua hai điểm I và D có một vectơ chỉ phương là (0;3; 4) . d) Gọi M là điểm thuộc mặt cầu (S ) sao cho biểu thức T  3MA2  2MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của T bằng 672. Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  2)2  ( y  6)2  z 2  50 có tâm I và điểm K (1; 3;0) . Mệnh đề Đúng Sai a) Mặt cầu (S ) có bán kính R  5 2 . b) Điểm K thuộc mặt cầu (S ) . c) Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S ) đến điểm K bằng 10.  d) Xét các điểm M thuộc (S ) sao cho KMI lớn nhất. Khi đó, giá trị của MK bằng 2 10 . Câu 10. Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí I (1;3; 7) . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km . Mệnh đề Đúng Sai a) Phương trình mặt cầu ( S ) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là ( x  1)2  ( y  3)2  ( z  7)2  9 . b) Điểm A(2; 2; 7) nằm ngoài mặt cầu ( S ) . c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọ ̣ độ (2; 2; 7) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ (5; 6; 7) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  3  0 và mặt cầu 2 2 x y  2 z 1  S  :  x  1   y  3   z 2  9 và đường thẳng d :   . 2 1 2 Mệnh đề Đúng Sai a) Đường thẳng d cắt mặt cầu  S  tại 2 điểm phân biệt. b) Mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu  S  . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 c) Mặt phẳng  P  và mặt cầu  S  không có điểm chung. d) Đường thẳng d cắt mặt phẳng  P  tại một điểm. PHẦN E. TRẢ LỜI NGẮN Câu 1. (Sở Phú Thọ 2019) Trong không gian Oxyz , có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để x 2  y 2  z 2  2  m  2  x  2  m  1 z  3m 2  5  0 là phương trình một mặt cầu? Trả lời: ……. Câu 2. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình x 2  y 2  z 2  4mx  2my  2mz  9m 2  28  0 là phương trình mặt cầu? Trả lời: ……. Câu 3. Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu  S  có phương trình dạng x  y  z 2  4 x  2 y  2az  10a  0 . Tổng các giá trị thực của a để  S  có chu vi đường tròn lớn bằng 2 2 8 bằng? Trả lời: ……. Câu 4. (Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy và đi qua ba điểm A 1; 2; 4  , B 1; 3;1 , C  2; 2;3  . Hoành độ tâm  I  của mặt cầu bằng? Trả lời: ……. Câu 5. Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt cầu  S  đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G  6; 12;18  . Hoành độ tâm của mặt cầu  S  bằng? Trả lời: ……. 2 2 2 Câu 6. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  cos     y  cos     z  cos    4 với ,  và  lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia Ox, Oy và Oz . Biết rằng mặt cầu  S  luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Trả lời: ……. Câu 7. (Sở Kon Tum 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  3; 0 ; 0  , B  0 ;  2 ; 0  , C  0; 0;  4  . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến phần mười) Trả lời: ……. Câu 8. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Cho mặt cầu  S  có phương trình 2 2 2  x  3   y  2    z  1  100 và mặt phẳng   có phương trình 2 x  2 y  z  9  0 . Tính bán kính của đường tròn  C  là giao tuyến của mặt phẳng   và mặt cầu  S  . Trả lời: ……. Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét các điểm A  0; 0;1 , B  m; 0; 0  , C  0; n; 0  , D 1;1;1 với m  0; n  0 và m  n  1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  và đi qua D . Tính bán kính R của mặt cầu đó? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trả lời: ……. 2 2 2 Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  2    y  4    z  1  4 và mặt phẳng  P  : x  my  z  3m  1  0 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường tròn có đường kính bằng 2 . I R = 2 P r = 1 Trả lời: ……. NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Câu 64. Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm M là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho. Ta xét một ví dụ cụ thể như sau: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn vệ tinh A(3; 1; 6), B (1; 4;8), C (7;9;6), D(7; 15;18) . Toạ độ của điểm M (a; b; c) trong không gian biết khoảng cách từ vệ tinh đến điểm M lần lượt là MA  6, MB  7, MC  12, MD  24 Tính a  b  c . Trả lời: ……. Câu 65. (Sở Cà Mau 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình x2 y z x2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  4  0 và đường thẳng d :   . Hai mặt phẳng  P  ,  Q  chứa 2 1 4 đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu  S  lần lượt tại M , N . Gọi H  a ; b ; c  là trung điểm của MN . Khi đó tính tổng a  b  c (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ……. Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
  16. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ 21. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/ Để đảm bảo quyền lợi cho giáo viên đã mua tài liệu, thì nội dung file pdf này bên mình sẽ cắt giảm đi số lượng câu hỏi so với file thực tế. PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1. Viết phương trình mặt cầu  Tâm I (a; b; c)  Dạng 1. Cơ bản ( S ) :   ( S ) : ( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  R 2 .  BK : R  Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và đi qua điểm A.  Tâm I Phương pháp: ( S ) :  (dạng 1)  BK : R  IA  Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu (S ) có đường kính AB, với A, B cho trước.  Tâm I  là trung điểm của AB . Phương pháp: ( S ) :  1  BK : R  2 AB   Dạng 4. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và tiếp xúc với các trục và mp tọa độ.  Tâm I Phương pháp: ( S ) :   BK : R  IM với M là hình chiếu của I lên trục hoặc mp tọa độ.  Dạng 5. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P).  Tâm I  Phương pháp: ( S ) :   BK : R  d  I ; ( P )    Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  0 được xác định axM  byM  czM  d bởi công thức: d ( M ;( P))   a2  b2  c2  Dạng 6. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Phương pháp: Gọi ( S ) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 Vì A, B, C, D  (S ) nên tìm được 4 phương trình  a, b, c, d  (S ).  Dạng 7. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua 3 điểm A, B, C và tâm thuộc mp ( P). Phương pháp: Gọi ( S ) : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 Vì A, B, C  (S ) nên tìm được 3 phương trình và I (a; b; c)  (P) là phương trình thứ tư. Giải hệ bốn phương trình này  a, b, c, d  (S ).  Dạng 8. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r. (dạng này mình sẽ đưa vào bài phương trình mặt phẳng, các bạn học cũng có thể tự tìm để hiểu hơn) Phương pháp: Dựa vào mối liên hệ R 2  d 2[I ;( P )]  r 2 và cần nhớ C  2 r và Sđt   r 2 . Câu 1. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm I 1;  4;3 và đi qua điểm A  5;  3; 2  . Lời giải Mặt cầu có tâm I 1;  4;3 và đi qua điểm A  5;  3;2  nên có bán kính R  IA  3 2 2 2 2 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:  x  1   y  4    z  3   18 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  17. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 2. (Chuyên Sơn La -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1;1 và B 1;  1;3 . ViẾt phương trình mặt cầu có đường kính AB Lời giải Gọi I là tâm của mặt cầu đường kính AB . Khi đó I 1;0; 2  . 1 1 2 2 2 Bán kính của mặt cầu là: R  AB  1  1   1  1   3  1  2 . 2 2 2 2 Vậy phương trình mặt cầu là:  x  1  y 2   z  2   2 . Câu 3. (Việt Đức Hà Nội 2019) Viết phương trình mặt cầu  S  tâm A  2;1; 0  , đi qua điểm B  0;1; 2  ? Lời giải Vì mặt cầu  S  có tâm A  2;1; 0  , đi qua điểm B  0;1; 2  nên mặt cầu  S  có tâm A  2;1; 0  và nhận độ dài đoạn thẳng AB là bán kính.     2 Ta có: AB   2 :0; 2  . AB  AB   2   02  22  2 2 . Suy ra: R  2 2 . 2 2 Vậy:  S  :  x  2    y  1  z 2  8 . Câu 4. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội -2019) Gọi  S  là mặt cầu đi qua 4 điểm A  2; 0; 0  , B 1;3; 0  , C  1; 0;3  , D 1; 2;3  . Tính bán kính R của  S  . Lời giải Gọi I  a; b; c  là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B , C , D . Khi đó:  AI 2  BI 2  a  2  2  b 2  c 2   a  1 2   b  3 2  c 2  2  2  2 2 2 2 2 2  AI  CI   a  2   b  c   a  1  b   c  3  AI 2  DI 2  2 2 2 2 2 2   a  2   b  c   a  1   b  2    c  3  a  3b  3 a  0    a  c  1  b  1  I  0;1;1 a  2b  3c  5 c  1   Bán kính: R  IA  22  12  12  6 . Câu 5. (Sở Bình Phước - 2018) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho phương trình x 2  y 2  z 2  2  m  2  x  4my  2mz  5m 2  9  0 . Tìm các giá trị của m để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Lời giải 2 2 2 Ta có điều kiện xác định mặt cầu là a  b  c 2 2 2 2 2  m  5   m  2   4m  m  5m  9  0  m  4m  5  0   . m  1 NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 2. Vị trí tương đối mặt phẳng với mặt cầu, đường thẳng M1 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) R I M2 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ H P
  18. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Cho mặt cầu S ( I ; R ) và mặt phẳng ( P ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( P ) và có d  IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ). Khi đó:  Nếu d  R : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. I R  Nếu d  R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. P H Lúc đó ( P ) là mặt phẳng tiếp diện của ( S ) và H là tiếp điểm.  Nếu d  R : mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu theo thiết diện I d R là đường tròn có tâm H và bán kính r  R 2  IH 2 . P H A r Viết phương trình mặt ( P )  (Q ) : ax  by  cz  d  0 và tiếp xúc với mặt cầu ( S ). Phương pháp:  Vì ( P )  (Q ) : ax  by  cz  d  0  ( P ) : ax  by  cz  d   0.  Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu.  Vì ( P ) tiếp xúc ( S ) nên có d I ;( P )  R  d . Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;1 và tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  2  0 Lời giải Vì mặt cầu tâm I  1; 2;1 tiếp xúc với mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  2  0 nên bán kính 1  2.2  2.1  2 2 2 2 R  d  I ,  P    3   S  :  x  1   y  2   z  1  9 . 2 2 2 1   2    2  Câu 12. (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019) Viết phương trình mặt cầu tâm I  3; 2; 4  và tiếp xúc với Lời giải 2.3  (2)  2.4  4 20 Ta có: d  I , ( P)    . Suy ra mặt cầu tâm I  3; 2; 4  và tiếp xúc với 2 2  (1)  2 2 2 3 20  P : 2x  y  2z  4  0 có bán kính R  . 3 20 Phương trình mặt cầu tâm I  3; 2; 4  , bán kính R  là: 3 2 2 2 400  x  3   y  2    z  4   . 9 Câu 13. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  5  0 . Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với  S  và song song với mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  11  0 Lời giải Ta gọi phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  11  0 có dạng :  Q  : 2 x  y  2 z  D  0,  D  11 . 2 Mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;3 , bán kính R   1  22  32  5  3 Vì mặt phẳng tiếp xúc với  S  nên ta có : Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  19. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2.  1  2  2.3  D 2 D d  I , Q  R  3  3. 2 22   1  22 3 2  D  9 D  7   . Do D  11  D  7 . 2  D  9  D  11 Vậy mặt phẳng cần tìm là 2 x  y  2 z  7  0 . Câu 14. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  :2 x  y  2 z  1  0 và điểm M 1; 2; 0  . Mặt cầu tâm M , bán kính bằng 3 cắt phẳng  P  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu? Lời giải Mặt cầu tâm tâm M , bán kính bằng R  3 cắt phẳng  P  theo giao tuyến là đường tròn tâm H , bán kính r suy ra r  R 2  MH 2 . 2.1   2   2.0  1 2 Với MH  d  M ,  P    2 2 2 1  2 2  1 . Suy ra r   3  12  2 . Câu 15. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I ( 1; 2;1) và mặt phẳng ( P ) có phương trình x  2 y  2 z  8  0 . Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) Lời giải Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : 1  4  2  8  R  d  I ;( P)   3 1 4  4 Vậy: ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1)2  9 Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình của mặt cầu có tâm I  0;1;3 và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) :2 x  y  2 z  2  0 ? Lời giải 1  6  2 Ta có: Bán kính mặt cầu là: R  d  I ;  P     3. 2 2 22   1   2  2 2 Phương trình mặt cầu là: x2   y  1   z  3  9 . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  20. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Dạng 3. Một số bài toán liên quan đến mặt cầu (tiếp tuyến, khoảng cách,…) 2 Câu 29. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2   z  1  5 . Có tất cả bao nhiêu điểm A  a, b, c  ( a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của  S  đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? Lời giải Mặt cầu có tâm I  0;0;1 , bán kính R  5 . Vì A   Oxy  nên c  0 . Các giao tuyến của A đến mặt cầu (nếu IA  R ) tạo nên một mặt nón tâm A , để mặt nón này có hai đường sinh vuông góc thì góc của mặt nón này phải  90 hay IA  R 2 . Vậy R  IA  R 2  5  a 2  b2  1  10  4  a 2  b2  9 Ta có các bộ số thõa mãn  0; 2  ;  0; 3  ;  1; 2  ;  2; 2  ;  2; 1 ;  2; 0  ;  3; 0  , 20 bộ số. Câu 30. (Mã 102-2023) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2   S  :  x  1   y  2    z  1  4 và đường thẳng d đi qua A 1; 0;  2  , nhận u  1; a ; 4  a  ( với a   ) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng d cắt  S  tại hai điểm phân biệt mà tiếp diện của  S  tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Tính a 2 Lời giải Ta I R=2 d A H B D 2 2 2  I 1;  2;  1  có:  S  :  x  1   y  2    z  1  4 có  S  :  R  2   Đường thẳng d đi qua A 1; 0;  2  , nhận u  1; a ; 4  a  ( với a   ) làm vectơ chỉ phương x  1 t    d  :  y  at  z  2  4  a t      IA   0; 2;  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.02: Bộ 500+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2020
576 tài liệu
914 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2