Chuyên đề Phương trình hệ phương trình - Nguyễn Anh Huy

Chia sẻ: Nguyễn Cửu Quang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:384

Thêm vào BST

Báo xấu

432
lượt xem 146
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Phương trình hệ phương trình gồm 6 chương, đại cương về phương trình hữu tỉ, phương trình, hệ phương trình có tham số, các phương pháp giải phương trình, hệ phương trình....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Phương trình hệ phương trình - Nguyễn Anh Huy

Diễn đàn MATHSCOPE CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH Évariste Galois (1811-1832) Niels Henrik Abel (1802-1829) Gerolamo Cardano (1501-1576) THÁNG 6/2012
Di n đàn MATHSCOPE PHƯƠNG TRÌNH H PHƯƠNG TRÌNH Ch biên: Nguy n Anh Huy 26 - 7 - 2012
M cl c L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Các thành viên tham gia chuyên đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 Đ I CƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH H U T 10 Phương trình b c ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Phương trình b c b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Phương trình d ng phân th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Xây d ng phương trình h u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 M t s phương trình b c cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM S 32 Phương pháp s d ng đ o hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Phương pháp dùng đ nh lý Lagrange - Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Phương pháp dùng đi u ki n c n và đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Phương pháp ng d ng hình h c gi i tích và hình h c ph ng . . . . . . . . . . . . . 55 Hình h c không gian và vi c kh o sát h phương trình ba n . . . . . . . . . . . . . 76 M t s bài phương trình, h phương trình có tham s trong các kì thi Olympic . . . 81 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH 93 Phương pháp đ t n ph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 M t s cách đ t n ph cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Đ t n ph đưa v phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Đ t n ph đưa v phương trình đ ng c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Phương pháp đ t n ph không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Phương pháp s d ng h s b t đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Đ t n ph đưa v h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Phương pháp lư ng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Phương pháp bi n đ i đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Phương pháp dùng lư ng liên h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Phương pháp dùng đơn đi u hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Phương pháp dùng b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 M t s bài toán ch n l c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3
4 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158 Lý thuy t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp đ t n ph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp dùng đơn đi u hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Phương pháp bi n đ i đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Bài t p t ng h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5 H PHƯƠNG TRÌNH 177 Các lo i h cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 H phương trình hoán v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Phương pháp đ t n ph trong gi i h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Phương pháp bi n đ i đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Phương pháp dùng đơn đi u hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Phương pháp h s b t đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Kĩ thu t đ t n ph t ng - hi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Phương pháp dùng b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 T ng h p các bài h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 H phương trình h u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 H phương trình vô t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 6 SÁNG T O PHƯƠNG TRÌNH - H PHƯƠNG TRÌNH 297 Xây d ng m t s phương trình đư c gi i b ng cách đưa v h phương trình . . . . 297 S d ng công th c lư ng giác đ sáng tác các phương trình đa th c b c cao . . . . 307 S d ng các hàm lư ng giác hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Sáng tác m t s phương trình đ ng c p đ i v i hai bi u th c . . . . . . . . . . . . . 312 Xây d ng phương trình t các đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Xây d ng phương trình t các h đ i x ng lo i II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Xây d ng phương trình vô t d a vào tính đơn đi u c a hàm s . . . . . . . . . 324 Xây d ng phương trình vô t d a vào các phương trình lư ng giác. . . . . . . . 328 S d ng căn b c n c a s ph c đ sáng t o và gi i h phương trình. . . . . . . 331 S d ng b t đ ng th c lư ng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . 338 S d ng hàm ngư c đ sáng tác m t s phương trình, h phương trình. . . . . 345 Sáng tác h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Kinh nghi m gi i m t s bài h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 7 Ph l c 1: GI I TOÁN B NG PHƯƠNG TRÌNH - H PHƯƠNG TRÌNH 362 8 Ph l c 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN H C N I TI NG 366 L ch s phát tri n c a phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Có m y cách gi i phương trình b c hai? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Cu c thách đ ch n đ ng th gi i toán h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Nh ng vinh quang sau khi đã qua đ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
5 T u s m t s nhà toán h c n i ti ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 M t cu c đ i trên bia m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Ch vì l sách quá h p! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Hai gương m t tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 S ng hay ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 9 Tài li u tham kh o 381
L i nói đ u Phương trình là m t trong nh ng phân môn quan tr ng nh t c a Đ i s vì có nh ng ng d ng r t l n trong các ngành khoa h c. S m đư c bi t đ n t th i xa xưa do nhu c u tính toán c a con ngư i và ngày càng phát tri n theo th i gian, đ n nay, ch xét riêng trong Toán h c, lĩnh v c phương trình đã có nh ng c i ti n đáng k , c v hình th c (phương trình h u t , phương trình vô t , phương trình mũ - logarit) và đ i tư ng (phương trình hàm, phương trình sai phân, phương trình đ o hàm riêng, . . . ) Còn Vi t Nam, phương trình, t năm l p 8, đã là m t d ng toán quen thu c và đư c yêu thích b i nhi u b n h c sinh. Lên đ n b c THPT, v i s h tr c a các công c gi i tích và hình h c, nh ng bài toán phương trình - h phương trình ngày càng đư c trau chu t, tr thành nét đ p c a Toán h c và m t ph n không th thi u trong các kì thi H c sinh gi i, thi Đ i h c. Đã có r t nhi u bài vi t v phương trình - h phương trình, nhưng chưa th đ c p m t cách toàn di n v nh ng phương pháp gi i và sáng t o phương trình. Nh n th y nhu c u có m t tài li u đ y đ v hình th c và n i dung cho c h chuyên và không chuyên, Di n đàn MathScope đã ti n hành biên so n quy n sách Chuyên đ phương trình - h phương trình mà chúng tôi hân h nh gi i thi u đ n các th y cô giáo và các b n h c sinh. Quy n sách này g m 6 chương, v i các n i dung như sau: Chương I: Đ i cương v phương h u t cung c p m t s cách gi i t ng quát phương trình b c ba và b n, ngoài ra còn đ c p đ n phương trình phân th c và nh ng cách xây d ng phương trình h u t . Chương II: Phương trình, h phương trình có tham s đ c p đ n các phương pháp gi i và bi n lu n bài toán có tham s ,cũng như m t s bài toán thư ng g p trong các kì thi H c sinh gi i. Chương III: Các phương pháp gi i phương trình ch y u t ng h p nh ng phương pháp quen thu c như b t đ ng th c, lư ng liên h p, hàm s đơn đi u, . . . v i nhi u bài toán m r ng nh m giúp b n đ c có cách nhìn t ng quan v phương trình. Chương này không đ c p đ n Phương trình lư ng giác, vì v n đ này đã có trong chuyên đ Lư ng giác c a Di n đàn. Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa ra m t s d ng bài t p ng d ng c a hàm s logarit, v i nhi u phương pháp bi n đ i đa d ng như đ t n ph , dùng đ ng th c, hàm đơn đi u, ... Chương V: H phương trình là ph n tr ng tâm c a chuyên đ . N i dung c a chương
7 bao g m m t s phương pháp gi i h phương trình và t ng h p các bài h phương trình hay trong nh ng kì thi h c sinh gi i trong nư c cũng như qu c t . Chương VI: Sáng t o phương trình - h phương trình đưa ra nh ng cách xây d ng m t bài hay và khó t nh ng phương trình đơn gi n b ng các công c m i như s ph c, hàm hyperbolic, hàm đơn đi u, . . . Ngoài ra còn có hai ph n Ph l c cung c p thông tin ng d ng phương trình, h phương trình trong gi i toán và v l ch s phát tri n c a phương trình. Chúng tôi xin ng l i c m ơn t i nh ng thành viên c a Di n đàn đã chung tay xây d ng chuyên đ . Đ c bi t xin chân thành c m ơn th y Châu Ng c Hùng, th y Nguy n Trư ng Sơn, anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc L , anh Phan Đ c Minh vì đã h tr và đóng góp nh ng ý ki n quý giá cho chuyên đ , b n Nguy n Trư ng Thành vì đã giúp ban biên t p ki m tra các bài vi t đ có m t tuy n t p hoàn ch nh. Ni m hi v ng duy nh t c a nh ng ngư i làm chuyên đ là b n đ c s tìm th y nhi u đi u b ích và tình yêu toán h c thông qua quy n sách này. Chúng tôi xin đón nh n và hoan nghênh m i ý ki n xây d ng c a b n đ c đ chuyên đ đư c hoàn thi n hơn. M i góp ý xin vui lòng chuy n đ n anhhuy0706@gmail.com Thành ph H Chí Minh, ngày 11 tháng 7 năm 2012 Thay m t nhóm biên so n Nguy n Anh Huy
Các thành viên tham gia chuyên đ Đ hoàn thành đư c các n i dung trên, chính là nh s c g ng n l c c a các thành viên c a di n đàn đã tham gia xây d ng chuyên đ : • Ch biên: Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM) • Ph trách chuyên đ : Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM), Nguy n An Vĩnh Phúc (TN Ph thông Năng khi u- TP HCM) • Đ i cương v phương trình h u t : Huỳnh Phư c Trư ng (THPT Nguy n Thư ng Hi n – TP HCM), Ph m Ti n Kha (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM) • Phương trình, h phương trình có tham s : th y Nguy n Trư ng Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Vũ Tr ng H i (12A6 THPT Thái Phiên - H i Phòng), Đình Võ B o Châu (THPT chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu), Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên Tr n Đ i Nghĩa - TP HCM), Nguy n Hoàng Nam (THPT Phư c Thi n - Đ ng Nai), Ong Th Phương (11 Toán THPT chuyên Lương Th Vinh - Đ ng Nai) • Phương pháp đ t n ph : th y Mai Ng c Thi (THPT Hùng Vương - Bình Phư c), th y Nguy n Anh Tu n (THPT Lê Qu ng Chí -Hà Tĩnh), Tr n Trí Qu c (11TL8 THPT Nguy n Hu - Phú Yên), H Đ c Khánh (10CT THPT chuyên Qu ng Bình), Đoàn Th Hoà (10A7 THPT Long Khánh - Đ ng Nai) • Phương pháp dùng lư ng liên h p: Ninh Văn Tú (THPT chuyên Tr n Đ i Nghĩa - TPHCM) , Đinh Võ B o Châu (THPT - chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu), Đoàn Th Hòa (THPT Long Khánh - Đ ng Nai) • Phương pháp dùng b t đ ng th c: Nguy n An Vĩnh Phúc (TN Ph thông Năng khi u- TP HCM), Phan Minh Nh t, Lê Hoàng Đ c (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM), Đ ng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà N i), Nguy n Văn Bình (11A5 THPT Tr n Qu c Tu n - Qu ng Ngãi), • Phương pháp dùng đơn đi u: Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT H ng Thái – Hà N i), Đ ng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà N i) • Phương trình mũ – logarit: Võ Anh Khoa, Nguy n Thanh Hoài (Đ i h c KHTN- TP HCM), Nguy n Ng c Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Th Vinh - Đ ng Nai) • Các lo i h cơ b n: Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM)
9 • H phương trình hoán v : th y Nguy n Trư ng Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong TP HCM), Nguy n Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà N i) • Phương pháp bi n đ i đ ng th c: Nguy n Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà N i), Tr n Văn Lâm (THPT Lê H ng Phong - Thái Nguyên), Nguy n Đ c Huỳnh (11 Toán THPT Nguy n Th Minh Khai - TP HCM) • Phương pháp h s b t đ nh: Lê Phúc L (Đ i h c FPT – TP HCM), Nguy n Anh Huy, Phan Minh Nh t (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong TP HCM) • Phương pháp đ t n ph t ng - hi u: Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong TP HCM) • T ng h p các bài h phương trình: Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong TP HCM), Nguy n Thành Thi (THPT chuyên Nguy n Quang Diêu – Đ ng Tháp), Tr n Minh Đ c (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ H u Th ng (11 Toán THPT Nguy n Th Minh Khai – TP HCM) • Sáng t o phương trình: th y Nguy n Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai), th y Nguy n T t Thu (THPT Lê H ng Phong - Đ ng Nai), Nguy n Lê Thuỳ Linh (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong – TP HCM) • Gi i toán b ng cách l p phương trình: Nguy n An Vĩnh Phúc (TN Ph thông Năng khi u- TP HCM) • L ch s phát tri n c a phương trình: Nguy n An Vĩnh Phúc (TN Ph thông Năng khi u- TP HCM), Nguy n Hoàng Nam (THPT Phư c Thi n - Đ ng Nai)
C I: Đ I CƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH H UT PHƯƠNG TRÌNH B C BA M t s phương pháp gi i phương trình b c ba Phương pháp phân tích nhân t : N u phương trình b c ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghi m x = r thì có nhân t (x − r) do đó có th phân tích ax3 + bx2 + cx + d = (x − r)[ax2 + (b + ar)x + c + br + ar2 ] T đó ta đưa v gi i m t phương trình b c hai, có nghi m là √ −b − ra ± b2 − 4ac − 2abr − 3a2 r2 2a Phương pháp Cardano: Xét phương trình b c ba x3 + ax2 + bx + c = 0 (1). a B ng cách đ t x = y − , phương trình (1) luôn bi n đ i đư c v d ng chính t c: 3 y 3 + py + q = 0(2) a2 2a3 − 9ab Trong đó: p = b − ,q = c + 3 27 Ta ch xét p, q = 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa v trư ng h p đơn gi n. Đ t y = u + v thay vào (2), ta đư c: (u + v)3 + p(u + v) + q = 0 ⇔ u3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 (3) Ch n u, v sao cho 3uv + p = 0 (4). Như v y, đ tìm u và v, t (3) và (4) ta có h phương trình:  u3 + v 3 = −q 3 u3 v 3 = − p 27 Theo đ nh lí Viete, u3 và v 3 là hai nghi m c a phương trình: p3 X 2 + qX − = 0(5) 27 q 2 p3 Đ t ∆= + 4 27 10
11 Khi ∆ > 0, (5) có nghi m: q √ q √ u3 = − + ∆, v 3 = − − ∆ 2 2 Như v y, phương trình (2) s có nghi m th c duy nh t: q √ q √ y= 3 − + ∆+ 3 − − ∆ 2 2 q Khi ∆ = 0, (5) có nghi m kép: u = v = − 3 2 Khi đó, phương trình (2) có hai nghi m th c, trong đó m t nghi m kép. q q y1 = 2 3 − , y2 = y3 = 3 2 2 Khi ∆ < 0, (5) có nghi m ph c. p G i u3 là m t nghi m ph c c a (5), v0 là giá tr tương ng sao cho u0 v0 = − . 0 3 3 Khi đó, phương trình (2) có ba nghi m phân bi t. y1 = u0 + v0 √ 1 3 y2 = − (u0 + v0 ) + i (u0 − v0 ) 2 2 √ 1 3 y3 = − (u0 + v0 ) − i (u0 − v0 ) 2 2 Phương pháp lư ng giác hoá - hàm hyperbolic: M t phương trình b c ba, n u có 3 nghi m th c, khi bi u di n dư i d ng căn th c s liên quan đ n s ph c. Vì v y ta thư ng dùng phương pháp lư ng giác hoá đ tìm m t cách bi u di n khác đơn gi n hơn, d a trên hai hàm s cos và arccos C th , t phương trình t3 + pt + q = 0 (∗) ta đ t t = u cos α và tìm u đ có th đưa (∗) v d ng 4 cos3 α − 3 cos α − cos 3α = 0 −p u3 Mu n v y, ta ch n u = 2 và chia 2 v c a (∗) cho đ đư c 3 4 3q −3 3q −3 4 cos3 α − 3 cos α − . = 0 ⇔ cos 3α = . 2p p 2p p V y 3 nghi m th c là −p 1 3q −3 2iπ ti = 2 . cos arccos . − v i i = 0, 1, 2. 3 3 2p p 3 Lưu ý r ng n u phương trình có 3 nghi m th c thì p < 0 (đi u ngư c l i không đúng) nên công th c trên không có s ph c. Khi phương trình ch có 1 nghi m th c và p = 0 ta cũng có th bi u di n nghi m đó b ng công th c hàm arcosh và arsinh: −2|q| −p 1 −3|q| −3 t= . cosh .arcosh . n u p < 0 và 4p3 + 27q 2 > 0. q 3 3 2p p
12 p 1 3q 3 t = −2 . sinh .arsinh . n up>0 3 3 2p p M i phương pháp trên đ u có th gi i quy t phương trình b c ba t ng quát. Nhưng m c đích c a chúng ta trong m i bài toán luôn là tìm l i gi i ng n nh t, đ p nh t. Hãy cùng xem qua m t s ví d : Bài t p ví d 1 Bài 1: Gi i phương trình x3 + x2 + x = − 3 Gi i Phương trình không có nghi m h u t nên không th phân tích nhân t . Trư c khi nghĩ t i công th c Cardano, ta th quy đ ng phương trình: 3x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0 Đ i lư ng 3x2 +3x+1 g i ta đ n m t h ng đ ng th c r t quen thu c x3 +3x2 +3x+1 = (x+1)3 . Do đó phương trình tương đương: (x + 1)3 = −2x3 hay √ x + 1 = − 3 2x −1 T đó suy ra nghi m duy nh t x = √ . 1+ 32 Nh n xét: Ví d trên là m t phương trình b c ba có nghi m vô t , và đư c gi i nh khéo léo bi n đ i đ ng th c. Nhưng nh ng bài đơn gi n như th này không có nhi u. Sau đây ta s đi sâu vào công th c Cardano: Bài 2: Gi i phuơng trình x3 − 3x2 + 4x + 11 = 0 Gi i Đ t x = y + 1 . Th vào phương trình đ u bài, ta đư c phương trình: y 3 + 1.y + 13 = 0 4 3 4567 Tính ∆ = 132 + .1 = 0 27 27 Áp d ng công th c Cardano suy ra: 4567 4567 3 −13 + 27 3 −13 − 27 y= + 2 2 4567 4567 3 −13 + 27 3 −13 − 27 Suy ra x = + + 1. 2 2 Nh n xét: Ví d trên là m t ng d ng cơ b n c a công th c Cardano. Tuy nhiên công th c này không h d nh và ch đư c dùng trong các kì thi H c sinh gi i. Vì th , có l chúng ta s c g ng tìm m t con đư ng “h p th c hóa” các l i gi i trên. Đó là phương pháp lư ng giác hoá. Đ u tiên xét phương trình d ng x3 + px + q = 0 v i p < 0 và có 1 nghi m th c:
13 Bài 3: Gi i phương trình x3 + 3x2 + 2x − 1 = 0 Gi i Đ u tiên đ t x = y − 1 ta đưa v phương trình y 3 − y − 1 = 0 (1). Đ n đây ta dùng lư ng giác như sau: √ √ 2 3 3 N u |y| < √ suy ra y < 1. Do đó t n t i α ∈ [0, π] sao cho y = cos α. 3 2 2 Phương trình tương đương: 8 2 √ cos3 α − √ cos α − 1 = 0 3 3 3 hay √ 3 3 cos 3α = (vô nghi m) 2 2 1 1 Do đó |y| √ . Như v y luôn t n t i t tho y = √ (t + ) (∗). Th vào (1) ta đư c phương 3 3 t trình t3 1 √ + √ −1=0 3 3 3 3t3 Vi c gi i phương trình này không khó, xin dành cho b n đ c. Ta tìm đư c nghi m:   1  1 √ √ 1 −1 2  x= √ 3 3 3 − 23 + 3 2 3 1 √ √  3 3 − 23 2 Nh n xét: Câu h i đ t ra là: “S d ng phương pháp trên như th nào?”. Mu n tr l i, ta c n làm sáng t 2 v n đ : 1) Có luôn t n t i t tho mãn cách đ t trên? 2 Đáp án là không. Coi (∗) là phương trình b c hai theo t ta s tìm đư c đi u ki n |y| √ . 3 Th t ra có th tìm nhanh b ng cách dùng AM-GM: 1 1 1 1 2 |y| = √ t+ =√ |t| + √ 3 t 3 |t| 3 2 V y trư c h t ta ph i ch ng minh (1) không có nghi m |y| < √ . 3 2 2) Vì sao có s √ ? 3 Ý tư ng c a ta là t phương trình x3 + px + q = 0 đưa v m t phương trình trùng phương theo 1 −p t3 qua cách đ t x = k t + . Khai tri n và đ ng nh t h s ta đư c k = t 3 3 Sau đây là phương trình d ng x + px + q = 0 v i p < 0 và có 3 nghi m th c: Bài 4: Gi i phương trình x3 − x2 − 2x + 1 = 0 Gi i 1 Đ t y = x − . Phương trình tương đương: 3 7 7 y3 − y + = 0(∗) 3 27
14 √ √ 2 7 3y 3y 2 7 cos α V i |y| < thì √ < 1. Do đó t n t i α ∈ [0, π] sao cho cos α = √ hay y = . 3 2 7 2 7 3 Th vào (∗), ta đư c: √ 7 cos 3α = − 14 Đây là phương trình lư ng giác cơ b n. D dàng tìm đư c ba nghi m c a phương trình ban đ u:  √  7 √  arccos − 14  2 7   1 x1 = cos  + 3   3  3   √  7 √  ± arccos − 14  2 7  2π  1 x2,3 = cos  + + 3   3 3 3  Do phương trình b c ba có t i đa ba nghi m phân bi t nên ta không c n xét trư ng h p √ 2 7 |y| . Bài toán đư c gi i quy t. 3 √ 2 7 Nh n xét: Ta cũng có th ch ng minh phương trình vô nghi m khi |y| b ng cách đ t √ 3 7 1 y= (t + ) gi ng như bài 3, t đó d n t i m t phương trình trùng phương vô nghi m. 3 t −p 1 T ng k t l i, ta dùng phép đ t n ph y = t+ (∗) như sau: 3 t −p N u phương trình có 1 nghi m th c, ch ng minh phương trình vô nghi m khi |y| < 2 , 3 trư ng h p còn l i dùng (∗) đ đưa v phương trình trùng phương theo t. −p N u phương trình có 3 nghi m th c, ch ng minh phương trình vô nghi m khi |y| 2 3 −p b ng phép đ t (∗) (đưa v phương trình trùng phương vô nghi m theo t). Khi |y| 2 thì 3 |y| đ t = cos α, t đó tìm α, suy ra 3 nghi m y. −p 2 3 Còn khi p > 0 không khó ch ng minh phương trình có nghi m duy nh t: Bài 5: Gi i phương trình x3 + 6x + 4 = 0 Gi i 1 Ý tư ng: Ta s dùng phép đ t x = k t − đ đưa v phương trình trùng phương. Đ ý t phép đ t này không c n đi u ki n c a x, vì nó tương đương k(t2 − 1) − xt = 0. Phương trình trên luôn có nghi m theo t. Như v y t phương trình đ u ta đư c 1 1 1 k 3 t3 − − 3k 3 t − + 6k t − +4=0 t3 t t
15 √ C n ch n k tho 3k 3 = 6k ⇒ k = 2 V y ta có l i gi i bài toán như sau: L i gi i: √ 1 Đ t x= 2 t− ta có phương trình t √ √ 1 √ −1 ± 3 2 2 t3 − 3 6 3 3 +4=0⇔t −1+ 2t = 0 ⇔ t1,2 = √ t 2 Lưu ý r ng t1 .t2 = −1 theo đ nh lý Viete nên ta ch nh n đư c m t giá tr c a x là √ √ √ 3 −1 + 3 3 −1 − 3 x = t1 + t2 = 2 √ + √ .2 2 2 Bài 6: Gi i phương trình 4x3 − 3x = m v i |m| > 1 Gi i Nh n xét r ng khi |x| 1 thì |V T | 1 < |m| (sai) nên |x| 1. Vì v y ta có th đ t 1 1 x= t+ . 2 t Ta có phương trình tương đương: 1 1 t3 + =m 2 t3 T đó: 3 √ 1 3 √ 3 √ t= m± m2 − 1 ⇒ x = m+ m2 − 1 + m− m2 − 1 . 2 Ta ch ng minh đây là nghi m duy nh t. Gi s phương trình có nghi m x0 thì x0 ∈ [−1, 1] vì |x0 | > 1. Khi đó: 4x3 − 3x = 4x3 − 3x0 0 hay (x − x0 )(4x2 + 4xx0 + 4x2 − 3) = 0 0 Xét phương trình: 4x2 + 4xx0 + 4x2 − 3 = 0 0 có ∆ = 12 − 12x2 < 0 nên phương trình b c hai này vô nghi m. 0 V y phương trình đ u bài có nghi m duy nh t là 1 3 √ 3 √ x= m+ m2 − 1 + m− m2 − 1 . 2 Bài t p t luy n Bài 1: Gi i các phương trình sau: a) x3 + 2x2 + 3x + 1 = 0 b) 2x3 + 5x2 + 4x + 2 = 0 c) x3 − 5x2 + 4x + 1 = 0
16 √ d) 8x3 + 24x2 + 6x − 10 − 3 6 = 0 Bài 2: Gi i và bi n lu n phương trình: 4x3 + 3x = m v i m ∈ R Bài 3: Gi i và bi n lu n phương trình: x3 + ax2 + bx + c = 0 PHƯƠNG TRÌNH B C B N [1] Phương trình d ng ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak 2 = 0 (1) Ta có (1) ⇔ a(x4 + 2x2 .k + k 2 ) + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = 0 ⇔ a(x2 + k)2 + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = 0 Đ n đây có hai hư ng đ gi i quy t: Cách 1: Đưa phương trình v d ng A2 = B 2 : Thêm b t, bi n đ i v trái thành d ng h ng đ ng th c d ng bình phương c a m t t ng, chuy n các h ng t ch a x2 sang bên ph i. Cách 2: Đ t y = x2 + k ⇒ y k Phương trình (1) tr thành ay 2 + bxy + (c − 2ak)x2 = 0 Tính x theo y ho c y theo x đ đưa v phương trình b c hai theo n x. Ví d : Gi i phương trình: x4 − 8x3 + 21x2 − 24x + 9 = 0 (1.1) Cách 1: (1.1) ⇔ (x4 + 9 + 6x2 ) − 8(x2 + 3) + 16x2 = 16x2 − 21x2 + 6x2 ⇔ (x2 − 4x + 3)2 = x2 √ 5 − 13  x2 − 4x + 3 = x x2 − 5x + 3 = 0  x= 2 √ ⇔ ⇔ ⇔ x2 − 4x + 3 = −x x2 − 3x + 3 = 0 5 + 13 x= 2 Cách 2: (1.1) ⇔ (x4 + 6x2 + 9) − 8x(x2 + 3) + 15x2 = 0 ⇔ (x2 + 3)2 − 8x(x2 + 3) + 15x2 = 0 y = 3x Đ t y = x2 + 3. (1.1) tr thành: y 2 − 8xy + 15x2 = 0 ⇔ (y − 3x)(y − 5x) = 0 ⇔ y = 5x 2 V i y = 3x: Ta có x + 3 = 3x: Phương trình vô nghi  m √ 5 − 13  x= 2 √ V i y = 5x: Ta có x2 + 3 = 5x ⇔ x2 − 5x + 3 = 0 ⇔  5 + 13 x= √ √ 2 5 + 13 5 − 13 V y phương trình (1.1) có t p nghi m: S = ; 2 2 Nh n xét: M i phương pháp gi i có l i th riêng. V i cách gi i 1, ta s tính đư c tr c ti p mà
17 không ph i thông qua n ph . V i cách gi i 2, ta s có nh ng tính toán đơn gi n hơn và ít b nh m l n. Bài t p t luy n Gi i các phương trình sau: 1) x4 − 13x3 + 46x2 − 39x + 9 = 0 2) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x + 8 = 0 3) x4 − 3x3 − 6x2 + 3x + 1 = 0 4) 6x4 + 7x3 − 36x2 − 7x + 6 = 0 5) x4 − 3x3 − 9x2 − 27x + 81 = 0 [2] Phương trình d ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = ex2 (2) v i ad = bc = m Cách 1: Đưa v d ng A2 = B 2 (2) ⇔ (x + px + m)(x2 + nx + m) = ex2 (ad = bc = m, p = a + d, n = b + c) p+n n−p p+n n−p ⇔ x2 + x+m− x x2 + x+m+ x = ex2 2 2 2 2 2 2 p+n n−p 2 ⇔ x + x+m = + e x2 2 2 Cách 2: Xét xem x = 0 có ph i là nghi m c a phương trình không. Trư ng h p x = 0: m m (2) ⇔ x+ +p x+ +n =e x x m Đ t u=x+ . Đi u ki n: |u| 2 |m| x (2) tr thành (u + p)(u + n) = e. Đ n đây gi i phương trình b c hai theo u đ tìm x. Ví d : Gi i phương trình: (x + 4)(x + 6)(x − 2)(x − 12) = 25x2 (2.1) Cách 1: (2.1) ⇔ (x2 + 10x + 24)(x2 − 14x + 24) = 25x2 ⇔ (x2 − 2x + 24 + 12x)(x2 − 2x + 24 − 12x) = 25x2 x2 − 2x + 24 = 13x ⇔ (x2 − 2x + 24)2 = 169x2 ⇔ x2 − 2x + 24 = −13x  x = −8 2 x − 15x + 24 = 0  x = −3 ⇔ ⇔ √ x2 + 11x + 24 = 0  15 ± 129 x= 2 Cách 2: (2.1) ⇔ (x2 + 10x + 24)(x2 − 14x + 24) = 25x2 Nh n th y x = 0 không ph i là nghi m c a phương trình.
18 24 24 x = 0 : (2.1) ⇔ x+ + 10 x+ − 14 = 25 x x 24 √ Đ t y =x+ ⇒ |y| 4 6. (2.1) tr thành: x y = −11 (y + 10)(y − 14) = 25 ⇔ (y + 11)(y − 15) = 0 ⇔ y = 15 V i y = −11: Ta có phương trình: 24 x = −3 x+ = −11 ⇔ x2 + 11x + 24 = 0 ⇔ x x = −8 V i y = 15: Ta có phương trình: √ 24 2 15 ± 129 x+ = 15 ⇔ x − 15x + 24 = 0 ⇔ x = x 2 √ √ 15 − 129 15 + 129 Phương trình (2.1) có t p nghi m S = −3; −8; ; 2 2 Nh n xét: Trong cách gi i 2, có th ta không c n xét x = 0 r i chia mà có th đ t n ph y = x2 + m đ thu đư c phương trình b c hai n x, tham s y ho c ngư c l i. Bài t p t luy n Gi i các phương trình sau: 1) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 2) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = 168x2 3) (x + 3)(x + 2)(x + 4)(x + 6) = 14x2 4) (x + 6)(x + 8)(x + 9)(x + 12) = 2x2 19 5) 18(x + 1)(x + 2)(x + 5)(2x + 5) = x2 4 [3] Phương trình d ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (3) v i a + b = c + d = p Ta có (3) ⇔ (x2 + px + ab)(x2 + px + cd) = m Cách 1: ab + cd ab − cd ab + cd ab − cd (3) ⇔ x2 + px + + x2 + px + − =m 2 2 2 2 2 2 2 ab + cd ab − cd ⇔ x + px + =m+ 2 2 Bài toán quy v gi i hai phương trình b c hai theo x. Cách 2: 2 p2 Đ t y = x + px Đi u ki n: y − . (3) tr thành:(y + ab)(y + cd) = m 4 Gi i phương trình b c 2 n y đ tìm x. Ví d : Gi i phương trình: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8 (3.1) Cách 1:
19 Ta có (3.1) ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 8 ⇔ (x2 + 3x + 1 − 1)(x2 + 3x + 1 + 1) = 8 x2 + 3x + 1 = 3 ⇔ (x2 + 3x + 1)2 = 9 ⇔ x2 + 3x + 1 = −3 √ x2 + 3x − 2 = 0 −3 ± 17 ⇔ ⇔x= x2 + 3x + 4 = 0 2 Cách 2: (3.1) ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 8 9 Đ t y = x2 + 3x ⇒ y − 4 (3.1) tr thành: y=2 y(y + 2) = 8 ⇔ y 2 + 2y − 8 = 0 ⇔ ⇔y=2 y = −4(lo i) V i y = 2: Ta có phương trình: √ −3 ± 17 x2 + 3x − 2 = 0 ⇔ x = 2 √ √ −3 + 17 −3 − 17 Phương trình (3.1) có t p nghi m: S = ; 2 2 Bài t p t luy n Gi i các phương trình sau: 1. (x + 2)(x + 3)(x − 7)(x − 8) = 144 2. (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = 40 1 3 1 4 39879 3. x + x+ x+ x+ = 4 5 20 5 40000 4. (6x + 5)2 (3x + 2)(x + 1) = 35 5. (4x + 3)2 (x + 1)(2x + 1) = 810 Nh n xét: Như d ng (2), ngoài cách đ t n ph trên, ta có th đăt m t trong các d ng n ph sau: Đ t y = x2 + px + ab Đ t y = x2 + px + cd p 2 Đ t y = x+ 2 2 ab + cd Đ t y = x + px + 2 [4] Phương trình d ng (x + a)4 + (x + b)4 = c (c > 0) (4) a+b Đ tx=y− . (4) tr thành: 2 4 4 a−b a−b y+ + y− =c 2 2