intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề Phương trình lượng giác Toán

Chia sẻ: Duong Minh Thong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:59

Thêm vào BST
Báo xấu
309
lượt xem 127
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề phương trình lượng giác toán', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Phương trình lượng giác Toán

  1. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán 3 π 2 -3 3 -3 3 -1 3 0 1 π3 cotang 2π 3 3 π 3 2 2 4 3π 2 4 3 π 1 3 5π 6 2 6 3 2 23 0 π 2 2 1 1 cosin -1 22 2 2 1 7π -3 2 11π 6 2 3 6 5π 2 7π 3 4 4π 4 2 5π -1 3 3π 3 2 1
  2. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán C ác bạn học sinh thân mến! Trong mỗi chúng ta ai cũng ấp ủ trong mình những ước mơ, hoài bảo. Đối với riêng học sinh ở cấp THPT chúng ta thì ước mơ lớn nhất không gì khác hơn, đó là thi đậu vào trường Đại học, Cao đẳng mà chúng ta mong ước, cái ước mơ ấy lại càng có cơ sở để trở thành hiện thực nếu như chúng ta cố gắng học tập. Ước mơ của nhóm biên soạn chúng tôi cũng chẳng khác gì các bạn. Để góp phần thực hiện cái ước mơ ấy nhóm chúng tôi đã quyết định soạn ra một quyển chuyên đề lấy tên là “Phương trình lượng giác”. Không phải ngẫu nhiên mà nhóm chúng tôi lại quyết định chọn chuyên đề này. Nh ư các bạn đã biết, phương trình lượng giác là một mảng không th ể thi ếu trong các kì thi Đại học và Cao đẳng. 2
  3. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán Chương I: Các công thức lượng giác cần nhớ Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản : 3
  4. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán sin 2 α + cos 2 α = 1 • sin α π tan α = ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z ) • cos α 2 cos α cot α = ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z ) • sin α π 1 tan 2 α + 1 = ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z ) • cos α 2 2 1 cot 2 α + 1 = ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z ) • sin 2 α Cung hơn kém k2π và kπ : sin ( x + k 2π ) = sin x • cos ( x + k 2π ) = cos x • tan ( x + kπ ) = tan x • Cung đối : sin ( − x ) = − sin x • cos ( − x ) = cos x • tan ( − x ) = − tan x • Cung bù : sin ( π − x ) = sin x • cos ( π − x ) = − cos x • tan ( π − x ) = − tan x • Cung phụ : π π   sin  − x ÷ = cos x tan  − x ÷ = cot x 2  2  Cung hơn kém π/2 : π π   cos  − x ÷ = sin x cot  4− x ÷ = tan x 2  2 
  5. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán π  sin  + x ÷ = cos x • 2  π  cos  + x ÷ = − sin x • 2  π  tan  + x ÷ = − cot x • 2  π Cung hcot  +π : = − tan x • ơn  kém x ÷ 2  sin ( π + x ) = − sin x • cos ( π + x ) = − cos x • • tan ( π + x ) = tan x Công thức cộng : sin ( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x ( ∀x, y ∈ ¡ ) • cos ( x ± y ) = cos x cos y msin x sin y ( ∀x, y ∈ ¡ ) • π tan x ± tan y   tan ( x ± y ) =  ∀x, y, x ± y ≠ + kπ ÷ • 1 mtan x tan y   2 Công thức nhân đôi : cot x cot y m1 • cot ( x ± y ) = cos ( ∀x, y, x ± y ≠ kπ ) • sin 2 x = 2sin xcot yx± cot x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x • π   2 tan x 2  ∀x, 2 x ≠ + kπ ÷ tan 2 x = = • 1 − tan x cot x − tan x  2  2 cot 2 x − 1 cot x − tan x ( ∀x, 2 x ≠ kπ ) • cot 2 x = = 2cot x 2 Công thức chia đôi : 1 − cos x x =± • sin 2 2 1 + cos x x =± • cos 2 2 5 1 − cos x 1 − cos x x tan = ± = • 1 + cos x 2 sin x
  6. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán Công thức nhân ba : sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x • cos3 x = 4cos 3 x − 3cos x • π 3tan x − tan 3 x    ∀x,3 x ≠ + kπ ÷ tan 3 x = • 1 − 3tan x  2  2 cot 3 x − 3cot x ( ∀x,3x ≠ kπ ) cot ạ = Công•thức h3 x bậc : 3cot 2 x − 1 1 ( 1 − cos 2 x ) sin 2 x = • 2 1 ( 1 + cos 2 x ) cos 2 x = • 2 π 1 − cos 2 x    ∀x ≠ + kπ ÷ tan 2 x = • 1 + cos 2 x   2 1 + cos 2 x ( ∀x ≠ kπ ) • cot x = 2 1 − sin 2x + cos 3 x 3cos x Công•thức theo = 3 cos x : 4 x Công thức theo t = tan : 2 2t sin x = • 1+ t2 1− t2 cos x = • Công thức biến 1 + i tích thành tổng : 2 đổt xπ 2t   ∀x, ≠ + kπ ÷ tan x = • 2 1− t   22 Công thức biến đổi tích thành tổng : 6
  7. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán 1 sin ( x + y ) + sin ( x − y )  ( x > y ) sin x cos y = • 2  1 • cos y sin x = sin ( x + y ) − cos ( y − x )  ( y > x ) 2  Công thức biến đổi tổng thành tích : 1  cos ( x + y ) + cos ( x − y )  cos x cos y = • 2  1 Công thứsin x sinđy =t− ng cos ( x + y ) :− cos ( x − y )  c biến ổi ổ  thành tích   2 • x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos • 2 2 x+ y x− y cos x + cos y = 2cos cos • 2 2 x+ y x− y sin x − sin y = 2cos sin • 2 2 π π   • sin x + cos x = 2 sin  xy x  + 4 ÷ = y2 cos  x − 4 ÷ + x− sin    • cos x − cos y = −2sin 2 2 π π   • sin x − cos x = 2 x ±  x  ÷ = −π 2 cos  x + ÷ sin ( sin y ) −    ∀x, y ≠ + kπ  4 ÷ 4 • tan x ± tan y = cos x cos y   2 Các kết quả thường dùng : π  • tan x + cot x = −2cot 2 x  ∀x ≠ k ÷  2 π 2 tan x − cot x =  ∀x ≠ k ÷ • sin 2 x  2 31 sin 4 x + cos 4 x = + cos 4 x • 44 53 sin 6 x + cos 6 x = + cos 4 x • 88 π x  1 + sin x = 2 cos 2  − ÷ •  4 2 π x  1 − sin x = 2sin 2  − ÷ •  4 2 7 π  2 cos  x − ÷ • 4
  8. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán Các hằng đẳng thức trong tam giác : A B C sin A + sin B + sin C = 4cos cos cos • 2 2 2 A B C cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin sin sin • 2 2 2 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C • cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1 • cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 − 2cos A cos B cos C • cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1 − 4cos A cos B cos C • A B C A B C + cot + cot = cot cot8 cot cot • 2 2 2 2 2 2 A B B C C A
  9. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán 9
  10. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán Chương II: Phương trình lượng giác 10
  11. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán I. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản Trong lượng giác có 3 phương trình cơ bản. Dù cơ bản (chính vì cơ bản nên nó mới có tên như vậy) nhưng cũng phải nêu ra đây bởi vì các PTLG khác nếu giải được cũng phải đưa về một trong 3 PTCB sau đây: với α ≤ 1 , có nghiệm là: 1. sinα = x  x = arcsinα + k2 π  x = π − arcsinα +k2 π ( k ∈ Z)  2. cosα = x với α ≤ 1 , có nghiệm là: x = ± arc cosα+k2 π ( k ∈ Z) 3. tgx = α có nghiệm là: x = arcα + kπ ( k ∈ Z) tg (hay là cotα = gx có nghiệm là: x = arc cotα + kπ ) ( k ∈ Z) g Ví dụ 1: Giai phương trinh sau: ̉ ̀ cos ( 3π sin x ) = cos ( π sin x ) ̉ Giai sin x = k 3π sin x = π sin x + k 2π  2π sin x = k 2π ⇔ ⇔ ⇔ sin x = k 3π sin x = −π sin x + k 2π  4π sin x = k 2π  2  k ≤1 k ∈ Z k  ≤ 1 ⇔ k ∈ { 0; ±1; ±2}  ⇔ ⇔k  Do  sin x ≤ 1 ≤1 2  2  11
  12. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán  sin x = 0 sin 2 x = 0   1 1 ⇔ sin x = ± ⇔ sin x =   2 2  sin x = ±1 1  sin x = −  2 lπ  x = 2  lπ   x = ± π + k 2π x=   2 6 ⇔ ⇔ (l , k ∈Z )  x = ± π + kπ  x = 5π + k 2π    6 6  7π + k 2π x =  6 Ví dụ 2: Giải phương trình ( 2 cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x (1) (Khối D, 2004) Giải (1) ⇔ ( 2cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin x(2 cos x − 1) ⇔ ( 2 cos x − 1) ( sin x + cos x ) = 0 1 ⇔ cos x = ∨ sin x + cos x = 0 2 π + k 2π ∨ tan x = −1 ⇔x=± 3 π π ⇔ x = ± + k 2π ∨ x = − + kπ ( k ∈ Ζ ) 3 4 12
  13. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán Ví dụ 3: Giải phương trình sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x + sin 5 x + sin 6 x = 0 (1) (Đại học sư phạm Vinh,1997) Giải (1) ⇔ ( sin 6 x + sin x ) + ( sin 5 x + sin 2 x ) + ( sin 4 x + sin 3 x ) = 0 7x 5x 7x 3x 7x x ⇔ 2.sin .cos + 2.sin .cos + 2.sin .cos = 0 2 2 2 2 2 2 7x  x 5x 3x ⇔ 2.sin  cos + cos + cos ÷ = 0 2 2 2 2 7x  x x ⇔ 2.sin 2.cos 2 x.cos + cos ÷ = 0  2 2 2 7x x ⇔ 2.sin .cos ( 2.cos 2 x + 1) = 0 2 2 7x =0 sin 2 x cos = 0 ⇔ 2 1 cos 2 x = − 2 2π x=k 7 x = π + k 2π ( k ∈ Ζ ) ⇔ π + kπ x=± 3 13
  14. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán Ví dụ 4: Giải phương trình π  8.cos3  x + ÷ = cos 3 x ( 1)  3 (Đại học Quốc Gia Hà Nội, 1999) Giải π π Đặt t = x + ⇒ x = t − 3 3 ( 1) ⇔ 8.cos3 t = cos ( 3t − x ) ⇔ 8.cos3 t = − cos 3t ⇔ 8.cos3 t + cos 3t = 0 ⇔ 8.cos3 t + 4 cos3 t − 3.cos t = 0 ⇔ 3.cos t (4 cos 2 t − 1) = 0 ⇔ cos t  2 ( 1 + cos 2t ) − 1 = 0   ⇔ cos t ( 2 cos 2t + 1) = 0 cos t = 0 ⇔ 1 cos 2t = − 2 π π + kπ x= + kπ t= 6 2 x = kπ ( k ∈ Ζ ) π ⇔ t = + kπ ⇔ 3 2π + kπ x=− π t = − + kπ 3 3 14
  15. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán Bµi tËp tù gi¶i: Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau : π  1. cos  x + ÷+ sin 2 x = 0  3 π π   2. cos  x + ÷+ cos  x − ÷ = 1  3  3 3. tan 2 x.tan x = −1 4. sin 2 x + sin 2 x.tan 2 x = 3 5. 5cos 2 x + sin 2 x = 4 1 6. 3 sin x + cos x = cos x 7. cos 2 x = sin 3 x − sin 4 2 x 4 π  8. tan  x − ÷ = 1 − tan x  4 1 9. sin 3 x cos x = + cos 3 x sin x 4 10. sin x + cos x = cos 4 x 4 4 11. cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) 12. sin + cos = 13. sin 2 5 x + cos 2 3 x = 1 −2 14. cos x cos 2 x cos 4 x = 16 15. sin ( π sin x ) = 1 cos 2 x sin 2 x = 16. 1 − sin x 1 − cos x 1 1 2 + = 17. cos x sin 2 x sin 4 x 18. 4sin 3 2 x + 6sin 2 x = 3 Bài 2 : Cho phương trình tan ( π cos x ) = cot ( π sin x ) 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. 2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn [ −3π ;π ] của phương trình. Bài 3 : Cho phương trình sin6x + cos6x = m. 1. Xác định m để phương trình có nghiệm. 2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng ( 0;π ) 15
  16. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán Bài 4: Giải và biện luận phương trình ( 2m − 1) cos 2 x + 2m sin x + 3m − 2 = 0 2 Mời các bạn cùng tham khảo qua phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản trong các đề thi tuyển sinh đại học sau : 1) 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, Khối B, 2005 2) ( 2 cos x − 1) ( sin x + cos x ) = 1 Trích ĐTTS Học viện Ngân hàng TPHCM, 2000 3) sin 3 x − cos 4 x = sin 5 x − cos 2 6 x 3 2 2 Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, Khối B, 2002 4) cos10 x + 2 cos 2 4 x + 6 cos 3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos 3 3 x Trích ĐTTS Đại học Tài chính Kế toán Hà Nội,1998 5)sin x.cos 3 x + cos 3 x.sin 3 x = sin 3 4 x 3 Trích ĐTTS Đại học Ngoại thương TPHCM,1999 2 6) cos3 x.cos 3 x + sin 3 x.sin 3 x = 4 Trích ĐTTS Đại học Mở Hà Nội, 2000 7) cos3 x − 4sin 3 x − 3cos x.sin 2 x + sin x = 0 Trích ĐTTS Đại học Ngoại thương, 1996 x 3x x 3x 1 8) cos x.cos .cos − sin x.sin .sin = 2 2 2 22 Trích ĐTTS Đại học Y Hà Nội, 1997 x π  x π   x 2π   3x π  9) 2 cos  − ÷− 6 sin  − ÷ = 2sin  + ÷− 2sin  + ÷  5 12   5 12  5 3   5 6 Trích ĐTTS Đại học Y Thái Bình, 1997 π π   10) sin  3x − ÷ = sin 2 x.sin  x + ÷  4  4 Trích ĐTTS Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông, 1999 II. Phương trình bậc hai (bậc cao) đối với một hàm số lượng giác 16
  17. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán Phương trình bậc hai (bậc cao) đối với một hàm số lượng giác gồm các dạng sau đây. a sin 2 u + b sin u + c = 0 a cos 2 u + b cos u + c = 0 ;a ≠ 0 a tan 2 u + b tan u + c = 0 a cot 2 u + b tan u + c = 0 Cách giải sin u = t   t ≤1 cos u = t  Đặt tan u = t cot u = t Ví dụ 1: Giải phương trình π π 3   cos 4 x + sin 4 x + cos  x − ÷.sin  3 x − ÷− = 0 (1)  4  4 2 (Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối D, 2005) Giải π 1  3 (1) ⇔ 1 − 2sin 2 x.cos 2 x + sin  4 x − ÷+ sin 2 x  − = 0 2  2 2 1 1 1 ⇔ − .sin 2 2 x + ( − cos 4 x + sin 2 x ) − = 0 2 2 2 ⇔ − sin 2 2 x + ( 2 sin 2 2 x − 1 + sin 2 x ) − 1 = 0 ⇔ sin 2 2 x + sin 2 x − 2 = 0 ⇔ sin 2 x = 1 ∨ sin 2 x = −2(!) ⇔ sin 2 x = 1 π + k 2π , k ∈ Z ⇔ 2x = 2 17
  18. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán π + kπ ⇔x= 4 Ví dụ 2: Giải phương trình cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0(1) (Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối D, 2005) Giải (1) ⇔ 4 cos x − 3cos x + 2 cos x − 1 − cos x −1 = 0 3 2 ⇔ 2 cos3 x + cos 2 x − 2 cos x − 1 = 0 ⇔ ( cos x − 1) ( 2 cos 2 x + 3cos x + 1) = 0 x = k 2π cos x = 1 x = π + k 2π cos x = −1 ⇔ ⇔ 2π 1 + k 2π x=± cos x = − 3 2 x = kπ (k∈ Z) ⇔ 2π + k 2π x=± 3 Ví dụ 3: Giải phương trình cos 2 3x.cos 2 x − cos 2 x = 0(1) (Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2005) Giải 18
  19. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán 1 + cos 6 x  1 + cos 2 x ( 1) ⇔  ÷.cos 2 x − =0   2  2 ⇔ cos 6 x.cos 2 x − 1 = 0 ⇔ ( 4 cos3 2 x − 3cos 2 x ) .cos 2 x − 1 = 0 ⇔ 4 cos 4 2 x − 3cos 2 2 x − 1 = 0 cos 2 2 x = 1 ⇔ 1 cos 2 2 x = − (Loại) 4 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ 2 x = kπ, k∈ Z kπ ⇔ x = , k∈ Z 2 Ví dụ 4: Giải phương trình 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ). tan 2 x (Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối B, 2004) Giải π + lπ , l ∈ Z Điều kiện : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 sin 2 x (1) ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ). cos 2 x ⇔ ( 5 sin x − 2 ). cos 2 x = 3(1 − sin x). sin 2 x ( ) ⇔ ( 5 sin x − 2 ) 1 − sin 2 x = 3(1 − sin x). sin 2 x ⇔ ( 5 sin x − 2 ) (1 + sin x ) = 3 sin 2 x (do cos x ≠ 0 ⇒ sin x ≠ 1 ) ⇔ 2 sin 2 x + 3 sin x − 2 = 0 1 sin x = ⇔ 2 sin x = −2.(!) 19
  20. Chuyên đề Phương trình lượng giác 10 Toán π x = + k 2π 6 ⇔ , k∈ Z 5π + k 2π x= 6 So với điều kiện, ta thấy đây là nghiệm của phương trình. Ví dụ 5: Giải phương trình ( ) 2 cos 6 x + sin 6 x − sin x. cos x =0 2 − 2 sin x (Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2006) Giải π 3π 2 ⇔ x ≠ + k 2π ∧ x ≠ + k 2π Điều kiện : sin x ≠ 2 4 4 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương : ( ) 2 cos 6 x + sin 6 x − sin x. cos x = 0 ( ) ⇔ 2 1 − 3 sin 2 x. cos 2 x − sin x. cos x = 0 3 1 ⇔ 21 − sin 2 2 x  − sin 2 x = 0 4 2 ⇔ 3 sin 2 x + sin 2 x − 4 = 0 4 ⇔ sin 2 x = 1 ∨ sin 2 x = − (!) 3 ⇔ sin 2 x = 1 π ⇔ x = + lπ 4 5π + m2π So với điều kiện, ta thấy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 4 Ví dụ 6: Tìm các nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) của phương trình: cos 3x + sin 3 x   5 sin x +  = 3 + cos 2 x (1) 1 + 2 sin 2 x   (Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2002) Giải 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2