Các chuyên đề Toán luyện thi đại học - Văn Phú Quốc

1

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 1 : HÀM SỐ

3

y

3

4







m





1. Cho hàm số: . Tìm m để

1 1 ; 2 2

2  x mx x a) Hàm số đồng biến trên  b) Hàm số đồng biến trên khoảng    

 0;     d) Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài

1l  .

3

2

y



mx



m



x



3

m



2

x



c) Hàm số nghịch biến trên đoạn

2;  .





 1





1 3

y





m



 x m 4



1 3 3 x

2. Tìm m để hàm số: đồng biến trên khoảng 



 1

1;1

23 x 1

2

3. Tìm m để hàm số: . nghịch biến trên khoảng 

y



3  x mx



m 3



2

x





 m 3

3

2

; 0

2;

y



mx



2

m



x



m



 x m

4. Tìm m để hàm số: đồng biến trên  .





 1



 1

     .

4

2

5. Tìm m để hàm số: đồng biến trên 

1 3 2

y

 





6. Cho hàm số:

  1; 0 , 2;3



2  mx m x a) Hàm số nghịch biến trên 

2

2

x

b) Hàm số nghịch biến trên  . Tìm m để:  1;  ;

y



  x m  1 x

2

3

7. Cho hàm số . Tìm m để:

  0;1 , 2; 4 .  x m 



1

  x m m

y



 1  x m

4

2

2

a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng   8. Chứng minh rằng với mọi m hàm số: luôn đạt cực đại và cực tiểu



 y mx

x



10

  x m

y



9. Tìm m để hàm số: có ba cực trị. (B-2002).

 đạt cực tiểu tại điểm x

x  . 0

3

2

2





y

x

2 m m

 

2

x



m 3



 x m

5

10. Tìm m để hàm số:

 đạt cực tiểu tại

x   2.

m  9 3 3  





 1

11. Tìm m để hàm số:



y

x

 1 3 2 x mx   1 trị của đồ thị hàm số bằng 10.

2

x



m



x m

 

1



y



12. Tìm m để hàm số: để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực

mC của hàm số

 1  1

x

2

2

luôn luôn có 13. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị 

m

m







2

4

x





y

2

x

4

2

điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . (B-2005).  x m 14. Tìm m để hàm số: có cực đại cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị

 1  của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. (A-2007). 15. Cho hàm số:

mx

m







2

2

y

x

3

2

. Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành:

m

m









2

3

6

y

x

x

 m x

 1



x

y  0.

2 7 

x

 có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với

3

3 x mx 

có cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng 16. Tìm m để hàm số: a) Một tam giác đều b) Một tam giác vuông c) Một tam giác có diện tích bằng 16.   1 2

4 17. Tìm m để hàm số: 7 đường thẳng 3

y y  

x

 0.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

2

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

3

2

2

y



x



3

2

m



m 3



2

x m m



 có đường thẳng đi qua điểm

x





m



 1



18. Tìm m để hàm số:

20 0

 một góc

 

 045 .

2

3

 1 y 4 x 2 x m x m



y



x



3

 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng

y 2

3

2

y



x



c

os





3sin

x





c

os2

x

19. Tìm m để hàm số:   . x 5 0

 1



 

 8 1

 

2 3

20. Cho hàm số:

a) Chứng minh rằng với mọi  hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

x



18

2 x 1

2 2

, xx 1

2

2

y



3  x mx

 

x m

1

b) Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại . Chứng minh: .

 có khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là

1 3

21. Tìm m để hàm số:

2

y



4  x mx

nhỏ nhất.

 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

1 4 mx

3 2 2



1

22. Tìm m để hàm số:

y



2

2 3   mx m 1 x  m



x

2

 x m 3



2

 

y



23. Tìm m để hàm số: có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục Ox

 

x

2

1

24. Tìm m để hàm số: có cực đại, cực tiểu đồng thời thoả mãn

y

y



2 CD

2 CT

2

3

2

2

.

2 m m

 1



 1





25. Tìm m để hàm số: đạt cực trị tại hai y  x  2 m  4 m  x  2   2012 m  x 

, xx







x





x 1

2

2

1 2

 1 x 1

 y mx

 có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên

sao cho . điểm có hoành độ 1

 :mC

1 x 2 1 x

1

26. Tìm m để hàm số 

2

3

2

y



mx



m



x



3

m



2

x

bằng . (A-2005).

 đạt cực trị tại

 . 1



 1





, x 1

x thoả 2

x 1

x 22

1 3

3

2

2

2011

y



x



m



x



m



4

m



3

x



m



2012

27. Tìm m để hàm số:



 1



1 3 

28. Tìm m để hàm số: đạt cực trị tại hai điểm



2





, x 1

x sao cho 2

2 3 x 1

 A x x 1 2

3

2

y



x



mx



4

mx



4

đạt giá trị lớn nhất.

2,x x sao cho biểu thức

 1 3

x 2 5 2 2





12

m

m

2 x 2

29. Tìm m để hàm số: đạt cực trị tại 1

A





mx 5 1 2





m

đạt giá trị nhỏ nhất.

2 x 1 4 x

m

y

2





5 mx 2  

12 m  2 1

mC :

3

2





3

x

x

2

 có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn

2

2

2





2

5

y

:

  . 1 0



A

với O là có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA BC

3

2

mx 3

m









3

6

y

x

x

:

 . 1





 C y : mx my m 4  3;5  nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số   mC

30. Tìm m để   x m gốc toạ độ, A là điểm thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. (B-2011). 31. Tìm m để    x mC 32. Tìm m để điểm

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

3

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

3

2

:

y



x



m



x



2

m



x

 có hai điểm cực trị có

1





 1



 1

mC

1 3

1 2

33. Tìm tất cả các giá trị m để 

4

2

x



m 3



x



2

m

y

:



 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác



 1



 1



mC

1 4

2

4

mx

 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại

2



x

:

y

hoành độ lớn hơn 1.

mC

34. Tìm m để đồ thị  có trọng tâm là gốc toạ độ O. 35. Tìm m để   2

  

3

2

tiếp đi qua điểm .



x



3

x m có hai điểm cực trị A, B sao cho  0  AOB 120

4

2

:

y



x





1

  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có

3 9 5 5  C y :  mC

  2 1

 2 m x m

4

2

2

:

y



x



2

mx



2

m

 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện

4



mC

.

  D ;   36. Tìm m để đồ thị  37. Tìm m để đồ thị  diện tích lớn nhất. 38.Tìm m để đồ thị  tích bằng 1.

3

2

2

2012

y



x



mx



m



3

 x m

. 2011





,x x đồng thời 1

2

C m





1 3

1 2

39. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại

,x x là độ dài của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 1

2

10 2

4

2

:

y



x



2

mx

2

 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa



mC

3

2

3

.

y



2

x



3

m



2

x



m



 x m 4

 đạt cực tiểu tại điểm

2





 6 5

 1

 1; 2



x  0

mx



2

y



40. Tìm m để đồ thị  độ làm trực tâm. 41. Tìm m để hàm số:

2 6  x  x 2



2x

x m

y



42. Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số: .

A



2;0

   x m



1



y

:

43. Cho hàm số: . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm .



mC tạo với hai trục tạo độ

C m



2  x mx x 1 một tam giác có diện tích bằng 8.

2

. Tìm m để tiệm cận xiên của  44. Cho họ đồ thị 

23 m





045 . (A-2008).

2

2 x m m

2 m m

mx   2 x  2 bằng 45. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số: y   x m 3









 1  x m Chứng minh rằng khoảng cách từ gốc toạ độ O đến hai tiệm cận xiên không lớn hơn 2 .



    mx   2 . m   0 y : 46. Cho họ đồ thị  C m

C để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

 C y :

x  5 3  2 x

 (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị

2

x

y

3 3

   x

3

2





3

x

x

. Tìm M thuộc  47. Cho 

 C y :

3



x



3

x

trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau.

2

y  các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị 

 C y :

48. Cho hàm số: C .  49. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị  50. Tìm trên đường thẳng .

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

4

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

4

2



x



x

 1.

51. Tìm trên trục tung các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị 

 C y :



 C y :

x 2  x 2



biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại M, 52. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 

3

2

:

y



mx



m



x



 4 3

N sao cho MN OM 2 với O là gốc toạ độ.





 1



 m x

mC

1 3

tồn tại đúng 53. Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị 

d y :

 

x

1 2

3  . 2



hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng

 C y :

x x

 

2 1

2

biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B 54. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 



y

mC . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến bất kì với

 3mx  x m



mC cắt hai tiệm cận lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64.



55. Cho hàm số: sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất. 

 : C y

x 

x

1

biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam 56. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị 

y



C

.





57. Cho hàm số: . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị. Viết phương trình

cos BAI

4

2

. giác có chu vi bằng 4 2 2  3 x  2  x 1 C biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho tiếp tuyến của d với   5 26  26

a . Tìm các giá trị thực của a biết

y



x



3

x



C

 A C







Ax

1 2

5 2

58. Cho hàm số: và điểm với



C tại A cắt đồ thị 

C tại hai điểm B, C phân biệt khác A sao cho AC 3AB

( B



 C y :

x   1  x 2 

các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A song song với tiếp tuyến của  nằm giữa A và C). 59. Tìm trên 

.



 C y :

3  x  x 2 2

3





x

 C y :

2011 0

 . 3

2

biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ Ox, Oy tại hai tiếp tuyến tại B và AB 2 2 60. Viết phương trình tiếp tuyến với 

 x m 3

m









2

2

y

x

x

:





2 y   mC

đi qua điểm điểm A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc toạ độ O. 61. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị   sao cho tiếp tuyến tại A và B có cùng hệ số x 3 x góc và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng 62. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của 

55 27

 A 1;  

  

4

2

:

y

 

x



2

mx



2

m

1

 vuông góc nhau.



mC

.

  luôn

x m



y

C . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y

, k

k lần lượt là tiếp tuyến với (C) tại A, B. Tìm m để tổng 2

64. Cho hàm số có đồ thị  63. Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố định của  1 1

k

  x  2 x cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi 1 k 1

2

đạt giá trị lớn nhất. ( A -2011)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

5

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

y



3 x mx m



1

x   cắt 1

  tại điểm có hoành độ 0

2

2

x



2

y



3

 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

4



65. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số

C :





đường tròn 

 C y :

  x  1 2  2 x

y

x

 x C

C tại

các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A song song với 66. Tìm trên 

1M ( có hoành độ

x  ) cắt  1 1

C tại và cứ như vậy tiếp

M M

2

1

2

tiếp tuyến tại B và độ dài AB lớn nhất.  67. Cho hàm số: 

;

3 2011  , tiếp theo tiếp tuyến của  C tại điểm

C ở điểm 3     . Giả sử n

M M  M x y



2M cắt   1 3



n

n

n

n

n

2012

1nM  cắt  .

. Hãy tìm n để . Tiếp tuyến của  C tại  M M

C tại  2

n

n

y



C

điểm tuyến của  y x 2011







C tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên

 M C đường thẳng

 x 1  x 2 1 mà tiếp tuyến tại M của   . 1

m 2

y



68. Cho hàm số: . Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm

 C y :

 1 x 2  1 x

hai điểm M và N sao cho tiếp tuyến tại hai điểm 69. Tìm trên hai nhánh của đồ thị 

y



này cắt hai đường tiệm cận tại bốn điểm lập thành một hình thang.

C . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tiếp

 1 x 2  1 x

70. Cho hàm số: (C) và điểm M bất kỳ thuộc 

tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.

4

x

a) Chứng minh: M là trung điểm AB. b) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.

y



C . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận.

2 3  x   x 2

  1

71. Cho hàm số: (C) và điểm M bất kỳ thuộc 

Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.



a) Chứng minh: M là trung điểm AB. b) Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là không đổi. c) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. d) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.

 C y :

2 x  x 1

, biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần 72. Tìm toạ độ điểm M thuộc 

1 4

y



lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng . (D-2007).

 x 2  x 2 3

2

2

3

:

x

x

y

3









m

m

x m m

m 3







2





 1

 1



mC



3

 2

mx

;

C







:

:



2

2

3

2

 m x x

 

m

m

m









4

3

2

4

x

 cắt trục hoành tại ba điểm phân

4 m x m   1

  m m

  1

2 

 1 2    mC y

  3 1 2    1

y 

3

2

mx

18

m









2

3

y

x

x

 8

73. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục



tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O. ( A-2009).  74. Tìm m để   tiếp xúc với Ox. 2 75. Tìm m để hai đồ thị sau đây tiếp xúc với nhau:  3 2 mx 3 C  y mx 1 76. Tìm m để  biệt có hoành độ lớn hơn 1.  77.Cho hàm số: 3

a) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

6

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

0x sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại đó song

2

x

 :P y

2

3

có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số với

mx

54

m









2

2

7

x

y

:

x



 1





4

2

m







2

y

x

:

x



2

m





 1

 . Tìm m để  1

mC

mC cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành

3

cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số b) Chứng minh rằng tồn tại điểm có hoành độ song nhau với mọi m. c) Chứng minh rằng trên Parabol  mọi m. mC

y



x



22 x

m x m





x ,

,

   1 x





78. Tìm m để  nhân. 79. Cho  một cấp số cộng. 80. Tìm m để đồ thị hàm số: cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có

2

x thoả mãn điều kiện: 3

2 x 1

2 2

2 x 3

 . (A-2010). 4 4

hoành độ 1 x

22 x

x

3





3

2

:

  có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết

x m

m

m









3

3

3

6

1

x

x



  y m







3

 m m







4

4

x

y

x

:

cắt đồ thị (C):

mC





3

2

 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt sao

 mx 3







2

4

9

x

 m m x  2  x m m

.

y  81. Tìm m để đường thẳng y m tại bốn điểm phân biệt M, N, P, Q ( sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ.   82. Cho   mC 1 phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó.  83. Tìm điểm cố định của  2     84. Tìm m để   m m C y : cho ba điểm này lập thành cấp số cộng.

3



y



2 3   x x    x 1 2

AB  . (A-2004).

1

y



tại hai điểm A, B sao cho 85. Tìm m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số:

2;5

 A 

C tại hai điểm B, C sao

3



x



3

x

 tại 3 điểm phân biệt M, N,

2

 C y :

NP 

2 2

và điểm 86. Cho hàm số: . Xác định đường thẳng d cắt 

x  1 2  1 x cho tam giác ABC đều. 87. Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt đồ thị  P sao cho

Mx  và 2

3

2

.

d y :

mx





4

6

1

y

x

 tại ba điểm

A

B C biết

,

x   cắt  1



0;1 ,

mC

4

x m

24





x

 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho diện tích

88. Tìm m để đường thẳng

 : , B C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. 89. Tìm m để đồ thị   mC y mC và trục hoành có phần trên bằng phần dưới. hình phẳng giới hạn bởi 



d y :

x m

1

    cắt 

 C y :

x x

 

3 2

AOB nhọn.

90. Tìm m để đường thẳng tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

d y :



2

 x m

y



C

0m  , 









mC cắt

m

H cố định. Đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt

. Chứng minh rằng với mọi tại 91. Cho hàm số

x m  2 mx  1 hai điểm phân biệt A, B thuộc một đường  tại M, N . Tìm m để S



OMN



.

 C y :

3.  S OAB  x   1  x 2

các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 4 và đường thẳng AB 92. Tìm trên 

x .

vuông góc với đường thẳng y

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

7

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

d y :

 x m 3



2



 C y :

x x

 

3 2

4 

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho cắt 

với O là gốc toạ độ.



 C y :

3 x  1 x  1

sao cho tam giác 93. Tìm m để đường thẳng   OA.OB 94. Tìm toạ độ hai điểm B, C thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị 

 A 2;1 .



ABC vuông cân tại

:d y

 

x m



 C y :

x  1 2  1 x

95. Tìm m để đường thẳng tại hai điểm phân biệt A, B sao cho cắt 

3

2

2

2

:

y

mx 3

m









3

x

 cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ



mC

  x m

 1

 1



3

2



y

x

:

3

x



 mx m 3

3

 và trục

4



mC

.

 AB 2 2 96. Tìm m để  dương. 97. Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị   hoành có phần nằm phía trên trục hoành bằng phần nằm dưới trục hoành.







A 1; 0 và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị 

 C y :

x x

 

2 1

3

:

x

2



 y

tại 98. Gọi d là đường thẳng đi qua

 cắt đường tròn



mC

2

2

y

x

1







C

 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.



 1

  :

3

x





C

4





:

23 x y  luôn cắt đồ thị   1

. mx 3

 C tại một điểm A cố định và tìm m để đường thẳng d cắt 

3

x m

26 x







9

x

 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và AM 2AN 99. Tìm m để đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu của     1 100. Cho hàm số   d y m x





x 2

x 3

x 1

  3

 . 4



x 3

x 1

2

3

2

2

3

 x m

m

m











1

3

3

y

x

x

:

 cắt trục hoành tại

 1





mC

 1



3

2

. Chứng minh

m

m

m















2

2

7

3

4

y

x

x

x

:





 .

 1 

 

53





3

x

2

 x x x 1 2 3

2 x 3

2 2

2





cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

 :m y mx m

2

 x m

m 3







2

x

x

thay đổi, đường thẳng

2 x 1 rằng khi m  2 m m

 1



tại một điểm A có hoành độ không đổi. Tìm m để luôn cắt m

mC tại hai điểm đó song song với nhau.

. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng C tại ba điểm phân biệt A, B, C đồng thời B, C cùng với gốc toạ độ O lập thành một tam giác có diện tích bằng 1.  101. Giả sử  mC y   1 x 0 rằng: 102. Chứng minh rằng với mọi m ,  duy nhất một điểm.  103. Tìm m để  mC x x x sao cho có hoành độ , , 3 1 104. Chứng minh    3   y mC 1 : mC tại một điểm nữa khác A mà tiếp tuyến của  còn cắt 

d mx : 2



2



   cắt  1 0 y m

 C y :

 x 1  x 2 1

2

105. Tìm m để đường thẳng tại hai điểm phân biệt A, B

2 P OA OB







C

y



 :m

4  mx m  x m

sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. 3 , hãy viết các đường thẳng đi qua chúng và có 106. Từ các điểm cố định của 

3

2

2

2

3

hệ số góc

  1

m

m

m











3

x

x

y

x

:



k  . Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng vừa lập và trục Ox.  1

 3 2

 1



có hai điểm phân biệt đối xứng nhau

3 2 107. Tìm m để  mC qua gốc toạ độ O.

2

x

1

:d y

  

x m

y



C tại hai điểm A, B phân biệt.

  x  x 1

108. Cho hàm số: (C). Giả sử cắt 

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

8

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

1;3 một đoạn là 10 .

3

2

x

x







3

x

 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.



 C y :

2

3

d y :

8 3 

mx

3

2

y

x

m





4

x



B C ,

A

4 x  và điểm 0; 4 ,



  có đồ thị là   . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho d cắt 

mC , đường thẳng mC tại ba điểm phân biệt

trục hoành và cắt đồ thị a) Tìm m để trung điểm M của đoạn AB cách điểm I b) Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB khi m thay đổi. thẳng d song song với trình đường

109. Lập phương 1 3 110. Cho hàm số: 1;3E  sao cho tam giác EBC có diện tích bằng 4 .

k

2





kx

d y :



 cắt  1

 C y :

C



y

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách 111. Tìm k để

C . Đường thẳng y

x cắt 

C tại hai điểm phân





x  1 2  1 x từ A và B đến trục hoành bằng nhau. (D-2011).  2 x 3  2 x

x m

,A B . Tìm m để đường thẳng y

,C D sao cho tam giác

  cắt 

C tại hai điểm phân biệt

3

2

112. Cho hàm số: có đồ thị 

: y



:

y



x



x

m



2

 x m

 tại ba điểm phân biệt

1

  cắt  x







mC

biệt ABCD là hình bình hành. 113. Tìm m để đường thẳng

C  tạo thành một tam giác nội tiếp đường

 

 1; 2

trong đó hai điểm có hoành độ dương cùng với điểm

I

3

2

tròn tâm

   . 1; 1 114. Tìm các điểm

,

   x

3

x

3

 sao cho ABCD là hình vuông tâm

A B C D trên  , ,

 C y :

I

   . 1; 1



 C y :



5

các điểm A, B để độ dài AB nhỏ nhất. 115. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị 



 C y :

 x 4 9 3 x  2 2   x x  x 1



các điểm A, B để độ dài AB nhỏ nhất. 116. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị 

 C y :

15

có toạ độ là số nguyên. 117. Tìm các điểm trên đồ thị 



 C y :

x  10 4 x 2 3  2 5   x x  3 x

có toạ độ là số nguyên. 118. Tìm các điểm trên đồ thị 

y



34 x



3

x

C :

119. a) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 

34 x



3

x m

  có 4 nghiệm phân biệt.

0

3

2

4

x



3

x



1



x

b) Tìm m để

3

2

c) Chứng minh rằng phương trình: có ba nghiệm.

y



2

x



9

x



12

x

 4

3

2

2

x



9

x



12

 x m

120. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

4

2

b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: .





4

2

x

y

x

(C)

2 2  

2 x x

(A-2006) 121. Cho hàm số: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. m b) Với giá trị nào của m, phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.

(B-2009).

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

9

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

4

2



x



3

x

 C y :

2

2

x

6

x

  5

m



4

m

5  2 2

1 4 4 

122. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 



b) Tìm m để phương trình để phương trình có 8 nghiệm phân biệt.

 C y :

x x

 

2 1

x



2

. 123. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 



m

x



1

x

5

y



có đúng hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình:

2 2   x  1 x

2

2

124. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

  5

m

m







2

5

2

x

x

  . 1





22 x



2



b) Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: x

 C y :

2

125. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 

 x  x

3 x 1  x 3  1

1 2

2



2 x  2 . b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình:  log m  0

 C y :

x  x

1

x

126. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 

  

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình với

 1 sin

x



c x os



tan

x



cot

x





m



1 2

  0; 2  1 c x os

x

1 sin

  

  

.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

10

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

4

4

Giải các phương trình sau:

sin

x



4



cot 2

x



4

 x

 x 5sin 2

cos x

1 2

x

2

tan

x



cos

x



cos

x



sin

x

x

 2 sin sin 3 x x 1) 2) tan x   1 cos

tan

x

tan

x



2sin

x



6 cos

x

 3





x 2

  

2

6

2

3) 4)

cos 2

x



cos

x

2 tan

x

1 8sin 2   1 tan tan    2

3cos 4

x



8cos

x



2cos

x

  3 0



 1

2

5) 6)

2



 3 cos

cos

x

cos

x



 1



x

  2 1 sin



sin

 x

3

x

2 2 cos



3cos

x



sin

x



0

2  x  2sin  4 x   2  7) 8)     1 2cos x

cot

x



tan

x



 x cos    4 

  

2

2

x

x



x cos 3 cos 6

x

x

9) 10)  1 2 cos 4 x x sin 2

4sin



3 cos 2

x

 

1 2cos

   0;

x 2

 3 4

  x 

  

1

2

tan



x



3tan

x



11) , 12) sin 4 sin 7



x



 1 cos

x

 1

x 2

 2

cos 2 cos

 x

  

  



2

2

3

3

3

14) 13) 1 sin

x sin cos 2

x



cos

x

tan

x

2sin

x

 0

x cos 3 cos

x



x sin 3 sin

x





   1

2 3 2 8

3

3

2

x





4sin

x

 

1 0

15) 16)

cos

x



sin

x



2sin

x

 1

 6

2

2

2

2

17) 2sin 2 18)

2sin

x



x



x

  21) 0

   3 4sin

   4sin

x



x



3sin 2

x



6 cos

x



0

 1 tan 2

 3 2cos

 1

cos 2

x

x

sin

x



cos

x

x cos 3 sin 2

x



x cos 4 sin

x



sin 3

x



 1 cos

x

 0

19) 20) 

   1 2 cos





3

3

3

3

x



cos

x



x



3sin

x

1 2 cos

22)

sin

x



cos

x



x



cos

x

 24)

1

 2 sin



 4 sin



23)



2 2 cos



x

x



x sin 2 cos 2

x



x sin 4 cos

x

1 cos

1 sin

  x 4 

  

2

tan



x





2

25) 26) 2sin cos 2

tan

x



cot

x



4 cos 2

x

sin x  1 cos

x

x  3  2 

x   

2sin

x





x





27) 28)

 3

 6

1 2

  

  

 sin 2  

  

4

4

2

x   sin x   29) 30)  4  4 2 2  sin 2           

x



cos

x



cos 4

x



sin 2

x

 0

3sin

x



cos 2

x



sin 2

x



x 4sin cos

 4 sin



x 2

2

31) 32)

sin 2

x



sin

x





2 cot 2

x



x

2

x



1

cos

x

tan x 33)  sin 34) x 2 tan  x tan  1 2 2  4   x 



1 sin 2   





tan

x



cot

x

35) 36) 2 2 sin 2 cos x  2 3 sin cos x x   x  3 cos x     1 3 sin

sin





cos





2 cos

x 2

x 3 2

6

37) 38)

 x 5 4 2  1 tan

   x

   1 sin 2



x

    

1 tan

x

sin 2 x x cos 4 cos

x



1 2sin x    12  cos 2 x x sin x cos 2



2sin

x

 0

39) 40)

   

 4 



8

8

2

sin

x



cos

x



2 cos 2

x

sin

x



2 sin 2

x



2 sin 3

x



2 sin 4

x

 2

17 16

41) 42)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

11

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2

3

2

2

2

2

2

3

sin

x



cos

x



2cos 2

x

cos

sin

x



2 cos

x



tan

x

tan

x



1







 4

  

  

  

  

2

cos

x

 4 cos

x

2

2

4

4

 10 8sin

x



8sin

x

43) 44) 3

  1 1





cos

x

cos

x



 1 cos

x

cos

 1 cos

x

2

2

45) 46)

sin

x



4cos

x



3 sin

x



4 cos

x

  48)

0

sinx

cos cos 2 cos8

x

x

x



sin12

x

1 4

x  7 4

2

2

4

47)

sin

x



sin

x





cos

x



3 cos

x



 50) 4

5



cos 2

x



cos 2

x



1



17 4

1 2

49) 39 4

3

x



sin

x

sin

x



x cos sin 2

x



3 cos 3

x



1 2  2 cos 4



6

6

x



cos 2

x

sin

  1 sin



x





x

sin

x sin cos

x

 2 cos

  x 4 

x  x  52) 51)  1 cos x sin 1 2  2 cos      (B-2009)

   

cos

x



0

1 2

 2 2sin



x

2

53) (A-2010) 54)



3

x



x 2 sin

x



2 cos

x

  2 0

sin x  1 cos

 x

x



cos

x





x



2 tan 2

x





1

55) 56)

 cos 1

 x .cos 1

x  2 sin sin

x



cos

x

 1 tan sin 2  x cos 2  x  sin 2  

sin

x



sin 2

x



cos 2

x



x

x sin 3 x cos 3   3   2  x 2sin 3 cos 2

x

x





sin

x

 (D-2009) 60)

0

 

57) 58)   2 x  1 2

59) 3 cos5

  3 cos (D-2004)

2

3

3

2

2

`

cos



cos

x

sin

x



3 cos

x



x sin cos

x



3 sin

x

cos

x

x 4 3

8

8

sin

x



cos

x



2 cos 2

x

61) (B-2008) 62)



3

x

17 16

  cos  1 2sin x x     1 2sin x 1 sin

4

4

cos



x



2

63) (A-2009) 64)

cos

x



sin

x



cos

x



0

x





2

 x 2

 4

3   2

 4

   

 sin 3  

  

2

2

cot

x



tan

x



4sin 2

x



0

65) ( D-2005) 66)

 ( B-2003) 68)

x cos 3 cos 2

x



cos

x

 (A-2005)

0

   2 sin 2 x 4

0

x

4 cos 2

3cos





x

0;14

x 

x



cos

x



x



sin

x

x   ,

67)

 2

 3 cot



 5 tan





69) cos 3 70)

 ( D-2002)

x

sin 3

x

7



cos

x

 

4 cos 2

x

x

1 cot 2



x



   0;

 1 cos 2 2 sin 2 x

  

   sin 3

 x 2sin 2  x sin

cos 3 x  1 x

71) , 72)



sin 2

x



x x cos 2 ,



0; 2



x



cos

x



sin

x



cos

x

 . 2





1 cos 2



x

sin 2

x



2 cos

x



sin

x



1

x

x



x sin cos

x



cos 2

x



sin

x



cos

x

73) 74) sin



0

tan

x

3

75) sin 2 cos (B-2011) 76)

 (D-2011)

2

3

3



 2 sin



4

4

sin

x



cos

x

sin 4

x



2 cos 2

x



2 3 3 3

  sin 5

x

x  cos x 1 sin 2  x 77)   1 tan x 78) x sin 3 x 



x



2 cos3

x



cos 2

x



2sin 2

x



2sin

x

  1 0

 1 tan x sin



x

 4  2 2 tan x  4

  sin 5  

   

. 80) 79) sin 3

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

12

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 3 : PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

2

2

  

8 5

x



x

2 6 

x

  

8 2

5

x

5

x



10

x

   1

x



2

x

Giải các phương trình và các bất phương trình sau:

 7

x

  1

x

x

  1

x

  2

x

3

x



10

8

7 x 2 3 

x

1) 2 2) 3)

  x

 3



2

x



16

2

  4 

2 x 

7



x

x

  

1

3

x

4) 5) 3 6)

 4



x

  3



3

x



3

x 3

x

x



2

x

  1

x



2

x

  1

7) 8) ( A-2004)

x

 

8 2

x

  7

x

  1

x

  4

7

 2

2

2

  1





3

3

1

x

x

x

x

 13)

  x

  12)

 

1 1

32 3

x

x

2 3 6 5



x

  8 0





9) 10)

2

4

x



3

3

3

2

3

x

 

1 2 2

x

x



3

x



3

x



3 3 3

x

11) 3 2 (A-2009)

 1

  1 3

 2

  x x

1

2

2

4

x

  1

4

x

1 1

3 2

  x

6 2

  x

4 4



x



 10 3

x



2



14) 15) 16)

  19)

2

1 x

2



x

18) 17)

2

3

2

2

x



2

x

  5

2

x



4

x



10

 

x



2

x

 1

x

  2

4

  x

x



x



11

2

2

4

2

x



5

x

 

2 2 2

x



5

x

x

  2

  2

3

3

x



2

x



2

(B-2011) 2 20) 21)

  6 1

6 



2

2

3

3

3

22) 23) 

2



x



7



x



7



x

2



x

 3















2

2

2

2 3  3 2 

x

x  

26



x

x

26



x



11

3

x

  2

x

  1

4

x

9 2 3

x



5

x

24) 25)  x  2  2 x  x  6

 2

5

2

2

26) 27)

5

x





2

x



 4



x

x



2

x

  1

x



2

x

 29)

1

 2 1



  1 x 2

2

x

2

2

2

x



3

x

   5

2

x



7

x

28)

2

x

  1

x



3

x

  (D-2006)

1 0



3

2

2

3

x

 

31

x

   2 1

x



3

x



4



x



4

x



x



2

31) 30) 

 2

 2

 x x





 3 2

2



23 x

4 2

1



x

2

32) 33)

x



2 7

  x

2

x

  

1

x



8

x

  35)

7 1

 36)

2

 3

   x x

 1 4 x

x

4

x

  1

3

x

  2

x



3

34)



1





2

 5

1



x

2

  x

 x 

 1

2

2

x

  

1 1 4

x



3

x

37) ( A-2010) 38)

4

x





2

x





 3 2

x



 1



2

3

3

  x

1

x

x

x

2

40) 39)

 10 1   x

 3

2

2

2

x



4

x

  3

2

x



3

x

1

1

42) 1 41) 3

   x

  1  x x

   1

  2  x x

x 

2

3

2

4

3

2

4

4

4

x

  x

12

x

 

1 36

x

43)  2  2 x 44)

  46)

x



x







x



1

  x

x



x



x

x

 1

 1



 1







2

2

2

45)

2

x



1 2



4

x



4

x



4



3

x

2



9

x



3

 0

 1 2

x



 1 2

x

  2

x

47) 48) 







 

9

4

2

2

2

2

2

x



12

x



22



3

x



18

x



36

 

2

x



12

x



13

7

x



x



x



0









 x 28

49) 50) .

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

3

3

3

3

2

13

35

35







x

x

x

x



30

x

  3

x



1 1

 4







2

3

x

x

51) 52) 



WWW.MATHVN.COM 



2

2

2

2

x



3

x

  2

2

x



3

x

1

   1 x

  2

  1

x x



2

x

x

x



2

x

  0

3

53) 54)

WWW.MATHVN.COM   1



2

2

x



x

  1

x



x

1

  2

x

  1

2

x



16



2

x

  4

2

x

 9

2

4

2

2

1



1



x x



24

55) 4 56) 2

 x

x



2

x

  

1

x

x

 1



x



1

x x

2 2

2

2

2



x x

  x

32



5

x

  4

x



2

57) 58) 59)  

1



x



x

4 3

20 x

5

4

2   3 

  

x x  1

1

3

3

3

5



x



5



x



x

60) 61) 62)





3

2

2

x



x



x

x



x



x

1

1

3





2

x



63) 64)



 1

2

2

x



x



1

x



x



1

2



x

2



x

x



3

x



3

65)   66) 3 x 1   x 1   x 1 1 1 1





2





x

2



2



x

2



2



x



x

3





3

3

3

  1

x



34



x

34



x

x

 

x 

4

 18 5

x



 64 5

x

67) 68)

 4



30

3

3

x    x

x

x  1  1

34

7

4

3

5

5

5 x x



3

3 x x

x



69) 70) 4

 8

  0

5

2

6 x

x

7

7

3

16

x

x

2

2

5

7

7





2

71) 72) 5

5

x



2





6









3

5

5 x

 

x 3

x 5

 

3 x

 2

 2 x

x 2

x 

x

2

5

x



2







x



2

x

1

x





x





73) 74) 7 75)



1

  x

2

 77) 1 4

x

1 2 x

2  x

1 2 x x

x

2

2

2

2

x



8

x



15



x



2

x



15



4

x



18

x



18

78) 76) 4





1

  x

1

  x

x

x

x 2

2

2

4

79) 80)

x

x



3

x

  2

x



4

x

  3

2



5

x

 4

  x

2

  1

x

2

2

2

81) 4 82)

x

x

  2

x



2

x



2

15 2 4 

x



4

x

  6

2

x



5

x

  

3

3

x



9

x

 5





x

3

2

29 x



16



2 2

x

 

4 4 2

2

x



4

x



x

83) 84)

  86)

 x



 1

 2

2

2

3

30

x



4

x



2004

30060

x

85)











   1 1

15 2

2

3

2

3

2

2

5

x



  9

  x

20



5

x

3 7

x

  1

x

  

8

x

x



8

x

1

87) 2 x  3 x  2  3 x  8 88)

 1

  2

x 14 3

x 2

89) 90)

x



3 3

x



3

x



3

 0

2

3

2

3

3

3

x

  x

2012



3

x



6

x



2013



5

x



2014



2013



x



2

x



3

91)

 x x

 1





3  4 x

3

2

2

x



8

x



816



x



10

x



267



2003

x



  1



91) 3 92)

2

x 2

2

1  x

1

35 12



1



x

2

3

2

2

2

1



x



4

x



3

x

93) 94) 95)

x

2



x



19

7

x



8

x





17

x

  7

3 3

x 

1 

3

2

2

2

x



36 6

x

6 6

96) 97)

   0

x

3

3

x

  2

x

x

  2

3 2



x



2

x

 99)

2

x      1

 

13    1

13 x 

98)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

14

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

3

3

2

2

3

2

3

2

4

x

  6

x



7

x



12

x

  6

x

2

x



x



10

x

  2

7

x



23

x



12

 `101)

2

4

4

2

2

2012

x



x

2012



x

x

3

2

100)

2



  6

x



2012

3 2

  x 3  2 3 x

 x 2011

x

4

 1

1

2

2

2

5

x



4

x



x



3

x



18



5

x

102) 103)

24

x



60

x



36







0

x



1

5

x



7 2

9

104) 105)

3

2

3

2

2

3

3

x



2

x

  

2

3

x



x



2

x

  1

2

x



2

x

 2

2

2

x

  x

2

x



x

2

2

x   1 106) 107)  2 x  1 x 9 3

x

  1

x

  1

2

  x

x



2





x



1

2

2

1

 

x

1

x

4

5

3

2

3

2

3

2 2 .sin

x

x



x

cos

x



2

x

   1

x



x

x

108) 109)

  111) 1

x



x





x



x

2   x  1

  3 

x    2 1



2

3

2

2

2

2

3

8

x



13

x

  7

1



3

x



2

110)

7

x



13

x

 

8 2

x

x

x



3

x

  1 3



1 x

  

2

2

112) 113)

2

    

3      114) . 10 3  3 x x x   x 3 x 2 x x   x x x 2  3 x x 2  x   x  x 2 4 x x   x x x x  2  4  x   x x x x  3

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

15

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LÔGARIT

2

2

 x x

2

2

2

2

2

x



x



4

x



x



4

x



2

x

4



2



12 0

Giải các phương trình và các bất phương trình sau:



9



2



3

1 3

  

  

x

x

3

x

x

2



6.2





1) 2)

 1





2 2

 ( B-2007)

0

  2 1



  2 1

1  1 x 8

12 x 2



x

x

x

x

 x 6 6  1 x

 10 3



 10 3

2020



2011

2020



2011

3







x

x

x

x

x

x



x



4

x

  4 1

4) 3)



 4.12



 18



2.27

0

 

 8.3

9



9

  0

2

x



x



2

2

2

2



3

x



2

x



6

x



5

x

x



x

x



x

x

2

3 2

 (A-2006) 7 2

6)  8) 5)  7) 3.8

2

3

3

2

2

x

2

x



x



2

4

x

sin

x





4.2 81

 

2 c 81

  (D-2006) 4 0 x os  30

9) 10)   2 16  x  1   x 4  2 4

 12)

2

2

2 

x



x

2

2

2



x

  1 x

x



2

x



2

x



4

x



3

2



2



3

2



2 3

 

x



2

x

 4

  5 1

2 

x x

  1

2

x

x

x

x



2

x

4

 1 x 2





2 0

y

4   x 14) 4 2 11) 13)  (D-2010)  x   5 1

3

 2 2

  1 sin 2

     1

1 3

  

x

    

12

1

x

3

x 1

x

 1

x

 1

x

x

 1

15) 16)

8

 

1 2 2

 1

2 5.3



7.3



 1 6.3



9

 0



0

2

x

x

x

x

2



c x os

17) 18) 19)

22)

  x x 2 20) 2012

2 1  x  2011

 1

x



3



2

x

 1

x

 1

x

x

 1

3



x

3



x

3



x

21) 3 .2

 1  8 2



4



 1 2

 5

x

x

x

6

x

4

x

x

24) 15.2 2 1 2







3

 1

 1 2



2



4 3

 2 2



tan

x

tan

x

2

x

x

 1

x

2 2

 0





3

26) 1   



2

3



2





2

x

 1

x

x

x



2

x

x



2

  4    2 7 4 3  

26 15 3  

3.25

  

3

x

   0 x

3



 10 .5

23) 25)  27)  29) 4 4 8.4 

x 28) 30) 

  

   1

x

2

2

2

2

sin

x

c

os

x

x



x

x

 1

x

 1

2



4.2

 x 12



2



x



 6

6



3



 0



 1

2

x



x

2

2012

2011

x

 1

x

 1

x

x

x



x

31) 32) 33)

x

x





2012

c

os



x

x

4



3



 1 4



 1 3



2



2



2

x



2

2    34) . 35)

2  

2012 



x

x

2

x

x

6



7



555

x



543

x



12



13

 1

x

3 2   1  ...    

x

x

2

3



2



3

x

x



3

x



4



2

x

x



3





2

2

4

x

 1

x

 1

x





x

1

x



e 8





8

3 x  5 x 6 5   x 36)  0 37) 1 3

 40)



0

 2 2 1

 2 x x e



x





3

x



x

 1

 1

1 2012

   1 2  

  

2

 1

x

2

3

2

x 2

 1 2 2

2

x

x

 1

x

x

x

 x x

38) 39) 

 x 23

4

x



x

3



3



2 x 2 3



2

x

 6

2

2

2

2

x

os

x

x

x



x

x



x

2

x

x 2

41) 42) 43) 2  2  .4  18  2 x 2 x

sin 8



c 8



10



c

os2

y

2



4.2



2

  4 0

2

2

2

2

 x x

 1

2

 x x

 1

2

 x x

 1

x

x

x

25



9



34.15

xx 5 .

8



100

44) 45) 46)  1 8  3



2



3

x

 2

x

 1

2

2

48) 49) 47) 3

x

 1

x

x

x

x 2011



x 2011



2010



2012

2

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2cos

x

2cos

x

c 2 os

x

2sin

x

2sin

x

2sin

x

sin

x

os

x

21



4



25



25



21



4

6.2  8 50) 2   4 2 2 2   51) 9.2  16

2011



c 2011



2013



c

os2

y

53) 54)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

16

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2

4



x



2

x 2

34 3

4 2

x

x

 1

x

x

 1

x

x



x

64



8.343

 

8 12.4 .7

2

4 x  55) 56) 2012  2012  120 4 2 x x   x

c x os

3

3

log

x



log

x

c x os 3



2



c

os

x

2

2

4  3

1 2

x

x   2 57)  (D-2008) 59) 0 58) log 3 x x

x

x

x



4

  x



12

 3

 log 2 2



 log 2 2



 log 3 4

 1 log

1 4

2

2

1 3 60) 61)   16 3  4

log

x 

x



4

x



2

 

x



4

x



2

3

log 3x

3



 1 log 3



2

2

2

2 log



4



3 log

x



2



log

x



2

x



62) 63) (Dự bị B-2004)

 4

 log 64 log 16 3

2









3

3

3

2

x



 log 3 9 

x

2

log

x

log

x

2

2

1 2

3 2

64) 65)

log

log



0

0,7

6

x x

 x   4 

  

2

x

x

x

2

x

  1 1

 1 x 2

66) ( Dự bị A-2004) 67) (B-2008) 2. x  2

4



2.2



x

 

3 4



4

log

x

1 3

2

3

 3 log



    1

1 2

log

x

log

x

2

2

2 6

6

6

x



12

x

2 log

x

  1

x



log

x

  1

69) 68) 

 6

2012



2011

2012



2011







3

2

4

2

70) 71)

log

4



lg

x





lg

x





25



  1



 1



log 2 x

x



2

log



log



3  x

 1

 1

2

3

2

2

2



x



7

x



1



 14 2

x







12

72) 73) 74)

log



c

os2

x



log

2

 1



2 sin

x

sin

x

 24 2 log x





2 x

2  x   

  

x

1

2

2

2

log

x



5

x





log

x

log

6



x

  x



x

  x

30

76) 75) 

 3

9

3



2

 log 9 3

 11

 log 9 2



3

 2

77) 78)

x log (cos )



x

)

log)2x(



log)1x(4)1x(





)1x(



16



0

3

2 3

2

x

ln5

x

x

2

log

4(



)6



)2



2

2 x 1 2 2 log (cot 3 log

2(



79) 80)

ln 5



50



x

log

1(



)x



log

x

2

3

5

5

3

x

log

log

2

log

(

).

log

x



log

(

)





log

x

2

2

81) 82) 83)

3

3

2

2

 x7

 x7

 xsin2x2sin3 cos .x2sin

x

3 x

3

  

  

3

84) 85)

log2

x



log3

1(



x



)x

log

(sin



)xsin



log

(sin



cos

)x



0

2

3

3

1 2 x 2

x 2

1 3

log

3(



 x21



2 )x



86) 87)

 3x

1 2

(

x

 1)2

log

(

 1)

89) 88) log2{3 + log6[4 + log2 (2 + log3x)]} = 2

log

[log

9(

x

)]72



1

x

x

3

log 2 x

x 3   x

2 2

2

3

log

 )3x(



log

 )3x(

1 3

1 2



0

90) 91) 92)

log

3(

x

)

2 x-3x

 1x

2

3

2

2

4

2

4

2

94) 3.2 2lnx + 4.6lnx – 4.3 2lnx = 0 95) 96)

log

x

  x



log

x

  x



log

x



x





log

x



x

 1

4

2



 1

 1



 1



2

1 3

1 2

log

2012

log

2011

2011

2012

2

2

log

x 

log

1

97)

1



x



x



1



x



x



2

x

 0

2 9

2 3







x  4

2

x



1

x

2

2

2

98) 99) 

4

 1 x 2



log

x

x

  x 1

log

x

  x

1



log

x



4



log



   1

2

2





2





2

1 2

x



4

2

x



2

x

x



2

2



34 log

x



 34 15.2





x



2

x

100) 101)

log

x



log

x



3



1





2 2

2

2

 4 2

 1 log

1 4

  

  

102) 103)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

17

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau:

2

2

2

2

x y



y x



30

x



y

4

y

x

x



y



7

4

4

 2

  

y

2

x



y



xy 2 x y



21

 x x

     y y 1

   1

x x



y y



35

   

   

2

2

2

3

3

2

x



y



3

2 x y



xy

x

y

xy



3

y

x



y



12









1) 2) 3)

2

2

3

3

x

  1

y

  1

4

y x



y



12

     

x



y



6

   x   

        

4) 5) 6)

2

2

2

2

2

2

2

(A-2006)

x

y

4

y

x



xy



y



x





2

2

2

2



y

4

  xy x

   x     1 1

x



xy



y



7

 x



y

19 

y 

   

 

 

   

   x    

x

  

y



4

2

2



y



9



x



y

2 x y

xy

1 x

1 y



 x x

y x  y  3 7) 8) 9)  x y x  y  15

2

x



y



xy

  1

xy

2

2

x



4

 2 2   y

x

6

  1

2 1 2   

 x    

   

x



y







4

1 2 x

1 2 y

     

x



y

1





5



3

3

1 xy

1 7

x

y



19

x

  

  

10) 11) 12)

   2

2

3 x y 2

2

xy 2 x y



xy

 

1 13

y

y



xy

 

6

x

2

2

  

  1   

x



y

1





49

2



1 2 x y

  

  

        

2

y

2

y



2



4

1



  4

 x x

   1

13) 14) 15) (B-2009)

2

2 x y 2

y 2

x

2

xy

  4

x

3

2

3

   

x



3 x y



2 x y

 1 1  y y  

xy

     1 4

y

    

 2 x  2 y

 3     3 

2

2

3

3

x

  

y

x



2

xy



3

y



0

x



y



1

1 x

1 y

16) 17) 18) (B-2003)

5

5

2

2

x x



y y

 

2

x



y



x



y

3

   

   

2

y



x



1

2

2

2

2

19) (A-2003) 20) 21)



 6 2



3

3

 5 4



x



y



2 x  y  x  y  x  y  0

1 2

3

2 x y



2

xy



y



2

   

          

x

  1

7

  y

4

x

  5

y

  2

7

x

22) 23) 2 x   y  3 1  x 2 y

  y 2012

2 2012

2011

2011

x



y



x



y

y

  1

7

  x

5

x

  2

y

  5

7

  

   

   

2

2

x

  5

y

  2

7

1

x

x



y



1

24) 25) 26)

  y 6 6

7

7

x



y



1

x



y



1

x

  2

y

  5

7

  

   

2

2

2

27) 28) 29)

x

4



y



1



2

x





0

2 x y 2

y 3

2

2

x



4

x



y

 

3 0

   

y

4



x



1

    

 2 6 y   x  2 y x y 30) 31) 32)

        

2

4

2

xy

  

y

x

x



22 y

x



2

3 x y



2 x y



2

x



9

x  x  2 y   x 3 y  2

2

x



2

xy



6

x



6

x

2

y



y x

  1

2

x



2

y

   

   

33) (D-2008) 34) (B-2008)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

18

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2

2

2

2

x

  y

3 x y



xy



xy

 

x

    

1

x

y

x

    

1

x

y

y

18

y

5 4

2

2

4

2

x

    

1

y

x

x

    

1

x

y

y

2

y

x



y



xy

x

 

   

  1 2



    

5 4

2

2

1



y



y

1



x



1

x

2012







1

y

 

1 1

x y

y x

7 xy

35) (A-2008) 36)

2

2

2012

y



x

 

1 1

1



y



y

1



x



x

  x   

x xy



y xy



78

1 2

    

    

2

3 0

y

 x x

3



x



2

x

  

3

5

y



3

37) 38) 39)

2

x





y

 

1 0

2

3



y



2

y

  

3

5

x



3

   

     1 5 2 x

     

3

4

2

3

x

  1

y

  8

x

x

  y

x



y

x



3 x y



2 x y



1

40) 41) (D-2009)

4

2

3 x y



x



xy

 

1

x

  y

x

  y

2

x





y

   

 1

    

42) (B-2002) 43) 44)

2012

2

2012

3

5

2

x

 2 3



8







3



2

y



16

xy 2

x 2

3

x



y



2

x



4

y



33

2012

2

2012



2



6

  

 x y

y 

   

2

5

          

2

2



y

4

y



9

x





3

2 xy x   x  y x  33 45) 46) 47)  2 x 2 xy y   y  x x  2 x  33

4

2

2

y



x



3

y



48

y



48

x



155 0



x



y

  x

2



y

y  4 2



 

   1 y x  1

   

2

2

x



y





1



x

y

  1

y

  3

y



5

2 xy  y x

48) 49)

44





2

x  x x

x    1

  2  y y

  4  1

   

x

  

y

y

x

 x         

2

2

2

2

y



x



8

x



2

2

x



y

y

8

x



1

50) 51)

2

2



8





3



13

y

 x



4

x



y



16



5

x



 16 0

 x x

3 

  y y

 

 

  8

   

2

3

3

3

1



y



1

3 3 x y



 27 18

y

y

  1

x



3

52) 53)

2

3

2

2

4

2 x y



6

x



y

x



y



82

1



x



3

     8   

   

  x     y 

2

2

x



y



2

  y

4

3



6

x

54) 55) 56)

x 3

2

2



x

2

y



6

y

 

2



xy 2 x y



5

x

x

  3

y

  3

4

3   x   

  y   1 

   

57) 58) 59)

x

  y

x

  y

2

x

  1

y

 

1 3

2

2

2

2

y x

  1

x y

 

1 3

x



y



x



y



4

2

   

   

3 x y   2  2 2 x 3 x y 60) 61) 62)

 y x

2

2

2

4

x



x



y



3

 5 2

y



0

x



91



y

  2

y





 1

4 y   1 3  x 2  2  1     

2

2

2

2

y



91



x

  2

x

x



y



2 3 4



x



7

    4 

   

63) 64) (A-2010)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

19

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

4

2

 12 2

x

  y

4

2

2

x

 

y



2

y

 

1 5

   

4

2

2

4

4

2 y   2 x 1 4 x   x y         65) 66) 2 y   1 y 1 4 x x   y        





2009

2013

2013

2009





2

2

2

2

2

y





y



x



x



y

2  2  2  x 1



 1

x

y



4

xy



6

 1

 1

x  1





y  1

 x  5   y  3 5 xy  2 x  y  1 1 2 x 67) 68) x y  x  y 2 2011 x   2 y  3 3      1 x   

 2

2

x

 

8 7

x



3

y

   

x

y





2

2

2

2



x



y

1



x

1



y

1  1

 1



69) 70)

2

2

2

x

  y

x



4

y

 

1

2

           1      2         

2



2

x

  y

3

x

x  x x

  y    1

y  y y

  x    1

   

2

2

xy





y

2

x

y

x

y

2





2

71) 72)

y x 14

 2

 2

3

3

2

2

x

y

x

y

 

 1  1





9

 2

 2

  

  

  

             





9

    x

y

y

  

x

1 y

1 x

13 16

1 13 x 16

x



0,

y



0

x  2 x  22  y  y  73) 74) y  2 y  22  x  x     





2

2



1



1





18

x



y



3

3

3

97 36

1 x

1 y

1 3 x

1 y

    

  

  

   

   

   

1   x        

3

3

2

  y

x



3 x y



9

y



2

xy



y

4

xy



3







1 3 y

75) 76)

2

2

2

4

2 x y



2

xy



y



3

 16   

4

y

2

x

  y

4

 

36





1   3 x     x 

5

2

2

x



y



4

xy





13

2





13

x



4

y



2 2

x

  y

5

x



y





77) 78)

2

x

  

y

x

2

y



2

   

2

x





1

1 

x

y

 8      

4

4





2

y



x

4

3





79) 80)

4

3

2

2

2

2

 

   1    1



3

x



y

x



3

y







1 y 2 1 y 2

1   x   1    x

2

2

x  8 y  4 x 16 3 81) 82) y  8 x  4 y 16 3    

2

2





2

x



y

xy

 1 2

   1

1  1  x  x 1 2 1   y

2

2

x



y



xy



7

x



6



 14 0

7 2 y

    

83) 84)  2   1  1 x 1  1 y 1  xy      

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

20

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

4

3

3

2

4

3

x

  1

2

x

  1

y

y

x





26

x

 30 2013

y 4 2012

xy 2012

2011

 2013

3



y



30

x



4

y



26

xy

x

y



3

y

  1

2

y

  1

x

  3 x   

2

4

3

x

  y

1

x



2

y

   

x

3 3

86) 85)

4

3

3

2

5

x

 

4 2 7

x



1



2

y



19

4

3







y



2

x

   

y

3 3

 y  3 

  

 3    

1 4 1 4

4

2

2

4

2

3

x



y



  2





4

2

2

4

x y

x y

y x

x   y

y x

y x

87) 88) 

  

2

x



y



812

2 x y



2012

2

6

   

   8 x

y



 

6 0

2

2

6

3

2

1



x

y



1



y



1

x



y



x



29 y



30



28

y





89) 90)

2

x

  

3

x

y

   

3

x

x



2

xy

  1

4

xy



3

x



1

             x     x    

2

2

4

3

2

2

x





y



x



x





y



12

x

 

6

6





2 y

2 x

91)  92)

2

4

2

2

y

x



x





x 11

  5

3

3

 

 x y  1

3

   5 

4

x



y



2

xy



0





2

2

2

2

7

x



xy

  1

2

xy



1

3

  

1

x

x



2

xy



y

93) 94)

2

2

2

y

xy 2 x y



3

  

1

y

y



2

xy



x

y

 1 3

x



2

x

         

2

2

2

4

3

4 x y



2

2 x y

  3

x

x



y

1

  x

1

2

  1 2



95) 96)

2

4

3

2

2

4

2

2

x



y



9

y



y



9



  y  x y



1



x



y

 

x

x

 

1 2

x



2

xy





   





2

2

y



2 4

x

  y

1

2

x



2

  x

y

 

1 34 2



xy



x

97) 98)

2

 46 16



y



6

y



4 4

x

  

8 4

y

y

2

y



2

  x

y

 

1 34

 

xy



2

y

 y x



   

2

2

2

3

2

y



y



3

x



4

y

 

3

2 x y



y



x

2







99) 100)

3 2

3

x

  y

0

2



3 x y 2 x y

2

x

 

2 5 2

  y

12

x

2

3 2



5

y



4

y



x



log



1

y

log





4

x

x

 1

1 y

101) 102)



y

2

2

1 4 

x

y



25

4 2

2  x 

2

3   x   3        1    x            

2

2

  y

1

x



x

x

102) (A-2004) 103) (D-2002)

  y x  x y

y  1

3

2



2

  x

y



log

y



3

x

3

   

2 2

            1    3log 9  9



4

y

 

3 0

x y

y x

4



32

(B-2005) 105) 104)

log

x



log

y



0

4

2

log

x



y

 

x



y

  x   







3

3

    

2

2

x



2

2

y

 1

cos

x



cos

y



9

2

y



x



2



e

 

x x

107) 106)

2

 x y



2



2

1 log    y

x



2

29

x



x

  y

1

 3     3 

1    1  2 

109) 108)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

21

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

x

y

4

4

 y x

2

y

y



7 4 3



3



3

x



 16 6

4

2

y

x y

2

y

x

4

x



y

x

  5

yx



5

y

 y

   



7 4 3



3



3

    8 

 

 2. 2  2. 2

 

        

log

y

log

x

8

8

 y  1 112) 110) 111) x   6  0 .3  x 

2

log 3 5

x



y



4

3

y



x



x

y



x

log log x

x

log log y

y

log 2 3

2

2

log 2 5

2

log 5 3

log



1

lg

x



lg

y



8

4

  

5

x



y



y

 

x y

113) 114) 115)

    

x



2

log

y



log

x

xy



2

y

x



14

y



12

y



1





2

2

      

3

3

y



2

 

y

x





14

x



12

x



1

y

x

x



log

y



3



x

xy



2



y

2

2







116) 117)

2

x

2

2

2

y

  y



81

y

16  2

y



3  12 .3

119)

 3   3   118)   

 x y

x y

  x y

2

  1 .5

2

y

 1

 

x



2

x

  2

2012



1

  1 3

2

x

 1

2

y



y



2

y

  2

2012



1

  x   

2

2

x

4

y



log

xy



log

y

y

x

120) 121)  3 x y y    1 2 y 1 x

x

y

y

x



2



x



2

y



1

5 



  log 3 5

 log 3 3

2



2



3

         x     1 4      9   

123) 122)

2

2

2012

log

x



y

 

1 log

xy

2

2





2

2

3

x

 

xy y

2

2



81

   3 

y

log

x

  y

3log

x

  y

2

e

  y

x

2

8



log   x 2 y 2 y x    124) 125) (A-2009) .    3 x y  x  y  xy

2

2

2

2

x

  1

y

 

1 10

          x   e   

x



y

  1

x

y



3

 

    

5

y



4

x

y

x 5 3

2

y





2

x

2



x



2

x

6





2log  1

x

2



y



   1

126) 127)

x y ,



0





3

y



5



log

x



4



1



xy 

  y 

log 

x



log  1

x



2

y

   

 1 y

 x    

2

2

log

x



y



x

 

1 log

x



3

y







x

 1

y



2

y



3

x

4

 log 2 4

4





3 2



2



3.2

128) 129)

2

2

3

x



xy

  1

x



1

log

xy

y



2

y



2

x



4



log



1

   1



4

4

 log 4 4



   

x y

  

  

    

x

x

3





x



3

y



2





 log 2 3

log

x

  

3 1 log

y



2

x

  3

y

2

2

3

131) 130)

2

3

y

x

x

x



 21 9

y



2

y

  3

x

2

log

y

  

3 1 log

x

y     1

2

3

   

   

  

x

y

x y

  1

 2log 2 7  ln 4 x

  3

2

2

y

2



2

2

133) 134) 132)

  1 2 x  y 2

x

 1

2

 x y

2

 x y



2



1

2

log

2



2



y





2

3

 4 2

 1 log 2 2 9

   

  3 



3

   

2012

8

2

3 x

2

2

log

x



log

y



0

x



 1 log 2



log

y

log

y

3

9

2

2

   1

1 4

136) 135)

3

1 2012 3

2

y



2

2 x y





x

 

 y y

 3   

x



y



2

y



0

    

138) 137)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

22

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2

2

2

x

y







e

2

y x

x y

 

1 1

x y ,



0





6

4

x

 

1 3

y



2

x



2

y



6



2 log

x

  y

2



1









3

2





 x y e    10 

2

y

y

 1

2

x

x 6 .4



    3log  x 4



3.4

 x y

 x y

x

x



e



2

x



e

2

 

2 3

y



3

 1

 1

139) 140)

y

y

 x y

  

2

y

0

3

 

2 3

x



2

  

x

y

e

 1

   3 

   

x



3





    

x



2

y

x

3

x



2

y

2

2

2

141) 142) 143)

lg



lg

y



lg

xy

2

2

lg

x



y



x lg lg

y



0

x 



   





2

2

x 2

y

 5.6   0 144) 145) x   y y  2 y  x 2 y  x 4.2 

2

2



xy

2





2

3   2

2

3

2



2

x

2





4

x

 

1 0

y  y  9 x  y x  xy  y  2  6 ln 147) 146) x  x  9



3  3         

2

3

2

x

2

x  2 x   1 y



 1

2 x y 

x

x

2

x



log

x

log 3 3

3

    1

2

3

x

  y

 2012

2 x y     1  y

   

x  2 x y x  2 149) 148)  4 x   1 ln  2 x  0 y y 

log

 1 sin

x



y

 log 3cos



2

3

log

1 3cos



y



x

6

4

 log 3sin



2

3

   





2

2

2

2

x

log

x



y



4

x



4

x

  2

x



y

 

1 3

x



y



4

x



2

xy



1

   1









 log 2 3

3

 sin sin x y , x y   ; 151) 150)  5 4       x   1 3 y  2

2

2

x



4

x



2



x



  x

y

log

y



x



 1



2

 log 2 3  log log x

y

x

4 x  log log y

1 1    

151)

x y

x y

x y

x y

x y

x y

2

2



  1 6



  1 3



  1 6



  1 3



  1 9

x



lg

y



8

lg

     1 9 

x

x

x

3

x 2 2011





2014



log





2013

log

3

2

153) 152)

x

x

x

3

2 2012





2013



log





2014

log

3

2

 3 12 2012  x 3 12 2011

 

 1 2 x           x y e    10               

2

2

2

2

2

y



8

y

2

x

 16

2

x

 1

x



x

x

 1

x



x

 

1 8



3

y

y



8

y



17



4

2



9.2



4



0

154)

2

2

2

2

3



0

4

x



3

x

 

8 ln

x



3

x



2

x

  

5

x



4

x



3

  4 



 y x

   

2

2



3

x



4

x

156) 155

2

x

 1

2

y

 1

x

y



x



2



2

xy 2

2

3    1  x

2 x

2  1     2 y

2



x



y



1

  

   y   x y   1 

  3  3 2 2  4  2 3 158) 159) 157)

2

  5 12

2

x

y

 x y

y

y

 x  1

2



 1 2



2

2

2

x

2

y

 x y

y

y

2 2



2



2

           x      

2012

x y

  1

2

y

 1

x

log

x

log

4

  1 



3

3

2012 3

4



3.4



2

2 1 2 161) 160)  2  0   2  log 2 3  

x

2

x



3

y

 

2 log 3

x

2012





3

x



2



0

4

  

   1  1

   1 

     log    

163) . 62)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

23

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 6: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

2

x

  2

4

  

x

x



6

x

  8

m 2012

4

x





m

1) Tìm m để phương trình: có nghiệm thực.

 x x

   1



 1

3

x

  1

m x

x

1

x  1 4 2

x   1

2) Tìm m để phương trình: có nghiệm thực.

 có nghiệm thực. (A-2007)

3) Tìm m để phương trình:

log

x



x

 

1 2

m

  có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

1 0

log

2 3

2 3

3

4) Tìm m để phương trình:

1;3 

 

4

4

. (A-2002)

x



cos



cos 4

x



2sin 2

 x m

0

x

 có ít nhất một nghiệm

 2 sin



5) Tìm m để phương trình:

.

  2 

  

m x

2 2 

x

2

2

x

thuộc đoạn 0;

   có nghiệm thực.

2  x mx

  2

2

x

1

6) Tìm m để phương trình :

 có hai nghiệm thực phân biệt. (B-2006)

2

4

x



2

x

  4

x

  1

m

7) Tìm m để phương trình:

2

4

x

  1

 x m

8) Tìm m để phương trình: có đúng một nghiệm thực.

9) Tìm m để phương trình: có nghiệm thực.

x

 

x

x



6

x

   4 5

m

2

2

 1

x

x

 1

10) Tìm m để phương trình: có đúng hai nghiệm thực.

 1 9





m



2

m

  có nghiệm thực.

1 0

m



11) Tìm m để phương trình:

3 2   cos 2 cos x 

 có nghiệm thực duy nhất.

5

2



x

  x

2

2sin x sin x   log 25 5  x m

12) Tìm m để phương trình: có nghiệm thực.

4     1 2 3 1  x 3 x   m x log  x .2012 .2011

2

m



2 1



x



1



2 x m

 có nghiệm thực.

 có nghiệm thực. 0



13) Tìm m để phương trình: 14) Tìm m để phương trình:  15) Tìm m để phương trình: 



2

x



2

x



4 2. 6

  x

2 6

 

x m

2

2

4

2

2

16) Tìm m để phương trình: 4 có đúng hai nghiệm phân biệt. (A-2008)

m

1



x



1



x



2



4 2 1



x



1



x



1



x

17) Tìm m để phương trình có nghiệm thực.





x



2

3



 log 4 2

x



2



m 2 .

x



2

(B-2004).

; 4







5 2

  

  

3

3

có hai nghiệm thực phân biệt trên . 18) Tìm m để phương trình: 

cos

x



sin

 x m

  ; 4 4

  

  

2

2

2

2

2

  2



4

 mx m

1

 có nghiệm thực.

6

19) Tìm m để phương trình: có nghiệm thực trên .

x 3 có nghiệm thực.

1    x

4 6 cos

 4 x  x m

mx m  x sin 2

2



3 tan

 x m

tan

x



cot

x

1 0

20) Tìm m để phương trình: 21) Tìm m để phương trình:

  có nghiệm.





x sin 3 2 sin

x

2

cos 2

 x m

cos

x

 1 tan

x

22) Tìm m để phương trình:

  3 

  

23) Tìm m để phương trình: . có nghiệm trên 0;

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

24

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2 2 

x

x



2 m m

 

1

1 3

  

  

24) Tìm m để phương trình: có bốn nghiệm phân biệt.

x

2 2 

x

  8



2

 m x



2

25) Chứng minh rằng với mọi m > 0 phương trình: có hai nghiệm thực

2 3 m x

2 m x

2

2

2



m









phân biệt. (B-2007). 26) Tìm x để phương trình: log  5  6  x  log 3  x  nghiệm đúng với 1

ln

mx



2ln

x

 có nghiệm thực duy nhất.







 1

2

mọi m. 27) Tìm m để phương trình:

mx



2cos

x

 có hai nghịêm thực phân biệt trên đoạn 0;

2

  2 

  

x

2

28) Tìm m để phương trình:

  y 4 4

x

y





m

2

2

y

x

8

y

29) Tìm m để hệ: có nghiệm thực.



y

m

 x  1

    1

2

log

x



log

y



0

3

3

1 2

30) Tìm m để hệ: có nghiệm thực.

3

2

x



 y my



0

2



2

x

31) Tìm m để hệ: có nghiệm thực.

2





y

2 x y



4

2 x y  m x x

2

  y  y m



0

 

32) Tìm m để hệ: có ba nghiệm thực phân biệt.



x

xy



1



x

y



1

33) Tìm m để hệ: có nghiệm thực duy nhất.

x x



y y

 

1 3

m

         xy x                 

x

34) Tìm m để hệ có nghiệm thực. (D-2004)

;x y là nghiệm của hệ:





2

y



  A x y

2

  y m 2 2

2

x



y

  6

m

x

   2  x m

2



x

  y

. Tìm GTLN, GTNN của . 35) Cho 

2

2

x



y



1

   

y



256

36) Tìm m để hệ: có nghiệm thực.

8

8 8  y m



2



2

2

2

   x   x  2 0

2



m

 

m





2

 m y m

37) Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm:

2

2

   1   9 0





y

    x 

 ,x y và 1

1

2

2

38) Cho hệ phương trình: .

P









y











,x y 2

2

x 2

y 1

x 1

2

 m x x 2 Chứng minh rằng hệ phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt  

2

x

  y

. Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

0m  , hệ:

2

y

  x

m y m x

    

39) Chứng minh rằng với mọi có nghiệm thực duy nhất.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

25

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

y

e





x





y

 ln 1



 ln 1



0m  , hệ:

x m

 

x   e   

mx

m



1

x

40) Chứng minh rằng với mọi có nghiệm duy nhất.

y (D-2006) 41) Tìm m để bất phương trình:   3

m x

2 2 

x

   2 1

0



2

x

x

 nghiệm đúng trên 0;1

 có nghiệm. 





2

3



x

 3 2

x



m



2

x



3

x

1

42) Tìm m để bất phương trình: .  3    

 đúng với mọi

x





 

3 2

   

 ;3  

2

2

2

2

x



x

2

x



x

2

x



x

9



m





m



0

43) Tìm m để bất phương trình: .

 nghiệm đúng với mọi

 2 2

 1 .6



 1 .4

1 x  . 2

2

44) Tìm m để bất phương trình:

 2 log

x



 2 1 log

x



 2 1 log



0

m 

m

1

m 

m

1

m 

1

m

1 2

1 2

1 2

  

  

  

  

  

  

45) Tìm m để bất phương trình:

2

nghiệm đúng với mọi x .

 7 2 s inx   s inx              46) Tìm m để bất phương trình: vô nghiệm.  2

2

x

 

4 0

x

5



3 s inx   s inx    m 12 1 s inx 2 1 s inx 1 s inx 1 s inx            

 16 0



2

x

2

x



4

x



 2011 2012



0



3

4

x

x





47) Tìm m để hệ: có nghiệm thực.

2

3



15

m



0

2 x mx x    x x m

3



x

x

5



 1

5



x

 1

7



7



2012

x



2012

48) Tìm m để hệ: có nghiệm thực.

2

x





x

2



2

m



log

x

x

2 log 2

m 

    1

  

3 0    1

5

5

5

49) Tìm m để hệ: có nghiệm thực.

2

log

x



2

x





m

log

 2 5

5

2

2



log 

x



2

x



5

3

1



3

 x m



0

50) Tìm m để hệ: có hai nghiệm thực phân biệt.

3

2

log

x



log

x





1



 1

2

2

1 3

x

x 2

4

5

51) Tìm m để hệ: có nghiệm thực.

4

 m x



log

x



 



2

2



 1

   3      x            x   1  2   x 3      1 log 

  

y



5

x

1 y

1 x

52) Tìm m để hệ: có nghiệm thực.

3

3



y





15

m



10

1 3 x

1 3 y

      x 

2

2

53) Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm thực. ( D-2007).

10

x



8

x

  4



x

 có hai nghiệm thực phân biệt.

1

 m x 2

 1

54) Tìm m để phương trình:

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

26

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 7: KHẢO SÁT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

5

  có đúng một nghiệm thực (D-2004).

x

1 0

x  xx .2

0;1

1) Chứng minh rằng phương trình: 2) Chứng minh rằng phương trình:

x



1 2

2 2  x  có nghiệm thực duy nhất trong khoảng  1  ;1  

  

x

3

5

3) Chứng minh rằng phương trình: có nghiệm thực duy nhất trên .

1 0

 x xx



x

4) Chứng minh rằng phương trình:

  có 5 nghiệm phân biệt. có nghiệm thực dương duy nhất.

5) Chứng minh rằng phương trình:

1

xe 21   x 10    1  2 x x   có đúng ba nghiệm thực phân biệt. 4 4

 x 9 1 x   1

x

e



2012



y 2

y



1

6) Chứng minh rằng phương trình:

y

e



2012



x 2

x



1

      

x y  . ,

0

7) Chứng minh rằng hệ: có đúng hai nghiệm thực phân biệt thỏa điều kiện:

3

2

n

2

x

x

x





2012



x

x  2 1 n

2004

2011

3

2

x



1

  1





2

x

x

x



3

x



3

x

  có nghiệm

2 0



8) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n thì phương trình:

  ...  9) Chứng minh rằng phương trình: 

*

có nghiệm thực duy nhất.   1 thực duy nhất.

 luôn có nghiệm thực



  ...



0,

n





2

n

1 x

1 

x

1

1 

2

x

1 

n

x

10) Chứng minh rằng phương trình:

0;1 .

duy nhất thuộc khoảng 

x



sin

x

5 3 ;  2 2 

  

n  , phương trình:

  ...

tan

tan

tan







x

x

x





0

có đúng một nghiệm thực trên đoạn . 11) Chứng minh rằng phương trình: lg

 2

2  2n

  

  

  

  

  4 

  

4

có nghiệm thực duy nhất trong khoảng 0; .



y

2012 2

3

2

xy





2  y

   3 x y 2 x y

2

12) Chứng minh rằng với mỗi n nguyên,     13) Chứng minh rằng hệ: có nghiệm thực duy nhất.

;x y thoả 0

   . y

1

x



x tan

 y

x 

 2 2      cos  y 

5

4

3

2

x



x



5

x



x



4

x

1 0

14) Chứng minh rằng hệ: có nghiệm thực duy nhất 

  có đúng 5 nghiệm thực. Gọi

1 1 2

,

,

,

,

3

4

5

2











S

15) Chứng minh phương trình:

x 5 

x 1 



2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x x x x x là 5 nghiệm thực của phương trình trên. Hãy tính tổng sau đây: 1  1 4  x 5

 1 4  x 3

 1 4  x 2

 1 4  x 4

x 4 5  x 4

x 2 5  x 2

 1 4 x 1

5 x 5

5 x 3

5 x 1

.

x 3 

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

27

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 8: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG

ln 3

0

1

3

x e dx

2

x

3

* Tính các tích phân sau:

I



dx

I



 x e



3







x

x 2 

x

1



1

0

0

e





 1

2 3

2

 2

 4

6

3

5

I



1



c

os

x

x .sin cos

xdx

I



dx

1) 2) 3) I   x  1 dx

I



dx 2





1 2sin   1 sin 2

x x

0

0

x x



4

5

ln 5

2

 4

2

I



dx

4) 5) (A-2003) 6) (B-2003)

x

I





x dx

2 x e dx x





x c os2

x

 0 1

ln 2

0

ln 5

1

2

2

7) (D-2003) 8) 9) I  e

I

3 x x e dx

2 x e dx x



 

ln 2

1

0

e

2

3

x



x

2

1 10) I  10) 1) I ln xdx  1 e x    x e  1

dx



 x dx





1 3ln ln x

2

1

7

 1 1  2

 2

x

I



dx

I



dx

12) (A-2004) 13) (B-2004) 14) (D-2004) I  dx I  ln x  x x   1

I



dx







1

sin 2  sin x x  1 3cos x

2  x 3  x 1

0

0

0

sin 2 cos x  x c os  3

 2

 2

sin

x

2

c x os

15) (A-2005) 16) (B-2005) 17)

I



e



c

os

I

sin

x

tan

xdx

I

e

sin 2

xdx



 x c xdx os

 

 



0

0

0

e

2

4

 4

1

x

sin

x

2

I



tan

x



e

c

os

18) (D-2005) 19) 20)

I



dx

 x dx







x   2  4

x

0

1

0

6

1

 2

x

21) 22) 23) I x ln xdx  

I



x



2

2 x e dx

I



dx





sin 2 2

2





cos

x



4sin

x

 2 2

0

0

2

ln 5

 2

I



x



xdx

dx 24) 25) 26) (D-2006) I  x   1 4 x  1

I





 1 sin 2



 2 ln

x

x







dx e 2.

e





3

0

1

ln 3

3

10

e

5

3

x

2

x

27) 28) I  x  xdx 29) (B-2006)

dx

I



I



I



dx

 2







dx 2

x



x



1

 3 2 ln x  1 2 ln

x

x

x



1

5

0

1

5

2

2012

4

 2

31) 32) 30)

I



dx

x

  

2

x

2

dx

I



dx





2012

2012

x 5







sin x



x cos

sin

x

x



1

 3

0

0

ln 2

ln 2

2

x

 2

2

e

34) 35) 33)

I

5 x x e dx

I



dx

3

x



 



0

0

0

e



2





3

3

 2

 2

I



dx

I



dx

cos 2 x 37) 38) 36) I  dx sin x  cos x  3

2





cos x

x 

7 5sin



cos

x

sin x  1 cos

x

0

0



1

3

2 

e

2

 2

2

39) 40) 41) I  3 x     1 x dx 3 3 x

I

x

sin

xdx

I



2

x



xdx

I



dx



 1 cos



 



ln ln

x  x

1

x

1

0

0

42) 43) 44)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

28

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

sin

dx

ln 2

 6

4

 4

I

dx

I



I



2

x

x

 





dx  e

e

x tan x cos 2

sin 2

x





cos

x



0

0

2

1

4

   x  4     2 1 sin x 2

45) (A-2008) 46) (B-2008) 47)

I



dx

I



dx





0    x x 1 2  x 4

x 2

 x

1 

1

1



1

0

0

1

1

3

x

2

2

x

I



48) (D-2008) 49) 50) I dx   ln x 3 x

I



x

  x

e dx

I



xe



dx



 1 x

3

2







xdx  x 2

2

0

0

4



x

  

  



3

3

1 2  2

3

2

51) 52) 53)

I



dx

I



cos

x



xdx



 1 cos









x

1

1

0

 3 ln 

x 2  1

3

1

e

x

2

x

2 x e

x

ln

x

54) (A-2009) 55) (B-2009) 56) (D-2009) I  dx 1x  e

I



dx

I



I



dx

4

2







  2 e x  1 2 e

x

x

x

 2 ln

x

0

1

1



2



2

e

e

2

2



x

57) (A-2010) 58) (B-2010) 59)

dx

I

 





3

dx   1  4 4 x

1

1

1

1

2

 4

1 2

x

sin

x



x



x

x

60) I  2 x  ln xdx ( D-2010) 61) I  dx 62)  x ln 2  x x ln x 3 x      

I



dx

I



dx

dx

I



2





1 2  x   5 x

6

x

 x

 1 cos cos

x



x

sin

0

0



x

  0 1

22 

4

 2

 3

x

1

dx

I

I

dx

63) 64) (A-2011) 65)

I



dx

 

 



cos x x 3 x sin

 x cos

sin 2 x

1  4 x   1 2 x 2

0

0

 4

4

3

x

1 2

3

2

66) (B-2011) 67) (D-2011) 68)

I



x



2

x



x



dx

I



I



cos

x

ln

dx

e 2 x







1 x 4

1 1

 

x x

 x xe

0

1



1 2

ln5

 4

2

I



.

I



tan

x



tan

I



69) 70) 71)

  x x e dx





x

x





x



x

1

 

ln 2



e

e



1

dx  1



dx  1

 10

 3 4

0  1  2

4

1

 3



x

72) 73) 74)

I



dx

I



2

4

2



cos

x

x

x



3



2

 11



dx  0 1 sin   x

 ln 9  

  ln



 ln 9

2

e

2

 4

dx 75) I  76) 77)   x x  x  3 x  1

log

x

3 2

I



I



dx

dx 2012







2

3



x

 1 3ln

x

1

1

 x x

 1

 6

3ln 2

e

2

 2

ln

x



ln

dx

2

c x 78) 79) 80) I  dx sin x sin  4 os   x    

I



dx

I



sin

x

sin

x



dx

I



3

2







1 2

3

x

ln

x

  x

1



x  1

0

e



2

 6

81) 82) 83)





1

e

x

 2

I





x



x

dx

I



x e dx .

I



dx

 2 ln 1







 1 sin  1 cos

x x

1 1

 

x x

 1  ln

x

0

0

1

xe  x x e



   

   

84) 85) 86)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

29

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2

e

2

ln 2

3

x

2

x

2

I



dx

I

2 x 3





 

e 

 2 x e

e 

 x e

1 

e

1

dx x ln ln

x

ex

1

0

e

2

x

 4

 2

87) 88) 89) I   3 x ln x ln x  1 ln x     x dx  

dx

I



2

x



dx

e

I



2

3







e  1 tan

x

0

0

0

  x  

  

x

  1

x





 1

4 7

1

 2

2

x  90) 91) 92) I  dx sin x  cos x 7 sin  x 5cos 3 

I



x



sin

I



 sin 2012

 x dx

3 x dx 3 4









x





1



1

0

1

 2

 0 1  2

94) I  ln x  x  1 dx 95) 93)

I



dx

I



x 2

2

2012

x sin  1 cos

x



x



0

 0 1

dx  1

 1





 2



  x  1  3

2

2

I





3 tan

dx 96) 97) 98) I   tan x

I



ln sin

x



 1 sin

x dx

I



dx

 ln 1

 x dx











sin 2012

x 1x 

0

0



1

ln 3

 2 3

99) 100) 101)

x

 2

x

dx

I



I



e





e

dx

2



 1 1







xx e 3  x 3

0

0





 2

2

3

 3

 6

4

sin x  102) 103) 104) I  dx sin 3 x  3sin x  3 3 cos   x    

I



dx



dx

I



tan

x



xdx



 1 tan 2





x 

x

x x

 

tan tan

x x

x tan x tan

x    x

  

 1 4

0

   

   

 6

1

 2

 2

x 2 ln

1

  x

1



x

cos 2

x



cos

x



2



I



dx

I



dx

105) 106) 107)

I



dx

2





 1

  x

1



x

0

0

cos

x



cos

x

 1 cos

2

2

1

4

x tan

 x

I



dx

108) 109) 120)

I



8

2





xe x sin  1 sin 2 x 0  3 x 4  3 x



2



dx 

x

1



x

1

1

 0 1



 x x



x

2

e

1

121) I  dx 122) 123) cos x

3

2

I



1

  x

dx

I



 x x m dx





1 x

  

  

1

0

1 2

2

2 4 



y

x

x

y 

 1 cos 1 x 124) 125) (D-2007) 126) I x ln xdx , m   .  

 ; 3

x  (A-2002) 2)

3

y

x

2

y

e

x

; (B-2002) y  1)  4 * Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 2 x 4

x 4 2 x 2

y

 1

y



x

  ;

3

x



x

y

e



1

   1



2

2

y



; (A-2007) 4) 3)

x  ; 0

3y

  x

y 

y

x

y 

2x

x 27

; ; 6) ; 5)

x

y   ;

2 0

y  0

y   ;

2 0

y  0

x

 27 x y

; 8) y 7) x

x

y 

0

3y 

y



x

x

 ; 3

9) 10)

x ; 2 4 

y

2 2 

y

  ;

0

x

y

2

x

y

x

y

x

2 1

   ; 2

 ;

 5

y



x

2 4 

x

2

y



sin

x



11) 12)

 x 

x

2 3 y

 0

y

 

4



x

2

2

2

y



y



y



13) ; 14) ; y

y 

x

y 4

y

x

2

4

2 x

8 x

2

2

A

2; 2

15) ; 16) ; ; ; .

x

y 3

y

17) ; 18)

8  x x 3

y



x

2 2 

x

 và tiếp tuyến của nó qua

x 4 2



  .

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

30

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2



x

x



2

y  ; 0

y  . 0

y



y

 ; 1



y

 ; 1



1

x 4

x 4

3 2

4

 1 2 x 2

x

19) 20)

y  ; 0

x  ; 0

x  22) 2

x  ; 2

x   2

y



y 

 ; 2



2 3   x  1 x

25 x 2

2

2

y

y  



12

y 





4

x

y

21) ;

 ; 2

 ; 9

x

e

1y  ;

y   1

x

y

2 2  ;

x 2

x 2 x 2

23) ; 24)

x 3 2  ( 0

x y ,

 ) 8

2

2

2

3

y



x

x

x



x



y



2



x

y

x



3

  1 cot

2

 3

 4

2

25) ; ; 26) ;

1x 

1y 

y  ; 0

y



y

  1

2

x



x

xxe  x

21





1

0

y



y



27) ; 28) ;

x  ; x 

1x  .

y  ; 0

y  ; 0

x  1 sin

x

2 x x e

29) ; 30) ;

y

S





2

x



2 x y ;



 0

2

2

* Tính thể tích: 1) Hình tròn xoay tạo bởi khi quay quanh Ox , quay quanh Oy .

S



y



x

;

y



;

y



27 x

2

2

2) Hình tròn xoay tạo bởi khi quay quanh Ox , quay quanh Oy .



S

  4

x

;

y





   quay quanh Ox .

x 27  2

2

2

3) Hình tròn xoay tạo bởi khi



S

x



2



y





4) Hình tròn xoay tạo bởi khi



S

y



x xe y ;



0;

5) Hình tròn xoay tạo bởi khi



S

y



sin ;

x y



0;

0;

x

6) Hình tròn xoay tạo bởi khi quay quanh Oy .  1  quay quanh Ox , quay quanh Oy .



S

x

ln ;

x y



0;

1;





x

x

7) Hình tròn xoay tạo bởi khi

x ; dây cung AB} quanh Oy , biết

y  2y

A

.

     y      8) Hình tròn xoay tạo bởi khi S  {

x  1  quay quanh Ox . x   x   quay quanh Ox . e    1;1 , 4; 2



S



y



;

y



0;

x



1;

x



2

x

3

x



x





3 1

1  1 2

x

9) Hình tròn xoay tạo bởi khi quay quanh Oy .

S



y



y



0;

x



0;

x



 4

x

sin

x



c x os



2 ;

         

2

10) Hình tròn xoay tạo bởi khi quay quanh Oy .

S



y



;

y



0

3

x x 3

 x   4 1

x

  

c



7

11) Hình tròn xoay tạo bởi khi quay quanh Oy .

S



y



;

x



0;

x



 os2 x os2 c

2sin x  x 7

   

2

ln

x

 

1 1





S



y



;

y



0;

x



0;

x



3

12) Hình tròn xoay tạo bởi khi quay quanh Oy .

2

x



1

    

10

10

13) Hình tròn xoay tạo bởi khi quay quanh Oy .

S



y



sin

x



c os

x x ;



0;

x



 2

  

2

S



y



; y



x ;



e

14) Hình tròn xoay tạo bởi khi quay quanh Ox .

1 2 ln

x

x

1 ln

x

x

                          

  

15) Hình tròn xoay tạo bởi khi quay quanh Oy .

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

31

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 9: SỐ PHỨC

1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

z



 i  

 1







i

3   1 5 i

 i  1



2

2012

2011

a) b) z i  2 i  3

z





i

z

     i

1

i

...

i



 1



    1



 1

1 2011

1 i 2012

i

  

   2012

c) d)

z





1011 i

e) f) z   a i a  a i a

 1  1  2. Cho số phức z

i   i    x

iy

x y ,

  . Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:





2



w



z



2

z



i 4

z iz

 

i 1

a) b) w

z

  

i 5 12

z

  

i 1 4 3

z

 

i 4 6 5

i

3. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

4   3

5 2

a) b) c) d)

z

 

 40 42 i

z

i

z



 11 4 3 i

1   4

2 2

e) f) g) . h) 33 56i 

2

2

z



4. Giải các phương trình sau trên  :

z

z

 0

z



2

z

 

i 2 4

z

z  0

2 1

 

i i

2

2

2

3

4

3

2

2

z



i

z



z

z



z



z

b) c) d) a)

   1 0



1 3   i i  2  1









z 2

2

2

2

2

6

4

z  z  4 z  z   12 0 g) e) 

z

39 z

  8 0

z

22 iz

  3 0

3

2

z z 3 6    2 3   6 z  3 z  0 j) k)

 z m)

z







i 8

 ( biết phương trình có 1 nghiệm thuần ảo)

0

 i z

 i z

8

4

  f)  0 i   z z    2 1

i)  2z l)

z

z



z

z

2

2

2

z



2012



i



4

z



2012

   s) 8 0

i

o) p)

    z i 5 4 2 z 

2012 0

 t)

  4 25

 16 0 

 4 1 z z . 

3z n) r) 



 25 5

17 2 

z  2   6 z  0 

5. Giải các hệ phương trình sau trên  :

3 2



z

  4

i



z



i 3



z





8

4

2 z



 

i 5 2

2 z



  

i 3 2



z z 1 2 1

 

2 z

z 1 2 z 1

2 2

z 1 2 z 1

2 2

z 1 2 z 1

2 2

2 z 1

2

  

  

  

*

z  0 a) b) c) d) z  1

z

  thỏa phương trình:

i

n

,n

log

n



3



3   z  1     log

n

9

 . 3







 

4

4

2

6. Tìm phần thực của số phức

,a b   để phương trình:

  làm nghiệm.

1

i

z

  nhận 0

   1 z



 az b

0

n

7. Tìm

z

 3     1

2

2

2

là số thuần thực. 8. Với số nguyên dương n nào thì số phức

 a bi

 c di





2 n 

 i   i 3  

5

9. Chứng minh rằng nếu thì   . b d a c 

n z  và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. 10. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:

i

0

2  z mz

  có tổng các bình phương của hai nghiệm bằng 4i . 11 0

 . Tính giá trị của biểu thức sau:

z 4

22 z



2,z z là các nghiệm phức của phương trình:

2

2



z 1

11. Tìm m để phương trình: 12. Cho 1

P



2 2012



z



z 

z 1

2

..

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

32

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

k

k

 1

k



2

k



3

z



z



z



z



z

 . 0

 1  1 

i

z



13. Cho . Chứng minh

12z là một số thực.

1

i i 3 

 i

z



.

14. Cho . Chứng minh

1



 i m   m m i 2



15. Xét số phức

1 z z  . 2

z

a) Tìm m để

1 i  4

b) Tìm m để

2

c) Tìm số phức z có môđun lớn nhất.

,z z là hai số phức phân biệt. Chứng minh

z

2

z 1

2

 

z z

z 1 z 1

2

1

i

z

 

z

khi và chỉ khi là số ảo. 16. Cho 1

 2

17. Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0 và . Chứng

, z

2

khác 0 thỏa



z

z z 1 2

2 2

2 z 1 ,

,

A B C D cùng nằm trên một

,

,

,

. Chứng minh tam giác OMN là tam giác đều.

  3 ; 1 3 ; 3

 , 

 . Chứng minh rằng bốn điểm     3 4 3 i i i

minh tam giác OAB vuông cân. 18. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức 1 z mãn đẳng thức A B C D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 19. Cho   i 3 ; 2 đường tròn.

 i 2z  z i

1

z

z

z

z

i

và là một số ảo. 20. Tìm số phức z thỏa mãn hai đk: z   i 1 2    i 3 4 z

   i

   i 2

    1 2

21. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: b) 2 z c) 2 a) d) 1



3

z



i 4

  z

i 4



10

   2 z  



1

là số thực. e) f)   2 z z i g) 

z



3

z



2



i

3

z

z

    z

z

i

i 2





z   

i i i

j) . i) h) 2

1z  .

i bằng một acgumen của

2 2

z z z  3

k) có một acgumen bằng l) một acgumen của z

a

c  . 0

 z  z ,a b c là ba số thực sao cho cos cos ,

22. Giả sử

z





i

tan



i

tan

b

a

i

c



tan

 1 tan

os bc  1 a

  1     a b c c

tan

a



tan

b



c



tan tan tan

b

a) Hãy tìm phần ảo của số phức .

 k , k

z

 

i 2 2

    . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z .

1

b) Chứng minh rằng:

3

z



2

z



23. Cho số phức z thỏa mãn

 . Chứng minh rằng:

 . 2

1 3 z

1 z

z   1

24. Cho số phức z thỏa

2 1 1 z   .

hoặc 25. Chứng minh rằng với mỗi số phức z có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra: 1 2



1

z z ,

,

,

2

z 3

z là các nghiệm phức của phương trình: 4

P





z





z

. 26. Cho 1

2 z 1

2 2

2 z 3



 1

 1

 1

41  z     z 2 i    4  . 1 4

Hãy tính giá trị của biểu thức

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

33

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM





3

z  và 1

z z

3

4

z

z

2 7 24   i

. 27. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

z z i  . Tìm các số phức z sao cho

2

,z z là hai nghiệm của phương trình:

2012

z



z 2011



2010 0

 .

đạt 28. Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện:

2

2

2

giá trị nhỏ nhất. 29. Gọi 1

1P

 





z

z z 1 2

z 1

2

z



10

3

z 3



2010

Hãy tính: .

z 1

2

z 1

2



3

4

và .

2,z z thỏa mãn điều kiện: 30. Cho các số phức 1 Hãy tính  z P

z 1

2

1

z  .Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

P

  

1

z

3 1

 . z

2

6

31. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:

2

z



2



i

2



 2

z

2

z  và một acgumen của

2z  bằng một acgumen của

2z  cộng

32. Xét số phức z thỏa mãn điều kiện: . Tìm số phức có acgumen dương

và nhỏ nhất. 33. Tìm số phức z sao cho

2

z

z 2



10 0

 . Tính giá trị của biểu thức:

. với

 2 34. Gọi 1

2,z z là hai nghiệm của phương trình

2

2



 A z 1

2

(A-2009)

z



2



i

10



z z  .

25

z 



z



 3 4 i

2

 . (D-2009)

35. Tìm số phức z thỏa mãn: và . (B-2009)





2

36. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện:



2



i



i 2



  1



i 3



. (A-2010, chương trình Chuẩn)

 1



z

1



i

37. Tìm phần ảo của số phức z biết z 3 . (A-2010, Chương trình nâng cao) 38. Cho số phức z thỏa . Tìm z iz

  i

z



 i z

39. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa: (B-2010)

 1 2z là số thuần ảo. (D-2010)

z 

2

2

và 40. Tìm số phức z thỏa

2z



z

 (A-2011).

z

5



3

z



1 0

41. Tìm số phức z thỏa

  (B-2011, Chương trình Chuẩn).

i z

3

1

3

42. Tìm số phức z biết

z

 1

i 

i

    

   

43. Tìm phần thực và phần ảo của số phức . (B-2011, Chương trình nâng cao).

z



 2 3

  (D-2011).

i 1 9



 i z

44. Tìm số phức

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

34

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 10 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP





n n

1 k C  1 n

1 k C n

1 k  1 C  n 1

 1     2

1. Chứng minh rằng: (B-2008)

M











179

2 C  1 n

2 C 2  n

2

2 C 2  n

3

2 C  n

4

   3   A 1 3 n   n 1 !

4 A n 

2. Tính giá trị của biểu thức biết rằng (D-2005)

n  . 2



  ...

 với mọi n nguyên,

1

1 2 A 2

1 2 A 3

1 2 A n

n

k

3. Chứng minh

  . Chứng minh:

n C  n k 2

n n k 2

 

n C 2 n



2

C



4. Cho các số tự nhiên thỏa 0 C . .

50 100

100 2 10 2

C 2

C



  ...

nC

3 n

2 n

1 n

n n

5. Chứng minh: .



n

!

100 2 10  3 C n sao cho

6. Chứng minh rằng: với 3 n   .

kC đạt giá trị lớn nhất.

k 

  0;1; 2;...; 2011

7. Tìm



.



5

n



2





 n

1

n



n



n

2011  n  1 !   3 !4! 24



n !  3



 4 !

2

. 8. Tìm số tự nhiên n biết:



 72 6



2



14

x

b) a)

5  9. Giải các phương trình sau:  x C 6 9

C 6

C





2 x

3 x

1 x

2 P A x x

2 A x

P x





2

 8

2



50



P x 2

P x 3

2 A x

2 A 2 x



C



x

c) d)



720

1  C C x

2 x

3 x

P n



3

5 A P n n



5

7 2

.

P  x y

 1



2



10

e) f)

C



C

  ...

C



1023



72

x x

x x

x x



2



3

2

n

 1

g) h)





100

C



 1 y A  1 x P x 

2 n C C n n

3  C C C C 2 n

2 n

3 n

n n

 n 14

n 14





i) j) .

4 C n

5 C n

C  3

6 n

1

4

1  C 4 A x 

142 C 24 23

3 A  1 x





x 21





C



10

l)  . k) A  x x 10. Giải các bất phương trình sau:

 0

3 A x

25 A x

2 A 2 x

2 A x

3 x

6 x

2

n



5





2





b) a)

4 C n

3 C 2 n

3 A n

1 2 d) 



1 2 C n

1 3 C n

1

C



C



c)

 0

4  x 1

3  x 1

2 A  x

2

6 2 A  n 5 4

4 A  n 1  n 3 C  1 n

f)  14 . e) P 3

u





C



, 4

n

11. Tìm số hạng:

   .

n

2 A  n

2

4  n 1

3 C  n 1

5 4

4

a) Dương của dãy

*   .

n

4 A  n P n



2

b) Âm của dãy v   n , 143 P 4 n

 1



2



C 3



C 5



90



C

y x

y x

 1

y x 

C



y x C 2



80



y x 66

y x

y x

y A 2 x y A x

y x

2 x

 5 C   C 

   5 

 C   C 

12. Giải các hệ phương trình sau:  2 a) b) c)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

35

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

13. Tìm

 1

C

6 : 5 : 2

y x

 1



2



:

:

C



10 : 2 :1

y x  y yA  1 x

y A x

y x

 1

:

:

21: 60 :10

  thỏa mãn: ,x y C y 1 C  : 1 : a) x  1 b)  y A  1 x y c)   C A x

y A  1 x

y x

1

8





  f x

  g x

7 A  x  x 3

2 C  x  x 1

2012 3



1

2

4

2012

14. Tìm miền giá trị của các hàm số: a) b) .

C



2

C



2

C

 

... 2

C



0 2012

2 2012

4 2012

2012 2012

2

15. Chứng minh .

C 2



C 3

... 2013

C

2012 2012

16. Tính tổng .



n

 2

2

n

17. Tìm

1 2012 3 C 2 n 2.2



2   2012 C  2 n 1 2 n  3.2

C



  ...

n

2



2005

 S C * n   thỏa * n   thỏa

0  2012 1 C 2 1 C 2

n

  ... 2 C 2 n

 1

2048 3 n 2

 1

C  2 n 1  1 n 2

 1

2

4

n

 1

 1

2

3 3

3 2

4 3

2

n 3

2 3

*

 S C



C



C



  ...

18. Tìm (A-2005). (D-2008)   1 .2

n   .

0 n

1 n

2 n

3 C n

n C n

 2

 3

 4

 

2 1

n

19. Tính tổng ,

2008

1 x

20. Tìm số hạng chính giữa của khai triển:

10

4 2 x

  x 

  

b) a) 

7

3

21. Tìm số hạng không chứa x của khai triển:

x  . 0

x  0

x

x



1 4 x

12   

  

  

b) với với a)

1   x  22. Tìm số hạng nguyên của khai triển:

7

5



2

3 3

5

3

4 2

  

  

. b) a) 

4 3

2

2

25

5

4

3

.



  ...

a 0

 a x a x 1

2

a x 25

5

100   f x thành đa thức b)

. . Khai triển x x x  







a

  ...





a 0

a 1

2

a 3

a 24

a 25

a 2

25

. 23. Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển:   24. Cho    2 a 0

4 5

3

...   a 124

có bao nhiêu số hạng là số nguyên>

1 n   x 

26. Trong khai triển , hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai là 35 . Tìm

  f x a) Tính a  1 25. Trong khai triển    x  số hạng không chứa x trong khai triển trên.

n





2

28 15



C



79

3 x x



x

n C n

n n

C 1 n  n

  

  

2

3

20



x





x





x

 



x

.

27. Trong khai triển: hãy tìm số hạng không phụ thuộc x biết



 2 1





 ... 20 1



10

5

2

28. Tìm hệ số của: a)

x

x

x



x

15x trong khai triển:  1 5x trong khai triển:

 3 1 

  1 2



  1 3

n

7

20

b) .



x

26x trong khai triển



C

  ...



2

 . 1

1 C 2

n

 1

2 n 2

 1

n C 2 n

 1

1 4 x

  

  

29. Tìm hệ số của biết rằng:

3

30. Với n là số nguyên dương, gọi (A-2006) 3nx  trong khai triển thành đa thức của 3 3na  là hệ số của

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

36

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

n

n

2 1 

26

n



na

3

3

2

x  2 x . Tìm n để . (D-2003).

xy

3 xy



. Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y là các số

   31. Cho khai triển: 

  12

2 3

nguyên dương. 32. Tìm hệ số của

C



nx 2   ...

1024



7x trong khai triển đa thức  5 1  C C 2 n 2

3 n 2

 1

 1

n

 1

n

5

. , trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn: C  2 n 1  1 n 2

8x trong khai triển



x



C



7

n



3





n  1 C  4 n

n  n

3

1 3 x

  

  

0

33. Tìm hệ số của số hạng chứa biết rằng với

x  . (A-2003).

n là số nguyên dương,

2

10x trong khai triển 

n

 1



2



3

...

n 3

C



n 3

C



n 3



n 3

C

C



34. Tìm hệ số của số hạng chứa biết

nx       1

0 n

1 n

2 C n

3 n

n n

(B-2007).

8x trong khai triển thành đa thức của

 2 1x

2

3

2

3

35. Tính hệ số của  

20x của đa thức

  P x

 Q x



   1

1000

2048  8   . (A-2004). x 1000 thì hệ số của

1 2x

36. Sau khi khai triển x  x và x  x  1     1

30

.



5

b

a

a b

100

và . Tìm hạng tử của khai triển trên có giá trị tuyệt đối lớn

21

3

nào lớn hơn. 37. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển  38. Cho khai triển:  nhất.



a b  . Tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ

0

,

a b

b 3 a

   

   

n

2

n

*

 1 2

x





  ...

n ,

  trong đó các hệ số

,

,...,



a a a , 0 1

2

a thỏa n

a 0

 a x a x 1

2

a x n







4096

39. Cho nhị thức Newton ;

,...,

a . (A-2008).

a  0

a a 1, 0

n

2 ...

a n n 2

mãn . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số bằng nhau. 40. Cho khai triển  a 1 2

a 2 2 41. Cho khai triển nhị thức:

n

n

n

 1

n

 1

x

x

x

x

 1

*

 1 2

 1 2

 x 3

 1 2

 x 3

 1 2

 x 3

 x 3

2

2



C

C





2

2

2

  ..

C



2

2

2

n   .

0 n

1 n

n C n

n n

  

  

  

  

  

  

  

  

  

      3 C Biết rằng trong khai triển đó có n

         15 C và số hạng thứ tư bằng 20n . Tìm n và x .(A-2002) n

n

k

n

x



C

2012

x



,



 1

k n

n



1 2012

k



0

n

4

. 42. Chứng minh rằng x ta luôn có:

3



5



496

biết n thỏa mãn:

  ...

C







2

 . 1

2 n 4

 1

3 C 4 n

 1

1 C 4

n

 1

n 2  n 4 1

n

k

n



x



  ...

  ...



43. Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ  C

 a x a x 1 2 2

x x k

a x n

n

 10

 2011!







. Biết rằng tồn tại 44. Cho n là một số nguyên dương và  1

n

k

M



2012

    sao cho 1

 a  1 k 2

a 0 a k 9

a  k 1 . 24

Tính . số nguyên dương k  1

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

37

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

n

x 1

3

x 2



4.2

, TT 3 5

2 3

2

   

   



lg

C



1

1

C n

1 n

45. Xét khai triển: . Gọi là các hạng tử thứ ba, thứ năm của khai triển.

C

, Cn

3 n



240

3  T 5

  lg 3   9 T  3

3

n

là các hệ số của hạng tử thứ hai , thứ tư. Tìm x sao cho: .

2

nx



2

1 nx

2

  

  

n

x

5

x



 2 lg3

  lg 10 3



46. Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển là 64. Tìm hạng tử không chứa x .

,

,

2



 2

3 C C C lập thành n

2 n

1 n

  

  

47. Xét khai triển: . Cho biết hạng tử thứ sáu là 21 và

7

x

 1

x

 1

 log 3 2

  1

ln 9



7

một cấp số cộng.

e

1  52



  

  

2

2s

s



2

x



nx



s

x



là 84. 48. Tìm giá trị của x biết hạng tử thứ sáu của khai triển

8x là:



1 n 



nC  .

 

1

m

hệ số của 49. Chứng minh rằng trong khai triển   

,m n   .

,



x



 f m n



 1

n  x dx



0

,



50. Đặt với

 f m n



! ! m n   m n



 1

a) Chứng minh .

m n 

10

  f m n . ,

b) Với . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

51. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau. 52. Từ các số 1,2,3,4,5,6 thiết lập được tất cả bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau. 53. Cho các số 1,2,5,7,8. có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao cho: a) Số chọn ra là một số chẵn.

b) Số tạo ra là một số không chứa số 7. c) Số tạo ra là một số nhỏ hơn 278.

54. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau. Trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn sách tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn. a) Giả sử thầy chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những cuốn sách thuộc hai thể loại văn học và âm nhạc. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng. b) Giả sử thầy muốn rằng sau khi tặng sách xong mỗi loại còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao

nhiêu cách chọn. 55. Cho tập A={1,2,3,4,5,6,7,8}. a) Có bao nhiêu tập con X của A thoả mãn điều kiện X chứa 1 và không chứa 2. b) Có bao nhiêu chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123.

56. a) Cho đa giác lồi có n cạnh. Tìm số các đường chéo của đa giác lồi đó. b) Cho một đa giác lồi có số đường chéo là 35. Hỏi đa giác lồi đó có bao nhiêu đỉnh.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

38

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

...

10

2

A A A . Xét tất cả các tam giác mà 3 57. Trong mặt phẳng cho thập giác lồi (hình có 10 cạnh lồi) 1 đỉnh của nó là 3 đỉnh của thập giác. Hỏi trong các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà tất cả các cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác. 58. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần. 59. Tìm số giao điểm tối đa của:

a) 10 đường thẳng phân biệt. b) 12 đường tròn phân biệt. c) 10 đường thẳng và 12 đường tròn ở câu a và b.

6n  điểm đã cho là 439.

,

x y z nguyên dương. ,

60. Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. a) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng hai viên bi đỏ. b) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.

  

1000

y

z



2d có n điểm

2

1d có 10 điểm phân biệt, trên

,d d song song với nhau. Trên 1

61. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách. 62. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 63. Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Tìm số cách mà giáo viên chủ nhiệm chọn ra 3 học sinh phục vụ khai giảng. 64. Một bệnh viện có 15 bác sĩ ngoại khoa. Tìm số cách lập một kíp tiểu phẫu gồm 1 phẫu thuật viên chính và 1 phẫu thuật viên phụ. 65. Một học sinh muốn chọn 20 trong 30 câu trắc nghiệm Toán. Nếu đã chọn 5 câu hỏi thì cách chọn các câu còn lại là bao nhiêu. 66. Bạn Tâm có 7 người bạn, muốn mời 4 người dự tiệc sinh nhật, nhưng trong số đó 2 người ghét nhau không muốn dự tiệc chung. Hỏi bạn Tâm có bao nhiêu cách mời? 67. Có 8 phi công (5 nam, 3 nữ) và 4 nam bác sĩ đã hoàn thành khóa huấn luyện để chuẩn bị bay vào vũ trụ. Hỏi có bao nhiêu khả năng lập thành một tổ du hành vũ trụ gồm 3 người có cả nam lẫn nữ, cả phi công lẫn bác sĩ. x 68. Phương trình có bao nhiêu bộ nghiệm 

n 

. Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Hãy tìm n.

n 

4



. Biết rằng số tập con của A bằng 20 lần số tập con gồm hai phần

 1, 2,...,

sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất. (B-2006).

69. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 lớp C. Cần chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Có bao nhiêu cách chọn? 70. Cho hai đường thẳng 2 phân biệt  71. Cho tập A có n phần tử   tử của A. Tìm n k

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

39

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 11: XÁC SUẤT

1. Gieo một đồng tiền, sau đó gieo một con súc sắc. Quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N) của đồng tiền và số chấm xuất hiện trên con súc sắc.

a) Xây dựng không gian mẫu. b) Xác định các biến cố sau: A: “Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm” B: “Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm” C: “Mặt 6 chấm xuất hiện”. 2. Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi.

a) Xây dựng không gian mẫu; b) Xác định các biến cố:

A: “Hai bi cùng màu trắng” B: “Hai bi cùng màu đỏ” C: “Hai bi cùng màu” D: “Hai bi khác màu”. c) Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc, các biến cố đối 3. Một con súc sắc được gieo 3 lần. Quan sát số chấm xuất hiện.

a) Xây dựng không gian mẫu. b) Xác định các biến cố sau: A: “Tổng số chấm trong 3 lần gieo là 6”. B: “Số chấm trong lần gieo thứ nhất bằng tổng các số chấm của lần gieo thứ 2 và thứ 3” 4. Gieo hai con súc sắc.

a) Mô tả không gian mẫu; b) Xây dựng các biến cố:

A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7” B: “Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” C: “Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm” c) Tính xác suất của các biến cố A, B, C.

5. Có 3 bình chứa 3 quả cầu trắng, 3 quả cầu xanh và 3 quả cầu đỏ. Từ mỗi bình lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để:

a) Ba quả cầu có màu đôi một khác nhau; b) Ba quả cầu có màu giống nhau; c) Hai quả có cùng màu còn quả kia khác màu. 6. Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. a) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để:

i) Lấy được cả 3 viên bi đỏ. ii) Lấy được cả 3 viên bi không đỏ. iii) Lấy được một viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ.

b) Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để: i) Lấy đúng một viên bi trắng. ii) Lấy đúng 2 viên bi trắng. c) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tính xác suất rút được 5 viên bi trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi

đỏ. 7. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trờn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8. 8. Một máy bay có 4 bộ phận A, B, C, D đặt liên tiếp nhau Máy bay rơi khi có 2 viên đạn trúng vào cùng một bộ phận hoặc 2 bộ phận kề nhau trúng đạn. Tìm xác suất để máy bay rơi trong trường hợp: a) 4 bộ phận có diện tích bằng nhau và máy bay trúng hai viên đạn

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

40

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

b) Các bộ phận B,C, D có diện tích bằng nhau và bằng nửa diện tích bộ phận A và máy bay

trúng hai viên đạn 9. Có 10 nười gồm 6 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất để có 4 nam và 2 nữ được chọn. 10. Có 4 em bé lên một đoàn tàu lượn gồm 4 toa. Mỗi em bé độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai. 11. Tính xác suất để 12 người chọn ngẫu nhiên có ngày sinh rơi vào 12 tháng khác nhau. 12. Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm tròn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 11. 13. Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đá và 2 quả cầu đen. Chọn ngẫu nhiên 6 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đá và 1 quả cầu đen. 14. Tại một khách sạn trong tuần có 7 đám cưới. Tính xác suất để mỗi ngày có đóng một đám cưới. 15. Xếp ngẫu nhiên 6 quả cầu khác nhau vào 8 chiếc hộp khác nhau. Tính xác suất để hộp thứ nhất có 3 quả cầu, hộp thứ hai có 2 quả cầu, hộp thứ ba có 1 quả cầu.

7 10

16. Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A trong một lần bắn là . Xạ thủ

9 10

B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của B trong một lần bắn là . Tính xác suất để

a) Tìm xác suất trúng đúng 30000 đ. b) Tìm xác suất trúng ít nhất 30000 đ.

mục tiêu không trúng đạn 17. Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C lần lượt chiếm 15%, 30%, 55% diện tích máy bay. Máy bay rơi khi có hoặc 1 viên trúng vào A, hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C. Tính xác suất để máy bay rơi nếu máy bay trúng 3 viên đạn. 18. Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25. Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng hỏng. Tính xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng . 19. Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suỏt để 1 viên trúngvòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. 20. Tại thành phố Tam Kỳ tỉ lệ người thích bóng đá là 65%. Chọn ngẫu nhiên 12 người. Tính xác suất để có đúng 5 người thích bóng đá. 21. Gieo đồng thời 3 con súc sắc . Bạn thắng nếu có xuất hiện ít nhất 2 lần ra 6 chấm. Tính xác suất để trong 5 ván chơi bạn thắng ít nhất 3 ván. 22. Bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu , mỗi câu có 5 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng . Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm. Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để anh ta bị điểm âm. 23. Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50kg và phương sai 100kg2. Những sản phẩm từ 45kg đến 70kg được xếp vào loại A. Tính tỉ lệ các sản phẩm loại A. Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong rất nhiều sản phẩm). Tính xác suất để có không quá 60 sản phẩm loại A. 24. Một hộp đựng 15 bóng đèn trong đó có 9 bóng còn mới và 6 bóng đã sử dụng. Lần đầu người ta lấy ngẫu nhiên 3 bóng từ 15 bóng để sử dụng, sau đó trả lại vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ngẫu nhiên 3 bóng cũng từ 15 bóng đèn này. Tìm số bóng đèn mới (chưa qua sử dụng) tin chắc nhất có trong 3 bóng được lấy ra lần thứ hai. 25. Có 2 lô hàng, lô hàng I có 3 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu, lô hàng II có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô I bỏ vào lô II, rồi lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô II bỏ ra ngoài. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra lần 2 là sản phẩm xấu. 26. Trong 100 vé số có 1 vé số trúng 100000 đ, 5 vé trúng 50000 đ và 10 vé số trúng 30000đ. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. 27. Gieo 4 con xúc sắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau: A: “ Số chấm trên mặt xuất hiện của 3 con khác nhau”

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

41

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

  P B

  P C .

a) Tính b) Tính c) Tính B: “ Có ít nhất một con xuất hiện mặt 2 chấm”   P A

a) Lập bảng phân bố xác suất của X. b) Tìm xác suất để số bóng cháy không quá 1.

28. Trong một họp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng cháy. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Gọi X là số bóng cháy lấy được. 29. Số lỗi đánh máy trên một trang sách là một biến ngẫu nhiên trời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

X P 0 0,05 1 0,05 3 ... 4 0,20 5 0,10

3X  .

2 0,20

a) Tính xác suất để b) Tính xác suất để trang sách có nhiều nhất 4 lỗi. c) Tính xác suất để trang sách có ít nhất 2 lỗi.

30. Số người chết trong một tuần ở vùng A là một biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố xác suất: X 0 1 2 3

P 0,4 0,3 0,2 0,1

Số trẻ sơ sinh sinh ra trong một tuần ở vùng A là một biến ngẫu nhiên Y có bảng phân bố xác suất:

X P 0 0,1 2 0,4 3 0,15 4 0,05 1 0,3

a) Tính số trẻ em sinh ra và số người chết trung bình trong một tuần. b) Hỏi dân tăng trung bình trong một tuần.

a) Lập bảng phân bố xác suất. b) Tính xác suất để chọn được nhiều hơn một bi đỏ. c) Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X. b) Tính xác suất để X là số chẵn. c) Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.

31. Một hộp có 3 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 bi. Gọi X là số bi đỏ được chọn. 32. Cho hai hộp: Hộp I đựng 2 thẻ mang số 1 và 2; hộp II đựng 4 thẻ mang các số 3,4,5,6 . Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ và gọi X là tổng hai số trên thẻ.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

42

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 12: ĐIỂM- ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1, -1). Lập phương trình đường thẳng đi qua A và

a) Song song với đường thẳng x – y + 2012 = 0.

b) Vuông góc với đường thẳng –x + 2y – 3 = 0.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1, 0), B(2, 2), C(0, 1)

a) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.

b) Lập phương trình các đường cao của tam giác

c) Tìm tọa độ các chân đường cao.

d) Lập phương trình các đường trung trực của tam giác ABC.

e) Lập phương phương trình các đường phân giác trong của tam giác ABC

f) Tính chu vi và diện tích của tam giác.

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(0, -3), B(m, -m), C(m – 1, -2).

a) Tìm m để tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b) Với m vừa tìm được hãy tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1, 2), B(0, -1) và d: x + y – 2 = 0.

a) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.

b) Tìm đường thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d.

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình đường thẳng đối xứng với d: x-2y-5=0 và qua điểm

A(2;1).

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy tìm điểm C thuộc đường thẳng x-y+2=0 sao cho tam giác ABC vuông

tại C, biết A(1;-2),

B(-3;3).

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có pt:x-3y-1=0, cạnh bên AB có pt: x-

y-5=0. Đường thẳng AC đi qua M(-4;1). Tìm toạ độ điểm C.

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(-1;-3)

a) Cho biết 2 đường cao: BH: 5x+3y-25=0, CK: 3x+8y-12=0. Hãy xác định toạ độ B,C.

b) Xác định toạ độ B, C nếu biết đường trung trực AB là: 3x+2y-4=0 và toạ độ trọng tâm G(4;-2)

của tam giác ABC.

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy viết phương 3 cạnh của tam giác ABC , biết C(4;3), đường phân giác và

trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình là: x+2y-5=0 và 4x+13y-10=0.

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình đường thẳng song song với d: 3x-4y+1=0 và khoảng

cách đến d bằng 1.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

43

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có số đo diện tích bằng 4. Biết toạ độ các

đỉnh A(1;0), B(2;0), và giao điểm I của 2 đường chéo AC,BD nằm trên đường thẳng y = x. Hãy tìm

toạ độ đỉnh C,D.

Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;1).Tìm điểm B trên đường thẳng d1:y = 3 và C trên trục hoành

sao cho tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác cân ABC, BC = BA, với A(1; -1), C(3; 5), đỉnh B nằm

trên đường thẳng d: 2x – y = 0. Viết phương trình các đường thẳng AB và BC.

Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy tìm toạ độ các đỉnh B, C của tam giác ABC biết A(-1; -3), trọng tâm

G(4; -2), đường thẳng trung trực của AB có phương trình: 3x + 2y – 4 = 0.

Bài 15: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: d1: 2x – y + 5 = 0, d2: 3x + 6y – 7 = 0. Lập

phương trình đường thẳng đi qua P(2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân

có đỉnh là giao điểm của d1 và d2.

Bài 16: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A(0; 1), B(3; 4). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho 2MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.

Bài 17: Trong mặt phẳng Oxy trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC. Phương trình đường thẳng

chứa cạnh AB: y = 2x, Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là: y = -0,25x + 2,25, trọng tâm

8 7 ; 3 3

G( ). Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 18: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 0), B(3; -1) và đường thẳng d: x – 2y -1 = 0. Tìm C

thuộc d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6.

Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, A thuộc d: x – 4y – 2 = 0, BC song song với d.

Phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của tam

giác ABC.

Bài 20: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-1), đường cao

AH: 3x-47+27=0, đườg phân giác CE: x+2y-5=0.

Bài 21: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;-1), đường cao

AH: 2x-3y+12=0, trug tuyến AM: 2x+3y=0.

Bài 22: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-7), đườg cao

AH: 3x+y+11=0, đườg trug tuyến CM: x+2y+7=0.

Bài 23: Trong mặt phẳng Oxy có A(2; -1), B(1; -2), trọng tâm G thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0

3 2

Tìm toạ độ điểm C biết diện tích tam giác ABC bằng .

Bài 24: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; 5), B(-4; -5), C(4; -1). Tìm toạ độ trực tâm

và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

44

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Bài 25: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại C, biết A(-2; 0), B(2; 0) và khoảng cách

1 3

từ trọng tâm G đến trục hoành bằng . Tìm toạ độ đỉnh C.

Bài 26: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 3x – 4y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng

song song với d và cách d một khoảng bằng 1.

Bài 27: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: d1: 2x – 3y + 1 = 0, d2: 4x + y – 5 = 0. A là giao

điểm của d1 và d2. Tìm điểm B thuộc d1, điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3; 5).

Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, A(2; 2). Lập phương trình các cạnh của tam giác

biết phương trình đường cao kẻ từ B và C tương ứng là: 9x – 3y – 4 = 0 và x + y – 2 = 0.

Bài 29: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;2). Trung tuyến CM: 5x + 7y – 20 = 0

và đường cao BK: 5x – 2y – 4 = 0. Viết phương trình các cạnh AC và BC.

Bài 30: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4; 3), đường phân

giác trong và trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là:

x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0.

Bài 31: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD: x – y = 0, đường cao

CH: 2x + y + 3 = 0, cạnh AC qua M(0; -1), AB = 2AM. Viết phương trình các cạnh của tam giác

ABC.

Bài 32: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2; 1). Vẽ hình chữ nhật OABC thoả mãn OC = 2 OA và yB > 0.

Tìm tọa độ B và C. (O là gốc toạ độ).

Bài 33: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, B(3;5), C(4;-3). Đường phân giác trong của góc A

có phương trình:

x + 2y – 8 = 0

a) Viết phương trình các cạnh của tam giác.

b) Tính diện tích của tam giác.

Bài 34: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0 và hai điểm A(0;6), B(2;5). Tìm

trên d một điểm M sao cho:

lớn nhất. a) MA MB

b) MA + MB nhỏ nhất.

Bài 35: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B(-4;0), phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A có

dạng: -4x + 3y + 2 = 0, phương trình trung tuyến kẻ từ đỉnh C có dạng: 4x + y + 3 = 0.

a) Viết phương trình ba cạnh của tam giác.

b) Tính diện tích tam giác.

Bài 36: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường

chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường

x

y   . Viết phương trình đường thẳng AB.

5 0

thẳng  :

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

45

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM



 G 

2;0 .

Bài 37: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có trọng tâm Biết phương trình các cạnh

x

y 

14 0

 , 2

x

y 5

  Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C .

2 0.

AB,AC theo thứ tự là 4

AB 

5,

 C  

 1; 1 ,

Bài 38: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với đường thẳng AB có

x

y 2

  và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng

3 0

x

y   Hãy 2 0.

phương trình

2

2

a

b

 và hai đường thẳng

0

2

2

1 ; d :

  y



a

:

b

 . Tìm điều kiện với a, b để giao điểm của hai đường

  a b x



d 1

2

tìm toạ độ các điểm A và B.



Bài 39: Trong mặt phẳng Oxy cho   b x ay

thẳng này thuộc trục hoành.

Bài 40: Trong mặt phẳng Oxy hãy viết phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau:

030 với đường thẳng

a) Đi qua M(1, 1) và tạo một góc d : t 2   4 t  x  x 

d x :

y   .

2 0

045 với đường thẳng

b) Đi qua M(1, 1) và tạo một góc

B

 ; đường



 2, 1

Bài 41: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết

x

y 4



27

 và 0

d

x

y 2

  .

5

0

d 1 : 3

2 :

cao và phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là:

P



3, 0

Bài 42: Trong mặt phẳng Oxy cho và hai đường thẳng

: 2

x

  

2

y

0 , d :

x

   . Gọi d là đường thẳng qua P cắt

3 0

y

d 1

2

, dd 1

2

lần lượt tại A, B. Viết

PA PB

.

phương trình của d biết

  y

0, d :

x

   . Gọi 1 0

y

1,1P 

d x : 1

2

Bài 43: Trong mặt phẳng Oxy cho và hai đường thẳng

PA PB .

, dd 1

2

I

d là đường thẳng qua P, cắt lần lượt tại A, B. Viết phương trình của d biết 2

  y

0,

d

:

x

  . Tìm 0

y

1; 2 

d x : 1

2

C d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A đồng thời B, C đối xứng



2

2

Bài 44: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm và hai đường thẳng

 và A Ox B d , các điểm 1 nhau qua điểm I. Bài 45: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng:   4 0 4

3 0,

 

d x :

m







y

   . Tìm K thuộc d sao cho khoảng cách từ đó đến

2 m x my m 2

 : 1

 17 0





7

y

x

x

y

  

5 0

,

1)



. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với (d1), (d2) một tam

 luôn bằng 1. Bài 46: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y –2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Bài 47: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng (d1): (d2): giác cân tại giao điểm của (d1), (d2). Bài 48: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng (d1): x + y + 1 = 0, (d2): x – 2y + 2 = 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA. Bài 49: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB : y

cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là các  . Biết chu vi 3 7(x

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

46

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

  

5 0



y

x

bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích

của ABC Bài 50: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ nhất. Bài 51: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) : 3 bằng nhau. Bài 52: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm M1(155; 48), M2(159; 50), M3(163; 54), M4(167; 58), M5(171; 60). Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(163; 50) sao cho đường thẳng đó gần các điểm đã cho nhất. Bài 53: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I

d

x

  

3 0

y

Ix

9 2

thuộc đường thẳng ( ) : và có hoành độ , trung điểm của một cạnh là giao điểm của

   MA MB  0



OA OB nhỏ nhất.

.



(d) và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Bài 54: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x + y + 1 = 0, (d2): 2x – y – 1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 2 Bài 55: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng Bài 56: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình

1 10

4 0

y2



  . Tìm toạ độ các đỉnh

2x – y + 3 = 0. Lập phương trình đường thẳng () qua A và tạo với d một góc α có cosα .

   , d1: x 1 0

  , d2: y 2 0

Bài 57: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 đơn vị, biết toạ độ đỉnh A(1; 5), hai đỉnh B, D nằm trên đường thẳng (d): x B, C, D. Bài 58: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng d: x y 5 0   . Tìm toạ độ các đỉnh

I

A, B, C, biết BC = 5 2 . Bài 59: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm

   với trục Ox.

9 3 ; 2 2

  

  

và trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của đường thẳng d: x y 3 0

M

N

P

 5, 2 ,

 4, 5 ,

 6,5 ,

 2,1









và diện tích hình chữ nhật bằng 16.

x

y 2

 

2 0, 2x+y+1=0

Xác định toạ độ của các điểm A, B, C, D biết yA > 0. Bài 60: Trong mặt phẳng Oxy. Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua điểm M(3;1) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;-2). Bài 62: Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB, BC, CD lần lượt đi qua Q các điểm Bài 63: Cho hình thoi ABCd có phương trình hai cạnh AB, AD thứ tự là

1, 2 . Tìm toạ độ các đỉnh.

. Cạnh BD chứa điểm M 

x

y 

2 3

 , tâm đường

0

Bài 64: Cho tam giác ABC cân tại B, phương trình cạnh AB có dạng 3

I



0, 2

tròn ngoại tiếp tam giác là: và B nằm trên trục hoành. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác.

y  , đỉnh A thuộc đường thẳng

2

Bài 65: Cho tam giác ABC có phương trình cạnh Bc là:

0

x

y   và diện tích tam giác là

2

0

Ax  .

2 3

. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết

x

y 4

  , 1 0

1,1A 

Bài 66: Cho hình chữ nhật ABCD có , đường chéo BD có phương trình 3

d x :

y   . Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D.

2 0

C nằm trên đường thẳng

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

47

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 13: ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1: Cho điểm A(1, 3), B(2, 1). Viết phương trình đường tròn đường kính AB.

Bài 2: Cho điểm I(2, 0) và d: x + y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với

đường thẳng d.

Bài: Cho điểm A(-1, 1), B(0, 2), C(1, 3). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 3: Cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0

Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với (C) qua d.Tìm toạ độ giao điểm của (C) và

Bài 4 : Cho hai điểm A(2;0),B(6;4) .Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A

và khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5.

Bài 5: Cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B ;M và N

lần lượt là trung điểm của AB và BC .Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm M , N và H

.(KA-07)

x 5

2  ; 5

Bài 6: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên 3 đường thẳng y=

y = x + 2; y = 8 – x . Bài 7 : Đường thẳng y – 2x + 1= 0 cắt đường tròn x2 + y2 – 4x – 2y + 1= 0 tại hai điểm M,N.Tính độ

dài MN. Bài 8 : Cho đường tròn (C): (x – 1)2+(y – 2)2 = 9. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1) cắt

(C) tại E,F sao cho A là trung điểm của EF. Bài 9 : Cho hai đường tròn (C1): x2 – 2x + y2 = 0 và (C2): x2 – 8x + y2 + 12 = 0.Xác định tất cả các tiếp

tuyến chung của 2 đường tròn. Bài 10: Cho đường tròn (C):x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 và điểm A(3;5).Tìm phương trình các tiếp tuyến

kẻ từ A tới đường tròn .Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tại M và N.Tính MN. Bài 11: Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 4x = 0 và (C2): x2 + y2 – 4y = 0.

CMR (C1) cắt (C2) tại 2 điểm phân biệt.Tìm toạ độ 2 điểm đó.

Bài 12: Cho đường tròn x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và M(2;4).

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A,B sao cho M là trung

điểm của AB.

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = – 1 .

Bài 13: Lập phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với Ox,Oy.

Bài 14: Cho hai điểm M(0;1) và N(2;5). Lập phương trình đường tròn có tâm thuộc Ox và đi qua

M,N. Bài 15: Cho hai đường tròn (C1):x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 và (C2): x2 + y2 + 2x – 2y – 14 = 0.

a)Xác định các giao điểm của (C1) và (C2).

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

48

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

b)Viết phương trình đường tròn đi qua 2 giao điểm đó và điểm A(0;1).

Bài 16: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 7x + y – 8 = 0 và đi qua hai điểm

A(- 1;2),B(3;0).

Bài 17: Cho hai điểm A(8;0),B(0;6).Viết phương trình đường tròn nội,ngoại tiếp tam giác OAB (với

O là gốc toạ độ).

Bài 18: Cho A(4;0),B(0;3).Viết phương trình đường tròn nội,ngoại tiếp tam giác OAB.

Bài 19: Cho hai đường thẳng d1:3x + 4y + 5 = 0 và d2:4x – 3y – 5 = 0.

Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng  : x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với

d1,d2 .

Bài 20: Cho A(3;1),B(0;7),C(5;2).

a)CMR  ABC là tam giác vuông và tính diện tích  ABC.

b)Giả sử M chạy trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .CMR trọng tâm G của tamgiác

ABC chạy trên một đường tròn.Tìm phương trình đường tròn đó. Bài 21: Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt đường tròn (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25

thành một dây cung có độ dài bằng 8. Bài 22: Cho đường tròn x2 + y2 – 2mx – 2(m + 1)y + 2m – 1 = 0.

a)CMR họ đường tròn luôn đi qua 2 điểm cố định.

b)CMR với mọi m họ đường tròn luôn cắt Oy tại 2 điểm phân biệt.

Bài 23: Cho 3 điểm A(-1;7),B(4;- 3),C(- 4;1).Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bài 24: Xét họ đường tròn có phương trình x2 + y2 – 2(m + 1)x – 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0.

a)Tìm quỹ tích tâm các đường tròn của họ.

b)Xác định toạ độ của tâm đường tròn thuộc họ đã cho mà tiếp xúc với Oy.

Bài 25: Cho họ dường tròn x2 + y2 – (m – 2)x + 2my – 1 = 0 (Cm).

a)CMR (Cm) đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.

b)Cho m = – 2 và A(0;-1).Viết phương trình các tiếp tuyến của (C2) kẻ từ A . Bài 26: Cho đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và họ đường tròn (Cm): x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my = 5.

a)CMR có hai đường tròn (Cm1) và (Cm2) tiếp xúc với (C) tương ứng với hai giá trị m1, m2

của m.

b)Xác định phương trình các đường thẳng tiếp xúc với (Cm1) và (Cm2).

Bài 27: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB: y – x – 2 = 0; BC: 5y – x + 2

= 0; AC: y + x – 8 = 0. Bài 28: Cho đường tròn x2 + y2 – 2x – 4y + 4 = 0.Qua A(1;0) viết phương trình hai tiếp tuyến với

đường tròn và tính góc tạo bởi hai tiếp tuyến đó. Bài 29: Cho đường tròn x2 + y2 + 8x – 4y – 5 = 0.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua

A(0;-1).

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

49

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Bài 30: Cho đường cong (Cm): x2 + y2 + 2mx – 6y + 4 – m = 0.

a)CMR (Cm) là đường tròn với mọi m.Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm)

b)Với m = 4 viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng  : 3x – 4y + 10 = 0 và

cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho AB = 6.

1 2

Bài 31: Cho A(1;0),B(0;2),O(0;0) và đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – )2 = 1 .Viết phương trình

đường thẳng đi qua giao điểm của đường tròn (C) và đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Bài 32: Cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng d: 3x – 4y + m = 0 . Tìm m để

trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA , PB tới (C) (A, B là các

tiếp điểm ) sao cho tam giác PAB đều .(KD-07) Bài 33: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M(-3;1).Gọi T1, T2 là các tiếp điểm

của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2 .(KB-06) Bài 34: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x – y + 3 = 0. Tìm toạ độ

điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C),tiếp xúc

2

2

ngoài với đường tròn (C) . (KD-06) .

x



2



y





:

x

y 

;0



:

x



7

y



0



1

2

4 5

và hai đường thẳng . Bài 35 : Cho đường tròn (C) : 

Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1) biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các

1, 

2

đường thẳng và tâm K thuộc đường tròn (C) .(KB-09).

Bài 36: Cho đường thẳng (d): (1 – m2)x + 2my + m2 – 4m + 1 = 0. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (d)

luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Bài 37: Viết PTTT của đường tròn (x - 1)2 + (y + 1)2= 4 tại điểm M(1; 3). Bài 38: Viết PTTT của đ.tròn x2+ y2- 4x+ 2y= 0 tại giao điểm của đ.tròn với các trục toạ độ. Bài 39: Viết PTTT của đ.tròn x2+ y2+ 2x+ 2y- 3= 0 và đi qua điểm M(2; 3). Bài 40: Viết PTTT của đ.tròn (x- 4)2+ y2= 4 kẻ từ gốc toạ độ Bài 41: Viết PTTT của đ.tròn x2+ y2- 4x- 2y= 0 biết rằng tiếp tuyến đó // đ.thẳng 2x- y- 8= 0. Bài 42: Cho đ.tròn (C): x2+ y2- 2x+ 6y+ 5= 0 và đ.thẳng d: 2x+ y- 1= 0. Viết PTTT của (C) biết  //

d. Tìm toạ độ tiếp điểm. Bài 43: Lập PTTT  của đ.tròn (C): x2+ y2- 6x+ 2y= 0 biết rằng   đ.thẳng d: 3x-y +4= 0. Bài 44: Cho (C) x2+ y2+ 4x+ 4y- 17= 0. Viết PTTT  của (C) biết   d: 3x- 4y+ 1= 0. Bài 45: Viết PTTT của đ.tròn x2+ y2= 8 biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đ.thẳng Ox 1 góc 450. Bài 46: Viết PTTT của đ.tròn (x-2)2+ (y- 2)2= 3 biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đt Oy 1góc 600. Bài 47: Cho hai đường tròn (C1): x2+ y2- 4x- 8y+ 11= 0 và (C2): x2+ y2- 2x- 2y- 2= 0

a) Xét vị trí tương đối của (C1) và (C2).

b) Viết PTTT chung của (C1) và (C2).

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM 50 Bài 48: Cho 2 đ.tròn (C1) : x2+ y2- 6x+ 5= 0 và (C2) x2+ y2- 12x- 6y+ 44= 0. Lập PTTT chung của (C1) và

(C2). Bài 49: CMR 2 đ.tròn (I1): x2+ y2= 1 và (I2): x2+ y2- 4y- 5= 0 tiếp xúc nhau và viết PTTT chung của 2

đ.tròn tại tiếp điểm. Bài 50: Viết PTTT chung của 2 đ.tròn x2+ y2+ 2x- 2y- 3= 0, 4x2+ 4y2- 16x- 20y+ 21= 0. Bài 51: Viết PTTTT chung của 2 đ.tròn x2+ y2- 4x- 6y+ 4= 0, x2 +y2- 10x- 14y+ 70= 0.

 





Chứng minh rằng d Bài 52:Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x cos t y sin t 2 cos t 1 0.

luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .

d x :

y   và đường tròn

1 0

2

2



y



2

x



4

y

 . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó kẻ được hai đường

0



 C x :

Bài 53: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng

C tại A và B sao cho góc AMB bằng 60o .

2

2

thẳng tiếp xúc với đường tròn 

y

 . Tìm các giá trị thực của m để trên đường thẳng y m

1

 C x :

tồn Bài 54: Cho đường tròn 

tại đúng hai điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó

060 .

2

2

y



2012

bằng

 C x :



 ,M x y 0

0

và một điểm nằm ngoài đường tròn. Từ M Bài 55: Cho đường tròn: 

MT 1

, MT 2

, TT 2

kẻ hai tiếp tuyến là các tiếp điểm. với đường tròn trong đó 1

a) Viết phương trình đường thẳng 1 2T T .

b) Giả sử điểm M chạy trên đường thẳng d cố định, không cắt đường tròn đã cho. Khi đó các

đường thẳng 1 2T T luôn đi qua một điểm cố định.

4, 0 , B 0,3

A









Bài 56: Cho hai điểm . Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

0,

a

b , B , 0 , C

b

, 0

A

a

, b > 0













Bài 57: Cho 3 điểm với .

 tiếp xúc với AB tại B, AC tại C.

a) Viết phương trình đường tròn 

 . Gọi

d 1

, d , d 2

3

lần lượt là khoảng cách từ M đến các b) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc 

d

d d 1 2

2 3

,

, A

,...,

,

đường thẳng AB, AC , BC. Chứng minh rằng: .

k k ,

,...,

k









 A x y 1 1 1

2

x y , 2

2

 A x y n

n

n

1n  số 1

2

, kn



k

  ...

k

 . Tìm tập hợp các điểm M sao cho

0



  ...

 . k

2 k MA 1 1

2 k MA 2 2

2 k MA n n

k 1

2

n

Bài 58: Cho n điểm và sao cho

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

51

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 14: ELIP

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy xác định tâm đối xứng , độ dài hai trục,tiêu cự,tâm sai ,toạ độ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a

)





1

xb )



4

y



1

c

4)

x



5

y



20

d

4)

x



16

y



01

xe )



3

y



2

x 25

y 16

các tiêu điểm và các đỉnh của mỗi Elip:

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy lập phương trình chính tắc của (E) trong các trường hợp sau :

1) Độ dài trục lớn bằng 6 , tiêu cự bằng 4 .

2) Một tiêu điểm là F1(-2;0) và độ dài trục lớn bằng 10 .

và điểm M

0;3

3 2

  ;1  

   

nằm trên (E) . 3) Một tiêu điểm là F1 

1;15 

4) Tiêu cự bằng 8 , (E) đi qua M

1 5) (E) đi qua hai điểm A(2;1) và B . ;5 2      

2;52

. 6) Trục lớn có độ dài bằng 12 và đi qua điểm M

e

2 2

e

7) Trục nhỏ có độ dài bằng 4 và tâm sai .

2 3

. 8) Hai tiêu điểm là F1(-6;0) , F2(6;0) và tâm sai

;

53 5

54 5

   

   

9) (E) đi qua M và M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông .

13 3

5 3

2

2

. 10) (E) đi qua điểm M có hoành độ bằng 2 và MF1 = ; MF2 =





1

x 100

y 36

3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E) : . Qua tiêu điểm F1 dựng một dây AB

2

2

của (E) vuông góc với trục lớn . Tính độ dài AB .





1

x 9

y 5

4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E) : . Tìm điểm M trên (E) sao cho :

1) MF1 = 2MF2 .

2) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông .

60 .

3) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc

120 . 

4) M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc

5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(1;1) và (E) : 4x2 + 9y2 = 36 .

1)Tìm toạ độ các đỉnh , toạ độ các tiêu điểm và tâm sai của (E) .

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

52

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua M luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt .

3) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (E) tại hai điểm A ,B sao cho MA = MB .

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E) : 16x2 + 25y2 = 100 .

1) Tìm điểm trên (E) có hoành độ bằng 2 và tính khoảng cách từ điểm đó đến hai tiêu điểm .

2) Tìm b để đường thẳng y = x + b có điểm chung với (E) .

7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E) : 4x2 + 9y2 = 36 . Tìm điểm M trên (E) sao cho :

1) M có toạ độ là các số nguyên .

2

2

2) M có tổng hai toạ độ đạt GTLN , GTNN .



1



x 25

y 4

8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E) : và đường thẳng d:2x + 15y - 10 = 0.

1) CMR d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A,B . Tính độ dài AB .

2

2





1

2) Tìm toạ độ điểm C trên (E) sao cho tam giác ABC cân tại A biết A có hoành độ dương .

x



2

y

 2

0

x 8

y 4

9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E) : và đường thẳng d :

1) CMR d luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A ,B . Tính độ dài AB .

2

2

2) Tìm điểm C trên (E) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất .



3:

x



4

y



24



0





1

x 9

y 4

10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E): và đường thẳng .

1) CMR đường thẳng  không cắt (E) .

2

2

2) Tìm điểm M trên (E) sao cho khoảng cách từ M đến  là ngắn nhất .





1

x 8

y 2

11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho (E) : và điểm A(4;5) . Tìm điểm M trên (E)

sao cho khoảng cách MA ngắn nhất .

12. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(a;0), B(0;b) và điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số

- 2 .

1) Tính toạ độ điểm M theo a ; b .

2) Giả sử a , b thay đổi sao cho AB = 3 .CMR khi đó tập hợp điểm M là một (E) , viết

2

2



1

phương trình (E) đó .

 . A, B là các điểm trên (E) sa

x 25

y 16

8

A

BF F 1 2

 , với 1 2;F F là các tiêu điểm. Tính

BF . 1 2 2 y

AF 2 x

36





4

9

13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E):

và điểm M(1; 1). Viết

2

2

cho: 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): phương trình đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm C, D sao cho MC = MD.

 . Tìm các điểm M  (E) sao cho

1



x 100

y 25

15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E):

 0 F MF  2 120 1

(F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)).

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

53

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 15: HYPERBOL

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy lập phương trình chính tắc của hyperbol biết:

a) Trục thực Ox, có độ dài bằng 10, trục ảo thuộc Oy, có độ dài bằng 8.

e

  . 4

b) Độ dài trục thực bằng 8, tâm sai

4

x

y 3

 . 0

c) Các tiêu điểm trên Ox, độ dài tiêu cự là 20 và một đường tiệm cận có phương trình

d) Có tiêu điểm trên Oy, độ dài trục ảo bằng 6 và hai đường tiệm cận vuông góc

nhau.

030 .

6, 4M 

e) Đi qua điểm và mỗi đường tiệm cận tạo với trục hoành góc

y

 

x

x  

4 3

16 5

2

2

1

H



:

 . Chứng minh rằng tích các

f) Phương trình hai tiệm cận và hai đường chuẩn .



2

2

x a

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hyperbol 

y b H đến hai tiệm cận không đổi.

khoảng cách từ M bất kỳ trên 

A









2, 0

 F  1

4, 0 , F 4, 0 2

3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai tiêu điểm và điểm .

, FF 1 2

a) Lập phương trình hyperbol đi qua điểm A và có tiêu điểm .



2

H sao cho

MF 2

MF 1

2

2

H

:



 . Gọi d là đường thẳng qua O

1

. b) Tìm toạ độ điểm M trên 



x 4

y 9

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hyperbol 

có hệ số góc k.  là đường thẳng qua O và vuông góc với d.

H .

a) Tìm điều kiện đối với k để d và  đều cắt 

, d  và (H).

b) Tính theo k diện tích hình thoi với 4 đỉnh là bốn giao điểm của

c) Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất..

7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy viết phương trình chính tắc của hyperbol (H) đi qua điểm

030 .

2;3M 

2

2

E

:

 . Viết phương trình chính tắc của

1



và mỗi đường tiệm cận tạo với Oy một góc



x 12

y 2

8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip 

y

 

2

x

hyperbol (H) có hai đường tiệm cận là: và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elip.

d x :

 

y m

 và hyperbol

0

2

2

H

: 5

x

y 2



10

AB 

9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng





8 5 3

. Tìm m để d cắt (H) ở hai điểm A, B phân biệt và .

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

54

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 16: PARABOL

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy lập phương trình chính tắc của parabol (P) có đỉnh là gốc toạ

độ biết:

x   2

a) Đường chuẩn là

y   1

b) Đường chuẩn là

A

 và nhận trục hoành làm trục đối xứng.



 2, 1

c) (P) qua điểm

x

y 2

 một đoạn bằng

0

045 .

2

d) (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng và chắn trên đường thẳng



64

x



 P y :



: 4

x



3

y



46 0

 . Tìm A thuộc (P) sao cho khoảng cách từ A đến  nhỏ nhất. Tính khoảng cách

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho Parabol và đường thẳng

nhỏ nhất đó.

y

x

2.

3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol Một góc vuông ở đỉnh O cắt Parabol tại



const

.OB OB 1 2

, AA 1

2

, BB 1

2

1A và

2A . Hình chiếu của

2

0, 6

x 6

lên Ox là . Chứng minh rằng: .

M  và parabol 





 P y ;

AB 

3 10

4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm . Lập phương

2

I

trình các đường thẳng d qua M cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho .

x và điểm

0; 2



 :P y

. Tìm tọa độ hai

 0

 IA

 IB 4

P sao cho

,A B thuộc 

2

B

x

. 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  điểm

3;9

 A 



 :P y

và . trên parabol 

x 6

 P y :

090 . Chứng minh đường thẳng AB đi qua một điểm cố

. Gọi A, B là hai điểm phân biệt

 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy tìm hai điểm A, B để tam giác OAB đều. 1;1 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm Tìm điểm M trên cùn AB để diện tích tam giác MAB lớn nhất. 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol  2 thuộc (P) và khác O mà số đo góc AOB bằng định. 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm

A



3;0

2

x 8

I

. Tìm điểm B thuộc parabol (P) sao cho AB

 P y :

2; 4



và điểm

ngắn nhất. 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol  thuộc (P). Một góc vuông thay đổi quay quanh I và hai cạnh góc vuông cắt (P) ở A, B khác I. Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

55

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 17: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

z

x

y

2



P

4 0

   và hai điểm

 : 3

4, 0, 0 , N 0, 4, 0















 1;3; 2 , B 3; 7; 18

 A 





    .

1 0

P

y

x

z

 : 2

A







2

2

2

2

     . Tìm điểm đạt giá trị nhỏ nhất.

   1; 4;3 , B 5; 2; 7 , C 1;1;3 , D 1; 3; 1  sao cho

12 0







2

3

y

z



và mặt phẳng

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN. M a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng ( P ). b) Xác định tọa độ điểm Q sao cho QI vuông góc với mặt phẳng ( P ) đồng thời Q cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P). 2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm  a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P). b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.  3. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm  : M trên mặt phẳng  P x 4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có đỉnh

A

MA MB MC MD  

  1; 2;5

y

6

z

1

x

4

z

2

:









và hai trung tuyến là:

d 1

; d : 2

x  3  2

 2

 1

 1

z  2  4

 1

. Lập phương trình các cạnh của tam giác.

A



 2;0; 0 , C 0; 4;0 , S 0;0; 4 .









5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

y

1

z

1

d

:





a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật.Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S. b) Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với A qua đường thẳng SC.

 3 x  7

 2

 3

z

y

3 0

 : P x

6. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng

     và hai điểm A(3;1;1) , B(7;3;9). a) Lập phương trình đường thẳng  đối xứng với d qua (P)  b) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để MA MB

5; 2; 3

M

 đạt giá trị nhỏ nhất

 và mặt phẳng





y

x

2



P

1 0

z

   .

 : 2

tọa độ Oxyz, cho điểm

1

x

1





:



 2

 1

z  5  6

7. Trong không gian với hệ  a) Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P). Tính độ dài đoạn M1M. y b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và chứa đường thẳng .

0; 3; 6

2;0; 0

A

 M 



  tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO. Tìm

 9 0

 y 2

 : P x

, .

 3.

OABCV

 và mặt phẳng

A





 0;0; 3 , B 2; 0; 1





x

P

  . 1 0





8

7

y

z

 : 3

8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm a) Chứng minh rằng mặt phẳng  tọa độ tiếp điểm. b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho

x

1

z

1

A

:

d





9. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm  a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). b) Tìm tọa độ C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều.



 3; 0; 2 , B 1; 2;1





 3

 1

10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm .

y  2 có độ dài nhỏ nhất.

  a) Tìm điểm I thuộc d sao cho IA IB

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

56

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

 .

 vuông góc với đường thẳng d. Tính độ dài A B

b) Kẻ AA , BB 11. Trong không gian với hệ tọa độ trục chuẩn Oxyz a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm

M

N

3;0; 0



 0; 0;1





, và tạo với mặt

Oxy một góc

 3

. phẳng 

 A a

 ; 0;0 , B 0;

 b ;0 , C 0;0;



2

2

2

c





  . Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O 3

 c với a, b, c là các số dương thay đổi và thỏa mãn 0;0;0 đến mặt phẳng 

 ABC đạt giá



a b trị lớn nhất.

y

1

z

1

b) Cho 3 điểm

d

:





x 2

 1

 2

z

x

2

Q

: 2

  y

5 0

    2 0





z P và (Q). Tính AB.

P và 

Q .



 2; os2010 ; os2011

os2011





A





c

c

c

c

;

c os2010 ;3



12. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và hai mặt phẳng

 , C 2;







2011 2

còn đỉnh D nằm

  P x :   y a) Gọi A, B là giao điểm của d với  b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và tiếp xúc với và tiếp xúc với  13. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có ba đỉnh   

 , B 3; os  

1

x

z

y

y

1

1

1

3

z





:





; d : 2

d 1

 2

 2

 2

1d ,

2d .

 1 1d , b) Lập phương trình đường thẳng

 0; 1; 2

P





1d ,

2d lần lượt tại A và B khác I sao cho

x  1 2d và viết phương trình mặt phẳng (Q) qua 3d qua cắt

AB .

x

)P có phương trình thuộc mặt phẳng

trên trục Oy. Tìm tọa độ đỉnh D sao cho tứ diện có thể tích bằng 5. 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng với phương trình:  2 a) Tìm tọa độ giao điểm I của

3;1;1 , B 7;3;9 , C 2; 2; 2

A

y     z 3 0 P  sao cho











.Tìm M

nhỏ nhất.

AI 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (  và các điểm    MA MB MC

2

2

2

:

y

x

S



4 0







2

z

z



x

8 0

2

y

z

   . Tìm điểm M thuộc 

2 x S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng 

  và mặt phẳng  là

  3 2

y

1

1

x

 2

z

:



;







:











 1

2

16. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu    : 2   lớn nhất. 17. Trong không gian Oxyz, cho điểm

1 , P thuộc 

2 sao cho 3

x 2

z  1  1

 1

 1

 M 0;1;2 và hai đường thẳng: y  1  2

 1 điểm M, N, P cùng nằm trên một đường thẳng.

2

2

2

:

S





z

2

x



2

z

2 0

  và các điểm

   

0;1;1 , B 1; 2; 3 , C 1; 0; 3

 . Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD





x 

y 

 

. Tìm N thuộc 

y

2

18. Cho mặt cầu:   A lớn nhất.

d

:





A

1, 2, 4

 1, 4, 2



 B 



 x 1  1

 1

z 2

19. Cho hai điểm , và đường thẳng .

a) Tìm tạo độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho:

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

57

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2

2 MA MB

nhỏ nhất ii) nhỏ nhất   i) MA MB

iii) MA + MB nhỏ nhất iv) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến mp (P) là lớn nhất.

c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất..

R chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy góc lớn nhất.

d) Viết phương trình mặt phẳng 

1

1

1

x

y

z

e) Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng d, viết phương trình các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến nó là: a) Lớn nhất b) Nhỏ nhất.





:

d 1

 1

 2

 1 thẳng d, viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách giữa nó và

1d là lớn nhất.

x

2

y

2

z

3



:





f) Cho đường thẳng . Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt đường

 3

 2

 2

20. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng .

Tính khoảng cách từ A đến . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt  tại hai điểm B và C sao cho

BC = 8. (A-2010- Nâng cao) 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;-3;0),

B(4;0;0), C(0;3;0), B1(4;0;4).

a) Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng

(BCC1B1).

b) Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song

song với BC. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài MN. ( B-2005)

22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P) :

x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

(D-2004)

x



2

y

   và mặt cầu

4 0

z

2

2

23. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2

x



y



z

2 2 

x



4

y



6

z



11 0

 . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đ-

(S):

ờng tròn. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đờng tròn đó. (A-2009- Chuẩn)

24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D

b) Tìm tọa độ tâm đường trón ngoại tiếp tam giác ABC. (D-2008)

25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1),

C(-2;0;1)

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

58

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

b) Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho

MA = MB = MC. (B-2008)

26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt

phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0.

a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính

bằng 3.

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn

x

1

z

2





nhất. (B-2007)

 2

y 1

 2

27. Trong không gian với hê tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d : .

a) Tìm tọa độ hình chiều vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.

b) Viết phương trình mặt phẳng () lớn nhất. (A-2008)

28. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z  3 = 0 và (Q): x  y + z  1 = 0.

Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.

(D-2010- Chuẩn).

y

1

z

1

x

2

z

3





29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:





 1 x  1

 2

 1

 2

 y 2  1

 1

d1 : , d2 :

a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.

y

3

z

3

b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. (D-2006).





x  1  1

 2

 1

30. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng d : và mặt phẳng

(P) : 2x + y – 2z + 9 = 0.

a) Tìm toạ độ điểm I sao cho khoảng cánh từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.

b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số

của đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P), biết  đi qua A và vuông góc góc với d.

(A-2002)

t 1 4

   t 3 2 x   1   t y      z 

31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d : Viết

phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. (B-2004).

32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0),

B(1;0;0), D(0;1;0) , A’(0;0;1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

59

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

1

6

b) Viết phương trìng mặt phẳng A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc  biết cos=

(A-2006).

y

1

33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :





x 2

 1

z  1  1

t

x 1   t   y    t 1 2     2 z 

d1 : , d2 :

a)Viết phương trình đường thẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2.

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.(B-2006)

z

2





   1 2 t   1 t

34. Trong không gian với hệ toạ độ Oyxz, cho hai đường thẳng

x 2

y  1  1

 1

3

x   y    z a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.

d1: ; d2:

b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai

đường thẳng d1, d2. (A-2007)

y

2

35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;4;2) , B(-1;2;4) và đường thẳng





x  1  1

 1

z 2

d : .

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với

mặt phẳng (OAB).

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất. (D-2007)

36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm

A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình

đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. (B-2009- Nâng cao)

37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng

(P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song





song với mặt phẳng (P). (D-2009- Chuẩn)

 x 2 1

 y 2 1

z  1

và mặt phẳng (P): 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D:

x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với

y

1

đường thẳng D. (D-2009- Nâng cao)

 . Xác định tọa độ điểm M trên



x 2

 1

z 2

39. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến  bằng OM. (B-2010- Nâng cao)

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

60

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

t

x

2

y

1



 . Xác

 2

 1

z 2

t

  3x    t y   z

40. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: và 2:

định toạ độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ M đến 2 bằng 1. (D-2010- Nâng cao)

41. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0;0;8) và điểm

 C sao cho AC

=(0; 6; 0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. (B-2003)

42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-

1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng

x

1

z

khoảng cách từ D đến (P). (B-2009- Chuẩn)



:





 2

y 1

 2  1

43. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P) : x  2y +

z = 0. Gọi C là giao điểm của  với (P), M là điểm thuộc . Tính khoảng cách từ M đến (P), biết

MC = 6 . (A-2010- Chuẩn)

44. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), trong đó b, c

dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt

1 3

phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng . (B-2010- Chuẩn)

45. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,

AC cắt BD tạo gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B (0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung điểm cạnh SC.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đưởng thẳng SA, BM.

b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối hình chóp

A.ABMN. (A-2004)

46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1. Biết A(a; 0; 0),

B(-a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(-a; 0; b), a > 0, b > 0.

a) Tình khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b.

b) Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a,b để khoảng cách giữa hai đường

thẳng B1C và AC1 lớn nhất. (D-2004)

47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ có A trùnh với gốc của hệ tọa độ, B(a; 0; 0) , D(0; a; 0), A’(0; 0; b)

(a>0, b>0). Gọi M là trung điểm cạnh CC’.

A BD

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.



MBD vuông góc nhau. (A-2003).

a b

b) Xác định tỉ số để hai mặt phẳng  và 

A 1;5;0 , B 3;3; 6 và đường









48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

61

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

x

1





z 2

. Xác định vị trí của điểm C trên đường thẳng d để diện tích tam giác ABC thẳng d:

y   1  1 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 49. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A 2; 0; 0 và





J 2; 0; 0 . Giả sử   

B 0; b; 0 ,

 là mặt phẳng thay đổi,   C 0; 0;c





b c

 

nhưng luôn đi qua đường thẳng AJ và cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại các điểm

bc 2

và tìm b, c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. với b, c 0 . Chứng minh rằng:

A 5;5; 0 và đường thẳng

d :









 x 1 2

 y 1 3

z 7   4



50. Trong không gian Oxyz, cho điểm . Tìm toạ độ



:

các điểm B, C thuộc d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC 2 17 .



  2;3; 0 , B 0;



t

 x t   y 0    2 z 

51. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng . A  2; 0

x

2

:





d

:

t



Tìm C   sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. 52. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

 . Chứng minh hai đường thẳng trên chéo nhau. Hãy





d 1

2

 2

y  1  1

z 2

t

x   t 2 2   y  3    z

2

và

, d d . 1 S lần lượt có phương

2

2

2

z

z

x

y

2

2

4







25.

 

3 0 ;

 và mặt cầu  Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu 

S và







 1

S qua mặt phẳng 

 .

viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng 









,

,    lần lượt là các góc của các mặt phẳng (OAB), (OBC) , (OCA) với mặt phẳng (ABC).

2

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua H, cắt các

  trình: y     x 2   . Viết phương trình mặt cầu  V đối xứng với  mặt phẳng    54. Trong không gian Oxyz, cho điểm H 4;5;6 . trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. 55. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại   A a;0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c Gọi Chứng minh rằng: c

 1.

2 

2 

os

os

os







c

c

z

1



d

:





d 1 :

2

x 1

y 1

z  và 2

 x 1  2

y 1

 1



56. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: . Chứng

 sao cho đường thẳng AB song song với mặt phẳng

,d d chéo nhau. Tìm 1

2

A d B d , 1

2

AB 

2

y

z

   và độ dài 0

minh



 : P x

.

A

B

C

   1;0; 1 ,



  2;3; 1 ,

  1;3;1

y

1

d

:





57. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm và đường

x 1

 1

z  3  2

thẳng . Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho thể tích khối tứ diện

ABCD bằng 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng  qua trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

62

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

x

1 0

y

z

P

    và hai đường thẳng



 : 2

z

z

y

x

y

x

1

3

2

1

2

1

58. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

:

:

d









2

d 1

 2

 1

 2

 2

 3

, . Viết phương trình đường thẳng  song song với

2

1d và cắt đường thẳng tọa  z 6

  z

: 2



4

2

S

y

y

2d tại điểm C có hoành độ bằng 3. phẳng cho   . Điểm M di động trên (S), điểm N di



Oxyz, mặt Trong  y x 2 độ 5 0 hệ  x gian  2  x :

 3 mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng với không 59.   2   16 0, z P động trên (P). Tính độ dài ngắn nhất của MN. Xác định vị trí của MN tương ứng. 60. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

z

y

x

6

8

:

:

d





;

2

d 1

 2

 1

 10  1

A

2;3;3

C

 x t  2 y   t      z  Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt 

4 2 t 1d tại A, cắt 2d tại B. Tính AB.       3; 1; 2 , B 1;5;1 ,



2

2

2









2

6

S

x

x

y

z

:



  z



2

x

y

z  y 4  song song với   . Viết phương trình mặt phẳng 

 : 2

 và mặt phẳng 11 0  và cắt (S) theo giao

, trong đó

x

1







:

61. Trong không gian Oxyz, cho hình thang cân ABCD với AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm tọa độ điểm D. 62. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu     17 0 tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6.

 chứa đường thẳng

 1



x



2

y

   góc 1 0

z

và tạo với 63. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 

 : 2

1

2

1

x

y

2;1; 4

M





d

:

mặt phẳng 





z y  2 1  060 . Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng   với trục Oz.  x 2

 1

 1

64. Trong không gian Oxyz, cho điểm và đương thẳng . Tìm điểm

4



Hx   .

S

HMO

33 2

d

,

m



0,

m



1

:





H thuộc d sao cho biết

m

x m

y  m

1

z  1  1

65. Trong không gian Oxyz, cho họ đường thẳng . Chứng minh

x

y

1

1

z

1

rằng: md nằm trong một mặt phẳng cố định khi m thay đổi.

I

d

:





 1;0;3



 1

 2

 2 vuông tại I.

2;0;0

5 0

A

B

P

x

y

z

,A B sao cho cho  

 0; 0; 4 ,

 : 2



66. Trong không gian Oxyz, cho điểm và đường thẳng . Viết phương

IAB và mặt phẳng      . ,O A B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng

,

trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm 67. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua

5 6

A

(P) bằng .



 0;1;1

1

x

1

y

2

:





,

d

:

68. Trong không gian Oxyz, cho điểm và hai đường thẳng:

d 1

2

 3

 1

z 1

t

x     y  t    1 z 

2d .

2

P

x

2



: 2

 y m

m 3



0

.Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , vuông góc với

1d và cắt 69. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

 và mặt cầu

2

2

2

x

S











y

z

9

  . Tìm m để mặt phẳng 

 P tiếp xúc với mặt cầu 

S . Với m tìm

 1

  :

 1

 1





 được, hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

63

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2

2

2





x

y

z



 30 0

2

2

2

16 0









8

6

y

x

y

z

 2 z  2 S 1 :  4 x  y 2S 1S và   . Chứng tỏ rằng hai mặt cầu 

 2 :

tiếp xúc trong với

70. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu    x S nhau. Viết phương trình tiếp diện chung của chúng.

y

1

:





  A  1; 1;1

x  1

 2

z 3

y

1

z

4

71. Trong không gian Oxyz, cho điểm và hai đường thẳng: 1 d

d và điểm A cùng nằm trong một mặt

d

:





, d 1

2

2

x 1

 2

 5

.Chứng minh hai đường thẳng

phẳng.

A

0; 0;

B

S

 2; 2; 0 ,

 2;0; 0 ,







m . Gọi H là hình chiếu vuông 0m  diện tích tam giác

72. Trong không gian Oxyz, cho điểm

B

A

C

2; 0;0

,

 góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng SA . Chứng minh rằng với mọi OBH nhỏ hơn 3. 73. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với





 0; 2; 0 ,





 0;0; 2 , . Tìm các điểm có tọa độ nguyên nằm trong tứ diện.

2; 2; 2





2

2

2









4

4

S

2

x

y

y

x

z

z

:

0

7

  và đường thẳng md

mz

4

:

  và 4 0

  m y



 x my

: 2





z

 1

S nằm trên một

   . Chứng minh rằng các giao điểm của md và  8 0

D 74. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   là giao tuyến của hai mặt phẳng:      x 1 2     m 2 đường tròn cố định khi m thay đổi. Hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

x

3

y

2





 2

 1

z  1  1

75. Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d: và mặt phẳng

x

    . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng  nằm trong

2 0

y

z

(P):

3

3

2

1

y

x

z

:





d

:





d 1

2

 1

 1

 3 z  2

 1

 4 y  2

 1

mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới  bằng 42 . 76. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;2;3) và hai đường thẳng x và .Chứng minh đường thẳng d1; d2 và điểm A

cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH và d2 chứa đường trung tuyến CM của tam giác ABC.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

64

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 18: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao là h và góc ở đáy của mặt bên bằng . Tính

thể tích khối chóp S.ABC.

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng . Cho biết khoảng

cách từ chân đường cao đến mặt bên bằng a. Tính thể tích của hình chóp.

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.Abc . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a và góc

030 . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp.

hợp bởi AB với mặt phẳng (SBC) bằng

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi (P) là mặt phẳng qua A song

song với BC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (SBC), góc giữa mặt phẳng (P) và đáy bằng .

Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và .

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau.

2

a) Chứng minh S.ABCD là hình chóp đều

39a 2

b) Tính cạnh của hình chóp S.ABCD khi thể tích của nó bằng .

 trong mỗi trường hợp sau:

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích của khối chóp theo a và

a)  là góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

b)  là góc giữa mặt bên và mặt đáy.

c)  là góc giữa đường cao và mặt bên.

d)  là góc ở đỉnh của mặt bên.

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và

a 3 6

khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD) bằng . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên

(SCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a.Mặt phẳng

045 . Tính thể tích khối chóp S.ABC

(SBC) vuông góc với đáy. Các mặt bên hợp với đáy góc

Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo là tam giác vuông.

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác đều

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

c) Tính tan biết  là góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

65

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2a 3 3

SBD cùng vuông góc với đáy.

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , chiều cao bằng a

SAC và  



và hai mặt chéo 

a) Chứng minh S.ABCD là hình chóp đều.

b) Tính thể tích khối chóp

c) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết  0  BAC 120

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Hai mặt bên (SAB) và (SAD)

vuông góc với đáy. Đường chéo AC của đáy tạo với cạnh AB một góc . Cạnh SC có độ dài bằng a

và tạo với mặt phẳng (SAB) một góc . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a,  và .



. Hai mặt bên Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, BC = 2a

060 .

(SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc

a) Tính thể tích khối chóp.

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).

Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy

 và SA a 2

. Trên AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ACM  . Hạ SN vuông góc với CM.

a) Chứng minh N luôn luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo a

và .

b) Hạ AH vuông góc với SC và AK vuông góc với SN. Chứng minh SC vuông góc với mặt

Cạnh bên SA vuông

 . Tính thể tích của khối

phẳng (AHK) và tính độ dài HK. Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,  0  BAD 60 . góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a . Gọi C là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC và



 .

song song với BD; cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B , D



chóp S. AB C D

 có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường chéo BC của mặt



Bài 16: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C

 BCC B

ABB A

030 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.









 có chiều cao bằng h. Góc giữa hai đường

0

0

một góc bên  tạo với mặt bên 



 

90

chéo của hai mặt bên kề nhau kẻ từ một đỉnh bằng . Tính thể tích khối lăng trụ đã

 Bài 17: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A B C D  0



cho.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

66

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM



 có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

Bài 18: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C



 AB a, AA =2a, A C= 3a



. . Gọi M là trung điểm của đoạn A C , I là giao điểm của AM và A C





Tính theo a thể tích tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).

 có AB a, AC = 2a, AA =2a 5



. Gọi và  0  BAC 120 Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C

A BM





 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A cách

. M là trung điểm cạnh CC . Chứng minh MB vuông góc với MA và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 

Bài 20: Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C

060 . Tính thể tính khối lăng trụ.



 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

đều các đỉnh A, B, C. Cạnh AA tạo với đáy góc

Bài 21: Cho lăng trụ ABC.A B C

AB a, AC = a 3





.

và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh







BC. Tính theo a thể tích khối chóp A .ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA , B C

 có đường chéo AC a

  và lần lượt tạo với ba

0

0

0

Bài 22: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D





60 , =45 , =60





và AD các góc . Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đã cạnh AA , AB







 có cạnh bằng a. Chứng minh

cho.

 B D



  A BC











và Bài 23: Cho hình lập phương ABCD.A B C D

theo a. tính thể tích khối đa diện có các đỉnh B , A , B, C , D







 . Chứng minh:

Bài 24: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA,

SB, SC , SD theo thứ tự A , B ,C , D





V



V



V



V

S.ABC

S.ACD

S.ABD

S.BCD







SA SC SB SD   SA SC SB SD



a) ; b) .





ABC để thể tích khối chóp lớn nhất.

SA SBC và  

ABC 

, tam giác ABC vuông cân đỉnh C và SC a . Tính

A , B ,C . Mặt phẳng 

1

1

1

Bài 25: Cho hình chóp S.ABC có góc  giữa hai mặt phẳng  Bài 26: Cho điểm M cố định nằm trong góc tam diện Oxyz cố định. Các mặt phẳng qua M và song  di động qua M và cắt với các mặt tam diện cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại

1

1

Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác O.





 1

OA OB OC 1 OA OB OC 1

1

1

e

a) Chứng minh







 để

V

V

V

V

OMAB

OMBC

OMCA

OABC

đạt giá trị lớn nhất. b) Tìm vị trí 

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

67

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Chủ đề 19:

BẤT ĐẲNG THỨC







.

a b c  . Chứng minh rằng:

0

,

,

1 

1 3

3

3

3



abc

b



c



abc

c



a



abc

1 abc

1. Cho

a b c  thỏa mãn:

0

,

,

1 3  b    .

a b c

2. Cho









30

2

2

1 2 b

1 ab





1 ca

x

y

z



x



y



z

2



2



2

2



2



2



Chứng minh rằng: .



x y z , ,





81 8

. 3. Cho 0

x y z thỏa: ,

,

a 1 1 a c bc  . Chứng minh rằng:  1  z 3



2

y

x

 . 2

2

2

2

4. Cho các số thực

1





2 1



y



3 1



z



2

x 2

2 10 2

2

Chứng minh rằng: .

2

y



x

, y

 

2

x



3

x

x

y

5. Cho



y

 . 2  z

y

z



x





2

2

2

2

2

2

2010



x

. 2010



y

2010



y

. 2010



z

2010

z

. 2010



x

2

x

y 

.

. Chứng minh rằng: x 6. Chứng minh rằng: .

log

 . Chứng minh rằng:

1

2

x



y

2





x

22 y



 9 2

2

C

4

4

4

4



7. Cho x, y là hai số thực thỏa:

\ 0 .





C



C

  ...

0 C n

1 n

2 n

n C n















n

n 2 n 

 1

8. Chứng minh rằng: với mọi nN  

a b c

  

a b c  thỏa mãn: ,

0

,

3

 3 4 3

a



b 3



b



c 3



c



a 3

3

9. Cho .

 . Dấu “=” xảy ra khi nào?

Chứng minh rằng: 3

   thì x

1

y

x y



y x

 . Dấu “=” xảy ra khi nào?

1 4

x

y

z

10. Chứng minh rằng nếu 0

,

 x y z thỏa mãn 3 ,





 3

 . Chứng minh rằng:

1

 3 z

y

y

x

x

z



3

3



11. Cho các số thực







x

 z x

 y z

 x y

y

z

9 

9 

3

3

3

.

9 3  3 12. Cho x, y, z thỏa mãn:

3 3 4    . z x

0

y

x

y

z





 3 4



 3 4

 . 6

2

Chứng minh rằng: 3 4



x

1





256.

1



x y  ta có:  , 0 1



y x

9 y

  

      

   











13. Chứng minh rằng với mọi

a b c  . Chứng minh rằng:

0

,

,

a  a b

b  b c

c  c a

a  b c

b  c a

c  a b

2

2

4

3

2

a

b

14. Cho .

x



ax



bx



ax

  có nghiệm thì

1 0

4  . 5

z

y

x

15. Chứng minh rằng nếu phương trình

x y z , ,

5 2

   2 2

7 3



9

z

y

x





 1;   

  

2

2

2

x y z , ,

. 16. Cho . Chứng minh rằng:

4 4 ; 3 3

z zx

 

2 1

 

 

y yz

x xy

   

  

0

. 17. Cho . Chứng minh rằng:

b c  . ,

0

abc

       a  2 a bc       a b c 

18. Cho . Chứng minh rằng:

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com

68

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

2

1





cos

A



cos

B



cos



 C x

x 2

2

2

2

19. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: x R.

a



b



c

 . 5

20. Cho . Chứng minh rằng: ,  2  0 a b c ,    3 a b c

,

  y

z

x



y y )(



z

 . 2

 xyz x

 . Chứng minh rằng:   1





x

  

y

z

x



y



z

21. Cho    x y z  thỏa: 0 ,

x y z  thỏa: , 0

,





yz x 3

2 3 3 6

n

n

n

 1

n

 1

n

n

 1

22. Cho . Chứng minh rằng: .

x



y



x



y

. Dấu

x y ,

0;

23. Cho 2 n N và hai số thực x, y không âm. Chứng minh rằng: “=” xảy ra khi nào?



x

cos

y

 

1 cos

xy

π 3

  

24. Cho các số thực x, y thỏa mãn: . . Chứng minh rằng: cos

    x y z  . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ,

0

,

3

3

3

3

3

3

3

3

3

25. Cho













3

,

0

a b  thỏa mãn

2

2









a

b



.

3 2

2

2

   . Chứng minh rằng: 3 b  a 1 b a

ab  a b 1

   . Chứng minh rằng:

. P  4 x  y  4 y  z  4 z  x  2   x 2 y y 2 z z 2 x       26. Cho

 b b

ln

ln

a

a

ln

a



ln

b

a b c  ,

,

.

ab a b 3 a  b 1 27. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn: 0 28. Cho ba số thực

 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



 0;1







P

.

c a   b 1

4

4

4

y

x

xyz





x

y

z

   . Chứng minh rằng:     

1 a

50

b

d

c

 . . Chứng minh bất đẳng

 a b  c 1 x y z là ba số thực thỏa mãn điều kiện: , 29. Cho 30. Giả sử

b c   a 1 z , a b c d là bốn số nguyên thay đổi thỏa mãn 1 ,

,

, 2

b

50

S

.





a   b

c d

a b

c d

  b 50 b

2

x

e



cos

x

  

2

x

x

thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 R.

x 2





1 y

1 x

1 z

xy yz zx 9

31. Chứng minh rằng:

x y z



3

x y z  thỏa mãn: ,

0

,

xyz  . Chứng minh:

3

x



y

x

y

2010 2011

1 2011

32. Cho .



e



e

.

e

2010 2011

1 2011

x  1 x

33. Chứng minh rằng với mọi x, y ta có:

x

1  x 1 x



  x



 0;1

2 e

2

2

2

2

a



b



c



d

 . Chứng minh:

4

3

3

3

3

34. Chứng minh rằng: .







b

d

c

x

, y, z



xyz





x



y



z

35. Cho a, b, c, d là các số thực dương sao cho: a

 . 1

 . 8 

 0,1

 1

 1

 1



2

2



xy



y



3

x

36. Cho . Chứng minh rằng

2

2



yz



z



16

37. Cho các số thực x, y, z thỏa: .

xy



yz



zx

   y   . 8

  

2011

Chứng minh rằng:

,a b c là các số dương thỏa mãn

,

1 a

1 c

1 b



P





38. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1   a b c

2

1  b c 2

1   a b

c 2

a



.

Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam 0982 333 443 ; 0934 825 925

www.MATHVN.com