CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ
Fb: ThayTrongDgl Trang 1
CHƯƠNG 1
VECTƠ
BÀI 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Để xác định một véctơ cần biết một trong hai điều kiện sau:
- Điểm đầu và điểm cuối của vectơ.
- Độ dài và hướng.
2. Hai vectơ
a
và
b
được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Nếu hai vectơ
a
và
b
cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
3. Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
4.
=
ab
khi và chỉ khi
=
ab
và
a
,
b
cùng hướng.
5. Với mỗi điểm
A
ta gọi vectơ
AA
là vectơ-không. Vectơ-không được kí hiệu là
0
và quy ước rằng
00=
, vectơ
0
cùng phương cùng hướng với mọi vectơ.
Lời gii
Xét các điểm
, , , ,A B C D E
phân biệt.
Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên là:
, , ,AB AC AD AE
,
, , ,BA BC BD BE
,
, , ,CA CB CD CE
,
, , ,DA DB DC DE
,
, , ,EA EB EC ED
.
Vậy có 20 véctơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho.
DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỘT VECTƠ, SỰ CÙNG PHƯƠNG VÀ HƯỚNG CỦA HAI
VECTƠ.
PHƯƠNG PHÁP
• Để xác định vectơ ta cần biết điểm đầu và điểm cuối của vectơ hoặc biết độ dài và hướng của chúng.
Chẳng hạn với hai điểm
,AB
phân biệt, ta có hai vectơ khác vectơ-không là
AB
và
BA
.
• Vectơ
a
là vectơ-không khi và chỉ khi
0=
a
hoặc
=
a AA
với
A
là điểm bất kì.
CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ
Fb: ThayTrongDgl Trang 2
Lời gii
a) Xét hai điểm
,AB
phân biệt. Ta có
,
AB BA
.
Vậy có 2 vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho.
b) Xét các điểm
,,A B C
phân biệt.
Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên là:
,
AB AC
,
,
BA BC
,
,
CA CB
.
Vậy có 6 vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho.
c) Xét các điểm
, , ,A B C D
phân biệt.
Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên là:
,,AB AC AD
,
,,BA BC BD
,
,,CA CB CD
,
,,DA DB DC
.
Vậy có 12 vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho.
Lời gii
Giả sử hình bình hành là
ABCD
. Có
12
vectơ khác nhau và khác vectơ – không, có điểm đầu và
điểm cuối một trong bốn điểm của hình hành là
AB
,
AC
,
AD
,
BA
,
BC
,
BD
,
CA
,
CB
,
CD
,
DA
,
DB
,
DC
a) Các bộ vectơ cùng phương với nhau:
*
AB
,
BA
,
CD
,
DC
.
*
AD
,
DA
,
BC
,
CB
.
*
AC
,
CA
.
*
BD
,
DB
.
b) Các cặp vectơ cùng phương nhưng ngược hướng.
AB
và
BA
;
AB
và
CD
,
BA
và
DC
,
AD
và
DA
,
AD
và
CB
,
DA
và
BC
,
AC
và
CA
.
BD
và
DB
.
C
A
D
B
CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ
Fb: ThayTrongDgl Trang 3
A
B
C
AB
AC
AB AC
AB
AC
AB
AC
AB AC
Lời gii
a)
AB
và
AC
cùng hướng,
AB AC
.
AB
và
AC
cùng hướng
điểm
A
nằm ngoài đoạn
BC
. Do
AB AC
nên điểm
C
là điểm giữa
của hai điểm
A
và
B
.
b)
AB
và
AC
ngược hướng.
AB
và
AC
ngược hướng nên điểm
A
là điểm giữa hai điểm
B
và
C
.
c)
AB
và
AC
cùng hướng và
AB AC
.
AB
và
AC
cùng hướng và
AB AC
nên điểm
B
là điểm giữa của hai điểm
A
và
C
.
u
v
Lời gii
Có, chọn vectơ đó là vectơ
0
, vectơ
0
cùng phương với mọi vectơ.
u
v
w
Lời gii
Chú ý rằng hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Giả sử
u
và
v
không cùng hướng.
Khi đó vì
w
cùng phương với
u
nên
w
cùng hướng hoặc ngược hướng với
u
.
Nếu
w
cùng hướng với
u
thì bài toán được chứng minh.
Nếu
w
ngược hướng với
u
thì
v
,
w
cùng ngược hướng với
u
nên hai vectơ
v
,
w
cùng hướng nhau.
0
0
0
CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ
Fb: ThayTrongDgl Trang 4
Lời gii
Trong các khẳng định trên thì:
a) Khẳng định sai trong trường hợp vecto thứ ba là vecto
0
.
b) Khẳng định đúng.
c) Khẳng định sai trong trường hợp vecto thứ ba là vecto
0
.
d) Khẳng định đúng.
e) Khẳng định đúng.
f) Khẳng định sai. Vì: điều kiện cần và đủ để hai vecto bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau và
cùng hướng.
ABC
,,D E F
,,BC CA AB
=
EF CD
Lời gii
Theo giả thiết, ta có:
,,D E F
lần lượt là trung điểm của
,,BC CA AB
.
EF
là đường trung bình
ABC
và
( )
11
2
=EF BC
.
Lại có
D
là trung điểm
( )
12
2
=BC CD CB
.
Dễ thấy
EF
cùng hướng
( )
3CD
Từ
( ) ( ) ( )
1 ; 2 ; 3 =EF CD
.
DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH HAI VECTƠ BẰNG NHAU
PHƯƠNG PHÁP
Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta có thể dùng một trong ba cách sau:
• Cách 1:
=
ab
và
;
ab
cùng hướng
=
ab
.
• Cách 2: Tứ giác
ABCD
là hình bình hành
=
AB DC
và
=
BC AD
.
• Cách 3: Nếu
;==a b b c
thì
=
ac
.
CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ
Fb: ThayTrongDgl Trang 5
ABCD
M
N
BC
AD
I
AM
BN
K
DM
CN
=
AM NC
=
DK NI
Lời gii
• Chứng minh
=AM NC
.
Ta có:
M
trung điểm
1
2
→=BC MC BC
.
N
trung điểm
1
2
→=AD AN AD
.
Mà
= = AD BC AN MC
Tứ giác
AMCN
là hình bình hành
=
AM NC
.
• Chứng minh
=
DK NI
.
Ta có:
//
//
=
AN MB
AN MB ABMN
MN AB
là hình bình hành
I
là trung điểm
( )
11
2
=NB NI NB
.
Ta có:
//
//
=
DN MC
DN MC CDNM
MN DC
là hình bình hành
K
là trung điểm
( )
12
2
=MD DK DM
.
Dễ thấy
BNDM
là hình bình hành do
//
=
BN MD
BN MD
nên
( )
3=ND BM
.
Từ
( ) ( ) ( )
1 ; 2 ; 3 =DK NI
.
ABC
H
O
B
B
O
=
AH B C
Lời gii