CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI<br />
MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG VÀ TRẠNG THÁI HAI<br />
MODE KẾT HỢP PHẢN ĐỐI XỨNG<br />
NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br />
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br />
<br />
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng trạng thái hai mode kết<br />
hợp đối xứng và hai mode kết hợp phản đối xứng làm nguồn rối lượng<br />
tử hai mode để chuyển vị lượng tử một trạng thái kết hợp. Đầu tiên,<br />
chúng tôi chỉ ra rằng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng và hai mode<br />
kết hợp phản đối xứng bị đan rối theo [8]. Tiếp theo, sử dụng nguồn rối<br />
này để chuyển vị một trạng thái kết hợp. Cho thấy, trạng thái hai mode<br />
kết hợp đối xứng cho chuyển vị với độ trung thực 0.8 < Fav < 1, nhưng<br />
trạng thái hai mode kết hợp phản đối xứng thì không cho chuyển vị với<br />
độ trung thực Fav < 0.5.<br />
1 GIỚI THIỆU<br />
Sự truyền và nhận thông tin một cách tức thời dựa trên tính chất của các hạt vi mô, khi<br />
đó bên gởi và bên nhận cùng chia sẻ với nhau một trạng thái rối lượng tử hai mode trở lên.<br />
Cách truyền, nhận thông tin này gọi là chuyển vị lượng tử. Mô hình chuyển vị đầu tiên<br />
được đưa ra bởi Bennett [3], sau đó nhiều mô hình khác được đưa ra như hình thức luận<br />
hàm Wigner [5], hình thức luận biên độ trực giao [6], trạng thái Fock [7]. Sau đó, bài báo<br />
của Janszky, Koniorczyk, Gabris đã đề cập phương thức đơn giản hơn được viết dưới dạng<br />
các trạng thái kết hợp. Sau đó, bài báo của Caves [4] đã thảo luận về quá trình chuyển vị<br />
lượng tử với trạng thái Gauss.<br />
Trong bài báo này, chúng tôi tổng quan lại quá trình chuyển vị lượng tử dưới hình thức<br />
các trạng thái kết hợp, từ trạng thái đo lường Bell [2], với độ trung thực trung bình và<br />
toán tử dịch chuyển được đưa ra tường minh hơn. Hơn nữa, chúng tôi sử dụng trạng thái<br />
hai mode kết hợp đối xứng và hai mode kết hợp phản đối xứng làm nguồn rối giữa bên gửi<br />
và bên nhận (là những trạng thái phi Gauss) có dạng:<br />
|ψ<br />
<br />
⟩<br />
ab<br />
<br />
=√<br />
<br />
)<br />
(<br />
⟩ ⟩<br />
⟩ ⟩<br />
1<br />
|α a |β b + |β a |α b ,<br />
2(1 + x)1/2<br />
<br />
Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br />
ISSN 1859-1612, Số 04(24)/2012: tr. 28-34<br />
<br />
(1)<br />
<br />
CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP...<br />
<br />
29<br />
<br />
(<br />
)<br />
⟩ ⟩<br />
⟩ ⟩<br />
1<br />
|β<br />
−<br />
|β<br />
|α<br />
|α<br />
,<br />
(2)<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
ab<br />
2(1 − x)1/2<br />
⟩ ⟩<br />
⟨<br />
⟩<br />
trong đó |α , |β là các trạng thái kết hợp, x = | α|β |2 = exp(−|α − β|2 ). Các trạng thái<br />
này dùng làm nguồn rối để chuyển vị lượng tử một trạng thái kết hợp theo mô hình chuyển<br />
vị lượng tử biến liên tục theo H. F. Hofmann, T. Ide, T. Kobayashi [1].<br />
và<br />
<br />
|ψ<br />
<br />
⟩<br />
<br />
=√<br />
<br />
2 KHẢO SÁT TÍNH ĐAN RỐI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐỐI XỨNG VÀ<br />
HAI MODE KẾT HỢP PHẢN ĐỐI XỨNG<br />
Để thực hiện quá trình chuyển vị lượng tử cho trạng thái hai mode kết hợp đối xứng đưa<br />
ra ở phương trình (1) và hai mode phản kết hợp đối xứng đưa ra ở phương trình (2). Trước<br />
hết, các trạng thái này phải là các trạng thái rối lượng tử. Thật vậy, áp dụng điều kiện<br />
đan rối cho hệ hai mode do Hillery-Zubairy [9]<br />
⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab† ⟩|2 < 0.<br />
Với trạng thái hai mode kết hợp đối xứng, tiến hành tính toán ta được kết quả<br />
{<br />
[<br />
1<br />
† 2<br />
⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab ⟩| =<br />
− (α∗ β − αβ ∗ )2 + 2x 4|αβ|2 − (αβ ∗ + α∗ β)<br />
2<br />
4(1 + x)<br />
}<br />
]<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
× (|α| + |β| ) − x (|α| − |β| ) .<br />
<br />
(3)<br />
<br />
(4)<br />
<br />
Nếu chọn αβ ∗ là số thực và dương, lúc đó biểu thức trên được viết lại thành<br />
{<br />
}<br />
(<br />
)2<br />
( 2<br />
)<br />
1<br />
† 2<br />
2<br />
2 2<br />
⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab ⟩| =<br />
× − 4x|αβ| |α| − |β| − x |α| − |β|<br />
.<br />
4(1 + x)2<br />
Vế phải của phương trình trên là số âm, điều này đồng nghĩa với (3) được thỏa mãn, do<br />
đó trạng thái kết hợp hai mode kết hợp đối xứng là một trạng thái rối theo điều kiện rối<br />
Hillery-Zubairy.<br />
Bây giờ chúng ta tiến hành tính toán tương tự cho trạng thái hai mode phản kết hợp đối<br />
xứng, chú ý với trường hợp αβ ∗ là số thực và dương, chúng ta được kết quả<br />
{<br />
}<br />
(<br />
)2<br />
( 2<br />
)<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab† ⟩|2 =<br />
×<br />
4x|αβ|<br />
|α|<br />
−<br />
|β|<br />
−<br />
x<br />
|α|<br />
−<br />
|β|<br />
4(1 − x)2<br />
= R(α, β).<br />
(5)<br />
Đặt |β| = n|α|, khi đó ⟨Na Nb ⟩ − |⟨ab† ⟩|2 = R(α). Trạng thái này sẽ rối khi R(α) < 0. Kết<br />
quả khảo sát của R(α) theo Hình 1<br />
Trường hợp |β| = 0.5|α| ứng với đường liền nét và |β| = 0.2|α| ứng với đường đứt nét được<br />
khảo sát trên đồ thị cho ta thấy trạng thái này cũng là một trạng thái rối theo điều kiện<br />
Hillery-Zubairy nhưng với các biên độ kết hợp bé.<br />
<br />
30<br />
<br />
NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br />
<br />
0.3<br />
0.2<br />
RHΑL<br />
<br />
0.1<br />
0.0<br />
<br />
-0.1<br />
-0.2<br />
-0.3<br />
<br />
0.2<br />
<br />
0.4<br />
<br />
0.6<br />
Α<br />
<br />
0.8<br />
<br />
1.0<br />
<br />
Hình 1: Sự phụ thuộc của R(α) theo |α|.<br />
<br />
3<br />
<br />
CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ BIẾN LIÊN TỤC VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT<br />
HỢP ĐỐI XỨNG VÀ HAI MODE KẾT HỢP PHẢN ĐỐI XỨNG<br />
<br />
Chuyển vị lượng tử diễn ra khi một trạng thái lượng tử được đưa vào hệ thống gửi (Alice)<br />
và chuyển giao cho hệ thống nhận (Bob) thông qua việc khai thác tính chất rối lượng tử<br />
giữa Alice và Bob. Giả sử Alice và Bob cùng chia sẻ một trạng thái rối lượng tử hai mode<br />
(trạng thái EPR) a và b là<br />
|ψ⟩ab = |Φ⟩a |Ψ⟩b ,<br />
(6)<br />
ở đây mode a dành cho Alice và mode b cho Bob, |Φ⟩a và |Ψ⟩b chứa các trạng thái kết hợp<br />
dạng |α⟩, trạng thái gốc ứng với mode c được đưa vào Alice có dạng của trạng thái kết<br />
hợp<br />
|ψ⟩in = |Ω⟩c .<br />
(7)<br />
Trước khi gửi thông tin cho Bob, Alice thực hiện phép tổ hợp trên ba mode<br />
|ψ⟩abc = |ψ⟩ab |ψ⟩in = |Φ⟩a |Ψ⟩b |Ω⟩c .<br />
<br />
(8)<br />
<br />
Tiếp theo, Alice thực hiện phép đo mức độ rối giữa hai trạng thái |ψ⟩ab và |ψ⟩in trên hai<br />
mode a và c trong một trạng thái biên độ trực giao Bell [2], kết quả đo được chứa trong<br />
√<br />
biến phức A = (X + iP )/ 2. Kênh thông tin cổ điển gửi tới Bob sẽ chứa giá trị của biến<br />
phức này, một bit chứa giá trị X và một bit chứa giá trị P . Chúng tôi viết lại tính chất<br />
của trạng thái Bell theo [9] như sau<br />
ˆ 1 (A) ⊗ D<br />
ˆ 2 (−A∗ )|B(0, 0)⟩12 = D(2A)<br />
ˆ<br />
|B(X, P )⟩12 = D<br />
⊗ |B(0, 0)⟩12 ,<br />
và<br />
<br />
⟨<br />
2<br />
<br />
ψ|B(0, 0)⟩12 = τˆ|ψ⟩1 , do đó<br />
⟨<br />
⟨<br />
⟨<br />
ˆ†<br />
ˆ<br />
τ † = 1 ψ ∗ |D(−2A),<br />
12 B(X, P )|ψ⟩2 = 1 ψ|D (2A)ˆ<br />
<br />
(9)<br />
<br />
(10)<br />
<br />
ˆ<br />
ở đây D(α)<br />
= exp(αˆ<br />
a† − α∗ a<br />
ˆ) là toán tử dịch chuyển và τˆ là toán tử liên hợp phức được<br />
∗<br />
định nghĩa là τˆ|ψ⟩ = |ψ ⟩. Việc thực hiện phép đo trên hai mode a và c là việc lấy tích<br />
<br />
CHUYỂN VỊ LƯỢNG TỬ VỚI TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP...<br />
<br />
31<br />
<br />
⟨<br />
trong các trạng thái tương ứng ca B(X, P )| ⊗ |ψ⟩abc , sau khi đo, trạng thái ba mode sụp<br />
đổ, do Bob rối với Alice nên Bob sẽ có trạng thái (không chuẩn hóa) theo mode còn lại b,<br />
sử dụng (8) và (10) ta có<br />
⟨<br />
⟨<br />
ˆ<br />
|ψ⟩b = ca B(X, P )|Φ⟩a |Ψ⟩b |Ω⟩c = c Φ∗ |D(−2A)|Ω⟩<br />
c |Ψ⟩b .<br />
<br />
(11)<br />
<br />
Đây là một phiên bản của trạng thái gốc ban đầu, nó chưa phải là bản chính thức do các<br />
phép đo không hoàn toàn bên Alice. Chúng tôi viết lại (11) như sau<br />
|ψ⟩b = Tˆ(A)|Ψ⟩b ,<br />
<br />
(12)<br />
<br />
⟨<br />
ˆ<br />
ở đây Tˆ(A) = c Φ∗ |D(−2A)|Ω⟩<br />
c là toán tử chuyển vị, tính chất của toán tử chuyển vị đã<br />
được đưa ra trong [1] dưới dạng trạng thái Fock. Toán tử chuyển vị không chỉ xác định<br />
tính chất của trạng thái lượng tử sau khi đo mà nó còn cho biết phân bố xác suất kết quả<br />
đo mức độ rối của Alice<br />
P (A) = ||ψ⟩b |2 = |Tˆ(A)|Ψ⟩b |2 .<br />
(13)<br />
Cuối cùng, khi nhận được kết quả đo P và X (trong A) từ Alice, Bob nghịch đảo dịch<br />
chuyển để thu được trạng thái gốc ban đầu, kết quả của quá trình là trạng thái ra có dạng<br />
|ψ⟩out = √<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
D(β)|ψ⟩<br />
D(β)<br />
Tˆ(A)|Ψ⟩b ,<br />
b = √<br />
P (A)<br />
P (A)<br />
<br />
(14)<br />
<br />
ở đây β = 2gA, g là một hệ số Bob dùng để hoàn thiện độ trung thực trong chuyển vị. Với<br />
sự chuyển vị một trạng thái đơn mode, độ trung thực được định nghĩa là sự chồng chập<br />
của trạng thái vào và trạng thái ra [1]<br />
⟨<br />
F (A) = |in ψ|ψ⟩out |2 =<br />
<br />
⟨<br />
1<br />
ˆ<br />
Tˆ(A)|Ψ⟩b |2 .<br />
|in ψ|D(β)<br />
P (A)<br />
<br />
(15)<br />
<br />
Dựa vào độ trung thực, ta có thể đánh giá mức độ thành công của quá trình chuyển vị.<br />
Quá trình chuyển vị được với giới hạn chuyển vị là F = 0.5. Do sự rối không hoàn hảo<br />
giữa Alice và Bob, phép đo không hoàn toàn của Alice nên thực tế F (A) luôn bé hơn 1.0.<br />
Do vậy người ta đưa vào độ trung thực trung bình Fav<br />
∫<br />
∫<br />
⟨<br />
ˆ<br />
Fav = d2 AP (A)F (A) = d2 A|in ψ|D(β)<br />
Tˆ(A)|Ψ⟩b |2 .<br />
(16)<br />
Nếu Fav < 0.67 sẽ cho phép mô tả một biến ẩn định xứ.<br />
Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng mô hình chuyển vị lượng tử trên để khảo sát quá trình chuyển<br />
vị lượng tử với nguồn rối là trạng thái hai mode kết hợp đối xứng và hai mode kết hợp<br />
phản đối xứng.<br />
Thật vậy, trạng thái hai mode kết hợp đối xứng là một trạng thái rối lượng tử hai mode<br />
thỏa mãn điều kiện rối Hillery-Zubairy. Trạng thái này được sử dụng làm trạng thái rối<br />
<br />
32<br />
<br />
NGUYỄN ĐÌNH DŨNG - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br />
<br />
chia sẻ giữa Alice và Bob. Khi đó thông tin được mã hóa trong trạng thái kết hợp được<br />
⟩<br />
được chuyển vị là |γ c , kết quả tính toán cho ta trạng thái ra tại Bob là<br />
⟩<br />
⟩<br />
ˆ<br />
|ψ out = D(χ)|ψ<br />
,<br />
(17)<br />
B<br />
với χ = 2gA và<br />
|ψ<br />
<br />
⟩<br />
B<br />
<br />
{<br />
[<br />
]<br />
⟩<br />
|α|2 |γ − 2A|2<br />
= N |β b exp −<br />
−<br />
+ α(γ − 2A)<br />
2<br />
2<br />
]}<br />
[<br />
⟩<br />
|β|2 |γ − 2A|2<br />
−<br />
+ β(γ − 2A) ,<br />
+ |α b exp −<br />
2<br />
2<br />
<br />
(18)<br />
<br />
√<br />
với N = 2/ 2π(1 + x)1/2 . Độ trung thực của chuyển vị là<br />
{<br />
}<br />
∫ ∫<br />
[<br />
] 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
exp − (k − l) + (l − 1) |α| + 4l|α|(g + 1)rcosφ − 4(1 + g )r<br />
Fav =<br />
(1 + x)π<br />
{<br />
[<br />
]<br />
[<br />
]<br />
×<br />
exp − 4|α|rcosφ(g + k) + exp − 4|α|rcosφ(gk + 1)<br />
}<br />
[<br />
]<br />
[<br />
]<br />
+ 2cos 2r|α|(g + 1)(k − 1)sinφ × exp − 2r|α|(g + 1)(k + 1)cosφ rdrdφ,<br />
(19)<br />
với |β| = k|α|, |γ| = l|α|, A = reiφ , χ = 2gA và ta chỉ chú ý tới độ lớn các biên độ kết hợp<br />
|α|, |β|, |γ|. Sự phụ thuộc của Fav vào biên độ |α| và hệ số điều khiển g được biểu diễn trên<br />
Hình 2 và Hình 3<br />
<br />
1.0<br />
<br />
1.0<br />
<br />
0.8<br />
<br />
(1)<br />
<br />
0.8<br />
<br />
(1)<br />
<br />
0.6<br />
<br />
Fav<br />
<br />
Fav<br />
<br />
0.6<br />
<br />
0.4<br />
<br />
0.4<br />
(3)<br />
<br />
0.2<br />
<br />
0.2<br />
0.0<br />
<br />
(2)<br />
<br />
(2)<br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
ÈΑÈ<br />
<br />
3<br />
<br />
(3)<br />
<br />
4<br />
<br />
0.0<br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
ÈΑÈ<br />
<br />
3<br />
<br />
4<br />
<br />
Hình 2: Sự phụ thuộc của Fav theo |α| và g với giá trị của k = 1, l = 1, g = 0.5 với<br />
đường (1), k = 2, l = 2, g = 0.5 ứng với đường (2) và k = 2, l = 3, g = 0.5 ứng với<br />
đường (3).<br />
Hình 3: Sự phụ thuộc của Fav theo |α| và g với giá trị của k = 1, l = 1, g = 0 với<br />
đường (1), k = 1, l = 1.4, g = 0 ứng với đường (2) và k = 1.5, l = 2, g = 0 ứng với<br />
đường (3)<br />
Kết quả cho thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp đối xứng có độ trung thực càng giảm<br />
khi mức độ rối càng tăng, cùng một giá trị của g nhưng các biên độ kết hợp càng lớn thì<br />
<br />