Cơ học cơ sở - tập 2 - Động học và động lực học 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:112

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn giáo trình "Cơ học cơ sở (Tập 2: Động học và động lực học) cung cấp cho người đọc các kiến thức: Nguyên lý di chuyển khả dĩ, nguyên lý Dalambe - Lagang, va chạm, bài tập động học, bài tập động lực học. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cơ học cơ sở - tập 2 - Động học và động lực học 2

C hương V NGUYÊN LÝ D CHUYEN khả I dĩ Trong phẩn tĩnh học ta đã tìm được diều kiện cân bằng cùa cơ hệ, bao gồm các vật thể liên kết với nhau, bằng cách xét cân bằng từng vật thể, thay thế các liên kết bằng các phản lực liên kết tương ứng. Tuy nhiên, nếu cơ hệ có nhiều vật thể, số lượng các phản lực liên kết chưa biết tăng lên, ta phải giải một số lớn các phương trình cân bằng. Nguyên lý di chuyển khả đĩ được trình bày dưới đây khắc phục được khó khăn nêu trên, cho ta các điều kiện cân bằng tổng quát cùa một cơ hệ không tự do bất kỳ. 5.1. CÁC KHÁI N IỆM VỂ C ơ H Ệ KHÔNG T ự DO 1. Liên kết a) Đ ịnh nghĩa: Liên kết là các điều kiện ràng buộc chuyển động của cơ hệ, không phụ thuộc vào lực tác dụng và các điều kiện ban đầu của chuyển động. Các điều kiện này được diễn tả dưới dạng các hệ thức giữa các yếu tố xác định vị trí, vận tốc của chất điểm của hệ và thời gian. Người ta gọi các hệ thức ấy là các phương trình liên kết. Ví dụ: đối với cơ cấu tay quay thanh truyển ta có các phương trình liên kết sau (hình 5.1). 2 2 2 XA+yẤ = r A chuyển động tròn quanh o ( * B - * A )2 + y 2 = / 2 A AB = / yB =0 B chuyển động theo trục X Bánh xe tròn bán kính R tâm o chuyển động lăn không trượt trên đường thẳng Ox là cơ hệ chịu các liên kết saụ (hình 5.2): ZM = 0 ; y0 ằ R ; Vp = 0 y y X Hình 5.1 Hình 5.2 108
b) Phàn loại lién kết Căn cứ vào các phương trình liên kết có thê phân loại liên kết như sau: - Liên kết ílửiiiỊ: Nếu phương trình liên kết không chứa rõ đối số thời gian t thì liên k ít được gọi là liên kết dừng. Ngược lại là liên kết không dừng. Vi dụ: Viên bi được buộc vào đầu dây không giãn dài /, treo vào một điểm cố định c h ị u l i ê n k ế t d ừ n g v ó i p h ư ơ n g t r ì n h l i ê n k ế t : X2 + y 2 + V= /2 Hòn bi chuyên động trên mặt cầu CÓ bán kính thay đổi theo luật r = r(t) chịu liên kết không dừng với phương trình liên kết: X2 + y 2 + z 2 - r 2( t) = 0 - Liên kết hình học: là liên k ít chỉ ràng buộc về vị trí không ràngbuộc về vận tốc. Phương trình liên kết cùa liên kết hình học chỉ chứa các yếu tố xác định vị trí mà không chứa các yếu tố xác định vận tốc, hoặc nếu chứa các yếu tố vận tốc thì có thể tích phân trực tiếp để có phương trình liên kết tương đương không chứa yếu tố vận tốc nữa. Ví dụ: Viên bi được buộc vào dây treo vào một điểm cố định (hình 5.3). - Liên kết động học là liên kết ràng buộc các yếu tô' vận tốc. Trong phương trình liên kết có chứa các yếu tố vận tốc. - Liên kết giữ: Nếu liên kết dược mô tả chỉ bởi những đẳng thức thì nó được gọi là liên kết giữ. Ngược lại là liên kết không giữ. Trong chương này ta chỉ xét các liên kết dừng, giữ và hình học. Phương trình liên kết này có dạng: fj ( x i . y p z i..... x n-y,,.z n) - ° ( j - ' . 2. ...... s ) c) P h â n lo ạ i c ơ h ệ Ta phân các cơ hệ thành hai loại cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do. Cơ hệ không tự do là cơ hệ chịu ràng buộc bởi các liên kết. Cơ hệ này lại được phân thành 2 loại: cơ hệ Hồlổnôm và cơ hệ không Hôlônôm. Nếu mọi liên kết cùa cơ hệ đều là liên kết hình học thì cơ hệ được gọi là Hỏlônỏm. Nếu cơ hệ có ít nhất một liên kết động học thì nó có được gọi là không Hôlônôm. Cơ hệ không chịu ràng buộc bời bất kỳ liên kết nào được gọi là cơ hệ tự do. 2. Tọa độ suy rộng cùa cơ hệ Trước đây để xác định vị trí của chất điểm hay cơ hệ ta đã dùng các véctơ bán kính định vị, các tọa độ Đề Các, tọa độ tự nhiên của các chất điểm. Nhưng nếu chú ý đến kết cấu của hệ thì việc xác định vị trí của hệ còn đơn giản hơn nhiều nhờ cách chọn một số thông số định vị thích hợp cho cơ hệ ấy. 109
Vi dụ: Vị trí của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định được hoàn toàn xác định khi biết góc định vị (p của nó. Cơ cấu tay quay thanh truyển có thông số định vị là góc cp giữa tay quay và trục nằm ngang (hình 5.4). Định nghĩa: Các thông số định vị cùa cơ hệ trong một hệ quy chiếu nào đó được gọi là những tọa đô suy rộng của cơ hệ ấy. Ta thường ký hiệu tọa độ suy rộng cùa cơ hệ là q ,, q2,-.q t ■Nếu các thông sô qj(j = 1, 2,..., r) độc lập với nhau và vừa đủ để xác định vị trí cùa hộ ta gọi chúng là các tọa độ đủ của cơ hệ. Nếu các tọa độ suy rông phụ thuộc nhau trong các phương trình liên kết ta gọi chúng là các tọa độ dư. Đối với cơ hệ bất kỳ ta có thể dùng tọa độ dù hay tọa độ dư để xác định vị trí của nó. Chẳng hạn đối với cơ cấu tay quay thanh truyền (hình 5.4), ta có thể chọn một tọa độ đù là q = cp hoặc 2 tọa độ dư: q, =
H ìn h 5.5 b) Sô' bậc tự do của cơ hệ Định nghĩa: Sô bậc lự clo của cơ hệ là s ố tôi đu các di chuyển khù d ĩ độc lập tuyến tính của cơ hệ ấy. Vi dụ: Xét chất điểm chuyển động trên đường cong, gọi S0 là véctơ vô cùng bé nào dó tiếp tuyến với đưòng cong tại M. Mọi di chuyển khả dĩ cùa chất điểm đểu được biểu diễn qua véctơ này: S ĩ = xầ0 . Trong đó X là một số thực nào đó. Như vậy số di chuyển khả dĩ độc lập tối đa cùa chất điểm là một, do đó nó có một bậc tự do. Xét chuyển động cùa chất điếm M trên mặt cong. Gọi Ỗ|,S7 là hai di chuyển khả đĩ không cùng phương nào đó của M, khi đó mọi di chuyển khả đĩ cùa M đều được biểu diễn dưới dạng: ỗ ĩ = Xjõ| + . Trong đó X|, Xi là các sô' thực nào đó. Như vậy chất điếm có 2 bậc tự do, vì nó có hai di chuyển khả dĩ độc lập tối đa. c) Q u y tấ c th ụ c h à n h tìm s ố b ậ c t ụ d o c ủ a c ơ h ệ Cho cơ hộ với r tọa độ suy rộng q,, q2,— q, và s phương trình liên kết hình học dạng: » « P a ( M i . M 2 - .......- M r ) = ° ( u = l , 2 ,....,s ) - Biểu diễn di chuyển khù d ĩ của liệ qua các qr Xét hai vị trí lân cận của cơ hệ xác định bời 2 tập hợp giá trị của các tọa độ suy rộng qi,qT ,...,qr và q Ị,q í .Theo định nghĩa di chuyển khả dĩ, các qj và q' với j = 1, 2,... r phải thoả mãn các phương trình liên kết. (ị)a (q l,q 2,...,qr ) = 0 + (q i.q k — ; ) ỈX -q = 0 Ký hiệu: õqI = qi - q ỗ q r = q'r - q r gọi là các biến phân của tọa độ suy rộng. Như vậy các biến phân õq j phải thoả mãn hệ thức: (ị)^ —t> = 0 ( a = 1,2,.... ,s)
8 * « = f e -♦ „= < > ( « = 1.2.....s) - Quy tắc: Tim số bậc tự do của cơ hệ. Xét hộ Hôlônôm với n tọa độ suy rộng đù q Ị, q2>... qn. Khi đó các biến phân Sq!,Sq2, .... ôqn độc lập với nhau và do đó các di chuyển khả đĩ sau đây cùa cơ hệ là độc lập với nhau. Sj(5q, = 0 ,ỗ q 2 = 0 ,...,ỗ q J * 0,...,ỗqn = 0 ) (j = l,2 ,...,n ) Ngoài ra có thể biểu diễn mọi di chuyển khả dĩ của hệ qua n di chuyên khá dĩ độc lập này: (5q1,ôq2,...)5qn) = £ x jôj Như vậy n di chuyển khả đĩ ôj trên là độc lập và tối da. Vậy, đối vói cơ hệ chịu liên kết hình học số bậc tự do m của cơ hệ đúng bằng số tọa đô suy rộng đù của cơ hệ ấy: m = n Tổng quát hơn nếu các tọa độ qj (j = 1, 2,...r) đã chọn là các tọa độ dư với s phương trình liên kết hình học tối đa và độc lập với nhau thì số bậc tự do cùa hệ là. m =r- s 4. Liên kết lý tuửng, lực suy rộng a) Công của lực trong di chuyển kh ả dĩ Cho lực p tác dụng lên chât điểm M. Gọi ổr là một di chuyển khá dĩ bát kỳ cùa chái điểm ấy ta có. I Định nghĩa: Công của lực F trong di chuyển khả đĩ s? của chất điểm là lượng đại số: ỖA = F.S7 (5.1) Có thể biểu diễn công của lực dưới các dạng khác sau: ÔA = XSx + Yôy + Z5z 6A = FSs.cosa trong đó: X, Y, z là hình chiếu của F lên 3 trục của hệ tọa độ Đề Các vuông góc, a là góc lập giữa F và vận tốc V của chất điểm. tv r-í I 1 _ b) Liên két lý tướng Hình 5.6 Định nghĩa: Nếu tổng công nguyên tố của các phản lực liên kết trong mọi di chuyển khả đĩ của cơ hệ đều triệt tiêu thì ta nói rằng cơ hệ đó chịu liên kết lý tưởng. 112
Xét cơ hệ có n chất điểm. Gọi N k là phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk,Srk là véctơ di chuyển khả đĩ bất kì cùa nó, theo định nghĩa trên ta có. Ẻ N k8rk = 0 (5.2) k=l Vi dụ: Chất điểm M chuyển động trên mặt cong hoàn toàn trơn có di chuyên khả đĩ là véc tơ 57 tiếp tuyến với mặt cong, còn phản lực liên kết N hướng theo phương pháp tuyến vuông góc với ô ĩ nên N.ôr = 0 vì vậy liên kết này là liên kết lí tường. Trong thực tê nếu bỏ qua dược ma sát và tính đàn hổi của vật thể tạo thành cơ hệ thi đa số cơ hệ thường gặp thoả mãn định nghĩa liên kết lý tưởng. Có thê chứng minh các cơ hệ sau đây chịu liên kết lý tường: - Vật rắn tự do -V ậ t rắn tựa lên mặt tựa rắn và nhẵn - Vật rắn lãn không trượt trên mặt tựa rắn - Khớp nối bản lẻ trơn giữa hai vật - Liên kết dây - Dây mềm vắl qua ròng rọc cô' định không ma sát - Dây mểm vắt qua ròng rọc động và bỏ qua sự trượt giữa dây với ròng rọc. Chú ỷ: Trong trường hợp khồng bỏ qua được ma sát và đàn hổi của vật thể, ta coi các lực ma sát và đàn hổi là các lực hoạt động. Như vậy vẫn dùng được khái niộm liên kết lý tư ờ n g c h o c ơ h ệ . r ) ỉ.ự c suy rộng Xét cơ hệ có n chất điểm. Giả sử các tọa độ đủ của cơ hệ là q,, q2, ...qr. Gọi rk là véctơ bán kính định vị của chất điểm Mk cùa hệ. Như vậy rk sẽ là hàm của các tọa độ suy rộng và th ờ i gian t: rk = ĩk ( q |,q 2,...,q r, t ) . Do đó biến phân của rk có dạng: ỗrk = +- ^ĩ - SqT+. . . + -^ ỉ-ô q r ỡqI ổq2 3qr Kí hiệu Fk là lực tác dụng lên chất điểm Mkcủa hệ. Ta tính tổng công nguyên tố cùa các lực hoạt động trên một di chuyển khả đĩ bất kỳ của hệ: Ẻ S A k = Ỉ F k.ôrk = X F , r Ẽ k . . + —^ -ô q k=l k=l k=l ổq, 5qr r „ — \ ' " dv \ vp ~ ỡĩk I [ V"1n ỗ q ,+ ÔCỊ-) + — + ôr q ^ í) ^2, ,k -l ^r) 113
Đăt: Ỳ h — ..;Qr = ẳ F kf (5.3) t k 5q,J .k-l Ta viết được: = Q|S
Suy ra: Q f | X k^ + Yk^ +z A ' ù{ ‘ X õq., k aqj _ Thay Xk, Yl , z t bằng công Ihức (3.44) ta có: ổn ỹ íiĩL Ể Ĩ k . ẼILĨh. õn r à [ ổxk ổ q - + ổyk ổq, + ổxk õ q ^ ' Sqj Đó là điều cẩn chứng minh. 5.2. NGUYÊN LÝ DI CHUYEN k h ả dĩ 1. Nguyên lý Điều kiện cần và đù dê’cơ hệ chịu liên kết dừng và lý tưởng cân bằng ở vị trí đatig xét tà tổng công của các lực hoạt động trong mọi (1Í chuyển khả đ ĩ cùa cơ hệ từ vị trí ấy đêu triệt tiên. ẳ PkSĩk = 0 (5.6) k=l C hứng m inh: - Điều kiện cẩn: Giả sử cơ hệ cân bằng ở vị trí đang xét. Gọi Fk và N k là hợp các lực hoạt động và các phản lực liên kết tác dụng lên chất điếm Mk. VI chất điếm Mk cân bằng nên Wk = 0 , theo phương trình cơ bản động lực học đối với chất điểm Mk ta có: Fk + N k = 0 Gọi ôrk là di chuyển khả dĩ bất kỳ của Mk ta có: FkSrk + N k.8rk = 0 Viết hệ thức trên cho n chất điểm cùa cả hộ, rồi cộng từng vế ta được ẳ M ĩ k + ẳ N kSrk = 0 . k=l k=l n n Vì hệ chịu liên kết lý tư ờ n g nên ^ Nkôík = 0 , do dó: ^ F kôrk = 0 . k=l k=l - Điều kiện đủ: Giả sử hệ chịu liên kết dừng và lý tường ta phải chứng minh nếu cơ hộ n đang ờ vị trí cân bàng và thoả mãn điều kiện Fkỗrk = 0 thì hệ sẽ luôn ờ vị trí cân bằng. k=l 115
Thật vậy giả sử ờ một thời điểm nào đó cơ hệ khời động từ vị trí dang xét, thì độ biến thiên dộng năng của hệ sẽ dương. Theo định lý động năng dạng vi phân ta có: dT = £ d A k + X d A ? = X F kdrk + X N kdrk > 0 (*) k=l k=l k=l k=l Vì hệ chịu liên kết lý tưởng nên: ^ N kdrk = 0 k=i Vì hộ chịu liên kết dừng nên di chuyển thực của hệ sẽ trùng với một di chuyên khả đĩ n của hộ drk = ôrk,do đó từ (*) ta c ó ^ F kÔĩk > 0. Điều này trái với giả thiết là trong mọi k=l n di chuyển khả đĩ của h ệ ^ F kôík = 0 . Vậy cơ hệ không thể khởi đông từ vị trí cân bằng k=l đang xét được. Chú ỷ: Nguyên lý di chuyển khả đĩ thường được dùng để tìm điều kiện cân bằng của cơ hệ không tự do, xác định phản lực liên kết của các kết cấu hoặc tìm điều kiện cân b ằ n g tư ơ n g đ ố i của c ơ h ê . 2. Phương trình cán bằng tổng quát của cơ hệ không tự do Để tiện sử dụng sau này ta sẽ viết điều kiện cân bằng cùa cơ hộ không tự do (5.6) dưới các dạng khác nhau. a) Dạng véctơ: ẳ pk8ĩk = ° k=l b) Dạng tọa độ Đ ề Các: Gọi Xk, Yk, Zkvà ôxk,5yk,ôzk là hình chiếu của lực Fk và Srk lên các trục của hệ tọa độ Đề Các vuông góc. Từ phương trình (5.6) ta có: ấ ÔAk = ẳ ( X kôxk + Y kỗyk + Z kỗzk) k=l k=l k=l Vì vậy điều kiên cân bằng của cơ hệ không tự do dưới dạng tọa độ ĐềCác là : £ ( X kôxk + Y kSyk + Z kôzk ) = 0 (5.7) k=l Chú ỷ: Biểu thức (5.7) là phương trình biến phân, nó tương đương với một hệ phương trình đại số. 116
c ) D ạ n g tọ a đ ộ s u y r ộ n g n r Giả sử cơ hệ có r tọa độ suy rộng đù. Ta đã biết: ^ S A k = V ọ ỗq k=i j= i Vì các tọa độ suy rộng qj là các tọa độ đủ nên các biến phân Sqjdpc lập với nhau. Từ phương trình: ^SA k=^Q ôq = 0 , tacó: k=l j= I Q , = 0 ; Q 2 = 0 ;...,Q , = 0 (5-8) Biếu thức (5.8) là điéu kiện cân bằng của cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học, lý tường dưới dạng tọa độ suy rộng. Ví dụ 1: Thanh trọng lượng Q đặt trên 2 con lăn đồng chất trọng lượng p. Tìm lực F tác dụng dọc theo thanh để thanh và các con lăn đứng yên trên mặt phẳng nghiêng góc a so với mặt phẳng ngang. Bỏ qua sự trượt giữa thanh và con lãn cũng như giữa con lăn và mặt phẳng nghiêng. Bỏ qua ma sát lăn (hình 5.7). Bùi giải: Xét cơ hệ gồm thanh và 2 con lăn. Nếu bỏ qua ma sát lăn thì cơ hệ chịu liên kết lý tường. Hệ có một bậc tự do, chọn tọa đô suy rộng đủ q = s. Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm trọng lượng Q, trọng lượng p và lực F . Cho hệ di chuyển khả đĩ: thanh dịch chuyển lên trên một đoạn ôs. Vì tâm vận tốc tức thời của 2 con làn ờ các điểm tiếp xúc giữa con lăn và mặt nghiêng nên: V = 2VC suy ra: 25sc = S s (a) Theo nguyên lý di chuyển khả dĩ, điều kiện cân bằng cùa cơ hệ là: Z 5 A k = F S s - Q sin a ỗ s - 2P. sin a ỗ sc = 0 (b) Thay (a) vào (b) ta được: ( F - Q s in a - p .sin a )5 s = 0 Theo{5.8): Qs = F - ( Q + P )s in a = 0 Suy ra: F = (Q + P) sin a 117
Ví dụ 2: Cho hệ dẩm chịu lực như a) hình vẽ (5.8). Tim phản lực ở gối c và mômen tại ngàm A. Bỏ qua trọng lượng của các thanh. + Bài giải: b) • Để tính được phản lực ở c, ta tháo b ỏ g ố i đ ỡ c , t h a y t h ế n ó b ằ n g p h ả n lự c liên kết Rc . Ta được hệ có một bậc tự c) do với một tọa độ suy rộng đủ q = (p là góc lập giữa BC và phương ngang. Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm P.Q, Rc Hình 5.8 Cho hệ một di chuyến khả đĩ, trong dó BC quay một góc ô
Ví dụ 3: Hai thanh đóng chất OA, AB, có cùng độ " ò " " dài 21 trọng lượng bằng nhau p, = P2 = p được nối với nhau bằng khớp tại A và gắn vào trần bằng khớp ờ o . Tại B tác dụng lực Q nằm ngang. Bỏ qua ma sát ờ các khớp nối. Tìm các góc y, = / c o s ( p , - > S y j = -/s in cp ịS cp, y2 = 21 COS CP| + / COS (p2 - * 8 y 2 = - / [ 2 s i n cpiỏcp, + s i n ( p - ) ỗ ọ , ] Thay vào (a) ta được: n ^ Ô A k = 2 / Q [ c o s ọ 1ô (p 1 + c o s c p 2ổ(p-,J — p/sin
Vì các lực hoạt động P ị,P , là các lực thế còn Q không phải là lực thế. Nên các lực suy rộng được tính theo công thức Q ,= - |3 .+ Q Ĩ ; q 2= -£ L +q; (b) ổtp, ap2 tro n g đ ó : n - th ế năng của c ơ hệ: n = -Pjy, - P 2y2 + const = - P / COS(p, -P (2 /co scp i + / COS (p2 ) + const (c) Q *; Q 2 - lực suy rộng ứng với lực không thế Q được tính từ biểu thức: ỗ a (q ) = Q 5 x b = Q ^ /Ịc o sc p ịỗ Ọ i + c o s ọ 2Ỗ
Chưưng VI NGUYÊN LÝ ĐALẢM BE-LAGRẢNG 6.1. NGUYÊN LÝ Nguyên lý Đalãmbe-Lagrãng ià kết quả của sự kết hợp nguyên lý ĐalãmBe và nguyên lý di chuyển khả đĩ. Xét cơ hệ n chất điểm chịu liên kết giữ, dừng, lý tưởng. Giả sử hợp các lực hoạt động và hợp các phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk của hệ là Fk.,N k còn F^1 = -m W k là lực quán tính cùa chất điểm đó. Theo nguyên lý ĐalămBe: (Fk.Nk.,Fk ~ 0 (k = 1,2,...n) q,) Vì hệ lực trên là hệ lực cân bằng nên theo nguyên lý di chuyên khả đĩ tống công của hệ lực đó trong mọi di chuyển khả đĩ của cơ hệ phải triệt tiêu: ẳ F k ô ĩk + ẳ N kỗĩk + ẳ F k q,8ĩk = 0 k= I k= l k= l n Vì Cơ hệ chịu liên kết lý tưởng nên: ^ N kô?k = 0 k-1 Do đó: X F k6rk + £ F * 0 r k = 0 (6.1) k=l k= l Hệ thức (6.1) biểu thị nguyên lý ĐalãmBe-Lagrãng hay còn gọi là phương trình tổng quát đ ộ n g lự c h ọ c . Nguyên lý: Đối với cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, lý tường, tổng công nguyên tố cùa các lực hoạt động và các lực quán tính trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệđềutriệt tiêu. Phương trình tổng quát động lực học còn có thể viết dưới các dạng sau: Ỳ [ ( x k + X ỉ ') Sx k + ( Y k + y ỉ ' )s y k + ( z k + z Ị )õ zk 1 = 0 (6.2) k=l ẳ [ ( x k - mkXk)ôxk +(Yk - m kỹk)ôyk + ( z k - m kzk)Szk] = 0 (6.3) k= l 121
Phương trình tổng quát dộng lực học (6.1), (6.2), (6.3) là các phương trình biến phân, chúng tương đương với một hệ phương trình đại số. Để giải các bài toán động lực học bằng phương trình tổng quát động lực học ta cần xác định số bậc tự do của cơ hộ. Đặt lực hoạt động và lực quán tính vào các chất điểm của cơ hộ, sau đó cho hệ một di chuyển khả đĩ và tính tổng công các lực đó trẽn di chuyển khả đĩ này, cho bằng 0 ta sẽ có được các phương trình để tìm ẩn số của bài toán. Phương trình tổng quát động lực học thường được dùng để tìm gia tốc hay điểu kiện cân bằng tương đối của cơ hệ Ví dụ 1: Máy chuyển vật liệu chuyển đ ô n g n h ờ n g ẫ u lự c c ó m ô m e n k h ô n g đ ổ i M tác dụng lên puli B. Xác định gia tốc chuyển động của băng chuyển. Biết trọng lượng của vật A được nâng là p, các puli B ,c có cùng trọng lượng Q, bán kính r và được xem là các đĩa tròn đồng chất. Băng chuyền hợp với phương ngang một góc a và trọng lượng cùa nó có thể bỏ qua, ngoài ra không có sự trượt giữa A và băng chuyền, cũng như giữa các băng chuyển với các puli. Bỏ qua ma sát ờ Hình 6.1 các ổ trục (hình 6.1). Bài giải Xét cơ hệ gồm 3 vật A, B, c . Nếu bỏ qua ma sát thì cơ hệ chịu liên kết lý tưởng. Hệ có một bậc tự do. Chọn tọa độ suy rộng đủ của cơ hệ là góc quay (p của hai puli. Các lực hoạt động tác dụng lên hệ: Các trọng lượng Q cùa hai puli, trọng lượng p của vật A và ngẫu M. Các lực quán tính tác dụng lên hộ là: Ệ ỵ , ngM^'., ngMịỊ1. Cho hệ di chuyển khả đĩ trong đó hai puli quay một góc Sọ thuận chiều kim đổng hổ, khi đó vật A di chuyển lên trên một đoạn ôs = rô(p. Theo phương trình tổng quát dộng lực học: MScp - p sin a ô s - M^ôcp - M^'Scp - F^1,8s = 0 (a) Thay ôs = rỗọ vào (a) ta được: (M - p rs in a - MX - Mg1- rFjJ‘ )ỗcp = 0 Do tính chất tùy ý của ỗtp ta có: M - P r s i n a - M ỵ -M ịỊ1-rF jJ‘ = 0 (b) 122
tro n g đ ó : M4'= M £ = J zE = J. a - ~ ~ WA; F j1 = —WA r 2g ^ Thay vào (b) ta được: M - P rs in o c - — W4 - - W A g M - P rs in a Suy ra: WA (P + Q)r Vì A nằm yên trên băng chuyền nên gia tốc của A cũng là gia tốc của băng chuyền. Ví dụ 2: Thanh đồng chất OA dài /, trọng lượng p được gắn bằng bản lề vào trục quay thẳng đứng tại o (hình 6.2). Quả cầu nhỏ trọng lượng Q được gắn vào đầu mút A của thanh. Trục quay đều với vận tốc góc Õ5. Bỏ qua ma sát ờ chốt bản lề nằm ngang o . Tìm hệ thức giữa vận tốc góc to và góc nghiêng (p giữa trục quay và thanh OA. Bài giải: Xét cơ hệ gồm thanh OA và quả cẩu A. Nếu bỏ qua ma sát thì cơ hệ chịu liên kết lý tưởng. Hệ có một bâc tự do, chọn tọa độ suy rông đủ là góc cp. Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm trọng Hình 6.2 ượng p cùa thanh và trọng lượng Q của quả cầu. Các lực quán tính của hệ gồm lực quán Ìín li c ù a q u ả c á u , h ợ p lự c K q l c ù a h ẹ lự c q u a n t i n h p h a n b o t h e o q u y l u ạ i ta m g ia c của thanh OA (xem hình và ví dụ 3 chưcmg V). Rql vuông góc với trục quay và cắt trục 2 quay tại H sao cho OH = —/ coscp. Vì hệ lực quán tính có hợp lực nên: Rq l= R ’q l=M W c = - ~ ( 0 2 s in a ; " 4 q g 2 FjJ' = — WA = — = - / t o 2 sincp g g g Cho hệ một di chuyên khả dĩ: Thanh OA quay quanh chốt bản lề góc õ(p. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Theo phương trình tổng quát động lực học (6.2) lổng công của các lực hoạt động và các lực quán tính trên di chuyền khả dĩ này là: PSyc +Ọ SyA + R ql.SxCI + F ^ ' ỗ x a = 0 (a) 123
Từ hình vẽ ta có: y c = — cos(p-» S y c = - — sinọỗíp; y A = / coscp—>SyA = — s i n cpScp ; / 2 2 K = —/ s ir u p — c »5X | = —/ COS (p.Scp; x A = /s in c p - >SxA = Icoscpôcp . p p/ 01 Thay vào (a) ta đươc: / sincp(- —- Q + — C 2 COScpH -CO2 COS 2/(P + 3Q) Ví dụ 3: Hai dĩa tròn đổng chất A, B có cùng khối lượng rri|, bán kính R. A quay q u a n h t r ụ c c ố đ ị n h n ằ m n g a n g . B đ ư ợ c c u ố n d â y v à r ơ i x u ố n g d ư ớ i tá c dụng c ủ a t r ọ n g lực. Dây được cuốn vào vành đĩa A đẩu dây buộc vật c khối lượng m2. Giả thiết dây không giãn, ổ trục A hoàn toàn trơn. Tim gia tốc vật c . Bài giải: Xét cơ hệ 3 vật A, B, c. Hệ chịu liên kết lý tường, có 2 bậc tự do với 2 tọa độ đủ: q, = X|, q2 = x 2 Trong đó X, xác định vị trí tâm của B, x2 xác định vị trí vật c . Các lực hoạt động tác dụng lên hệ gồm trọng lượng của A, B, c , cấc lực quán tính gồm có - w ngM ^', ngM g, Fg', F|3'. Gia tốc góc của A: eA = — ! . — R Vì vậy: Áp dụng công thức liên hệ vận tốc của vật chuyển động song phẳng, ta có: VB = V P + VBP Chiếu lên trục Xj được: VB 124
Do dây không giãn: Vp = v c và VB = R. (Og; ta được VB= -Vc + R (0 B p v_ 4- v_ Vr + Vc Suy ra: R Đạo hàm 2 vế biểu thức trên theo t ta được gia tốc góc của B: VB + VC WB + WC R R Do đó: mb' = j BeB = 1HiÌ L . Wb + w c = l m ,R (W B+W c ) FB ,= m BWB = m iWB q Cho hê một di chuyên khả đĩ đặc biệt: §X | > ữ, Sx, = 0 Áp dụng phương trình tổng quát động lực học (6-1) ta có: P BS X | - F ^ 'S X j -M ^.Stpi = 0 ỖX| hay: lịgSXị - rri|WgSx, - - m ,R ( W B + w c ) ^ - = 0 i m ,( 2 g - 3 W B-W c )5 x 1= 0 Trong đó ta đã thay góc quay của B quanh tâm vân tốc tức thời P: Ô = 0 theo (6.1) ta được: ]f. pc.ôx2 - Fc ql,ỗx2 - Mq‘ỗ(pA - Mgỗcpg = 0 . A ỗx2 irong đó: S9 a = ỗ< b = ^ T - P Thay vào trên ta được: m , g - m : Wc - i m 1Wc - - m , ( W B+W c ) ôx2 = 0. Do tính chất tùy ý của Sx2 , suy ra biểu thức trong dấu ngoặc phải bằng 0. m2g - m 2Wc - - m |W c — m l(WB + Wc ) = 0 . (2) 2(3m2 -m ^ g Từ (1) và (2) ta suy ra: wc = 5 m ,+6m 2 125
6.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA c ơ HỆ KHÔNG T ự DO 1. Phương trình L agrãng loại II Phưcmg trình vi phân chuyển đông của cơ hệ dưới dạng tọa độ suy rộng gọi là phương trình Lagrăng loại II. Xét cơ hệ Hôlônôm có n chất điểm, chịu liên kết giữ, dừng, lý tường được xác định bời r tọa độ suy rộng đù q,, q2,... qr. Theo phương trình tổng quát động lực học (6.1) ta có: n n Z F kSík + X F k S f k ^ = 0 (a) Tổng công của các lực hoạt động được biểu diẻn qua các tọa độ suy rộng đủ theo công thức (5.4) như sau: n r X FkSrk = Q ,Sq2 + Q 25q2 + ..... + Q rôqr = £ Qjõqj . k=l Trong đó lực suy rộng cùa các lực hoạt động được tính theo công thức: Tương tự như vậy tổng công của các lực quán tính cũng có dạng: n r trong đó: QJ‘ là lực suy rộng cùa các lực quán tính: (b) (c) j=i Vì q,, q2..., q, là các tọa độ đủ, nên ô q ,,S q 2,...,ỗ q r độc lập tuyến tính với nhau, do đó phương trình (c) tương đương với hộ phương trình: Qj + Q j‘ = 0 0 = 1.2..... r) (d) Có thể sử dụng trực tiếp hệ phương trình trên, để giải các bài toán đông lực học của cơ hệ. Nhưng để hệ phương trình có dạng đom giản, ta hãy biến đổi các lực suy rộng cùa lực quán tính qua động năng của cơ hẽ. 126
Vì lực quán tính của chất điểm thứ k có dạng: riV Fk = - m kw k = - m k^ - q' in thay vào (b) ta có: "Q ? (e) ti dt Vế phải của (e) có thê biến đổi dưới dạng như sau: ^ . Ể L = l (v k ^ ) - v k A ( ^ ) (0 dt ổqj dt