intTypePromotion=1

Đặc trưng và chướng ngại tri thức luận của khái niệm vô cực trong toán học

Chia sẻ: ViVatican2711 ViVatican2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

0
29
lượt xem
1
download

Đặc trưng và chướng ngại tri thức luận của khái niệm vô cực trong toán học

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu này trình bày một phân tích tri thức luận làm rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm vô cực và xác định các đặc trưng tri thức luận của nó.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đặc trưng và chướng ngại tri thức luận của khái niệm vô cực trong toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL<br /> ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY<br /> Số 65 (5/2019) No. 65 (5/2019)<br /> Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: https://tapchikhoahoc.sgu.edu.vn<br /> <br /> <br /> <br /> ĐẶC TRƯNG VÀ CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN<br /> CỦA KHÁI NIỆM VÔ CỰC TRONG TOÁN HỌC<br /> <br /> An epistemological analysis of infinity in Mathematics<br /> <br /> TS. Nguyễn Ái Quốc<br /> Trường Đại học Sài Gòn<br /> <br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Vô cực xuất hiện ở nhiều hình dạng và hình thức trong Toán học. Các điểm ở vô cực trong hình học xạ<br /> ảnh rất khác với các đại lượng vô hạn và vô cùng bé xuất hiện trong giải tích phi chuẩn, hoặc các số siêu<br /> hạn trong lý thuyết tập hợp, hoặc vô hạn liên quan đến một tiến trình giới hạn. Nghiên cứu này trình bày<br /> một phân tích tri thức luận làm rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm vô cực và xác định các<br /> đặc trưng tri thức luận của nó.<br /> Từ khóa: vô cực, vô cực tiềm năng, vô cực thực tế, đặc trưng tri thức luận, phân tích tri thức luận lịch sử<br /> ABSTRACT<br /> Infinity occurs in many shapes and forms in mathematics. The points at infinity in projective geometry<br /> are very different from the infinite and infinitesimal quantities that occur in nonstandard analysis, or the<br /> transfinite numbers in set theory, or the infinity involved in a limiting process. This study presented the<br /> epistemological analysis that could clarify the emergence and development of concept of Infinity and<br /> determine the epistemological characteristics of this knowledge object.<br /> Keywords: infinity, potential infinity, actual infinity, epistemological characteristic, historical epistemological<br /> analysis<br /> <br /> <br /> 1. Đặt vấn đề khảo sát được tiến hành trên 5 học sinh (HS)<br /> 1.1. Sự cần thiết nghiên cứu khái niệm lớp 10 và 5 HS lớp 11 Trường trung học phổ<br /> vô cực thông Hùng Vương. Vì đây là thời điểm cuối<br /> Khái niệm vô cực hiện diện trong nhiều học kỳ 2 nên các HS lớp 10 đã kết thúc môn<br /> lĩnh vực khác nhau của Toán học như lý đại số, và các HS lớp 11 đã kết thúc môn đại<br /> thuyết tập hợp, giải tích, hình học, đại số, số và giải tích. Khảo sát nhằm tìm hiểu xem<br /> tôpô học. Nhiều khái niệm toán học được HS hiểu như thế nào về khái niệm vô cực<br /> xây dựng gắn liền với khái niệm vô cực, cho trong Toán học.<br /> thấy vai trò quan trọng của tri thức này trong Nội dung thực nghiệm thứ nhất trên HS<br /> việc thiết lập các nền tảng của Toán học. lớp 10 bao gồm câu hỏi sau:<br /> 1.2. Tồn tại những quan niệm sai của “Cho các hệ thức sau:<br /> học sinh về khái niệm vô cực ∞<br /> Cuối tháng 4 năm 2019, hai thực nghiệm a/  =  + 1; b/  -  = 1; c/ ∞ = 1.<br /> <br /> Email: nguyenaq2014@gmail.com 43<br /> SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019)<br /> <br /> <br /> Em hãy cho biết mỗi hệ thức đúng hay lượng chỉ tiến dần đến 0 chứ không thể bằng<br /> sai? Vì sao?” 0, nên không thể xác định được giá trị của<br /> Câu trả lời mong đợi: biểu thức. Đối với câu c/, HS này giải thích<br /> a/ đúng; b/ sai; c/ sai. tương tự như trong câu a/ rằng giá trị của<br /> Nội dung thực nghiệm thứ hai trên HS biểu thức có thể rất lớn, hoặc rất nhỏ.<br /> lớp 11 bao gồm câu hỏi sau: Như vậy, trong thực nghiệm thứ nhất,<br /> “Trong giới hạn hàm số, em hãy cho tồn tại ở HS lớp 10 một quan niệm “vô cực<br /> biết tại sao các dạng sau được gọi là dạng vô là một số rất lớn”, nên có thể áp dụng các<br /> định: quy tắc biến đổi như với các số thực. Trong<br /> ∞<br /> a/  - ; b/ 0; c/ ∞ ?” thực nghiệm thứ hai, đa số HS gặp khó khăn<br /> Câu trả lời mong đợi: trong việc hiểu ý nghĩa của ký hiệu vô cực<br /> Vì đây là câu hỏi liên quan đến ý nghĩa gắn liền với tiến trình giới hạn. Mặc dù có 1<br /> của đại lượng vô cùng lớn được biểu thị HS thấy được tính không xác định của giá<br /> trị biểu thức nhưng vẫn chưa đưa ra được<br /> bằng ký hiệu , nên câu trả lời mong đợi là<br /> một số trường hợp cụ thể để cho thấy các<br /> nêu ra được một số trường hợp cụ thể để cho<br /> biểu thức có thể lấy nhiều giá trị khác nhau<br /> thấy không thể xác định chính xác được giá<br /> trong một tiến trình giới hạn. Sau cùng, HS<br /> trị của mỗi biểu thức.<br /> Kết quả thực nghiệm: xem ký hiệu  biểu đạt cho cùng một đại<br /> Trong thực nghiệm thứ nhất, cả 5 HS lượng, do đó có thể triệt tiêu nhau trong bài<br /> đều trả lời đúng cho câu a/, trong đó 3 HS toán trừ, hay được đơn giản như một nhân<br /> giải thích rằng cộng vô cực với một số tử trong bài toán nhân hay chia.<br /> dương thì phải là vô cực, 2 HS còn lại giải 1.3. Sự cần thiết của phân tích tri thức<br /> thích cộng vô cực với một số thực luôn bằng luận<br /> vô cực. Như vậy, các HS này quan niệm vô Việc xác định các loại sai lầm của<br /> cực là một con số rất lớn. người học trong học Toán và nguồn gốc của<br /> Đối với câu b/, có 2 HS cho rằng đúng chúng luôn là nhiệm vụ đầu tiên đặt ra đối<br /> và giải thích hệ thức trong câu b/ tương với các nhà nghiên cứu Didactic Toán trước<br /> đương với hệ thức trong câu a/, 3 HS còn lại khi đưa ra các giải pháp để giúp người học<br /> cho rằng sai vì vô cực trừ cho vô cực bằng 0. loại bỏ các sai lầm đó. Theo [1]:<br /> Đối với câu c/, cả 5 HS đều kết luận - Nghĩa của tri thức, những vấn đề mà<br /> đúng, trong đó 2 HS cho rằng đơn giản tử và tri thức đó cho phép giải quyết.<br /> mẫu cho vô cực thì được 1, 2 HS còn lại cho - Những quan niệm có thể gắn liền với<br /> tri thức.<br /> rằng hệ thức tương đương với hệ thức  = .<br /> 2. Khái niệm vô cực trong Toán 10<br /> Trong thực nghiệm thứ hai, có 4 HS<br /> và 11<br /> giải thích rằng các biểu thức đã cho vô định<br /> Khái niệm vô cực không được định<br /> vì “Sách giáo khoa quy định đó là những<br /> nghĩa tường minh trong chương trình Toán<br /> dạng vô định”. Chỉ duy nhất 1 HS giải thích<br /> 10 và 11.<br /> biểu thức trong câu a/ không xác định vì<br /> Trong Sách giáo khoa Đại số 10, khái<br /> hiệu hai vô cực có thể là một số rất lớn,<br /> niệm vô cực xuất hiện lần đầu trong bài<br /> nhưng cũng có thể rất nhỏ. Đối với câu b/,<br /> “Tập hợp và các phép Toán trên tập hợp”<br /> HS này giải thích rằng vì là giới hạn nên đại<br /> <br /> 44<br /> NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN<br /> <br /> <br /> của chương 1 “Mệnh đề và Tập hợp”. Khái nhưng vẫn chỉ có một lượng hữu hạn được sử<br /> niệm vô cực được đưa vào để giới thiệu các dụng [7, tr. 12].<br /> khoảng (- ; +), (a ; +), [a ; +), (- ; Tuy nhiên, đối với người Hy Lạp, khái<br /> b), (- ; b], và không được định nghĩa hay niệm vô cực đã áp đặt họ bởi thế giới vật chất<br /> mô tả một cách tường minh. bằng ba quan sát truyền thống: thời gian<br /> Trong Sách giáo khoa Đại số và Giải dường như không có hồi kết; không gian và<br /> tích 11, khái niệm vô cực được đưa vào thời gian có thể được chia nhỏ không ngừng;<br /> trong các tiến trình giới hạn và cũng không không gian không bị ràng buộc.<br /> được định nghĩa hay mô tả một cách tường Với các định lý sao cho số lượng các số<br /> minh. nguyên tố không bị chặn và do đó cần đến<br /> 3. Phân tích tri thức luận lịch sử khái các số có độ lớn không xác định, người Hy<br /> niệm vô cực Lạp phải đối mặt với viễn cảnh vô tận.<br /> 3.1. Sự mở đầu các ý tưởng về vô cực Aristotle đã né tránh tính thực tế của vô cực<br /> Những ý tưởng ban đầu về vô cực gắn bằng cách xác định một vô cực nhỏ nhất,<br /> liền với người Hy Lạp cổ đại. Ban đầu từ trong khi không đưa ra một số tự nhiên mới,<br /> “apeiron” có nghĩa là không giới hạn, vô đủ gây ra nhiều khó khăn cho các định lý<br /> hạn, không rõ ràng hoặc không xác định. Đó này. Định nghĩa này về vô hạn tiềm năng,<br /> là một từ tiêu cực, thậm chí miệt thị. Đối với không phải vô hạn thực tế, vô cùng hiệu quả<br /> người Hy Lạp, sự hỗn loạn ban đầu mà thế và làm hài lòng các nhà toán học và triết gia<br /> giới được hình thành là “apeiron”. Aristotle trong hai thiên niên kỷ. Vì vậy, các số<br /> nghĩ rằng vô hạn là một sự thiếu thốn không nguyên là vô hạn tiềm năng vì chúng ta luôn<br /> hoàn hảo. Đó là sự vắng mặt của giới hạn. có thể thêm một để có số lớn hơn, nhưng tập<br /> Những người theo trường phái Pythagoras1 hợp vô hạn các số như vậy không tồn tại.<br /> không làm việc với khái niệm vô cực. Tất cả Aristotle lập luận rằng hầu hết các đại<br /> mọi thứ trong thế giới của họ là số. Thật vậy, lượng thậm chí không thể là vô hạn tiềm<br /> họ liên kết thiện, ác với hữu hạn và vô hạn. năng, bởi vì bằng cách thêm các đại lượng<br /> Mặc dù nó chưa được hiểu rõ vào thời điểm liên tiếp, có thể vượt quá giới hạn của vũ trụ.<br /> đó, nhưng phát hiện của họ về các đối tượng Nhưng vũ trụ là vô hạn tiềm năng theo nghĩa<br /> vô ước không thể đo được, chẳng hạn √2, nó có thể bị chia nhỏ nhiều lần. Thời gian là<br /> sẽ đòi hỏi một khái niệm rõ ràng và sự hiểu vô hạn tiềm năng theo cả hai hướng. Phản<br /> biết về vô hạn. ánh suy nghĩ của người Hy Lạp, Aristotle<br /> Những người theo trường phái nói rằng cái vô hạn là không hoàn hảo, chưa<br /> Pythagoras cảm thấy rằng có một số lượng hoàn thành và không thể tưởng tượng được.<br /> hữu hạn các số tự nhiên. Aristotle lập luận Trong hình học, Aristotle thừa nhận rằng<br /> chống lại bất cứ điều gì thực sự là vô hạn, các điểm nằm trên các đường nhưng các<br /> nhưng tin vào một vô hạn tiềm năng. Trong điểm không bao hàm đường thẳng và tính<br /> khi ông không tin vào vô hạn, ông tin rằng đối liên tục không thể được tạo thành từ rời rạc.<br /> với bất kỳ nhóm hữu hạn nào, có một nhóm Nổi tiếng nhất trong các tác phẩm Hy<br /> hữu hạn lớn hơn. Chỉ có một số hữu hạn các Lạp cổ đại về sự vô hạn là của nhà triết học<br /> số tự nhiên đã được viết ra hoặc được hình Zeno of Elea (495-435 B.C.E.). Zeno là<br /> thành. Nếu L là số lớn nhất được hình thành, người phát ngôn hàng đầu của Trường phái<br /> chúng ta có thể chuyển sang L + 1 hoặc L, triết học Eleatic. Ông cảm thấy rằng khoa<br /> <br /> 45<br /> SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019)<br /> <br /> <br /> học không thể vật lộn với thực tế trừ khi nó được gán cho các số nguyên tố”. Số này phù<br /> tính đến những cách thức vô hạn dường như hợp với niềm tin của Aristotle trong vô hạn<br /> xuất hiện ở mọi nơi trong tự nhiên. Ông tiềm năng.<br /> được biết đến với những nghịch lý như làm Tương ứng, các định nghĩa trong tác<br /> thế nào một thứ có thể di chuyển qua vô số phẩm “Cơ sở” của Euclid phản ánh hình ảnh<br /> điểm trong một khoảng thời gian hữu hạn. ít rõ ràng hơn của các khái niệm cơ bản này.<br /> Một trong những nghịch lý của ông là Trong cuốn I, các định nghĩa về điểm và<br /> thảo luận về một cuộc đua giữa Achilles, đường được đưa ra như sau:<br /> người chạy theo huyền thoại và một con rùa, Định nghĩa 1. Một điểm là cái không có<br /> trong đó con rùa được khởi hành trước. phần.<br /> Zeno nói rằng Achilles sẽ không thể bắt kịp Định nghĩa 4. Một đường thẳng là một<br /> con rùa. Ông lý luận rằng vào thời điểm đường kéo dài với các điểm trên chính nó.<br /> Achilles bắt đầu chạy, con rùa đã đi trước Trong “Cơ sở” của Euclid, định nghĩa<br /> một khoảng cách. Vào thời điểm Achilles “Một điểm là không có phần”, gợi các ý<br /> đạt đến điểm mà con rùa đã ở khi Achilles tưởng về tính phân chia vô hạn của không<br /> bắt đầu chạy, con rùa đã di chuyển xa hơn. gian. một tình huống khác, Euclid tránh sự<br /> Khi Achilles đến điểm mới này, rùa lại tiếp vô hạn trong định nghĩa một đường bằng<br /> tục di chuyển. Điều này sẽ tiếp tục mãi mãi, cách nói rằng nó có thể được mở rộng đến<br /> ngăn Achilles không bao giờ bắt kịp. mức cần thiết. Tiên đề về các đường song<br /> Nghịch lý này, và những người khác ủng hộ song cũng đòi hỏi các đường phải được kéo<br /> Zeno, cũng là một trong những đề cập đầu dài vô tận. Bằng chứng về mối quan hệ giữa<br /> tiên của ý tưởng về một cái gì đó tiếp tục diện tích hình tròn và đường kính của nó là<br /> mãi mãi. một quá trình giới hạn của một đối số hữu<br /> Trường phái triết học Eleatic là một hạn thông qua phương pháp vét cạn2. Sau<br /> trong những người đầu tiên biết ước tính người Hy Lạp, người Ả Rập trở thành người<br /> diện tích hình tròn bằng cách cắt nó thành trông coi di sản Hy Lạp và kiến thức toán<br /> hình tam giác và đo diện tích của mỗi hình học tiên tiến nói chung, đặc biệt là về đại số.<br /> tam giác. Khi số lượng hình tam giác tăng Họ làm việc tự do với những đối tượng vô<br /> lên và kích thước của mỗi hình giảm, ước tỷ nhưng không kiểm tra chặt chẽ bản chất<br /> tính đã trở nên gần hơn với diện tích thực tế. của chúng và điều này đã phải chờ thêm một<br /> Để có được diện tích thực tế, một người sẽ ngàn năm nữa.<br /> phải tạo vô số hình tam giác nhỏ vô hạn. Họ 3.2. Ý tưởng về vô hạn trở nên rõ ràng hơn<br /> hỏi làm thế nào một số lượng vô hạn những Theo sau người Ả Rập, các nhà toán<br /> cái không gì cả thêm vào một cái gì đó giống học châu Âu cũng nghiên cứu các số vô tỷ,<br /> như một vòng tròn? mặc dù có một số nhầm lẫn với tính vô hạn.<br /> Euclid, giống như Aristotle, cũng Thánh Augustine đã chấp nhận quan điểm<br /> không xem xét đến vô hạn thực tế. Ông Plato rằng Thiên Chúa là vô hạn và có thể<br /> được ghi nhận vì đã chứng minh, khoảng có những suy nghĩ vô hạn. Thánh Thomas<br /> 300 B.C.E., có vô số số nguyên tố. Tuy Aquinas thừa nhận tính vô hạn của Thiên<br /> nhiên, tuyên bố thực tế của ông là “số Chúa nhưng phủ nhận ông đã làm những<br /> nguyên tố nhiều hơn bất kỳ đại lượng nào điều không giới hạn.<br /> <br /> <br /> 46<br /> NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN<br /> <br /> <br /> Nicolas của Cusa (1401 - 1464), giữa Sciences” (1638), ông đã thảo luận về các ý<br /> thế kỷ 15, tin rằng vũ trụ là vô hạn. Ông tưởng toán học như một cuộc đối thoại giữa<br /> cũng nói rằng các ngôi sao cách xa mặt trời. Salviati - người thông minh và Simplicius -<br /> Vào thời điểm đó, Giáo hội Công giáo đang người đơn giản. Salviati giải thích nhiều<br /> cố gắng loại bỏ tất cả những dị giáo không khía cạnh của vô cực cho Simplicius.<br /> xem trái đất là trung tâm của vũ trụ. Nicolas “Vô hạn và những thứ không thể chia<br /> được đưa đến trước Tòa án dị giáo. Ông đã tách được vượt qua sự hiểu biết hữu hạn của<br /> bị tra tấn trong chín năm trong một nỗ lực chúng ta, cái thứ nhất vì sự vĩ đại của chúng,<br /> để làm cho ông nói rằng vũ trụ là hữu hạn. cái sau vì sự nhỏ bé của chúng. Hãy tưởng<br /> Ông đã từ chối, và đã bị thiêu cháy năm tượng chúng là gì khi kết hợp lại với nhau” [7,<br /> 1600. tr. 19].<br /> Nhiều nhà toán học Hy Lạp cổ đại tin Galilei phân biệt giữa “vô hạn tiềm<br /> rằng không thể thực hiện phép cầu phương năng” và “vô hạn thực tế”. Ông thiết lập một<br /> bằng compa và thước, nhưng Nicolas nghĩ tương ứng một-một giữa các số tự nhiên và<br /> có thể thực hiện điều đó vì ông tin rằng một bình phương của chúng. Ông suy luận phải<br /> đường tròn là một đa giác với số cạnh lớn có nhiều số chính phương như các số tự<br /> nhất có thể. Ông so sánh sự vô hạn và quá nhiên. Ông cố gắng suy luận nghịch lý một<br /> trình vô hạn với việc đạt được chân lý cùng tập hợp bằng một tập hợp con của chính nó.<br /> thiên ân, là một kiểu nghịch lý nảy sinh Ông viết, nếu bạn lấy tập hợp các số đếm, trừ<br /> trong tư duy thời trung cổ. Điều này được đi tập hợp các số chính phương có kích thước<br /> hiểu rằng một vòng tròn lớn hơn nên có bằng với tập các số đếm, bạn vẫn còn một tập<br /> nhiều điểm hơn một vòng tròn nhỏ hơn, hợp vô hạn các số không chính phương.<br /> nhưng chúng được đặt trong sự tương ứng Theo hướng thực tế hơn, Leonardo của<br /> một-một. Pisa được gọi là Fibonacci, đã chứng minh<br /> Năm 1600, Galileo Galilei (1564 - một phương trình bậc ba không thể giải<br /> 1642) đã đề xuất việc đưa vào vô số khoảng được thuộc bối cảnh của bất kỳ số nào được<br /> trống nhỏ vô hạn. Nhưng ông hiểu vấn đề là thảo luận trong Euclid (đó là những con số<br /> sử dụng lý luận hữu hạn vào những thứ vô có dạng, √√
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2