Đặc trưng và chướng ngại tri thức luận của khái niệm vô cực trong toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN SAIGON UNIVERSITY<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL<br /> ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY<br /> Số 65 (5/2019) No. 65 (5/2019)<br /> Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: https://tapchikhoahoc.sgu.edu.vn<br /> <br /> <br /> <br /> ĐẶC TRƯNG VÀ CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN<br /> CỦA KHÁI NIỆM VÔ CỰC TRONG TOÁN HỌC<br /> <br /> An epistemological analysis of infinity in Mathematics<br /> <br /> TS. Nguyễn Ái Quốc<br /> Trường Đại học Sài Gòn<br /> <br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Vô cực xuất hiện ở nhiều hình dạng và hình thức trong Toán học. Các điểm ở vô cực trong hình học xạ<br /> ảnh rất khác với các đại lượng vô hạn và vô cùng bé xuất hiện trong giải tích phi chuẩn, hoặc các số siêu<br /> hạn trong lý thuyết tập hợp, hoặc vô hạn liên quan đến một tiến trình giới hạn. Nghiên cứu này trình bày<br /> một phân tích tri thức luận làm rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm vô cực và xác định các<br /> đặc trưng tri thức luận của nó.<br /> Từ khóa: vô cực, vô cực tiềm năng, vô cực thực tế, đặc trưng tri thức luận, phân tích tri thức luận lịch sử<br /> ABSTRACT<br /> Infinity occurs in many shapes and forms in mathematics. The points at infinity in projective geometry<br /> are very different from the infinite and infinitesimal quantities that occur in nonstandard analysis, or the<br /> transfinite numbers in set theory, or the infinity involved in a limiting process. This study presented the<br /> epistemological analysis that could clarify the emergence and development of concept of Infinity and<br /> determine the epistemological characteristics of this knowledge object.<br /> Keywords: infinity, potential infinity, actual infinity, epistemological characteristic, historical epistemological<br /> analysis<br /> <br /> <br /> 1. Đặt vấn đề khảo sát được tiến hành trên 5 học sinh (HS)<br /> 1.1. Sự cần thiết nghiên cứu khái niệm lớp 10 và 5 HS lớp 11 Trường trung học phổ<br /> vô cực thông Hùng Vương. Vì đây là thời điểm cuối<br /> Khái niệm vô cực hiện diện trong nhiều học kỳ 2 nên các HS lớp 10 đã kết thúc môn<br /> lĩnh vực khác nhau của Toán học như lý đại số, và các HS lớp 11 đã kết thúc môn đại<br /> thuyết tập hợp, giải tích, hình học, đại số, số và giải tích. Khảo sát nhằm tìm hiểu xem<br /> tôpô học. Nhiều khái niệm toán học được HS hiểu như thế nào về khái niệm vô cực<br /> xây dựng gắn liền với khái niệm vô cực, cho trong Toán học.<br /> thấy vai trò quan trọng của tri thức này trong Nội dung thực nghiệm thứ nhất trên HS<br /> việc thiết lập các nền tảng của Toán học. lớp 10 bao gồm câu hỏi sau:<br /> 1.2. Tồn tại những quan niệm sai của “Cho các hệ thức sau:<br /> học sinh về khái niệm vô cực ∞<br /> Cuối tháng 4 năm 2019, hai thực nghiệm a/  =  + 1; b/  -  = 1; c/ ∞ = 1.<br /> <br /> Email: nguyenaq2014@gmail.com 43<br /> SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019)<br /> <br /> <br /> Em hãy cho biết mỗi hệ thức đúng hay lượng chỉ tiến dần đến 0 chứ không thể bằng<br /> sai? Vì sao?” 0, nên không thể xác định được giá trị của<br /> Câu trả lời mong đợi: biểu thức. Đối với câu c/, HS này giải thích<br /> a/ đúng; b/ sai; c/ sai. tương tự như trong câu a/ rằng giá trị của<br /> Nội dung thực nghiệm thứ hai trên HS biểu thức có thể rất lớn, hoặc rất nhỏ.<br /> lớp 11 bao gồm câu hỏi sau: Như vậy, trong thực nghiệm thứ nhất,<br /> “Trong giới hạn hàm số, em hãy cho tồn tại ở HS lớp 10 một quan niệm “vô cực<br /> biết tại sao các dạng sau được gọi là dạng vô là một số rất lớn”, nên có thể áp dụng các<br /> định: quy tắc biến đổi như với các số thực. Trong<br /> ∞<br /> a/  - ; b/ 0; c/ ∞ ?” thực nghiệm thứ hai, đa số HS gặp khó khăn<br /> Câu trả lời mong đợi: trong việc hiểu ý nghĩa của ký hiệu vô cực<br /> Vì đây là câu hỏi liên quan đến ý nghĩa gắn liền với tiến trình giới hạn. Mặc dù có 1<br /> của đại lượng vô cùng lớn được biểu thị HS thấy được tính không xác định của giá<br /> trị biểu thức nhưng vẫn chưa đưa ra được<br /> bằng ký hiệu , nên câu trả lời mong đợi là<br /> một số trường hợp cụ thể để cho thấy các<br /> nêu ra được một số trường hợp cụ thể để cho<br /> biểu thức có thể lấy nhiều giá trị khác nhau<br /> thấy không thể xác định chính xác được giá<br /> trong một tiến trình giới hạn. Sau cùng, HS<br /> trị của mỗi biểu thức.<br /> Kết quả thực nghiệm: xem ký hiệu  biểu đạt cho cùng một đại<br /> Trong thực nghiệm thứ nhất, cả 5 HS lượng, do đó có thể triệt tiêu nhau trong bài<br /> đều trả lời đúng cho câu a/, trong đó 3 HS toán trừ, hay được đơn giản như một nhân<br /> giải thích rằng cộng vô cực với một số tử trong bài toán nhân hay chia.<br /> dương thì phải là vô cực, 2 HS còn lại giải 1.3. Sự cần thiết của phân tích tri thức<br /> thích cộng vô cực với một số thực luôn bằng luận<br /> vô cực. Như vậy, các HS này quan niệm vô Việc xác định các loại sai lầm của<br /> cực là một con số rất lớn. người học trong học Toán và nguồn gốc của<br /> Đối với câu b/, có 2 HS cho rằng đúng chúng luôn là nhiệm vụ đầu tiên đặt ra đối<br /> và giải thích hệ thức trong câu b/ tương với các nhà nghiên cứu Didactic Toán trước<br /> đương với hệ thức trong câu a/, 3 HS còn lại khi đưa ra các giải pháp để giúp người học<br /> cho rằng sai vì vô cực trừ cho vô cực bằng 0. loại bỏ các sai lầm đó. Theo [1]:<br /> Đối với câu c/, cả 5 HS đều kết luận - Nghĩa của tri thức, những vấn đề mà<br /> đúng, trong đó 2 HS cho rằng đơn giản tử và tri thức đó cho phép giải quyết.<br /> mẫu cho vô cực thì được 1, 2 HS còn lại cho - Những quan niệm có thể gắn liền với<br /> tri thức.<br /> rằng hệ thức tương đương với hệ thức  = .<br /> 2. Khái niệm vô cực trong Toán 10<br /> Trong thực nghiệm thứ hai, có 4 HS<br /> và 11<br /> giải thích rằng các biểu thức đã cho vô định<br /> Khái niệm vô cực không được định<br /> vì “Sách giáo khoa quy định đó là những<br /> nghĩa tường minh trong chương trình Toán<br /> dạng vô định”. Chỉ duy nhất 1 HS giải thích<br /> 10 và 11.<br /> biểu thức trong câu a/ không xác định vì<br /> Trong Sách giáo khoa Đại số 10, khái<br /> hiệu hai vô cực có thể là một số rất lớn,<br /> niệm vô cực xuất hiện lần đầu trong bài<br /> nhưng cũng có thể rất nhỏ. Đối với câu b/,<br /> “Tập hợp và các phép Toán trên tập hợp”<br /> HS này giải thích rằng vì là giới hạn nên đại<br /> <br /> 44<br /> NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN<br /> <br /> <br /> của chương 1 “Mệnh đề và Tập hợp”. Khái nhưng vẫn chỉ có một lượng hữu hạn được sử<br /> niệm vô cực được đưa vào để giới thiệu các dụng [7, tr. 12].<br /> khoảng (- ; +), (a ; +), [a ; +), (- ; Tuy nhiên, đối với người Hy Lạp, khái<br /> b), (- ; b], và không được định nghĩa hay niệm vô cực đã áp đặt họ bởi thế giới vật chất<br /> mô tả một cách tường minh. bằng ba quan sát truyền thống: thời gian<br /> Trong Sách giáo khoa Đại số và Giải dường như không có hồi kết; không gian và<br /> tích 11, khái niệm vô cực được đưa vào thời gian có thể được chia nhỏ không ngừng;<br /> trong các tiến trình giới hạn và cũng không không gian không bị ràng buộc.<br /> được định nghĩa hay mô tả một cách tường Với các định lý sao cho số lượng các số<br /> minh. nguyên tố không bị chặn và do đó cần đến<br /> 3. Phân tích tri thức luận lịch sử khái các số có độ lớn không xác định, người Hy<br /> niệm vô cực Lạp phải đối mặt với viễn cảnh vô tận.<br /> 3.1. Sự mở đầu các ý tưởng về vô cực Aristotle đã né tránh tính thực tế của vô cực<br /> Những ý tưởng ban đầu về vô cực gắn bằng cách xác định một vô cực nhỏ nhất,<br /> liền với người Hy Lạp cổ đại. Ban đầu từ trong khi không đưa ra một số tự nhiên mới,<br /> “apeiron” có nghĩa là không giới hạn, vô đủ gây ra nhiều khó khăn cho các định lý<br /> hạn, không rõ ràng hoặc không xác định. Đó này. Định nghĩa này về vô hạn tiềm năng,<br /> là một từ tiêu cực, thậm chí miệt thị. Đối với không phải vô hạn thực tế, vô cùng hiệu quả<br /> người Hy Lạp, sự hỗn loạn ban đầu mà thế và làm hài lòng các nhà toán học và triết gia<br /> giới được hình thành là “apeiron”. Aristotle trong hai thiên niên kỷ. Vì vậy, các số<br /> nghĩ rằng vô hạn là một sự thiếu thốn không nguyên là vô hạn tiềm năng vì chúng ta luôn<br /> hoàn hảo. Đó là sự vắng mặt của giới hạn. có thể thêm một để có số lớn hơn, nhưng tập<br /> Những người theo trường phái Pythagoras1 hợp vô hạn các số như vậy không tồn tại.<br /> không làm việc với khái niệm vô cực. Tất cả Aristotle lập luận rằng hầu hết các đại<br /> mọi thứ trong thế giới của họ là số. Thật vậy, lượng thậm chí không thể là vô hạn tiềm<br /> họ liên kết thiện, ác với hữu hạn và vô hạn. năng, bởi vì bằng cách thêm các đại lượng<br /> Mặc dù nó chưa được hiểu rõ vào thời điểm liên tiếp, có thể vượt quá giới hạn của vũ trụ.<br /> đó, nhưng phát hiện của họ về các đối tượng Nhưng vũ trụ là vô hạn tiềm năng theo nghĩa<br /> vô ước không thể đo được, chẳng hạn √2, nó có thể bị chia nhỏ nhiều lần. Thời gian là<br /> sẽ đòi hỏi một khái niệm rõ ràng và sự hiểu vô hạn tiềm năng theo cả hai hướng. Phản<br /> biết về vô hạn. ánh suy nghĩ của người Hy Lạp, Aristotle<br /> Những người theo trường phái nói rằng cái vô hạn là không hoàn hảo, chưa<br /> Pythagoras cảm thấy rằng có một số lượng hoàn thành và không thể tưởng tượng được.<br /> hữu hạn các số tự nhiên. Aristotle lập luận Trong hình học, Aristotle thừa nhận rằng<br /> chống lại bất cứ điều gì thực sự là vô hạn, các điểm nằm trên các đường nhưng các<br /> nhưng tin vào một vô hạn tiềm năng. Trong điểm không bao hàm đường thẳng và tính<br /> khi ông không tin vào vô hạn, ông tin rằng đối liên tục không thể được tạo thành từ rời rạc.<br /> với bất kỳ nhóm hữu hạn nào, có một nhóm Nổi tiếng nhất trong các tác phẩm Hy<br /> hữu hạn lớn hơn. Chỉ có một số hữu hạn các Lạp cổ đại về sự vô hạn là của nhà triết học<br /> số tự nhiên đã được viết ra hoặc được hình Zeno of Elea (495-435 B.C.E.). Zeno là<br /> thành. Nếu L là số lớn nhất được hình thành, người phát ngôn hàng đầu của Trường phái<br /> chúng ta có thể chuyển sang L + 1 hoặc L, triết học Eleatic. Ông cảm thấy rằng khoa<br /> <br /> 45<br /> SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No. 65 (5/2019)<br /> <br /> <br /> học không thể vật lộn với thực tế trừ khi nó được gán cho các số nguyên tố”. Số này phù<br /> tính đến những cách thức vô hạn dường như hợp với niềm tin của Aristotle trong vô hạn<br /> xuất hiện ở mọi nơi trong tự nhiên. Ông tiềm năng.<br /> được biết đến với những nghịch lý như làm Tương ứng, các định nghĩa trong tác<br /> thế nào một thứ có thể di chuyển qua vô số phẩm “Cơ sở” của Euclid phản ánh hình ảnh<br /> điểm trong một khoảng thời gian hữu hạn. ít rõ ràng hơn của các khái niệm cơ bản này.<br /> Một trong những nghịch lý của ông là Trong cuốn I, các định nghĩa về điểm và<br /> thảo luận về một cuộc đua giữa Achilles, đường được đưa ra như sau:<br /> người chạy theo huyền thoại và một con rùa, Định nghĩa 1. Một điểm là cái không có<br /> trong đó con rùa được khởi hành trước. phần.<br /> Zeno nói rằng Achilles sẽ không thể bắt kịp Định nghĩa 4. Một đường thẳng là một<br /> con rùa. Ông lý luận rằng vào thời điểm đường kéo dài với các điểm trên chính nó.<br /> Achilles bắt đầu chạy, con rùa đã đi trước Trong “Cơ sở” của Euclid, định nghĩa<br /> một khoảng cách. Vào thời điểm Achilles “Một điểm là không có phần”, gợi các ý<br /> đạt đến điểm mà con rùa đã ở khi Achilles tưởng về tính phân chia vô hạn của không<br /> bắt đầu chạy, con rùa đã di chuyển xa hơn. gian. một tình huống khác, Euclid tránh sự<br /> Khi Achilles đến điểm mới này, rùa lại tiếp vô hạn trong định nghĩa một đường bằng<br /> tục di chuyển. Điều này sẽ tiếp tục mãi mãi, cách nói rằng nó có thể được mở rộng đến<br /> ngăn Achilles không bao giờ bắt kịp. mức cần thiết. Tiên đề về các đường song<br /> Nghịch lý này, và những người khác ủng hộ song cũng đòi hỏi các đường phải được kéo<br /> Zeno, cũng là một trong những đề cập đầu dài vô tận. Bằng chứng về mối quan hệ giữa<br /> tiên của ý tưởng về một cái gì đó tiếp tục diện tích hình tròn và đường kính của nó là<br /> mãi mãi. một quá trình giới hạn của một đối số hữu<br /> Trường phái triết học Eleatic là một hạn thông qua phương pháp vét cạn2. Sau<br /> trong những người đầu tiên biết ước tính người Hy Lạp, người Ả Rập trở thành người<br /> diện tích hình tròn bằng cách cắt nó thành trông coi di sản Hy Lạp và kiến thức toán<br /> hình tam giác và đo diện tích của mỗi hình học tiên tiến nói chung, đặc biệt là về đại số.<br /> tam giác. Khi số lượng hình tam giác tăng Họ làm việc tự do với những đối tượng vô<br /> lên và kích thước của mỗi hình giảm, ước tỷ nhưng không kiểm tra chặt chẽ bản chất<br /> tính đã trở nên gần hơn với diện tích thực tế. của chúng và điều này đã phải chờ thêm một<br /> Để có được diện tích thực tế, một người sẽ ngàn năm nữa.<br /> phải tạo vô số hình tam giác nhỏ vô hạn. Họ 3.2. Ý tưởng về vô hạn trở nên rõ ràng hơn<br /> hỏi làm thế nào một số lượng vô hạn những Theo sau người Ả Rập, các nhà toán<br /> cái không gì cả thêm vào một cái gì đó giống học châu Âu cũng nghiên cứu các số vô tỷ,<br /> như một vòng tròn? mặc dù có một số nhầm lẫn với tính vô hạn.<br /> Euclid, giống như Aristotle, cũng Thánh Augustine đã chấp nhận quan điểm<br /> không xem xét đến vô hạn thực tế. Ông Plato rằng Thiên Chúa là vô hạn và có thể<br /> được ghi nhận vì đã chứng minh, khoảng có những suy nghĩ vô hạn. Thánh Thomas<br /> 300 B.C.E., có vô số số nguyên tố. Tuy Aquinas thừa nhận tính vô hạn của Thiên<br /> nhiên, tuyên bố thực tế của ông là “số Chúa nhưng phủ nhận ông đã làm những<br /> nguyên tố nhiều hơn bất kỳ đại lượng nào điều không giới hạn.<br /> <br /> <br /> 46<br /> NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN<br /> <br /> <br /> Nicolas của Cusa (1401 - 1464), giữa Sciences” (1638), ông đã thảo luận về các ý<br /> thế kỷ 15, tin rằng vũ trụ là vô hạn. Ông tưởng toán học như một cuộc đối thoại giữa<br /> cũng nói rằng các ngôi sao cách xa mặt trời. Salviati - người thông minh và Simplicius -<br /> Vào thời điểm đó, Giáo hội Công giáo đang người đơn giản. Salviati giải thích nhiều<br /> cố gắng loại bỏ tất cả những dị giáo không khía cạnh của vô cực cho Simplicius.<br /> xem trái đất là trung tâm của vũ trụ. Nicolas “Vô hạn và những thứ không thể chia<br /> được đưa đến trước Tòa án dị giáo. Ông đã tách được vượt qua sự hiểu biết hữu hạn của<br /> bị tra tấn trong chín năm trong một nỗ lực chúng ta, cái thứ nhất vì sự vĩ đại của chúng,<br /> để làm cho ông nói rằng vũ trụ là hữu hạn. cái sau vì sự nhỏ bé của chúng. Hãy tưởng<br /> Ông đã từ chối, và đã bị thiêu cháy năm tượng chúng là gì khi kết hợp lại với nhau” [7,<br /> 1600. tr. 19].<br /> Nhiều nhà toán học Hy Lạp cổ đại tin Galilei phân biệt giữa “vô hạn tiềm<br /> rằng không thể thực hiện phép cầu phương năng” và “vô hạn thực tế”. Ông thiết lập một<br /> bằng compa và thước, nhưng Nicolas nghĩ tương ứng một-một giữa các số tự nhiên và<br /> có thể thực hiện điều đó vì ông tin rằng một bình phương của chúng. Ông suy luận phải<br /> đường tròn là một đa giác với số cạnh lớn có nhiều số chính phương như các số tự<br /> nhất có thể. Ông so sánh sự vô hạn và quá nhiên. Ông cố gắng suy luận nghịch lý một<br /> trình vô hạn với việc đạt được chân lý cùng tập hợp bằng một tập hợp con của chính nó.<br /> thiên ân, là một kiểu nghịch lý nảy sinh Ông viết, nếu bạn lấy tập hợp các số đếm, trừ<br /> trong tư duy thời trung cổ. Điều này được đi tập hợp các số chính phương có kích thước<br /> hiểu rằng một vòng tròn lớn hơn nên có bằng với tập các số đếm, bạn vẫn còn một tập<br /> nhiều điểm hơn một vòng tròn nhỏ hơn, hợp vô hạn các số không chính phương.<br /> nhưng chúng được đặt trong sự tương ứng Theo hướng thực tế hơn, Leonardo của<br /> một-một. Pisa được gọi là Fibonacci, đã chứng minh<br /> Năm 1600, Galileo Galilei (1564 - một phương trình bậc ba không thể giải<br /> 1642) đã đề xuất việc đưa vào vô số khoảng được thuộc bối cảnh của bất kỳ số nào được<br /> trống nhỏ vô hạn. Nhưng ông hiểu vấn đề là thảo luận trong Euclid (đó là những con số<br /> sử dụng lý luận hữu hạn vào những thứ vô có dạng, √√