Đại số tuyến tính - Chương 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính

Chia sẻ: Lam Quang Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

1.188
lượt xem 359
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng.Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích... để giải các bài toán như phép quay trong không gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm của hệ phương trình vi phân, tìm đường tròn qua ba điểm... Nó cũng có vô vàn ứng dụng trong khoa học tự nhiên (vật lý, công nghệ...) và khoa...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số tuyến tính - Chương 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính

Đại số tuyến tính - Chương 3 Không gian tuyến tính và ánh xạ tuyến tính
MôC LôC 3 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 3 3.1 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1.1 §Þnh nghÜa kh«ng gian tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . 3 3.1.2 Kh«ng gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 C¬ së vµ chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 Täa ®é vect¬ vµ phÐp ®æi c¬ së . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.1 Täa ®é vect¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.2 §æi c¬ së . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.3 H¹ng cña hÖ vÐct¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.4 Tæng vµ tæng trùc tiÕp c¸c kh«ng gian con . . . . . . . . . 31 3.4 ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4.1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . 36 3.4.2 Ma trËn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4.3 C¸c phÐp to¸n gi÷a c¸c ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . 48 3.4.4 Ma trËn cña phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh trong c¸c c¬ së kh¸c nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5 TrÞ riªng, vÐct¬ riªng cña phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh . . . . . . . . 55 1
®¹i sè S¸ch dïng cho sinh viªn tr-êng §¹i häc x©y dùng vµ sinh viªn c¸c tr-êng §¹i häc, Cao ®¼ng kÜ thuËt 2
Ch-¬ng 3 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh 3.1 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh 3.1.1 §Þnh nghÜa kh«ng gian tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 3.1.1 Cho V = ∅ vµ K lµ tr-êng sè thùc hoÆc phøc, V ®-îc gäi lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn tr-êng K nÕu trªn V x¸c ®Þnh hai phÐp to¸n: a) PhÐp céng lµ ¸nh x¹ V × V → V øng mçi cÆp (x, y) víi mét phÇn tö duy nhÊt trong V kÝ hiÖu x + y ∈ V tháa m·n • x + y = y + x víi ∀x, y ∈ V • (x + y) + z = x + (y + z) víi ∀x, y, z ∈ V • Tån t¹i 0 ∈ V : x + 0 = 0 + x = x víi ∀x ∈ V • ∀x ∈ V ®Òu tån t¹i (−x) ∈ V : (x + (−x)) = 0 b) PhÐp nh©n mét phÇn tö cña K víi mét phÇn tö cña V lµ mét ¸nh x¹ K ×V → V t-¬ng øng mçi cÆp (α, x) víi mét phÇn tö duy nhÊt trong V kÝ hiÖu α x ∈ V (hoÆc α · x) tháa m·n • (αβ) x = α(β · x) ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V • (α + β) x = αx + βx ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V • α(x + y) = αx + αy ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V • 1 · x = x ∀ x ∈ V , trong ®ã 1 lµ phÇn tö ®¬n vÞ cña K. 3
4 Ch-¬ng III. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh Mçi phÇn tö x ∈ V th-êng ®-îc gäi lµ mét vect¬. PhÇn tö 0 ∈ V trong ®Þnh nghÜa trªn ®-îc gäi lµ vect¬ kh«ng, phÇn tö (−x) ∈ V ®-îc gäi lµ phÇn tö ®èi cña x hay vect¬ ®èi cña vect¬ x. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn K cßn ®-îc gäi lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn tr-êng K. NÕu K lµ tr-êng sè thùc, V trªn R ®-îc gäi lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc, nÕu K lµ tr-êng sè phøc, V trªn C ®-îc gäi lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh phøc. VÝ dô 3.1.1 1. TËp hîp c¸c vÐct¬ h×nh häc trong kh«ng gian, kÝ hiÖu V3 víi phÐp céng c¸c vÐct¬ vµ nh©n vÐct¬ víi mét sè thùc nh- ®· biÕt lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc. TËp hîp c¸c vÐct¬ h×nh häc trong mÆt ph¼ng, kÝ hiÖu V2 còng lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc. 2. TËp hîp c¸c sè thùc R trªn R lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc, tËp c¸c sè phøc C trªn R còng lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc. TËp c¸c sè phøc C trªn C lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh phøc. 3. Rn = {x = (x1 , x2, ..., xn) | xi ∈ R ∀i = 1, n} lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc víi c¸c phÐp to¸n (x1, x2, ..., xn) + (y1 , y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2 , ..., xn + yn ) α(x1 , x2 , ..., xn) = (αx1, αx2 , ..., αxn), α ∈ R. 4. TËp hîp c¸c ma trËn cïng kiÓu m × n   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n    Mm×n =  . . . . .. .  .   . . . . am1 am2 . . . amn trong ®ã c¸c phÇn tö aij cña ma trËn lµ c¸c sè thùc lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn R (phÐp céng c¸c ma trËn vµ nh©n ma trËn víi mét sè nh- ®· biÕt trong ch-¬ng II). §Æc biÖt tËp hîp c¸c ma trËn cét     x1       x2     Mn (R) =   ..  | xi ∈ R ∀i = 0, n  .      x  n
3.1 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh 5 lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc. Nã ®-îc gäi lµ kh«ng gian c¸c vÐct¬ cét n chiÒu. T-¬ng tù ta cã thÓ nãi ®Õn kh«ng gian tuyÕn tÝnh gåm c¸c ma trËn hµng 1 × n. 5. TËp c¸c ®a thøc bËc kh«ng qu¸ n, n ∈ N∗ lµ mét sè tù nhiªn cho tr-íc Pn [x] = {P = ao + a1x + ... + an xn | ai ∈ R, i = 0, n} víi phÐp céng ®a thøc vµ nh©n ®a thøc víi mét sè thùc nh- ®· biÕt, lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc. Ta gäi lµ Pn [x] lµ kh«ng gian c¸c ®a thøc cã bËc n. 6. TËp hîp tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt AX = 0 lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc. ThËt vËy gi¶ sö A lµ ma trËn kiÓu m × n, c¸c nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt AX = 0 lµ c¸c ma trËn cét n × 1. KÝ hiÖu V lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh ®ã. NghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt cã c¸c tÝnh chÊt nh- ®· tr×nh bµy trong ch-¬ng tr-íc ∀X1 , X2 ∈ V ⇒ X1 + X2 ∈ V ∀X1 ∈ V, ∀α ∈ R ⇒ αX1 ∈ V C¸c phÐp to¸n céng, nh©n trªn V thùc chÊt lµ phÐp céng hai ma trËn, phÐp nh©n ma trËn víi mét sè. Do vËy chóng tháa m·n c¸c yªu cÇu trong ®Þnh nghÜa vÒ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. Nãi c¸ch kh¸c V lµ kh«ng gian vÐct¬. XÐt mét tr-êng hîp riªng: giao cña 2 mÆt ph¼ng (tËp hîp c¸c ®iÓm (x, y, z) ∈ R3 tháa m·n hÖ 2 ph-¬ng tr×nh) x + y − 4z = 0 2x − y + 2z = 0 thùc chÊt lµ tËp nghiÖm cña hÖ 2 ph-¬ng tr×nh thuÇn nhÊt, víi c¸ch lËp luËn trªn lµ kh«ng gian vÐct¬. 7. B¹n ®äc cã thÓ tù kiÓm tra c¸c kh¼ng ®Þnh sau: • TËp hîp A = {(x, y) ∈
6 Ch-¬ng III. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh R2 | x > 0, y > 0} kh«ng lµ kh«ng gian vÐct¬ thùc, víi c¸c phÐp to¸n nh- trong vÝ dô 2 (x1, y1 ) + (x2, y2) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) α(x, y) = (αx, αy), α ∈ R • TËp c¸c sè thùc R (víi phÐp céng vµ phÐp nh©n c¸c sè thùc ®· biÕt) kh«ng lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh phøc. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña kh«ng gian vÐct¬ Cho kh«ng gian tuyÕn tÝnh V trªn tr-êng K. Chóng cã c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n sau 1. Trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh V , vÐct¬ 0 lµ duy nhÊt. ThËt vËy nÕu 0 ∈ V còng cã tÝnh chÊt 0 + x = x ∀x ∈ V th× 0=0+0 =0. 2. Víi mçi b ∈ V tån t¹i duy nhÊt vÐct¬ ®èi (−b) ∈ V . ThËt vËy gi¶ sö tån t¹i b1 , b2 sao cho b1 + b = 0 = b2 + b. Ta cã b1 = b1 + 0 = b1 + (b2 + b) = (b1 + b) + b2 = 0 + b2 = b2 VËy (−b) lµ duy nhÊt. 3. Víi mäi α ∈ K, α · 0 = 0. ThËt vËy α · 0 = α(0 + 0) = α · 0 + α · 0. Céng c¶ 2 vÕ víi vÐct¬ ®èi (−α · 0) ta cã α · 0 = 0. 4. T-¬ng tù 0 · a = 0 vµ (−1) · a = (−a). ThËt vËy 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Céng hai vÕ víi (−0 · a) ta cã 0 = 0 · a + 0 · a + (−0 · a) = 0 · a. §Ó chøng minh (−1) · a = (−a), xÐt a + (−1) · a = 1 · a + (−1) · a = (1 − 1) · a = 0 · a = 0. Suy ra (−1) · a lµ vÐct¬ ®èi cña (−a). NhËn xÐt r»ng do (−1) · a = (−a), ta cã thÓ nãi trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh hiÖu 2 vÐct¬ b vµ a b»ng tæng cña b víi vÐct¬ ®èi cña a b − a = b + (−a).
3.1 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh 7 3.1.2 Kh«ng gian con §Þnh nghÜa 3.1.2 Cho V lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn tr-êng K. TËp con U ⊂ V cña kh«ng gian vÐct¬ V ®-îc gäi lµ kh«ng gian con cña V , kÝ hiÖu U V , nÕu U còng lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn tr-êng K víi c¸c phÐp to¸n céng vÐct¬ vµ nh©n vÐct¬ víi mét sè trªn kh«ng gian vÐct¬ V . §Þnh lÝ sau lµ hiÓn nhiªn §Þnh lÝ 3.1.1 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó U ⊂ V lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian vÐct¬ V lµ i) Víi mäi a, b ∈ U ⇒ a + b ∈ U ii) Víi mäi a ∈ U vµ mäi α ∈ K ⇒ αa ∈ U. L-u ý r»ng c¸c yªu cÇu i) vµ ii) trong ®Þnh lÝ trªn cã thÓ thay b»ng mÖnh ®Ò sau: ∀α, β ∈ K, ∀a, b ∈ U ⇒ αa + βb ∈ U. (∗) ThËt vËy víi ∀α, β ∈ K, ∀a, b ∈ U , tõ ii) suy ra do i) αa ∈ U, βb ∈ U =⇒ αa + βb ∈ U. Ng-îc l¹i i) ®-îc suy ra tõ mÖnh ®Ò (∗) b»ng c¸ch chän α = 1, β = 1, ii) ®-îc suy ra tõ mÖnh ®Ò (∗) b»ng c¸ch chän β = 0. VÝ dô 3.1.2 (VÒ c¸c kh«ng gian vÐct¬ con) 1. TËp hîp gåm mét vÐct¬ 0 hoÆc chÝnh kh«ng gian vÐct¬ V lµ hai kh«ng gian con tÇm th-êng cña kh«ng gian vÐct¬ V . 2. TËp hîp c¸c vÐct¬ h×nh häc song song víi mét mÆt ph¼ng cè ®Þnh (hoÆc song song víi mét ®-êng th¼ng cè ®Þnh) lµ kh«ng gian con. 3. ¸p dông ®Þnh lÝ 3.1.1 ta thÊy ngay V1 = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + 3y − 4z = 0} lµ kh«ng gian con cña R3 , V2 = {(x, y, z, 0) | x, y, z ∈ R} lµ kh«ng gian con cña R4 . Nh- vËy trong kh«ng gian vÐc t¬ thùc R3 víi c¸c phÐp to¸n th«ng th-êng: (x1, x2, x3 ) + (y1, y2, y3 ) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
8 Ch-¬ng III. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh α(x1, x2 , x3) = (αx1 , αx2 , αx3), α ∈ R ngoµi c¸c kh«ng gian con tÇm th-êng, c¸c ®-êng th¼ng ®i qua gèc täa ®é vµ c¸c mÆt ph¼ng ®i qua gèc täa ®é lµ c¸c kh«ng gian con cña R3 . §ång thêi ta dÔ dµng chØ ra ®iÒu ng-îc l¹i mäi kh«ng gian con bÊt k× cña R3 chØ cã thÓ lµ kh«ng gian con tÇm th-êng hoÆc c¸c ®-êng th¼ng, mÆt ph¼ng ®i qua gèc täa ®é. 4. TËp hîp c¸c ma trËn chÐo n × n lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian vÐct¬ gåm c¸c ma trËn vu«ng cÊp n. 3.2 C¬ së vµ chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh §Þnh nghÜa 3.2.1 Cho c¸c vÐct¬ u1 , u2 , ..., un trong kh«ng gian vÐct¬ V . Ta nãi vÐct¬ α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un , víi α1 , α2, ..., αn ∈ K, lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐct¬ u1 , u2 , ..., un. → − → − VÝ dô vÐct¬ 2− + 3 b lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña hai vÐct¬ − vµ b . VÐc t¬ → a → a − + 3− − 2− lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña 3 vÐct¬ − , − , − . →a → b →c → → → a b c Cho B = {b1 , b2 , ..., bk} lµ hÖ gåm k vÐct¬ trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh V . Ta ®-a vµo kÝ hiÖu L(b1 , b2 , ..., bk) hay L(B) lµ tËp hîp toµn bé c¸c tæ hîp tuyÕn tÝnh cña k vÐct¬ ®ã L(B) = {α1 b1 + α2b2 + · · · + αk bk | αi ∈ K, ∀i = 1, k} Ta sÏ chøng minh ®Þnh lÝ sau §Þnh lÝ 3.2.1 L(B) lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian vÐct¬ V . Chøng minh. ThËt vËy, víi x, y ∈ L(B) x = α1 b1 + α2 b2 + . . . + αk bk y = β1 b 1 + β2 b 2 + . . . + βk b k Khi ®ã víi mäi α, β ∈ K, vÐct¬ αx + βy = (αα1 + ββ1)b1 + (αα2 + ββ2)b2 + . . . + (ααk + ββk )bk
3.2 C¬ së vµ chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh 9 còng lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐct¬ b1 , b2 , ..., bk. Nãi c¸ch kh¸c αx + βy ∈ L(B), ¸p dông ®Þnh lÝ 3.1.1 ta cã L(B) lµ kh«ng gian con sinh bëi c¸c vÐct¬ b1 , b2 , ..., bk. Mét c¸ch tæng qu¸t gäi A ⊂ V lµ tËp hîp bÊt k× c¸c vÐct¬ cña kh«ng gian vÐct¬ V . KÝ hiÖu L(A) = {α1u1 + α2 u2 + · · · + αn un | n ∈ N, ui ∈ A, αi ∈ K ∀i = 1, n} lµ tËp hîp toµn bé c¸c tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐct¬ trong A. Hoµn toµn t-¬ng tù nh- trªn, L(A) còng lµ kh«ng gian con cña kh«ng gian vÐct¬ V . VÝ dô 3.2.1 1. Trong R3 xÐt hÖ c¸c vÐct¬ B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}. Mäi vÐct¬ trong R3 cã thÓ biÓu diÔn nh- mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña 3 vÐct¬ ®ã (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). Do vËy L(e1, e2, e3) = R3. 2. Kh«ng gian con sinh bëi mét vÐct¬ a ∈ V lµ tËp hîp c¸c vÐct¬ cã d¹ng L(a) = {α a | α ∈ K}. Còng nh- trong h×nh gi¶i tÝch, ®Ó thuËn tiÖn ta gäi vÐct¬ α a lµ vÐct¬ ®ång ph-¬ng víi a. XÐt kh«ng gian c¸c ma trËn vu«ng cÊp hai M2×2 , kh«ng gian con sinh 1 0 bëi ma trËn B = lµ tËp hîp c¸c ma trËn chÐo cã d¹ng 0 1 x 0 L(B) = 0 x |x∈R §Þnh nghÜa 3.2.2 Kh«ng gian vÐct¬ L(A) ®-îc gäi lµ kh«ng gian sinh bëi A. TËp A ®-îc gäi lµ tËp sinh cña kh«ng gian vÐct¬ L(A). §Æc biÖt {u1 , u2 , ..., uk ∈ V } lµ tËp sinh cña kh«ng gian vÐct¬ V nÕu mäi vÐct¬ trong V ®Òu lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh nµo ®ã cña c¸c vÐct¬ u1 , u2 , ..., uk ∀u ∈ V ⇒ ∃αi ∈ K, i = 1, k : u = α1 u1 + α2u2 + · · · + αk uk .
10 Ch-¬ng III. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh NÕu A lµ hÖ c¸c vÐct¬ A = {u1 , u2 , ..., uk} khi ®ã ta nãi A lµ hÖ sinh (thay cho côm tõ tËp sinh) cña kh«ng gian vÐct¬ L(A). Chó ý r»ng ta cÇn ph©n biÖt hÖ vÐct¬ víi tËp hîp c¸c vÐct¬: c¸c vÐct¬ trong hÖ cã thÓ b»ng nhau ch¼ng h¹n hÖ B gåm n vÐct¬ a B = {a, a, ..., a} trong khi tËp hîp c¸c vÐct¬ thuéc hÖ B chØ cã duy nhÊt mét phÇn tö. Ta cã nhËn xÐt r»ng L(A) lµ kh«ng gian con nhá nhÊt trong V chøa tÊt c¶ c¸c vÐct¬ cña A. Mçi kh«ng gian vÐct¬ cã v« sè tËp sinh (xem vÝ dô 3.2.2). Kh«ng gian vÐct¬ V còng ®ång thêi lµ tËp sinh cña chÝnh nã. Tuy nhiªn trong gi¸o tr×nh nµy ta th-êng quan t©m ®Õn c¸c tËp sinh h÷u h¹n phÇn tö. §Þnh nghÜa trªn vÒ hÖ sinh cã thÓ diÔn ®¹t mét c¸ch kh¸c C¸c vÐct¬ {u1 , u2 , ..., uk} thuéc kh«ng gian vÐc t¬ V lµ hÖ sinh cña mét kh«ng gian con U nµo ®ã trong V khi vµ chØ khi ph-¬ng tr×nh x1 u 1 + x2 u 2 + · · · + xk u k = u lu«n cã nghiÖm xi ∈ K, i = 1, k víi mäi u ∈ U . Kh¼ng ®Þnh trªn chøng tá L(u1 , u2 , ..., uk) = U . Ng-êi ta th-êng sö dông nã ®Ó chøng minh mét hÖ vÐc t¬ nµo ®ã lµ hÖ sinh. VÝ dô 3.2.2 (VÒ hÖ sinh cña kh«ng gian vÐct¬) → − → → 1. Ba vÐct¬ (tù do) kh«ng ®ång ph¼ng {− , b , − } lµ hÖ sinh cña kh«ng gian a c c¸c vÐct¬ h×nh häc. ThËt vËy, trong h×nh häc gi¶i tÝch, chóng ta ®· biÕt mäi vÐc t¬ − cã thÓ ph©n tÝch theo 3 vÐct¬ kh«ng ®ång ph¼ng →u − = x− + y − + z − . → u → a → b → c Nh- vËy kh«ng gian c¸c vÐct¬ h×nh häc cã v« sè hÖ sinh, bÊt k× 3 vÐct¬ kh«ng ®ång ph¼ng nµo ®Òu lËp thµnh hÖ sinh. 2. TËp hîp c¸c ®a thøc P = {1, x, x2, ..., xn, ...} lµ tËp sinh cña kh«ng gian gåm tÊt c¶ c¸c ®a thøc hÖ sè thùc. ThËt vËy, kh«ng gian con sinh bëi P L(P ) = {α0 · 1 + α1 x + · · · + αn xn | n ∈ N, αi ∈ R, ∀i = 0, n} gåm tÊt c¶ c¸c ®a thøc hÖ sè thùc.
3.2 C¬ së vµ chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh 11 3. T-¬ng tù c¸c ®a thøc {1, x, x2, ..., xk} lµ hÖ sinh cña kh«ng gian c¸c ®a thøc cã bËc kh«ng v-ît qu¸ k. §Þnh nghÜa 3.2.3 HÖ n vÐct¬ {u1 , u2 , ..., un} cña kh«ng gian vÐct¬ V ®-îc gäi lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh nÕu tån t¹i trong K c¸c sè α1 , α2, ..., αn kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho α1u1 + α2 u2 + · · · + αn un = 0. Nãi c¸ch kh¸c ph-¬ng tr×nh α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un = 0 cã nghiÖm kh«ng tÇm th-êng α1 , α2 , ..., αn trong K. Mét hÖ n vÐct¬ kh«ng phô thuéc tuyÕn tÝnh ®-îc gäi lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Nãi c¸ch kh¸c hÖ {u1 , u2 , ..., un} ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu ph-¬ng tr×nh vÐct¬ α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un = 0 chØ cã nghiÖm tÇm th-êng α1 = α2 = · · · = αn = 0. Chó ý r»ng ta cã thÓ më réng cho kh¸i niÖm mét hÖ (hoÆc tËp) v« h¹n c¸c vÐct¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. TËp A gåm c¸c vÐct¬ nµo ®ã trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh V ®-îc gäi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu h÷u h¹n vÐct¬ bÊt k× trong A còng ®éc lËp tuyÕn tÝnh. NhËn xÐt r»ng nÕu bít ®i mét sè vÐct¬ tõ hÖ c¸c vÐct¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh, hÖ cßn l¹i vÉn ®éc lËp tuyÕn tÝnh, hoÆc diÔn ®¹t mét c¸ch kh¸c t-¬ng ®-¬ng nÕu thªm vµo hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh c¸c vÐct¬ bÊt k×, hÖ míi vÉn phô thuéc tuyÕn tÝnh. ThËt vËy gi¶ sö A = {b1 , b2 , ..., bn} phô thuéc tuyÕn tÝnh, xÐt hÖ B gåm m vÐct¬ vµ B chøa mäi vÐct¬ cña A (n m) B = {b1 , b2 , ..., bn, bn+1 , ..., bm}. Do A phô thuéc tuyÕn tÝnh nªn tån t¹i c¸c sè α1 , α2 , ..., αn kh«ng ®ång thêi b»ng 0 tháa m·n α1 b1 + α2, b2 + · · · + αn bn = 0. Suy ra α1 b1 + α2 , b2 + · · · + αn bn + 0 · bn+1 + 0 · bn+2 + · · · + 0 · bm = 0. VËy B lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh.
12 Ch-¬ng III. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh VÝ dô 3.2.3 1. Trong R3 xÐt hÖ c¸c vÐct¬ B = {b1 = (1, 2, 3), b2 = (−1, 1, −2), b3 = (0, 3, 1)}. HÖ B phô thuéc tuyÕn tÝnh v× b1 + b2 − b3 = 0. 2. NÕu B lµ hÖ c¸c vÐct¬ bÊt k× trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh V vµ B chøa vÐct¬ 0, khi ®ã B phô thuéc tuyÕn tÝnh. ThËt vËy do vÐct¬ 0 ∈ B, ta cã ngay mét tæ hîp tuyÕn tÝnh 1 · 0 = 0 víi hÖ sè kh¸c 0. 3. KÝ hiÖu V3 lµ tËp c¸c vec t¬ h×nh häc kh«ng gian, V3 lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc. HiÓn nhiªn hai vÐct¬ ®ång ph-¬ng hoÆc ba vÐct¬ ®ång ph¼ng lµ c¸c hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. Tuy nhiªn hai vÐct¬ kh«ng ®ång ph-¬ng hoÆc ba vÐct¬ kh«ng ®ång ph¼ng lµ c¸c hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. → − → − → → Ta sÏ chøng minh hÖ 4 vÐct¬ bÊt k× − , b , − , d trong V3 phô thuéc tuyÕn a c tÝnh. → − → → ThËt vËy nÕu 3 vÐct¬ − , b , − ®ång ph¼ng th× chóng phô thuéc tuyÕn tÝnh a c → − vµ do ®ã bæ sung thªm vÐct¬ d hÖ vÉn phô thuéc tuyÕn tÝnh. Tr-êng hîp → − → → 3 vÐct¬ − , b , − kh«ng ®ång ph¼ng, trong h×nh gi¶i tÝch ta ®· biÕt khi ®ã a c → − → − → → vÐct¬ d cã thÓ ph©n tÝch theo 3 vÐct¬ − , b , − a c → − → − d = α 1 − + α2 b + α3 − . → a → c → − → −→ → − → → → − Suy ra α1 − + α2 b + α3 − − d = 0, 4 vÐct¬ − , b , − , d phô thuéc tuyÕn → a c a c tÝnh. §Þnh lÝ 3.2.2 Mét hÖ vÐct¬ phô thuéc tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi tån t¹i trong nã mét vÐct¬ lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐct¬ cßn l¹i. Chøng minh. Gäi B = {b1 , b2, ..., bn} lµ hÖ c¸c vÐct¬ phô thuéc tuyÕn tÝnh. Khi ®ã tån t¹i c¸c sè α1 , α2, ..., αn kh«ng ®ång thêi b»ng 0 tháa m·n α1 b1 + α2 , b2 + · · · + αn bn = 0. Gi¶ sö αk = 0, chuyÓn vÕ vµ chia hai vÕ cho αk , ta ®-îc α1 α2 αk−1 αk+1 αn bk = − b1 − b2 − · · · − bk−1 − bk+1 − · · · − bn . αk αk αk αk αk
3.2 C¬ së vµ chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh 13 VËy bk lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐct¬ cßn l¹i trong hÖ B. Ng-îc l¹i, kh«ng lµm mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö b1 lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐct¬ b2 , · · · , bn b1 = β2b2 + β3b3 + ... + βn bn . Ta cã 1 · b1 − β2b2 − β3b3 − · · · − βn bn = 0, suy ra B phô thuéc tuyÕn tÝnh. VÝ dô 3.2.4 (VÒ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh, ®éc lËp tuyÕn tÝnh) 1. HÖ 2 vÐct¬ b vµ α b, α ∈ K phô thuéc tuyÕn tÝnh. 2. HÖ ba vÐct¬ {b, a + b, a − b} phô thuéc tuyÕn tÝnh v× (−2) · b + (a + b) − (a − b) = 0. 3. Mét hÖ n vÐct¬ trong ®ã cã 2 vÐct¬ gièng nhau (cïng b»ng a) a, b2 , · · · , bk−1 , a, bk+1 , · · · , bn lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. 4. Trong kh«ng gian R2, hai vÐct¬ a = (1, 0) vµ b = (0, 1) ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Trong R3, ba vÐct¬ {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 5. XÐt hÖ ph-¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh AX = B hoÆc viÕt chi tiÕt h¬n  a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = b1   a x + a x + · · · + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 . . . . . . . . . . . .    am1x1 + a12x2 + · · · + amn xn = bm KÝ hiÖu a1 , a2 , ..., an lµ c¸c vÐct¬ cét cña ma trËn A, b lµ ma trËn cét c¸c hÖ sè tù do     a1i b1  a2i   b2      ai =  .  , i = 1, n, b =  .  .   .  .  . ami bm
14 Ch-¬ng III. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh HÖ ph-¬ng tr×nh AX = B còng cã thÓ viÕt d-íi d¹ng x1a1 + x2a2 + · · · + xn an = b. Do vËy nÕu hÖ ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm, b lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vÐct¬ a1 , a2 , ..., an. Khi ®ã theo ®Þnh lÝ 3.2.2 hÖ vÐct¬ {a1 , a2 , ..., an, b} phô thuéc tuyÕn tÝnh. §Þnh nghÜa 3.2.4 Trong kh«ng gian vÐct¬ V mét hÖ c¸c vÐct¬ {u1 , u2 , ..., un} ®-îc gäi lµ c¬ së cña V nÕu chóng lµ hÖ sinh cña V vµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Tæng qu¸t h¬n nÕu tËp hîp c¸c vÐct¬ A nµo ®ã trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh V võa lµ tËp sinh cña V võa ®éc lËp tuyÕn tÝnh, khi ®ã ta còng nãi A lµ c¬ së cña V . Nh- vËy c¬ së cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh cã thÓ chøa v« h¹n phÇn tö. Ng-êi ta chøng minh ®-îc r»ng mäi kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Òu tån t¹i Ýt nhÊt mét c¬ së. Trong ph¹m vi gi¸o tr×nh nµy ta chØ xÐt c¸c hÖ c¬ së gåm h÷u h¹n vÐct¬. Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta suy ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ c¸c vÐct¬ {u1 , u2 , ..., un} lµ c¬ së cña kh«ng gian vÐct¬ V, lµ: 1. Víi mäi u ∈ V, ∃ α1 , α2 , ..., αn ∈ K sao cho u = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un . Nãi c¸ch kh¸c ph-¬ng tr×nh x1 u1 + x2u2 + · · · + xk uk = u lu«n cã nghiÖm x1, x2 , ..., xn ∈ K víi mäi u ∈ V . 2. Tõ hÖ thøc α1u1 + α2 u2 + · · · + αn un = 0 lu«n suy ra α1 = α2 = ... = αn = 0. VÝ dô 3.2.5 (VÒ c¬ së cña kh«ng gian vÐct¬) 1. Trong kh«ng gian vÐct¬ h×nh häc ba vÐct¬ kh«ng ®ång ph¼ng bÊt k× lµ hÖ → → → − − − c¬ së cña kh«ng gian ®ã. §Æc biÖt { i , j , k } lµ mét c¬ së. 2. Trong kh«ng gian Rn , c¸c vÐct¬ e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, 0, ..., 0, 1)
3.2 C¬ së vµ chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh 15 lËp thµnh mét c¬ së. C¬ së ®ã ®-îc gäi lµ c¬ së chÝnh t¾c cña Rn . ThËt vËy, mäi vÐct¬ x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña e1, e2 , ..., en x = x1 e1 + x2e2 + · · · + xn en. C¸c vÐct¬ e1, e2 , ..., en ®éc lËp tuyÕn tÝnh v× tõ hÖ thøc x1e1 + x2e2 + · · · + xn en = 0 ⇒ (x1, x2 , ..., xn) = (0, 0, ..., 0). 3. HÖ c¸c ®a thøc B = {1, x, x2, ..., xn} ®éc lËp tuyÕn tÝnh v× a0 + a1x + a2x2 + · · · + an xn ≡ 0 khi vµ chØ khi a0 = a1 = · · · = an = 0. MÆt kh¸c trong vÝ dô 3.2.2 ta ®· biÕt hÖ B lµ hÖ sinh cña kh«ng gian c¸c ®a thøc cã bËc kh«ng v-ît qu¸ n. Suy ra B = {1, x, x2, ..., xn} lµ c¬ së cña kh«ng gian ®ã. 4. Trong kh«ng gian c¸c ma trËn cïng kiÓu, tËp c¸c ma trËn mµ mçi ma trËn chØ cã duy nhÊt mét phÇn tö 1 ®øng trong nã, c¸c phÇn tö cßn l¹i b»ng 0 lµ mét c¬ së. Ch¼ng h¹n trong kh«ng gian c¸c ma trËn cïng kiÓu 3 × 2, kÝ hiÖu M3×2 c¸c ma trËn       1 0 0 1 0 0 M1 = 0 0 , M2 = 0 0 , M3 = 1 0 0 0 0 0 0 0       0 0 0 0 0 0 M4 = 0 1 , M5 = 0 0 , M6 = 0 0 0 0 1 0 0 1 lËp thµnh hÖ c¬ së cña M3×2 . Mét kh«ng gian vÐct¬ cã thÓ cã nhiÒu hÖ c¬ së. Tuy nhiªn ta cã ®Þnh lÝ sau §Þnh lÝ 3.2.3 Sè vÐct¬ trong hai c¬ së bÊt k× cña kh«ng gian vÐct¬ V lu«n b»ng nhau. Nh- vËy sè l-îng c¸c vÐct¬ trong c¸c hÖ c¬ së kh¸c nhau lµ nh- nhau, ng-êi ta gäi sè ®ã lµ chiÒu cña kh«ng gian vÐct¬ V , kÝ hiÖu dim V . §Ó chøng minh ®Þnh lÝ ta cÇn mét bæ ®Ò sau
16 Ch-¬ng III. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh Bæ ®Ò 3.2.1 Cho B = {x1, x2, . . . , xn} vµ B = {y1 , y2, . . . , ym } lµ hai hÖ vÐct¬ trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh V . NÕu mäi vect¬ trong B ®Òu lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ trong B vµ gi¶ thiÕt sè l-îng c¸c vÐct¬ trong B nhiÒu h¬n sè l-îng c¸c vÐct¬ trong B n>m th× B lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh. Tõ bæ ®Ò trªn ta cã thÓ nãi trong v« sè tæ hîp tuyÕn tÝnh cña m vect¬ cã kh«ng qu¸ m vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Chøng minh bæ ®Ò. Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo sè vect¬ cña B . ThËt vËy, víi m = 1, tøc lµ hÖ B chØ gåm mét vÐct¬ B = {y}, tõ gi¶ thiÕt suy ra c¸c vÐct¬ xi trong B b»ng béi lÇn vÐct¬ y xi = αi y ∀i = 1, n ⇒ B phô thuéc tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö bæ ®Ò ®óng víi m − 1, ta xÐt hÖ B gåm m vect¬ vµ n > m  x1 = α11 y1 + α21 y2 + ... + αm1 ym    x2 = α12 y1 + α22 y2 + ... + αm2 ym . . (3.1)   . . . .    xn = α1n y1 + α2n y2 + ... + αmn ym • NÕu α11 = α12 = ... = α1n = 0, th× c¸c vÐct¬ trong B chØ lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña m − 1 vect¬ {y2, . . . , ym }. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p hÖ vÐct¬ B phô thuéc tuyÕn tÝnh. • Tån t¹i Ýt nhÊt mét trong c¸c sè α11, α12, ..., α1n = 0. Kh«ng lµm mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö α11 = 0. XÐt hÖ (n − 1) vect¬ A = {x2, x3, . . . , xn }  α x2 = x2 − 12 x1    α11   x = x3 − α13 x1 3 α11 . . . . . . . . . . . . . . .     x = x − α1n x  n n 1 α11 Tõ (3.1) ta thÊy mçi vÐct¬ trong hÖ A lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña (m − 1) vect¬ {y2, . . . , ym} cña B . ¸p dông gi¶ thiÕt quy n¹p cho hÖ A gåm (n − 1) vÐct¬
3.2 C¬ së vµ chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh 17 vµ hÖ {y2, . . . , ym} gåm (m − 1) vect¬, do n > m nªn n − 1 > m − 1, suy ra A phô thuéc tuyÕn tÝnh. Nãi c¸ch kh¸c tån t¹i c¸c sè kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng γ2 , γ3, ..., γn ∈ K sao cho γ2 x2 + γ3 x3 + ... + γn xn = 0 hay α12γ2 α13γ3 α1n γn γ2 x2 + γ3 x3 + ... + γn xn − ( + + ··· + )x1 = 0. α11 α11 α11 VËy B = {x1, x2, . . . , xn } phô thuéc tuyÕn tÝnh. Chøng minh ®Þnh lÝ 3.2.3: Sè vÐct¬ trong hai c¬ së bÊt k× lµ b»ng nhau. ThËt vËy, gi¶ sö B = {b1 , b2 , . . . , bm } vµ C = {c1, c2 , . . . , cn } lµ hai c¬ së cña V . Ta chøng minh b»ng ph¶n chøng, gi¶ sö m = n, kh«ng lµm mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã quyÒn gi¶ thiÕt m > n. Do C lµ hÖ sinh nªn c¸c vÐct¬ trong B lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh c¸c vÐct¬ trong C. Theo bæ ®Ò 3.2.1 hÖ B phô thuéc tuyÕn tÝnh, ®iÒu ®ã v« lÝ víi gi¶ thiÕt B lµ hÖ c¬ së cña kh«ng gian V . VÝ dô 3.2.6 1. C¬ së chÝnh t¾c cña kh«ng gian vÐct¬ thùc Rn lµ hÖ c¸c vÐc t¬ e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, 0, ..., 0, 1). Suy ra chiÒu cña kh«ng gian dim Rn = n. 2. Ta ®· biÕt {1, x, x2} lµ hÖ c¬ së cña kh«ng gian c¸c ®a thøc cã bËc kh«ng v-ît qu¸ 2. VËy chiÒu cña kh«ng gian ®ã dim P2 [x] = 3. 3. Kh«ng gian M2×2 gåm c¸c ma trËn vu«ng cÊp 2 cã mét hÖ c¬ së 1 0 0 1 0 0 0 0 M1 = , M2 = , M3 = , M4 = 0 0 0 0 1 0 0 1 VËy dim M2×2 = 4. 4. Trong vÝ dô 3.2.5 kh«ng gian M3×2 cã mét c¬ së gåm c¸c ma trËn       1 0 0 1 0 0 M1 = 0 0 , M2 = 0 0 , M3 = 1 0 0 0 0 0 0 0
18 Ch-¬ng III. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh       0 0 0 0 0 0 M4 = 0 1 , M5 = 0 0 , M6 = 0 0 0 0 1 0 0 1 VËy dim M3×2 = 6. Tõ ®Þnh lÝ 3.2.3, ta suy ra mét kÕt qu¶ quan träng §Þnh lÝ 3.2.4 Trong kh«ng gian vÐct¬ n chiÒu V mäi hÖ m vÐct¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh víi m < n ®Òu cã thÓ bæ sung thªm ®Ó trë thµnh hÖ c¬ së cña V . Chøng minh. Gi¶ sö B = {b1 , b2, . . . , bm } lµ hÖ m vÐct¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian n chiÒu V . Do m < n, B kh«ng lµ hÖ sinh cña kh«ng gian V , suy ra kh«ng gian con sinh bëi hÖ B lµ kh«ng gian con thùc sù cña V L(b1 , b2 , . . . , bm ) V. Nãi c¸ch kh¸c tån t¹i mét vÐct¬ b ∈ V vµ b ∈ L(B). Theo ®Þnh lÝ 3.2.2, hÖ / m + 1 vÐct¬ B = {b1, b2 , . . . , bm , b} ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Ta lÆp l¹i qu¸ tr×nh trªn cho hÖ B nÕu m + 1 < n, cho ®Õn khi ta thu ®-îc hÖ B ∗ chøa hÖ B vµ B ∗ gåm n vÐct¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Ta sÏ chøng minh B ∗ lµ c¬ së cña V . Gi¶ sö ng-îc l¹i, khi ®ã B ∗ kh«ng lµ hÖ sinh cña V , lËp luËn nh- trªn ta suy ra tån t¹i mét vÐct¬ b∗ ∈ V sao cho hÖ n + 1 vÐct¬ B = {b1 , b2, . . . , bn , b∗ } ®éc lËp tuyÕn tÝnh. §iÒu ®ã m©u thuÉn víi bæ ®Ò 3.2.1, theo bæ ®Ò ®ã hÖ n + 1 vÐct¬ B phô thuéc tuyÕn tÝnh. VÝ dô 3.2.7 1. Trong kh«ng gian vÐct¬ h×nh häc V hÖ ba vÐct¬ → → − − → → − − → → → → − − − − { i − j +2k, i +3 j − k, i − k} lµ mét c¬ së cña V . ThËt vËy, ba vÐct¬ kÓ trªn kh«ng ®ång ph¼ng. Trong h×nh häc gi¶i tÝch ta ®· biÕt mäi vÐct¬ trong kh«ng gian ®Òu cã thÓ ph©n tÝch theo 3 vÐct¬ kh«ng ®ång ph¼ng, do ®ã chóng lµ mét hÖ sinh cña kh«ng gian V . MÆt kh¸c hÖ 3 vÐct¬ kh«ng ®ång ph¼ng bÊt k× ®éc lËp tuyÕn tÝnh (xem vÝ dô 3.2 3), suy ra chóng lµ c¬ së cña V vµ dim V = 3.
3.2 C¬ së vµ chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh 19 2. Trong kh«ng gian R4, hiÓn nhiªn V = {(x1 , x2, x3, x4 ) ∈ R4 | x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0} lµ kh«ng gian con (tháa m·n ®Þnh lÝ 3.1.1). H·y t×m mét c¬ së vµ x¸c ®Þnh chiÒu cña kh«ng gian con ®ã. XÐt hÖ c¸c vÐct¬ sau B = {b1 = (4, 0, 0, −1), b2 = (0, 2, 0, −1), b3 = (0, 0, 4, −3)} DÔ dµng nhËn thÊy B ⊂ V vµ hÖ B ®éc lËp tuyÕn tÝnh. ThËt vËy hÖ ph-¬ng tr×nh x1b1 + x2 b2 + x3b3 = 0 hay  4x1 + 0x2 + 0x3 = 0   0x + 2x + 0x = 0 1 2 3 0x1 + 0x2 + 4x3 = 0    −x1 − x2 − 3x3 = 0 chØ cã nghiÖm tÇm th-êng x1 = x2 = x3 = x4 = 0. Suy ra kh«ng gian con sinh bëi B, kh«ng gian L(B) cã chiÒu b»ng 3. MÆt kh¸c L(B) ⊂ V R4 , nªn kh«ng gian V cã chiÒu b»ng 3 vµ hÖ vÐct¬ B = {b1 = (4, 0, 0, −1), b2 = (0, 2, 0, −1), b3 = (0, 0, 4, −3)} lµ c¬ së cña nã. 3. HÖ c¸c ®a thøc {p1 = 1, p2 = x + 1, p3 = x2 + x + 1} lµ c¬ së cña P2 [x], kh«ng gian c¸c ®a thøc cã bËc kh«ng v-ît qu¸ 2. ThËt vËy do dim P2[x] = 3, ta chØ cÇn chøng minh c¸c ®a thøc {p1 , p2 , p3} ®éc lËp tuyÕn tÝnh. XÐt hÖ thøc α1p1 + α2 p2 + α3 p3 = 0 hay α1 + α2 (x + 1) + α3 (x2 + x + 1) ≡ 0 ∀x ∈ R. HÖ thøc trªn chØ ®óng khi α1 = α2 = α3 = 0. 4. Cho tËp E = {(x, y) | x > 0, y ∈ R}. Trªn E ng-êi ta ®Þnh nghÜa phÐp céng (x1, y1)+(x2, y2 ) = (x1 x2, y1 +y2 ) vµ phÐp nh©n α·(x, y) = (xα, α·y), α ∈ R. Chøng minh E lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc. T×m chiÒu vµ mét c¬ së cña E. ViÖc chøng minh E lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn R ®¬n gi¶n chØ lµ viÖc kiÓm tra c¸c yªu cÇu trong ®Þnh nghÜa 3.1.1 vÒ kh«ng gian tuyÕn tÝnh. Chó ý r»ng phÐp céng vµ phÐp nh©n ngoµi ë ®©y kh«ng quen thuéc nh-