Dáng điệu biên của hàm Squeezing gần điểm biên lồi tuyến tính

Chia sẻ: Tưởng Trì Hoài | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo này có hai mục đích. Mục đích đầu tiên là chứng minh rằng nếu hàm Squeezing

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dáng điệu biên của hàm Squeezing gần điểm biên lồi tuyến tính

HỘI NGHỊ TOÀN QUỐC KHOA HỌC TRÁI ĐẤT VÀ TÀI NGUYÊN VỚI PHÁT TRIỂN BỀN VỮNG (ERSD 2022) Dáng điệu biên của hàm Squeezing gần điểm biên lồi tuyến tính Nguyễn Thị Lan Hương* Trường Đại học Mỏ - Địa chất Bài báo này có hai mục đích. Mục đích đầu tiên là chứng minh rằng nếu hàm Squeezing 𝜎 (𝑞 𝑗 ) hội tụ tới 1 với một TÓM TẮT dãy {𝑞 𝑗 }  nào đó hội tụ tới điểm biên lồi tuyến tính 0 kiểu hữu hạn, thì điểm đó phải là điểm giả lồi chặt. Tiếp đến, mục đích thứ hai là xem xét dáng điệu biên của hàm Squeezing của mặt Ellipsoid tổng quát. Từ khóa: Miền phức, Miền h-thác triển, Hàm Squeezing Đặt vấn đề Cho  là một miền trong Cn và p  . Cho phép nhúng chỉnh hình f:   Bn = B (0; 1) với f(p) = 0, đặt ,f (p) = sup {r > 0: B(0; r)  f()} trong đó, Bn(z; r)  Cn là hình cầu tâm z bán kính r. Khi đó, hàm Squeezing : R được định nghĩa như trong [DGZ12] là: (p) = supf {,f (p)}. Chú ý rằng 0 < (z)  1 với mọi z   và hàm Squeezing là bất biến đối với các ánh xạ song chỉnh lim  (𝑧) = 1. hình. Trong các nghiên cứu gần đây [DGZ16, DFW14, KZ16], các tác giả đã chứng minh rằng nếu p là điểm 𝑧∈ 𝑝 biên giả lồi chặt thì J. E. Forness và F. E. Wold cũng đã đưa ra bài toán ngược của kết quả này trong [FW 18, bài toán 4.1]. lim  (𝑧) = 1 thì biên của  có giả lồi chặt Bài toán 1 𝑧∈ 𝑝 Nếu  là miền giả lồi bị chặn với biên trơn, và nếu tại p ? Kết quả nghiên cứu chính xung quanh vấn đề này thuộc về A.Zimmer [Zim18, Zim19], J. E. Forness và F. E. Wold [FW18], S. Joo and K. T. Kim [JK18], P. Mahajan and K. Verma [MV19]. Hơn nữa, trong [Zim18, Zim19], A. Zimmer đã chứng minh điều khẳng định với miền lồi bị chặn với biên trơn C2,. lim  (𝑧) = 1. Trong [FW18], J. E. Forness và F. E. Wold đã cấu trúc một miền lồi bị chặn có biên C2- trơn   Cn mà 𝑧∈ 𝑝 không giả lồi chặt, nhưng Định lý 1: Cho  là một miền bị chặn trong Cn với biên giả lồi trơn. Nếu  0 là một điểm biên của  theo kiểu hữu hạn sao cho  là lồi tuyến tính tại  0 và nếu tồn tại dãy {qj} sao cho lim q j  0 và j  lim s (q j )  1 thì  là giả lồi mạnh tại  0 . j  Cố định các số nguyên dương m1, …., mn-1 và đặt P(z’) là (1/m1,…..,1/mn-1)-đa thức thuần nhất cho bởi  L P( z )  aKL z 'K z ' wt (K)  w( L ) 1/ 2 Trong đó aKL  C với aKL  aLK , thỏa mãn P(z’) > 0 khi z’  0. kj Từ đó ta có z = (z1, ….., zn-1) và wt ( K )   j 1 n 1 ký hiệu cho trọng ứng với đa chỉ số K=(k1,……,kn-1) 2m j  Nn-1 theo trọng  = (1/m1,…..,1/mn-1). Khi đó, ellipsoid tổng quát DP trong Cn (n  1) được định nghĩa trong [NNTK] bởi DP  {(z', z n )  C n :|z n |2 +P(z')
Trong bài báo này, ta giả sử rằng miền DP là miền WB, tức là DP là giả lồi chặt tại mọi điểm biên bên Với s, r (0, 1], theo [Lin18, bổ đề 2.5] ta định nghĩa 𝐷 𝑝𝑠 và 𝐷 𝑝𝑠,𝑟 lần lượt bởi ngoài tập {(0’, ei):   R}. (xem [AGK16]). DP  {z  Cn :|z-b|2 +sP(z') 0: (q + v) - (q) <  với mọi   C với || < }. Khi đó, dễ thấy (q, v, ) chính là khoảng cách từ q tới Sq, = {(z) = (q) + } dọc theo đường thẳng phức {q + v:   C}. Với mọi điểm q    U và với mọi số dương  đủ nhỏ, ta kết hợp (1) Một hệ tọa độ giải tích (z1, z2,…., zn) tâm tại q và bảo toàn tính trực giao (2) Các điểm p1, p2,…, pn trên siêu mặt Sq,  (3) Các số dương 1(q, ), 2(q, ),…., n(q, ). Cách xây dựng được tiếp tục như sau:  (q) Đặt e1  và 1(q, ) = (q, e1, ). |  (q) | Với  đủ nhỏ, tồn tại duy nhất một điểm p1 trong Sq,  mà có khoảng cách như trên. Chọn một tham số hóa đường thẳng phức từ q tới p1 sao cho z1(0) = q, p1 thuộc trục thực dương Re(z1). 1219
r r Bằng cách chọn trục thực đối với z1, chúng ta có (q)  1 , và do đó, nếu U đủ nhỏ thì (z)  1 x1 x1 với mọi z  U. Chúng ta cũng có 1(q, )  , trong đó hằng số là độc lập đối với q và . Bây giờ chúng ta xét đến thành phần trực giao H1 của không gian sinh bởi trục z1 trong Cn. Với mỗi   H1  Sn-1, ta tính được (q, , ). Do giả thiết về kiểu hữu hạn, nên khoảng cách lớn nhất là hữu hạn và đạt được tại vector e2  H1Sn-1. Ta có tập 2(q, ) = (q, e2, ). Lấy p2  Sq,  là một điểm sao cho p2 = q + 2(q, ).e2. Tọa độ z2 được xác định là tham số hóa của đường thẳng phức từ q tới p2 sao cho z2(0) = q và p2 nằm trên trục thực dương Re(z2). Tiếp theo, ta định nghĩa H2 như là thành phần trực giao của không gian sinh bởi z1 và z2 và lặp lại cách xây dựng như trên. Cứ tiếp tục quá trình đó, chúng ta thu được n hàm tọa độ zk, các vector ek, các số k(q, ) và các điểm triệt tiêu pk (1  k  n). Đặt zk = xk + iyk (1  k  n), ký hiệu cho các tọa độ thực nằm dưới. Chúng ta giả thiết rằng 0 là điểm tụ của dãy các tự đẳng cấu của . Đặt {qj}   là dãy hội tụ tới 0. Thêm nữa, chúng ta có thể giả thiết rằng qj   U với mọi j. Ta đặt tập j = -p(qj) với mọi j. Khi đó, bằng cách lập luận như trên, chúng ta xây dựng một hệ tọa độ mới (zj1, zj2,….., zjn ), các số dương j, 1, …., j, n và các điểm pj1, …., pjn liên kết với qj và j. Sự thay đổi hệ tọa độ từ hệ tọa độ chính tắc sang hệ tọa độ (zj1, zj2,….., zjn) là do sự kết hợp của phép tịnh tiến Tj và phép biến đổi đơn vị Aj. Thêm nữa, chúng ta có thể giả thiết rằng (Aj o Tj)-1 là xác định trong một lân cận cố định của gốc tọa độ và do đó kéo theo hàm xác định j được định nghĩa bởi: j =  o (Aj o Tj)-1 được xác định trong một lân cận cố định của 0 bởi n  j ( z )   j  Re( akj zk )   Cj ,  z ' z '  O(| z |2 m 1 ) k 1 2 | | |  | 2 m trong đó  = (2,…, n), || = 2 + … + n và z’ = z22…… znn. Chúng ta cũng lưu ý rằng O(|z|2m+1) là độc lập với j. Đặt oA là giới hạn của j khi j  , trong đó A là phép biến đổi đơn vị và giới hạn này hội tụ trong C, trên một lân cận compact cố định của 0. Khi đó, với mọi j nhỏ hơn hoặc bằng n và với mọi đa chỉ số  và  thỏa mãn 2  || + ||  2m, tồn tại hai số phức aj và C sao cho: limak  ak , limC  C j j j  j  Bây giờ chúng ta xét phép co giãn: j (z) = (j,1z1, …, j,nzn) và hàm số: 1 j   j o j j Do đó, hàm xác định j có dạng như sau: n 1 1  j  1  Re( a jj j , j z j )   Cj ,      z ' z '  O (( j )1/ 2 m | z |2 m 1 ) j j 1 j   2 | |  | | 2 m j trong đó:       ,2  2 .......... ,n  n j j 2 jn Hơn nữa, từ [Ni09, Prop.3.1] ta có hàm  j là trơn và đa điều hòa, và sau khi lấy một dãy, chúng ta có thể giả sử rằng {  j } hội tụ đều trên một tập compact của Cn tới một hàm đa điều hòa trơn  có dạng n  ( z )  1  Re( bk zk )  P(z') k 1 trong đó P là một đa thức đa điều hòa có cấp nhỏ hơn hoặc bằng 2m. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ ký hiệu j = j-1oAjoTj với mọi j. Khi đó, ta có thể suy ra rằng {j(U)} hội tụ tới mô hình: n M P  {z  Cn : (z)=-1+Re( bk zk )+P(z')
Mà M P rõ ràng là song chỉnh hình với mô hình: M P  {z  Cn : (z)=Re(z1 )+P(z') 0 nào đó, tức là  là giả lồi chặt tại 0 (0 có kiểu hữu hạn D’ Angelo là 2). 3.2. Chứng minh định lý 2 Đặt q = (q’, qn)  DP.r gần p = (0’, 1). s Do tính bất biến của Ds, r, DP qua phép quay (z’, zn)  (z’, eizn) với   R thỏa mãn Im(eiqn) = 0, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng Im(qn) = 0 với mọi j  1. Bây giờ chúng ta xét đến các tự đẳng cấu a  Aut(DP) cho bởi:  2 m1 1 | a |2 2 mn1 1 | a |2 z a   a ( z)   m z1 ,...., m zn 1 , n   1 1  azn   1  azn 1  azn n 1  trong đó a = Re(qn) = qn  (0, 1). Khi đó, từ bổ đề 2.1 suy ra lim a (Ds,r )  D P,r ; lim a ()  DP 1 1 a 1 a 1 1 trong đó, DP, r = DP/r = {z  Cn: |zn|2 + P(z’) < 1}. r Hơn nữa, chúng ta có  q1  qn 1  n 1 (q)    ,...., , 0   DP , r  {z  0}   1/ 2 m1 1/ 2 mn1  trong đó  = 1 - |a|2 và DP,r  {zn = 0}  DP  {zn = 0}. Do đó, theo bổ đề 2.1 trong [NNC21] và tính bất biến của hàm Squeezing dưới các song chỉnh hình, chúng ta có kết luận rằng   (q)   1 () ( a 1 (q))   / d  0,  q  Er  B(0,  0 )  n trong đó d ký kiệu cho đường kính của DP và  = dist(Z(P), Z1(P))/2. (Lưu ý: Z(P) = {z’  Cn-1: P(z’) = r}) 1221
Tài liệu tham khảo A. Zimmer, 2018. A gap theorem for the complex geometry of convex domains. Trans. Amer. Math. Soc. 370 (10): 7489-7509. A. Zimmer, 2009. Characterizing strong pseudoconvexity, obstructions to biholomorphirsms and Lyapunov exponents. Math. Ann. 374 (3-4): 1811-1844. B. Liu, 2018. Two applications of the Schwarz lemma. Pacific J. Math. 296 (1): 141-153. Ninh Van Thu, 2009. Characterization of linearly convex domains in Cn by their noncompact automorphirsm groups. Vietnam J. Math. 37(1): 67-79. Do Duc Thai and Ninh Van Thu, 2009. Characterization of domains in Cn by their noncompact automorphirsm groups. Nagoya Math, J, 196: 135-160. F. Berteloot, 1994. Characterization of models in C2 by their automorphirsm groups. Internat. J. Math., 5: 619-634. F. Deng, A. Guan, L.Zhang, 2012. Some properties of squeezing functions on bounded domains, Pacific J. Math. 257 (2): 319-341. F.Deng, A. Guan, L. Zhang, 2016. Properties of Squeezing functions on bounded domains. Trans. Amer. Math. Soc. 368 (4): 2679-2696. J. E. Forness, E. F. Wold, 2018. A non-strictly pseudoconvex domain for which the squeezing function tends to 1 towards the boundary, Pacific J. Math. 297(1): 79-86. K. Diederich, J. E. Forness, E. F. Wold, 2014. Exposing points on the boundary of a strictly pseudoconvex or a locally convexifable domain of finite 1-type, J. Geom. Anal. 24: 2124-2134. K.-T. Kim, L. Zang, 2016. On the uniform squeezing property and the squeezing function, Pac. J. Math. 282 (2): 341-358. Ninh Van Thu, NguyenThi Lan Huong, Tran Quang Hung, and Hyeseon Kim, 2019. On the automorphirsm groups of finite multitype models in Cn, J. Geom. Anal. 29(1): 428-450. Ninh Van Thu, Nguyen Thi Kim Son and Chu Van Tiep, Boundary behavior of the squeezing function ucar a global extreme point, Complex Variables and Elliptic Equations, https://doi.org/10.1080/17476933.2021.1991330. Ninh Van Thu and Nguyen Quang Dieu, 2020. Some properties of h-extendible domains in Cn+1. J. Math, Anal. Appl. 485 (2): 123810. P. Mahajan, K. Verma, 2019. A comparison of two biholomorphic invariants, Internat. J. Math. 30 (1): 1950012. T. Ahn, H. Gausier, and K.-T. Kim, 2016. Positivity and completeness of invarian metrics. J. Geom, Anal. 26 (2): 1173 -11185. ABSTRACT On the boundary behaviour of the Squeezing function near linearly convex boundary points Nguyen Thi Lan Huong* Hanoi University of Mining and Geology The purpose of this article is twofold. The first aim is to prove that if the squeezing function (qj) tends to 1 for some sequence {qj}   converging to a linearly convex boundary point 0 of finite type, then this point must be strongly pseudoconvex. Then, the second aim is to investigate the boundary behaviour of the squeezing function of a general ellipoid. Keywords: Domain, h-extend, squeezing function. 1222