DÃY CÁC SỐ NGUYÊN – PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Chia sẻ: Vu Duc Tuan Tuan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

1.723
lượt xem 182
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về dãy các số nguyên – phân số viết theo quy luật

Chủ đề:

Bình luận(2) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: DÃY CÁC SỐ NGUYÊN – PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Chuyên đề 1: DÃY CÁC SỐ NGUYÊN – PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT = = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = = (1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát n 1 1 = − a.a+ n) a a + n ( - - - Chứng minh - - - n ( a + n) − a a+n a 1 1 = = − = − a.(a + n) a.( a + n) a.(a + n) a.(a + n) a a + n  ∗ Bài 1.1: Tính 3 3 3 3 1 1 1 1 a) A = + + + ... + b) B = + + + ... + 5.8 8.11 11.14 2006.2009 6.10 10.14 14.18 402.406 10 10 10 10 4 4 4 4 c) C = + + + ... + d) D = + + + ... + 7.12 12.17 17.22 502.507 8.13 13.18 18.23 253.258 ∗ Bài 1.2: Tính: 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A = + + + ... + b) B = + + + ... + 2.9 9.7 7.19 252.509 10.9 18.13 26.17 802.405 2 3 2 3 2 3 c) C = − + − + ... + − 4.7 5.9 7.10 9.13 301.304 401.405 ∗ Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mãn: x 1 1 1 1 5 7 4 4 4 4 29 a) − − − − ... − = b) + + + + ... + = 2008 10 15 21 120 8 x 5.9 9.13 13.17 41.45 45 1 1 1 1 15 c) + + + ... + = 3.5 5.7 7.9 (2 x + 1)(2 x + 3) 93 ∗ Bài 1.4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có: 1 1 1 1 n a) + + + ... + = 2.5 5.8 8.11 (3n − 1)(3n + 2) 6n + 4 5 5 5 5 5n b) + + + ... + = 3.7 7.11 11.15 (4n − 1)(4n + 3) 4n + 3 ∗ Bài 1.5: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ; n ≥ 2 ta có: 3 3 3 3 1 + + + ... + < 9.14 14.19 19.24 (5n − 1)(5n + 4) 15 4 4 4 16 16 ∗ Bài 1.6: Cho A = + + ... + chứng minh: < A< 15.19 19.23 399.403 81 80 2 2 2 ∗ Bài 1.7: Cho dãy số : ; ; ;... 4.11 11.18 18.25 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S. 1 1 1 1 2 8 ∗ Bài 1.8: Cho A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh < A < 2 3 4 9 5 9 2 2 2 2 1003 ∗ Bài 1.9: Cho A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh: A< 3 5 7 2007 2008 1 1 1 1 334 ∗ Bài 1.10: Cho B = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh: B< 4 6 8 2006 2007 1 1 1 1 ∗ Bài 1.11: Cho S = 2 + 2 + ... + . Chứng minh: S < 5 9 409 2 12 9 9 9 9 3 ∗ Bài 1.12: Cho A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 . Chứng minh: A< 5 11 17 305 4 1
8 24 48 200.202 ∗ Bài 1.13: Cho B = + + + ... + . Chứng minh: B > 99,75 9 25 49 2012 11 18 27 1766 20 20 ∗ Bài 1.14: Cho A = + + + ... + . Chứng minh: 40 < A < 40 9 16 25 1764 43 21 2 2 2 2 2 2 3 4 5 99 ∗ Bài 1.15: Cho B = + + + + ... + . Tìm phần nguyên của B. 1.3 2.4 3.5 4.6 98.100 3 8 15 2499 ∗ Bài 1.16: Cho C = + + + ... + . Chứng minh C > 48 4 9 16 2500 1 1 1 2 ∗ Bài 1.17: Cho M = + + ... + . Chứng minh M < 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + .. + 59 3 1.4 2.5 3.6 98.101 ∗ Bài1.18: Cho N = + + + ... + . Chứng minh 97 < N < 98. 2.3 3.4 4.5 99.100 • Mở rộng với tích nhiều thừa số: 2n 1 1 = − a ( a + n)(a + 2n) a ( a + n) ( a + n)(a + 2n) Chứng minh: 2n ( a + 2n) − a a + 2n a 1 1 = = − = − a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n) (a + n)(a + 2n) 3n 1 1 = − a ( a + n)( a + 2n)( a + 3n) a ( a + n)( a + 2n) ( a + n)(a + 2n)(a + 3n) 2 2 2 ∗ Bài 1.19: Tính S = + + ... + 1.2.3 2.3.4 37.38.39 1 1 1 1 ∗ Bài 1.20: Cho A = + + ... + . Chứng minh A < 1.2.3 2.3.4 18.19.20 4 36 36 36 ∗ Bài 1.21: Cho B = + + ... + . Chứng minh B < 3 1.3.5 3.5.7 25.27.29 5 5 5 1 ∗ Bài 1.22: Cho C = + + ... + . Chứng minh C < 5.8.11 8.11.14 302.305.308 48 ∗ Bài 1.23: Chứng minh với mọi n ∈ N; n > 1 ta có: 1 1 1 1 1 A = 3 + 3 + 3 + ... + 3 < 2 3 4 n 4 1 1 1 ∗ Bài 1.24: Tính M = + + ... + 1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30 1 1 1 + + ... + 51 52 100 ∗ Bài 1.25: Tính P = 1 1 1 1 + + + ... + 1.2 3.4 5.6 99.100 1.3 2.4 3.5 (n − 1)(n + 1) 1002.1004 Bài 1.26: Tính: Q = + + + ... + + ... + 3.5 5.7 7.9 (2n − 1)(2n + 1) 2005.2007 2 2 2 2 2 3 4 2006 Bài 1. 27: Tính: R = + + + ... + 1.3 2.4 3.5 2005.2007 2 2 2 23 2 n +1 2 2006 Bài 1.28: Cho S= + + + ... + + ... + 2005 + 1 2005 2 + 1 2005 2 + 1 2 n 2005 2005 2 + 1 2005 2 + 1 1 So sánh S với 1002 m m mk + m − mk + m 2m m m 2m  Hướng dẫn: − = = ⇒ = − k −1 k +1 (k − 1)(k + 1) k2 − 1 k + 1 k − 1 k2 − 1 2006 Áp dụng vào bài toán với m ∈ {2; 2 , …., 2 } và k ∈ { 2005, 2005 , … 2005 2 } ta có: 2
2 2 22 = − 2005 + 1 2005 − 1 2005 2 − 1 22 22 23 = − 2 + 1 2005 2 − 1 2 2005 2005 2 − 1 ……………….. 1 (2). Dãy 2: Dãy luỹ thừa  n  với n tự nhiên. a  1 1 1 1 Bài 2.1: Tính : A = + 2 + 3 + ... + 100 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Bài 2.2: Tính: B = − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Bài 2.3: Tính: C = + 3 + 5 + ... + 99 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Bài 2.4: Tính: D = − 4 + 7 − 10 + ... − 58 2 2 2 2 2 2 8 26 3 −1 n 1 Bài 2.5: Cho A = + + + ... + n . Chứng minh A > n − 3 9 27 3 2 4 10 28 3 +1 98 Bài 2.6: Cho B = + + + ... + 98 . Chứng minh B < 100. 3 9 27 3 5 5 5 5 5 Bài 2.7: Cho C = + 2 + 3 + ... + 99 . Chứng minh: C < 4 4 4 4 3 3 5 7 19 Bài 2.8: Cho D = 2 2 + 2 2 + 2 2 + ... + 2 2 . Chứng minh: D < 1. 1 .2 2 .3 3 .4 9 .10 1 2 3 100 3 Bài 2.9: Cho E = + 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh: E < 3 3 3 3 4 4 7 10 3n + 1 11 Bài 2.10: Cho F = + 2 + 3 + ... + n với n ∈ N*. Chứng minh: F < 3 3 3 3 4 5 8 11 302 5 1 Bài 2.11: Cho G = + 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh: 2 < G < 3 3 3 3 3 9 2 7 13 19 601 7 Bài 2.12: Cho H = + 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh: 3 < H < 5 3 3 3 3 9 11 17 23 605 Bài 2.13: Cho I = + 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh: I < 7 3 3 3 3 4 13 22 904 17 Bài 2.14: Cho K = + 2 + 3 + ... + 101 . Chứng minh: K < 3 3 3 3 4 7 11 15 403 Bài 2.15: Cho L = + 2 + 3 + ... + 100 . Chứng minh: L < 4,5. 3 3 3 3 (3). Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật: 8 15 24 2499 Bài 3.1: Tính: A = . . ..... . 9 16 25 2500 1 1 1 1 1 Bài 3.2: Cho dãy số: 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,... 3 8 15 24 35 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy. b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.  1  1  1  1  1  Bài 3.3: Tính: B = 1 − 1 − 1 − 1 − .....1 − .  3  6  10  15   780  1 3 5 199 1 Bài 3.4: Cho C = . . ..... . Chứng minh: C < 2 2 4 6 200 201 3
1 3 5 99 1 1 Bài 3.5: Cho D = . . ..... . Chứng minh:
Tính: G + H. n n 1.3 + 2 3.5 + 2 15.17 + 2 255.257 + 2 (2 2 − 1)(2 2 + 1) + 2 Bài 3.27: Cho I = . . . ..... n với n ∈ N. 4 16 256 65536 22 4 Chứng minh: I < 3 1 1 1 1 1 Bài 3.28: Cho dãy số: 1 ;1 2 ;1 4 ;1 8 ;1 16 ;.... 3 3 3 3 3 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy. 1 b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy. Chứng minh là số tự nhiên. 3 − 2A 3 c) Tìm chữ số tận cùng của B = 3 − 2A 2n 2n 5 13 97 3 +2 1 Bài 3.29: Cho A = . 2 . 4 ..... n và B = 2n +1 −1 với n ∈ N 6 6 6 62 6 A a) Chứng minh : M = là số tự nhiên B b) Tìm n để M là số nguyên tố. n 7 37 1297 62 + 1 Bài 3.30: Cho A = . 2 . 4 ..... 2 n 3 3 3 3  1  1  1  1  1  B = 1 + 1 + 2 1 + 4 .1 + 8 ....1 + 2 n  với n ∈ N  3  3  3   3   3  a) Chứng minh : 5A – 2B là số tự nhiên. b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A – 2B chia hết cho 45. n n 5 13 97 3 2 + 2 2 Bài 3.31: Cho A = . 2 . 4 .... n .( với n ∈ N ) Chứng minh: A < 3. 3 3 3 32 (4). Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp: 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... + (1 + 2 + 3 + ... + 98) Bài 4.1: Tính: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99 1.98 + 2.97 + 3.96 + ... + 98.1 Bài 4.2: Tính: B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99 1 1 1 1 + + + ... + 1.300 2.301 3.302 101.400 Bài 4.3: Tính: C = 1 1 1 1 + + + ... + 1.102 2.103 3.104 299.400  1 1 1  100 − 1 + + + ... +  Bài 4.4: Tính: D =  2 3 100  1 2 3 99 + + + ... + 2 3 4 100 1 1 1 1 + + + ... + Bài 4.5: Tính: E = 51 52 53 100 1 1 1 1 + + + ... + 1.2 3.4 5.6 99.100 5 5 5 15 15 5− + − 15 − + 3 9 27 : 11 121 Bài 4.6: Tính F = 8 8 8 16 16 8− + − 16 − + 3 9 27 11 121 5
 2 1 1  1 1 3 +  : 2 1,2 : 1 .1   15 5  2 −  5 4 Bài 4.7: Tính G =  3 1  43 2 5 − 2  : 4 0,32 +  7 4  56 25 1 2 3 98 99 1 2 3 92 + + + ... + + 92 − − − − ... − 99 98 97 2 1 : 9 10 11 100 Bài 4.8: Tính H = 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + + + + ... + 2 3 4 100 45 50 55 500 2 2 2 4 4 4 2− + − 4− + − 19 43 1943 : 29 41 2941 Bài 4.9: Tính I = 3 3 3 5 5 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 29 41 2941 12 12 12 3 3 3 12 − − − 3+ + + 7 289 85 : 13 169 91 Bài 4.10: Tính K = 4 4 4 7 7 7 4− − − 7+ + + 7 289 85 13 169 91 1.2 + 2.4 + 3.6 + 4.8 + 5.10 Bài 4.11: Tính L = 3.4 + 6.8 + 9.12 + 12.16 + 15.20  3   2 4 1,6 : 1 .1,25  1,08 −  :  5 +  25  7 2 Bài 4.12: Tính M = + 0,6.0,5 : 1  5 1 2 5 0,64 −  5 − 2 .2 25  9 4  17 1 94 38  11 Bài 4.13: Tính N = 8 11 −6 :8 5  1591 1517  43  5 5 4  Bài 4.14: Tính P = 10101. + −   111111 222222 3.7.11.13.37  1 1 1 1 1 + + + + ... + 3 5 7 99 Bài 4.15: Tính Q = 1 1 1 1 1 + + + ... + + 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 200 Bài 4.16: Tính R = 1 2 3 198 199 + + + ... + + 199 198 197 2 1 6