Đề cương ôn thi TN THPT môn Toán - Tổ Toán Tin Trường THPT Trần Phú

Chia sẻ: Bbbbb N Nnnn | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

190
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách Đề cương ôn thi TN THPT môn Toán là tài liệu tham khảo bổ ích dành cho các em sắp bước vào kì thi tốt nghiệp THPT. Cuốn sách tổng hợp kiến thức theo từng chuyên đề với các nội dung và hướng dẫn cụ thể, giúp các em tiếp thu dễ dàng. Chúc các em học tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề cương ôn thi TN THPT môn Toán - Tổ Toán Tin Trường THPT Trần Phú

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRẦN PHÚ TỔ TOÁN- TIN ****************** Đ Ề C ƯƠ NG ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN Học sinh:…………………........................ Lớp:……………………………………… Năm học: 2013-2014 1
Ôn tập môn Toán THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2012 2013 A. CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu Nội dung kiến thức Điểm • Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. I • Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số. Cực trị. Tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị của hàm số. Tìm trên đồ thị 3,0 những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đ ường thẳng);... • Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. II • Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. 3,0 • Tìm nguyên hàm, tính tích phân. • Bài toán tổng hợp. Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn III xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối tr ụ tròn xoay; tính di ện tích 1,0 mặt cầu và thể tích khối cầu. II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2). 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu Nội dung kiến thức Điểm Phương pháp toạ độ trong trong không gian: − Xác định toạ độ của điểm, vectơ. − Mặt cầu. IV.a 2,0 − Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. − Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. • Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương V.a trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm. 1,0 • Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. 2. Theo chương trình Nâng cao: Câu Nội dung kiến thức Điểm 2
Phương pháp toạ độ trong trong không gian: − Xác định toạ độ của điểm, vectơ. − Mặt cầu. IV.b 2,0 − Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. − Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đ ường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. • Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số phức. Phương trình bậc hai với hệ số phức. Dạng lượng giác của số phức. ax 2 + bx + c • Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y= và một số yếu tố liên quan. V.b px + q 1,0 • Sự tiếp xúc của hai đường cong. • Hệ phương trình mũ và lôgarit. • Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.. Mỗi lời giải đúng và chính xác trong bài làm của các em là cánh của của cuộc đời lại đang mở ra một chút. Cuộc thi này là một bước ngoặt lớn trong cuộc đời các em . Do vậy các em cần lưu ý khi làm bài: • Phải đọc kỹ đề bài và phân loại câu dễ làm trước câu khó làm sau. • Phải làm thật cẩn thận câu dễ, không được phép để mất điểm. • Luôn luôn chú ý đến điều kiện trong bất cứ bài toán nào,nên có phần kết luận ( và nên thử lại ngoài giấy nháp xem đã đúng chưa) • Phải luôn tự nhắc mình xem thường hay gặp sai lầm ở đâu. Từ đó tránh lặp lại sai lầm. • Tuyệt đối không nộp bài khi còn thừa thời gian, mà hãy kiểm tra thật kỹ. 3
‘’Dẫu e ngại khi soi vào đáy mắt Cũng chẳng để ai làm vương vấn trái tim mình’’ Mục lục Cấu trúc đề thi TN THPT ………………………………………………………………………… Chuyên đề 1: khảo sát hàm số, các bài toán liên quan 1/ chiều biến thiên…………………………………………………………………………. 2/ Cực trị hàm số…………………………………………………………………………… 3/ Tiếp tuyến…………………………………………………………………………………... 4/ Tương giao đồ thị…………………………………………………………………………... 5/ Điểm đặc biệt ………………………………………………………………………………. 6/ Khảo sát hàm số và các dạng bài tập tổng hợp……………………………………………... Chuyên đề 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất……………………………………………………...... Chuyên đề 3: Mũ và logarit…………………………………………………………………………. 1/ Phương trình bất phương trình mũ…………………………………………………………. 2/ Phương trình và bất phương trình logarit……………………………………………… … Chuyên đề 4: Hình học không gian…………………………………………………………………… Chuyên đề 5: Phương pháp tọa độ trong không gian…………………………………………………. Chuyên đề 6: Nguyên Hàm, tích phân………………………………………………………………… 1/ Đổi biến số………………………………………………………………………………….. 2/ Từng phần………………………………………………………………………………… 3/ Ứng dụng tích phân………………………………………………………………………… Chuyên đề 7: Số Phức………………………………………………………………………………… Một số đề thi thử TN THPT………………………………………………………………………… 4
ĐỀ 1…………………………………………………………………………………………………… ĐỀ 2…………………………………………………………………………………………………… ĐỀ 3…………………………………………………………………………………………………… ĐỀ 4…………………………………………………………………………………………………… ĐỀ 5…………………………………………………………………………………………………… ĐỀ 6…………………………………………………………………………………………………… ĐỀ 7…………………………………………………………………………………………………… ĐỀ 8…………………………………………………………………………………………………… ĐỀ 9…………………………………………………………………………………………………… Đề TN THPT 2010……………………………………………………………………………………. Đề TN THPT 2011……………………………………………………………………………………. Đề TN THPT 2012……………………………………………………………………………………. Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đ ồ thị c ủa hàm số. 1. Chiều biến thiên của hàm số. Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y = f ( x ) 1. Tìm tập xác định 2. Tính đạo hàm y = f ( x ) . Giải phương trình f ( x ) = 0 để tìm các nghiệm xi ( i = 1, 2..., n ) . 3. Sắp xếp các nghiệm xi theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải và lập bảng biến thiên của hàm số. 4. Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà f ( x ) > 0 và ngược lại). Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số y = 4 − x2 Gợi ý giải: • Đ/k xác định: 4 − x 2 x2 0 �−��4 2 x 2 Tập xác định của hàm số D = [ −2;2] . • Đạo hàm: y = (4− x ) 2 = −x 2 4 − x2 4 − x2 y = 0 � x = 0 thuộc [ −2;2] Dấu của y cùng dấu với biểu thức − x . • Ta có bảng biến thiên x −2 0 2 y + 0 − 5
2 y 0 0 • Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;0 ) và nghịch biến trên khoảng ( 0;2 ) Bài tập: Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 1 5 4 3 1) y = x − x + 3x + 1 ; 5 3 4 2) y = x + ; x −1 3) Chứng minh các bất đẳng thức sau: π a) tan x > sin x, 0 < x < 2 x b) 1 + x < 1 + , ∀x > 0 . 2 Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x 4 − 8 x 2 + 2 . Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x 3 − 3 x + 1 . 2. bài toán về tính đơn điệu của hàm số. Lý thuyết: Bài toán tổng quát: Tìm tham số của m để hàm số y = f ( x ) đồng biến hoặc nghịch biến trên R, ( hoặc đồng biến, nghịch biến trên D) 1. Với hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d các em thực hiện theo hai bước( giả thiết hệ số a không chứa tham số m) Bước 1: Tính y Bước 2: cho ∆ y ' 0 (phương pháp giải này áp dụng cho bài toán tìm tham số m để hàm số không có cực trị ) ax + b 2.Với hàm nhất biến y = thì để hàm số đồng biến trên D  y > 0 cx + d (nghịch biến trên D  y < 0 1 3 Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x + mx 2 + ( m + 6) x − (2m + 1) đồng biến trên R ? 3 Hướng dẫn: TXĐ: D = R * Ta có y ' = x 2 + 2mx + (m + 6) * Để hàm số đồng biến trên R ( Hoặc hàm số không có cực trị) khi đó: ∆ y ' = (2m) 2 − 4( m + 6) = 4m 2 − 4m − 24 0 � −2 � � m 3 6
Câu 1: Tìm m để hàm số sau luôn đồng biến với mọi x 1 2 1. y = (m − 3m + 2) x − (m − 1) x + 3 2 2 * Chú ý: 2. y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 Hàm số y = f(x) luôn đồng biến với 3. y = x3 – (m + 1)x2 – (m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) mọi x ⇔ f ' ( x) ≥ 0 với mọi x 4. y = x3 + 3x2 + (m +1)x +4m mx − 2 5. y = x+m−3 Câu 2:. Tìm m để hàm số sau luôn nghịch biến với mọi x * Chú ý: Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến với y = − (m 2 + 5m) x3 + 6mx 2 + 6 x − 6 mọi x ⇔ f ' ( x ) ≤ 0 với mọi x Câu 3 Với giá trị nào của a, hàm số y = 2 x 3 − 3( a + 2) x 2 + 6( a + 1) x − a 2 + 1 đồng biến trên R ? 3. Cực trị của hàm số. Lý thuyết: - Định lý 1, định lý 2 SGK Giải tích 12. Dạng 1: Tìm m để hàm số y = f ( x, m ) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x = x0 . (Bài toán tìm cực trị theo yêu cầu) Cách giải: Sử dụng dấu hiệu 2 để giải bài toán như sau: • Tính đạo hàm y = f ( x, m ) • Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x = x0 là y ( x0 ) = f ( x0 , m ) = 0 . Giải phương trình này tìm được m. • Thử lại (Điều kiện đủ) Tính đạo hàm cấp 2 y ( x) Sau đó thay m vừa tìm được và x0 vào: - Nếu y ( x0 ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 - Nếu y ( x0 ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = x0 . Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn. • Kết luận. Ví dụ 1: (TN2011) xác định giá trị của tham số m để hàm sô y = x 3 − 2 x 2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x =1 • Đạo hàm y = 3 x 2 − 4 x + m , đạo hàm cấp 2 y '' = 6 x − 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, khi đó y ( 1) = 0 � 3.12 − 4.1 + m = 0 � m = 1 • Thay x = 1, m = 1 vào y’’ ta được: y ( 1) = 6.1 − 4 > 0 nên trường hợp này hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 (thỏa đề bài) • Kết luận: Giá trị của m phải tìm là m = 1 Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số y = x 3 − mx − 2 x + 1 luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m. Gợi ý giải: • Tập xác định của hàm số: D = ﾡ y = 3 x 2 − 2mx − 2 là tam thức bậc hai có ∆ = ( 2m ) − 4.3. ( −2 ) = 4m 2 + 24 2 • Đạo hàm > 0, ∀m ﾡ . 7
Suy ra y = 0 có hai nghiệm phân biệt và y đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu với hai nghiệm x1 , x2 ) khi x đi qua hai nghiệm đó. • Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m. Bài tập: 1 3 Câu 1: Cho hàm số y = x − mx 2 + (m 2 − m + 1) x + 1. Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt cực 3 đại tại điểm x = 1. (ĐS: m = 2) 1 3 Câu 2: Cho hàm số y = x − mx 2 + (m 2 − 1) x. Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại 3 điểm x = 1. (ĐS: m = 0 ). Câu 3: Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1 (ĐS: m = -2) Câu 4 : Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của các hàm s ố sau: 1. y = x3 – 3x2 – 9x + 5 ĐS: 8x – y + 18 = 0 2. y = x3 – 3x2 + 4 ĐS: y = -2x + 4 1 3 4 8 3. y = x − x − x + 3 ĐS: y = − x + 2 3 3 3 1 3 1 4. y = x − x + 2 3 3 2 2 7m 5. y = x3 + mx2 + 7x + 3 ĐS: y = − (m − 2) x + 3 − 9 9 6. y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m 3 2 2 3 2 ĐS: y = 2x + m – m2 2 2 7. y = x 3 − 3(m − 1) x 2 + (2m 2 − 3m + 2) x − m(m − 1) ĐS: y = − (m − 3m + 1)( x − m + 1) 3 8. y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – 6 ĐS: y = 2(m – 2)x + m – 2 Câu 5 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x có đồ thị (C). Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y = x + m 2 − m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). 3 2 � 2� Câu 6: Tìm m để hàm số y = x − mx + � − m � + 5 có cực trị tại x = 1 . Khi đó hàm số đạt cực x � 3� đại hay cực tiểu ? Tính cực trị tương ứng ? Câu 7: (TN BTTH 2006) 1 3 Chứng minh hàm số y = x − mx 2 − ( 2m + 3) x + 9 luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số 3 m? Gợi ý – đáp số: Câu 5: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số A ( 3;0 ) , B ( 1;4 ) Trung điểm hai cực trị M ( 2;2 ) . Cho M ( 2;2 ) thuộc đường thẳng y = x + m 2 − m , ta có 2 = 2 + m 2 − m . Giải tìm m. Câu 6: m = 7 . Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 . 3 3. Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số. Lý thuyết: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) và M ( x0 ; y0 ) là điểm trên ( C ) . Tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại M ( x0 ; y0 ) có: 8
- Hệ số góc: k = f ( x0 ) - Phương trình: y − y0 = f ( x0 ) ( x − x0 ) Vậy để viết được PT tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y0 {Nếu đề chưa cho ta phải tính bằng cách thay x0 vào hàm số y0 = f ( x0 ) } - Hệ số góc k = f ( x0 ) Dạng 1: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) , hoặc hoành độ x0 , hoặc tung độ y0 . Ví dụ: Viết p/trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 tại điểm M ( −2;9 ) . Gợi ý giải: • Ta có (đạo hàm): y = 4 x 3 − 4 x • T/tuyến tại M ( −2;9 ) có: - Hệ số góc k = y ( −2 ) = 4 ( −2 ) − 4 ( −2 ) = −24 3 - P/trình: y − y0 = f '( x0 ) ( x − x0 ) (các em nên đưa dạng tổng quát của pttt) y − 9 = −24 ( x − ( −2 ) ) Hay y = −24 x − 39 Ở đây cần biết: x0 = −2 , y0 = 9 ở tọa độ của M (đề đã cho). −1 + x Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số y = ( đề như thế này các em có bị gài x +1 không?) a) Tại điểm có hoành độ bằng 2 . b) Tại điểm có tung độ bằng 3 . Gợi ý giải: 2 a) Ta có y = ( x + 1) 2 Gọi tọa độ tiếp điểm là ( x0 ; y0 ) . Theo giả thiết có x0 = 2 . x0 − 1 2 − 1 1 • Tung độ tiếp điểm: y0 = = = x0 + 1 2 +1 3 � 1� • Hệ số góc của tiếp tuyến tại �2; � ằng : b � 2� 2 2 k = y ( 2) = = ( 2 + 1) 2 9 1 2 2 1 • P/trình tiếp tuyến: y − = ( x − 2 ) . Hay y = x − 3 9 9 9 9
x0 − 1 Với dạng này, đề cho x0 = 2 , ta cần tính y0 = và tính đạo hàm, suy ra hệ số góc của x0 + 1 t/tuyến k = y ( x0 ) = y ( 2 ) . b) Ta có y = ( x − 1) ( x + 1) − ( x + 1) ( x − 1) = 2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 Gọi tọa độ tiếp điểm là ( x0 ; y0 ) . Theo giả thiết có y0 = 3 . x0 − 1 • Vậy y0 = = 3 � x0 − 1 = 3 ( x0 + 1) � x0 = −2 x0 + 1 • Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( x0 ; y0 ) = ( −2;3) là: 2 k = y ( −2 ) = =2 ( −2 + 1) 2 ( ) • P/trình tiếp tuyến cần tìm: y − 3 = 2 x − ( −2 ) . Hay y = 2 x + 7 . Dạng 2: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. Dấu hiệu: - Tiếp tuyến song song với đường thẳng ( d ) : ax + by + c = 0 - Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( d ) : ax + by + c = 0 Cách giải: • Cần biết (rút y theo x) a c a ( d) : y = − x − nên ( d ) có hệ số góc k = − . b b b • Khi t/tuyến song song với ( d ) thì hế số góc của t/tuyến bằng hệ số góc của ( d ) và bằng a k =k =− . b • Khi t/tuyến vuông góc với ( d ) thì hế số góc k của t/tuyến và hệ số góc k của ( d ) thỏa mãn �a� k .k = −1 � k . � � −1 − = �b� Lời giải (Các bước): • Tính đạo hàm hàm số y = f ( x) Tính hệ số góc của tiếp tuyến k (theo các dấu hiệu trên) • Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm • Hệ số góc của t/tuyến k = y ( x0 ) . - Giải ph/trình này tìm được x0 - Thay vào y0 = f ( x0 ) để tính tung độ tiếp điểm • Viết p/trình t/tuyến. 2x Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số y = , biết: x −1 a) Hệ số góc của t/tuyến bằng −2 . 10
b) T/tuyến song song với đường thẳng ( d ) : y = − 1 x . 2 c) T/tuyến vuông góc với đường thẳng ( ∆ ) : y = 9 x + 1 2 Gợi ý giải: 2 ( x − 1) − 2 x −2 a) • Ta có y = = ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 −2 • Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại ( x0 ; y0 ) bằng y ( x0 ) = ( x0 − 1) 2 −2 Theo giải thiết ta có y ( x0 ) = −2 � = −2 ( x0 − 1) 2 �0 − 1 = 1 x �0 = 2 x � ( x0 − 1) = 1 � � 2 �� 0 − 1 = −1 �0 = 0 x x 2 x0 2.2 • Với x0 = 2 , ta có y0 = = =4 x0 − 1 2 − 1 Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại ( 2;4 ) là y − 4 = −2 ( x − 2 ) hay y = −2 x + 8 . 2 x0 2.0 • Với x0 = 0 , ta có y0 = = = 0. x0 − 1 0 − 1 Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại ( 0;0 ) là y − 0 = −2 ( x − 0 ) hay y = −2 x . • Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là y = −2 x + 8 ; y = −2 x Lưu ý: Hệ số góc của t/tuyến k = y ( x0 ) = −2 (đề cho). b) T/tuyến song song với ( d ) nên hệ số góc của t/tuyến bằng hệ số góc của ( d ) , bằng k = − 1 . 2 −2 • Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại ( x0 ; y0 ) bằng y ( x0 ) = ( x0 − 1) 2 −2 1 1 Vậy y ( x0 ) = k � =− � ( x0 − 1) = 2 ( x0 − 1) 2 2 4 x0 − 1 = 1 x =3 2 � 0 2 � x0 − 1 = − 1 x0 = 1 2 2 3 2 x0 2. 3 • Với x0 = , ta có y0 = = 2 = 6. 2 x0 − 1 3 −1 2 3 � � Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại � ;6 � là 2 � � 1� 3� 1 27 y−6 = − �− � y = − x+ x hay 2� 2� 2 4 11
1 2 x0 2. 1 • Với x0 = , ta có y0 = = 2 = −2 . 2 x0 − 1 1 −1 2 �1 � Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại � ; −2 � là �2 � 1� 1� 1 7 y − ( −2 ) = − � − � y = − x − x hay 2� 2� 2 4 • Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là 1 27 1 7 y =− x+ ; y =− x− 2 4 2 4 9 c) Đường thẳng ( ∆ ) : y = 9 x + 1 có hệ số góc k = . 2 2 9 • Gọi k là hệ số góc của t/tuyến. Biết t/tuyến vuông góc với ( ∆ ) nên ta có k .k = −1 � k . = −1 2 2 �k=− . 9 Đến đây làm tương tự như câu a) hoặc câu b). • Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình là 2 32 2 8 y =− x+ ; y =− x+ 9 9 9 9 Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): 2x + 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x +1 x0 = −3 . Câu 2 (Đề TN 2007, Bổ túc): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm s ố y = x3 − 3 x + 2 tại điểm A(2;4). Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): x −1 Cho hàm số y = , gọi đồ thị của hàm số là (C). x+2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Câu 4 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): 3x − 2 Cho hàm số y = , gọi đồ thị của hàm số là (C). x +1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng y0 = −2 . 2x + 1 Câu5: (TN 2009) Cho hàm số y = (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của x−2 tiếp tuyến k = -5 1 3 Đáp số: Câu 1: y = − x + ; Câu 2: y = 9 x − 14 4 4 4 1 Câu 3: y = x − ; Câu 4: 3 3 4. Tương giao giữa hai đồ thị. 12
Lý thuyết: Dạng 1: Biện luận nghiệm Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = x 3 − 3x . Dựa vào đồ thị ( C ) , Tìm tham số m để phương trình x 3 − 3 x + 1 − m = 0 ).có 3 nghiệm phân biệt Gợi ý giải: • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) (2 điểm) Học sinh tự làm. • Đồ thị (xem hình) y 2 - 3 01 x -1 3 -2 • Viết lại (1) dưới dạng (1) � x 3 − 3 x = m − 1 (0.25) 3 * Số nghiệm của phương trình chính bằng số giao điểm của đồ thị (C): y = x − 3 x và đường thẳng d: y = m − 1 ( 0.25) * Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi đó −2 < m − 1 < 2 (0.25) � −1 < m < 3 (0.25) mx + n Dạng 2: Chứng tỏ đường thẳng ( d ) : ax + by + c = 0 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) = tại hai cx + d điểm phân biệt, hoặc không cắt Cách giải: a c • Viết lại ( d ) : y = − x− b b • Lập p/trình hoành độ giao điểm của ( d ) và ( C ) : mx + n a c =− x− (1) cx + d b b Quy đồng khử mẫu đưa về p/trình bậc hai dạng d f ( x, m ) = Ax 2 + Bx + C = 0 với cx + d − �۹0 x c Tính ∆ = B 2 − 4 AC �d � • Đến đây cần chứng tỏ ∆ > 0 với mọi m và f �− , m � 0 và kết luận (1) luôn có hai nghiệm �c � phân biệt. Suy ra ( d ) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt. - Tương tự, kết luận cho tr.hợp ∆ < 0; ∆ = 0 . 13
Ví dụ: (Bài 11/tr46-SGK GT12, Cơ bản) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng x+3 ( d ) : y = 2x + m luôn cắt đồ thị ( C ) của hàm số y = tại hai điểm phân biệt M, N. x +1 Gợi ý – Giải: • P/trình hoành độ giao điểm của ( d ) và ( C ) là x+3 = 2x + m (1) x +1 � x + 3 = ( 2 x + m ) ( x + 1) , ( x + 1 � ) 0 � 2x2 + ( 1 + m) x + m − 3 = 0 , ( x −1) (2) • P/trình (2) là p/trình bậc hai có ∆ = ( 1 + m ) − 4.2. ( m − 3) 2 ∆ = m 2 − 6m + 25 = ( m − 3) + 16 > 0 với mọi m. 2 (a) Mặt khác, thay x = −1 vào vế trái của (2) ta được 2. ( −1) − ( 1 + m ) + m − 3 = −2 2 0 với mọi m. (b) • Kết hợp (a) và (b) suy ra p/trình (2) luôn có hai nghiệm phân bi ệt th ỏa x −1 . Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy đ/thẳng ( d ) luôn cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. Ví dụ (Bài 8.b/tr44- GT12, cơ bản) Tìm m để đồ thị ( Cm ) của hàm số y = x3 + ( m + 3) x 2 + 1 − m cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = −2 . • Phân tích bài toán: - Nhưng điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ y = 0 . - Vậy ( Cm ) cắt trục hoành tại điểm ( x; y ) = ( −2;0 ) . - Điểm này thuộc ( Cm ) nên tọa độ của nó thỏa mãn p/trình ( Cm ) . Lời giải: • Từ giả thiết ta suy ra ( Cm ) cắt trục hoành tại điểm ( −2;0 ) , thay tọa độ điểm này vào p/trình của ( Cm ) ta được: 0 = ( −2 ) + ( m + 3) ( −2 ) + 1 − m 3 2 5 � −8 + 4 ( m + 3) + 1 − m = 0 � 3m + 5 = 0 � m = − 3 5 • Vậy m = − là giá trị cần tìm. 3 Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Cho hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 − 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2 x3 + 3x 2 − 1 = m Câu 2 (Đề TN 2008, L2, KPB): Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x3 − 3x 2 − m = 0 14
Câu 3 (Đề TN 2006, Phân ban): 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = − x 3 + 3 x 2 2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình − x 3 + 3 x 2 − m = 0 . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. Câu 4 ( TN THPT 2009- 2010) 1 3 3 2 Cho hàm số y = x − x +5 4 2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt x 3 − 6 x 2 + m = 0 (ĐS: 0< m < 32 ) Câu 5: (TN 2011) 2x + 1 Cho hàm số y = (C ) xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = x + 2 2x −1 5. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số. Lý thuyết: - Một số dạng bài toán: Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên; x−3 Ví dụ: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = có tọa độ là những số nguyên. x +1 Giải: • Đ/k xác định: x + 1 0 �۹− x 1 4 • Chia tử cho mẫu ta có y = 1 − x +1 4 Xét điểm ( x; y ) thuộc đồ thị hàm số đã cho, ta có y = 1 − . x +1 4 4 • Với x ﾡ ta có y = 1 − ﾡ � �ﾡ � x + 1 là các ước số nguyên của 4. x +1 x +1 Các trường hợp xảy ra: 3−3 x + 1 = 4 � x = 3 , ta có y = =0 3 +1 x + 1 = −4 � x = −5 , ta có y = 2 x + 1 = 2 � x = 1 , ta có y = −1 x + 1 = −2 � x = −3 , ta có y = 3 x + 1 = 1 � x = 0 , ta có y = −3 x + 1 = −1 � x = −2 , ta có y = 5 • Vậy có sáu điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là: ( 3;0 ) , ( −5;2 ) , ( 1; −1) , ( −3;3) , ( 0; −3) , ( −2;5 ) Bài tập: 2x + 2 Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y = có tọa độ là những số nguyên. x−2 6.Khảo sát hàm số: Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên y ' = 3ax 2 + 2bx + c y' = 0 [ x= x= -Giới hạn: 15
lim y = ( cùng dấu hệ số a) x + lim y = ( trái dấu hệ số a) x − - bảng biến thiên: ( sau khi có bảng biến thiên các em kiểm tra lại giới hạn) - chiều biến thiên: - Cực trị:  Đồ thị: các em lấy ít nhât 4 điểm đi qua :Chú ý: Đồ thị hàm số bậc 3 thường có 4 dạng như sau: a>0 a
HÀM BẬC TRÙNG PHƯƠNG  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên y ' = 4ax3 + 2bx y' = 0 [ -Giới hạn: lim y = ( cùng dấu hệ số a) VÌ NÓ LÀ HÀM CHẴN MÀ x - bảng biến thiên: ( sau khi có bảng biến thiên các em kiểm tra lại giới hạn) - chiều biến thiên: - Cực trị:  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng các em lấy ít nhât 5 điểm đi qua :Chú ý: Đồ thị hàm số bậc 3 thường có 4 dạng như sau: a> 0 a> 0 b 0 a< 0 a< 0 b 0 1 5 Câu 1. Cho haøm soá y = x 4 − 2 x 2 + (C ) 2 2 a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá (C). � 5� b) Vieát pt tt vôùi ñoà thò (C) taïi ñieåm M � � 2; � 2� Câu 2. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 , gọi đồ thị của hàm số là ( C ) . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại điểm cực đại của ( C ) . ax + b Hàm nhất biến: y = ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) cx + d  d  Tập xác định: D = R \ −   c ad − cb  Sự biến thiên y'= ( y’ lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0) (cx + d ) 2 - Chiều biến thiên: vì y’… 0, nên hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên các −d −d khoảng (− , )và( ; + ) c c - giới hạn và tiệm cận: a a * Tiệm cận ngang y = vì Lim y = c x c
d Lim − y = * Tiệm cận đứng x = − vì x −− d c c Lim + y = d x −− c * Bảng biến thiên: các em chú ý sau khi có b ảng bi ến thiên thì kiểm tra l ại giới hạn  Đồ thị  d a  Đồ thị nhận điểm I  − ;  làm tâm đối xứng  c c  Vẽ đồ thị Chú ý: Đồ thị hàm nhất biến thường có 2 dạng như sau: x= −d/ c x= −d/ c y= a/c y= a/c Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau x−2 7. EMBED 15. 23. 1. y = x −1 Equation.3 − 2x − 4 − 2x + 1 2x − 4 y= y= 2. y = x−2 x +1 x−2 x −1 y= 2x − 1 x +1 16. y = 24. EMBED 3. x 2x + 2 Equation.3 − x−3 8. y = 2 y= x +1 17. y = x +1 x −1 x −1 2− x y= 9. y = x+2 4. EMBED x +1 x−3 x −1 18. y = 25. y = Equation.3 10. 2− x x+2 4x − 5 x −1 4 3x + 2 y= y = 1+ 19. y = 26. y = x −1 x +1 2− x x+2 x−4 3x + 4 5. 11. EMBED 20. y = 27. y = − 3x − 1 x−2 x+2 y= Equation.3 x −1 2x − 1 21. 2x − 1 y= 2 28. y = 6. EMBED x +1 y = 2− x+2 2x x−2 2x + 1 Equation.3 12. y = 29. y = x x +1 22. EMBED x+2 y= 2x + 1 Equation.3 x−7 1− x 13. y = 30. y = x +1 1 − 2x x−3 y= 3x − 1 3x − 2 2x − 4 31. y = 14. y = x+3 x +1
2x − 1 32. y = x+3 x −1 33. y = 2x − 1 x−2 34. y = 2x + 1 2x − 1 35. y = 3x + 2 4x + 1 36. y = 2x + 3 2 + 3x 37. y = 2x + 5
ĐỀ THI TN NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY: Câu 1: (Đề thi TNBT 2004) Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4m 3 có đồ thị (Cm); m là tham số. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) khi m = 1. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x = 1 . 3. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (Cm) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x . Câu 2. (Đề thi TNTHPT 2004) 1 3 Cho hàm số y = x − x có đồ thị (C). 2 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0) 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0 , x = 0 , x = 3 quay quanh trục Ox. Câu 3: (Đề thi TNTHPT 2005) 2x + 1 Cho hàm số y = có đồ thị (C). x +1 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C) 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(−1;3) Câu 4: (Đề thi TNTHPT phân ban 2006) Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Dựa vào đò thị (C), biện luận theo m nghiệm của phương trình − x 3 + 3 x 2 − m = 0 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. Câu 5: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2006) Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C). 3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y = x − m 2 + m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai diểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). Câu 6: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2006) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x = −2 , x = −1 . Câu 7: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2007) 3x + 4 Cho hàm số y = có đồ thị (C). 2x − 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M (−1;7) . Câu 8: (Đề thi TNTHPT phân ban 2007) Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 , gọi đồ thị của hàm số là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C). Câu 9: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2007) lần 2.