intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Đề ôn thi toán - đề 1

Chia sẻ: Vo Danh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

59
lượt xem
5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề ôn thi toán - đề 1', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề ôn thi toán - đề 1

  1. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D ĐỀ 1 Câu I 23 x   cos  3sin   x 2  8 1  cos2  x  1 Cho hàm số: Cho hàm số: y  3 1. Chứng minh rằng với mọi  hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 2. Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x1 , x 2 . Chứng minh: x12  x2  18 2 Câu II 1. Giải phương trình: 31  2cos x   t anx  t anx  2sin x  3 3 x  y 2  2 2 2. Giải hệ phương trình sau:   3  x  3  y  10 2 2  Câu III 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol  P  : y 2  64 x và đường thẳng  : 4 x  3 y  46  0 . Tìm A thuộc (P) sao cho khoảng cách từ A đến  nhỏ nhất. Tính khoảng cách nhỏ nhất đó. 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M  0;0; 3 , N  2;0; 1 và mặt phẳng   : 3 x  8 y  7 z  1  0 . a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng MN với mặt phẳng   . b) Tìm tọa độ P nằm trên mặt phẳng   sao cho tam giác MNP đều. Câu IV ln 5 e x dx 1.Tính tích phân : I   . ln 2 10  e  e  1 x x 2. Tìm tập hợp điểm M mà tọa độ phức của nó thỏa mãn điều kiện: z  2  i  1. Câu V 20 C 0 21 C12010 2 2 C2010 23 C3 2 22010 C 2010 2010 2010 2010 1. Tính P      ...  1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012 2. Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn điều kiện: a  b  c  0 . Chứng minh rằng: 27 a  27 b  27c  3a  3b  3c . 1 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  2. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I 1. Xét PT: y  2x 2  2  cos  3sin   x  8 1  cos2   0 Ta có: 2 2 2    cos  3sin    16 1  cos2    cos  3sin    32cos   0  . cos  3sin   0 sin   0  0  sin 2   cos 2  1 . Điều Nếu   0 thì   cos  0 cos  0 này vô lý. Suy ra   0  . Do đó hàm số luôn có cực đai, cực tiểu. 2. Theo định lý Viet, ta có: x1  x 2  3sin   cos ; x1x 2  4 1  cos2  . 2 2 x1  x 2   x1  x 2   2x1x 2   3sin   cos   8 1  cos2  2 2  9sin 2   6sin  cos  17 cos 2  . x12  x2  18  9sin 2   6sin  cos  17 cos 2   18  sin 2   cos 2  2 2   3sin   cos   0 luôn đúng. Từ đây, ta suy ra: đpcm. Câu II 1. ĐK: cos x  0 PT  3 1  2cos x   tan 2 x 1  2cos x   1  2cos x   3  tan 2 x   0 1  1 1 1    cos x   2 cos x   cos x   cos x    2   2 2 2 2  cos 2 x  1 2 2 2  tan x  3 sin x  3cos x 1  cos x  3cos x      4 2  1 1 k    cos 2 x   cos2x    2x    k2  x    k 4 2 3 3 thỏa mãn điều kiện ban đầu. 3 3 2. ĐK:   x, y  . 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski: 2 3  3 3 3  2  1.  x  1.  y   12  12    x   y   x  y  2 (1) 2 2 2 2   2   3 3 3 3  10  1.  x  1.  y   12  12    x   y   x  y  2 (2) 2 2 2 2    2 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  3. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Từ (1) và (2) suy ra x  y  2 , nghĩa là dấu bằng xảy ra ở (1) và (2). Khi đó  3 3 x y  2 2    1 1  x  y . Vậy  x; y   1;1 là nghiệm duy nhất của hệ.  3 3  x y  2 2    1 1 Câu III  a2  2 1. A   P  : y  64x  A  ;a   64  a2 4.  3a  46 64 12 1 2 d  A,     a  24   160  a  48a  736  80 80 42  32 1 160 2   a  24   160    2. 80   80 Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi a  24  0  a  24 . Lúc đó Mind  A,    2 khi A  9; 24  . 2.   a) Đường thẳng MN qua M  0;0; 3 nhận MN   2;0;2  làm VTCP nên có  x  2t  phương trình:  y  0  z  3  2t  I  MN   P   Tọa độ điểm I ứng với tham số t là nghiệm của phương trình: 11  11 4 3.2t  8.0  7. 3  2t   1  0  t   I  ;0;   . 10 5 5 b) Gọi    là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN. Gọi K là trung điểm  1   MN  K 1;0; 2  . Chọn n  MN  1;0;1 làm VTPT của    . Lúc đó,    2 có phương trình: 1. x  1  1. z  2   0  x  z  1  0 .  P         P    sao cho MNP đều   2 2  MN  NP  Giả sử tọa độ điểm N là  a;b;c  , ta có: 3 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  4. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D 3a  8b  7c  1  0  . a  c  1  0 2 2 a  b   c  3  8 2  2 2 1 Giải hệ phương trình , ta tìm được P  2; 2; 3 , P   ;  ;   .  3 3 3 Câu IV 1. Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx Đổi cận: x  ln 2  t  1 ; x  ln 5  t  2 2 2 2 2 1 3 t 2tdt dt 11 1 15 I  2     dt  ln  ln . 1 9  t  t 1 3  t 3  t  3 1  3  t 3  t  2 3 3 t 32 1 2. Hai số phức liên hợp có mođun bằng nhau, ta suy ra z 2i  z 2i V ì z  2  i  z   2  i   z  2  i . Từ đó ta có: z  2  i  1 . Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I  2;1 , bán kính R  1. Câu V 20 C 0 21 C12010 2 2 C 2010 23 C3 2 2 2010 C2010 2010 2010 2010 1. A      ...  1 2 3 4 2011 Ta có: k k  2  2010!   2  2010! 2k C k k  1 2010   k  1 k! 2010  k ! k  1  k  1! 2010  k ! k  2  2011! 1 1 k 1   2  C k 1    2011 2011  k  1! 2011  k  1! 4022 1 1 2 2011   2  C12011   2  C2  ...   2  C 2011  P 2011  2011 4022 1 1 2011 0   2  1   2  C0    2011  4022 2011 2. Đặt x  3a ; y  3b ; z  3c . Bài toán quy về chứng minh bất đẳng x 3  y3  z 3  x  y  z thức: với x, y, z dương thỏa mãn xyz  3a.3b.3c  3a  bc  30  1 . Ta có: x 3  1  1  3 3 x 3 .1.1  3x . Tương tự y3  1  1  3y ; z 3  1  1  3z . 4 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  5. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:  x  y  z   6  3 x  y  z  . 3 3 3 (1) Mặt khác 3  x 3  y3  z 3    x 3  y3  z 3   2  x 3  y3  z3    x 3  y3  z 3   2.3 3 x 3 y3z 3    x 3  y 3  z3   2.3xyz   x 3  y 3  z3   6 (2) Từ (1) và (2) suy đpcm. ĐỀ 2 Câu I 2x 1  C  và điểm M bất kì thuộc (C). Gọi I là giao điểm Cho hàm số: y  x 1 hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. 1. Chứng minh rằng: M là trung điểm AB. 2. Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. 3. Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. Câu II 3 1. Giải phương trình:  8sin 3 x  1  162sin x  27  0 . x2  x  1  x2  x  1  m . 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Câu III x2 2 1.Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y  x  2 x và elip (E):  y 2  1 . 9 Chứng minh rằng (P) và (E) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D và bốn điểm đó cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. 2. Cho 3 tia OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi  ,  ,  lần lượt là các góc của các mặt phẳng (OAB), (OBC) , (OCA) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: cos 2  cos 2   cos 2  1. Câu IV  3 dx 1. Tính tích phân: I   1  sinx  cos x 0 5 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  6. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D 2. Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0 1 i và z  z . Chứng minh tam giác OAB vuông cân. 2 Câu V  22 y  x  2 y  2 x 1  1. Giải hệ phương trình sau:  log 5  x  3 y  1  log 5 y  2 x  4 y  1 2 2  2. Cho 3 số thực dương thay đổi x, y, z thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1 1 1 24  2  2  2   1  2     . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z x y z 1 1 1 . Q   30 x  4 y  2008 z 30 y  4 z  2008 x 30 z  4 x  2008 y HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I 2x  1 2x  1   ; TCN: y  2 vì lim  2. 1. Ta có : TCĐ : x  1 vì lim x 1 x  1 x  x  1 Giao điểm của hai tiệm cận là I 1;2  1 Hàm số được viết lại như sau: y  2  x 1  1    C. Gọi M  x 0 ;2  x0 1   1 Tiếp tuyến với (C) tại M là: y  y  x 0   x  x 0   2  . x0 1  2 Giao điểm của tiếp tuyến với TCĐ là A 1;2  . x0  1   Giao điểm của tiếp tuyến với TCN là B  2x 0  1;2  . x  xB  xM  A  x0  2  và A , M , B thẳng hàng nên M trung điểm Ta có :  yA  yB 1  yM  2 x0 1 2   của đoạn thẳng AB. 1 12 . 2  x 0  1  2. 2. S IAB  .IA.IB  2 x0  1 2 Vậy diện tích tam giác IAB không đổi. 6 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  7. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D 3. Ta có: IA.IB  4 Chu vi  IAB   IA  IB  AB  IA  IB  IA 2  IB2    2 IA.IB  2IA.IB  2 2  2  x 0  0  M  0; 1 Dấu bằng xảy ra khi IA  IB  2  x 0  1  1   .  x 0  2  M  2;3  Câu II 1. Đặt u  2sin x ĐK: 2  u  2 3 3 PT đã cho thành:  u 3  1  81u  27  0   u 3  1  81u  27 . Đặt 3v  u 3  1  3u  v3  1 . Do đó, ta có: 3 3  u  1  3v u  1  3v  u 3  1  3v   3  3  u  v3   3 v  u   u  v   u 2  uv  v2  3  0 v  1  3u       3  u  1  3v u 3  1  3v   3u  u 3  1 2     v 3 2   u  v    u  2   4 v  3  0  u  v        1 Lúc đó: 6sin x  8sin 3 x  1  3sin x  4sin 3 x   sin 3x  sin 2 6   2   3x  6  k2  x  18  k 3   5  x  5  k 2 3x   k2     6 18 3 2. 2 2 2 2 1  3 1  3   2 2 x  x 1  x  x 1  m   x       x     m 2  2  2  2     1 3 1 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét: A   ;  và đỉnh  ; B ; 2 2 2 2   M  x;0  ta có: AB  1 . Với mọi điểm M thì AM  BM  AB  1 . 2 2 2 2 1  3 1  3   Mà AM   x      ; BM=  x      2  2  2  2    Suy ra: m  1  1  m  1 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi 1  m  1 . 7 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  8. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Câu III 1. Tọa độ giao điểm của (P) và (E) là nghiệm của hệ phương trình:  y  x 2  2x x2 2 2   x 2  2x   1  9x 4  36x 3  37x 2  9  0 .  x 2 9   y 1 9 Đặt f  x   9x 4  36x 3  37x 2  9 f  x  liên tục trên  . f  1 .f  0   657  0  x1   1;0  : f  x1   0 f  0  .f 1  9  0  x 2   0;1 : f  x 2   0 f 1.f  2   5  0  x 3  1;2  : f  x 3   0 f  2  .f  3  405  0  x 4   2;3  : f  x 4   0 Do PT: f  x   0 là PT bậc 4 nên có tối đa 4 nghiệm. Vậy PT f  x   0 có đúng 4 nghiệm phân biệt nên (P) cắt (E) tại 4 điểm phân biệt. Giả sử  P    E   M  x 0 ; y 0  . Khi đó, ta có: 2  y0  x 0  2x 0 2 2  x 0  2x 0  y 0  0 8x 0  16x 0  8y 0  0 2  2  2  x0 2 2 2  x 0  9y 0  9  0  x 0  9y 0  9  0  y0  1    9 Cộng vế theo vế của hai phương trình trên, ta được : 16 8 2 2 2 2 9x 0  9y 0  16x 0  8y 0  9  0  x 0  y0  x 0  y 0  1  0 9 9 2 2 8  4  161   x 0     y0    . Vậy 4 giao điểm của (P) và (E) cùng nằm trên 9  9 81  161 8 4 đường tròn tâm I  ;  , bán kính R  . 9 9 9  2. z C O B A x y 8 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  9. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D   1 1 1  xyz mp  ABC  :    1  0 có phương vectơ pháp tuyến n1   , ,  abc a b c     mp  OAB  có vectơ pháp tuyến n2  OC   0,0, c     mp (OBC ) có vectơ pháp tuyến n3  OA   a, 0,0      mp  OAC  có vectơ pháp tuyến n4  OB  (0, b,0) Gọi  ,  ,  lần lượt là góc giữa các mặt phẳng  OAB  ,  OBC  ,  OCA với mp  ABC  .Vậy : 1 1 1 1 0 0 c a b c c cos   (1) 111 1 11 02  02  c2 2  2  2  2 2 2 abc abc 1 1 1 1 a 0 0 a b c a cos   (2) 111 1 11 a 2  0 2  02 2  2  2  2 2 2 abc abc 1 1 1 1 0 b 0 a b c b cos   (3) 111 1 11 0 2  b 2  02 2  2  2  2 2 2 abc abc Từ (1), (2) và (3) suy ra: cos 2  cos 2   cos 2  1. Câu IV x 2dt 1. Đặt t  tan  dx  1  t2 2  1 x 0t 0 ; x = t  3 3 1 1 3 3 1 2dt dt 1  I   1  t  ln 1  t  ln 1  .  3 1 t2  0 2 2t 3  1  t  1  1  t 2  1  t 2  0 0   2. Giả sử z  x  yi thì ta có : A  x; y  . Vì z  0 nên x 2  y 2  0 . 1 i xy xy 1 z  1  i   x  yi   Ta có z   i. 2 2 2 2 xy xy Vậy B có tọa độ : B  ; . 2 2 9 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  10. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D 2 2 2 2 xy xy x y 2 2 2 2 Ta lại có: OA  x  y ; OB     .   2 2 2  2 2 2 2 x  y   x  y   y  x  x 2  y2 xy   2 AB   x   y      . 2  2 2 2 2  OB  AB Từ đó, suy ra : .  OA 2  OB2  AB2  Vậy tam giác OAB vuông cân tại B. Câu V  22 y  x  2 y  2 x 1 1  1.  log 5  x  3 y  1  log 5 y  2 x  4 y  1  2  2 2  ĐK: y  0 . Chia cả hai vế của (1) cho 2 x  0 ta được:  2 yx  1 2 y  x  2 y  x  y x yx 2 22  2  2  0   yx 2  2  2 Loại 2 y x  2  0 ( vô lý). Nhận 2 y x  1  x  y . Thay y  x vào (2) ta được: 1   2 log 5  x 2  3x  1  log 5 x  2x 2  4x  1  log 5  x   3   1  2  x  1 (3) x   1   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: VT  3  log 5  x   3   log 5  2  3   1 . x   VP  3  1 . 1  x  x Vậy VT  3  VP  3   1    x  1  y  1 (thỏa ĐK y  0 ) 2  x  1  0  Vậy  x; y   1;1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. 2. 2 1 1 1 1 1  . Dấu bằng xảy ra khi x  6 .    0 2  x 6 x 3x 36 1 1 1  . Dấu bằng xảy ra khi y  6 . Tương tự : 2  y 3y 36 1 1 1   . Dấu bằng xảy ra khi y  6 . 2 z 3z 36 10 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  11. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1 1 1  2  2        24  2  2  2   8      2 2 x y z 3  x y z  12 x y z  x y z Kết hợp điều này với giả thiết, ta suy ra: 1 1 1 1 1 1 1111 8     2  1  2         . x y z x y z xyz2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2042 số dương: 30x  4y  2008z  x..  x    z...  z  20422042 x 30 y 4z 2008   y  ..y     30 2008 4 30 4 2008 111   20422042 30 . 4 . 2008 xy z x yz Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức này, ta được:  30 4 2008  2  x  y  z   30x  4y  2008z   4012   1  30 4 2008  1    30x  4y  2008z 2042 2  x y z   Tương tự 1  30 4 2008  1   30y  4z  2008x 2042 2  y z x   1  30 4 2008  1   30z  4x  2008y 20422  z x y   Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức này, ta được: 1 1 1 1 1 P  x  y  z   4084 . 2042   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  6 . 1 Vậy MaxP  khi x  y  z  6. 4084 ĐỀ 3 Câu I Cho hàm số: y  x 4  2m 2 x 2  1 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1. 11 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  12. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. Câu II 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1  x 2  2. 3 1  x 2  m . x  1  y2  1  2. Giải hệ phương trình sau:  y  1  x2  3  Câu III x 2 y2 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip  E  :   1 . Đường thẳng d tiếp xúc 18 8 với (E) tại M cắt hai trục tọa độ tại A và B. Tìm vị trí điểm M sao cho tam giác OAB nhỏ nhất. 2. Trong không gian với hệ tọa độ trục chuẩn Oxyz a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm M  0;0;1 ,  N  3;0;0  và tạo với mặt phẳng  Oxy  một góc . 3 b) Cho 3 điểm A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với a, b, c là các số dương thay đổi và thỏa mãn a 2  b 2  c 2  3 . Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O  0;0;0  đến mặt phẳng  ABC  đạt giá trị lớn nhất. Câu IV n   345 1. Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ biết n thỏa mãn C4 n1  C4 n1  C4 n 1  ...  C4 n1  2496  1 . 1 2 3 2n 2. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số 2 2 phức z1 , z 2 khác 0 thỏa mãn đẳng thức z1  z 2  z1z 2 . Chứng minh tam giác OMN là tam giác đều. Câu V  4   tan x  tan x  e  x dx . 2 1. Tính tích phân: I  3 4 x 1 2 x   0;1 . 2. Chứng minh rằng: x 1 x  x 1 x  e HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I 12 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  13. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D 1. Bạn đọc tự giải 2. y  x 4  2m 2 x 2  1 TXĐ: D   . Đạo hàm y  4x 3  4m 2 x  4x  x 2  m 2  . Hàm số có 3 cực trị  PT: y  0 có 3 nghiệm phân biệt  PT: x 2  m 2  0  m2  0  có 2 nghiệm phân biệt khác 0   2  m  0. m  0   Tọa độ 3 điểm cực trị là: A  0;1 ; B  m;1  m 4  ; C   m;1  m4  . Dễ thấy AB  AC  tam giác ABC cân tại A.    Để tam giác ABC vuông cân chỉ cần AB  AC  AB.AC  0 .     Mà AB   m; m 4  ; AB    m;  m 4  . Do đó:  m 2  m8  0  m 2  m 6  1  0  m  1 thỏa mãn điều kiện m  0 . Vậy m  1 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề toán. Câu II 1. Điều kiện đủ: Nếu phương trình có nghiệm x 0 thì  x 0 cũng là nghiệm của nó. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện đủ là: x 0   x 0  x 0  0 . Thay vào phương trình, ta được: m  3. Điều kiện cần: Với m  3 , phương trình có dạng: 1  x 2  2 3 1  x 2  3 .  1 x2  1  2  1  x 2  2 3 1  x 2  3 . Do đó phương trình có x 0  3 1 x2  1  nghiệm khi và chỉ khi x  0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m  3. 2. ĐK: 1  x, y  1 . Đặt x  cos ; y  cos ,  ,    0;  . Hệ phương trình thành: 2 2 cos   2cos  .sin   sin   1 1 cos  sin   1   2  2  2 cos  sin   3 cos   2sin  .cos +sin   3   Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được:   sin      1           (3) 2 2 Kết hợp (3) và PT: cos  sin   1 ta giải được: 1 1 3 cos  hay x   y  ( thỏa ĐK) 2 2 2 13 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  14. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D 1 3 Vậy  x, y    ;  là nghiệm duy nhất của hệ. 2 2  Câu III x 2 y02 1. Giả sử M  x 0 ; y0    E   0  1. 18 8 xx yy Tiếp tuyến d có dạng: 0  0  1 . 18 8  18   8  x 0 , y0  0  A  d  Ox  A  ;0  ; B  d  Oy  B  0;   x0   y0  1 1 1 18 8 72 SOAB  OA.OB  x A y B  . .  2 2 2 x 0 y0 x 0 y0 2 2 x 2 y2 x 0 y0 x 0 y0  2 0. 0  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 1   x 0 y0  6 18 8 18 8 6 Suy ra SOAB  12 . 2 2 2 x 0  9  x 0  3 x 0 y0 1 Dấu bằng xảy ra     2   y 0  4  y 0  2 18 8 2  Vậy có 4 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là:  3;2  ,  3; 2  ,  3;2  ,  3; 2  Và MinSOAB  12 . 2. Gọi   là mặt phẳng cần tìm có dạng: ax  by  cz  d  0 c  d  0 Vì M  0;0;1 , N  3;0;0     nên  . Chọn a  1  d  3 , c  3 3a  d  0  Lúc đó:   : x  by  3z  3  0 có VTPT có VTPT n  1;b;3  Mặt phẳng Oxy có VTPT k   0;0;1  n.k 3  3 1 Theo đề, ta có: cos        b   26. 3 nk b 2  10 2 1  b 2  9. 1 Vậy có 2 mặt phẳng   thỏa mãn đề toán: x  26y  3z  3  0 ; x  26y  3z  3  0 . xyz 2. Phương trình mặt phẳng (ABC):    1 abc 14 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  15. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D 1 d  d O;  ABC      111  a 2 b2 c2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9   a.  b.  c.    a 2  b 2  c 2   2  2  2   3  2  2  2  a b c a b c  a b c 111 1  2  2  2  3 d  a bc 3 1 1 1 Dấu bằng xảy ra  2  2  2  1  a  b  c  1. a b c 1 khi a  b  c  1 . Vậy Max d  3 Câu IV 4n 1  C0 1  C1 1x  C4n 1x 2  C3 1x 3  ...  C 4n 1x 4n 1 4n 1 2 1. Ta có: 1  x  4n 4n 4n Chọn x  1  24n 1  C0 1  C1 1  C 4n 1  C3 1  ...  C4n 1 4n 1 2 4n 4n 4n  2  C0 1  C1 1  C4n 1  C3 1  ...  C4n 1  2 2n 4n 4n 4n Suy ra 2 4 n  C0 1  C1 1  C4n 1  C3 1  ...  C 4n 1 2 2n 4n 4n 4n Hay 2 4 n  2 496  4n  496  n  124. 124  k k 124 124 124  k 124 k    k k   C124   C124 3 3 45 4 2 54 . 3 5 k 0 k 0 124  k  2  Trong khai triển có số hạng hữu tỉ   k  4 0  k  124  k 4  k  4t    0  t  31 0  k  124 0  4t  124  Có 32 giá trị của t suy ra có 32 giá trị của k. Vậy trong khai triển trên có 32 số hạng hữu tỉ. 2. 2 z 2  z1  z 2  z1   z 2  z1 z 2  z1 2   2 2 Ta có: z1  z 2  z1z 2   2  z1  z 2  z1  z 2   z1 2  z 2 z 2  z1      z1 , z 2  0 . z1 , z 2  0 Từ Vì nên ta có: 2 2 z2 z1 3 3 z 2  z1    z1  z 2  z1  z 2 2 2 z1 z2 Do đó: z 2  z1  z1  z 2 15 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  16. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Mà OM  z1 ; ON = z 2 ; MN = z 2  z1 . Vậy tam giác OMN đều. Câu V      tan x  tan x  e dx  x x x 2 2 1. I  x.e dx  dx  I1  I 2  tan  t anx.e 3 3 3 4 4 4 Sử dụng tích phân từng phần đối với I 2 ta được:    1  tan x .e dx  e  I1  I  I1  I 2  e  . I 2   t anx.e  x x 2  3 4 3 4 x 1 x x x 2. Xét hàm số: f  x   x 1x  x 1 x  x 1 x  x.x 1x  1  x  x 1x x   0;1 . x 1  x  x 1 x  1 x  f  x    ln x  .  2. 2 1  x   1 x  1 x Xét: g  x   2.  ln x 1 x 2 1  x   0  g x g  x    đồng biến trên 2 x 1  x   0;1  g  x   g 1  0  f   x   0 x   0;1  f  x  nghịch biến trên  0;1 1  1x 1  1 2 1  f  x   lim f  x   lim 1  x  x .x   x   0;1 1 x  2lim 1  1    e x 1 x 1 x 1    1 x  Đó là đpcm. ĐỀ 4 Câu I Cho hàm số: y  2x 3  3  m  3  x 2  18mx  8 1. Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. 2. Chứng minh rằng tồn tại điểm có hoành độ x 0 sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại đó song song nhau với mọi m. 3. Chứng minh rằng trên Parabol  P  : y  x 2 có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số với mọi m. 16 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  17. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D Câu II 1. Giải phương trình:  3  x  x  1  5  2x   x 3  10x 2  34x  40  x2  3  2 x  y  3  2. Giải hệ phương trình:   y2  3  2 y  x  3  Câu III 1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x cos t  ysin t  2cos t  1  0. Chứng minh rằng d luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .   2. Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A  2;3;0  , B 0;  2;0 và đường x  y  z  2  0 : . Tìm điểm M thuộc  sao cho tổng độ dài MA  MB x  y  z  2  0 ngắn nhất. Câu IV 0 dx 1. Tính tích phân:   x 1  x  11  2 n  3i 2. Tìm số nguyên dương n bé nhất để   là số thực 1 i   Câu V x x     1. Giải phương trình:  sin    cos   1 với 2  n   . n  n  2. Cho a , b, c   . Chứng minh rằng : sin a.sin b.sin c  cos a.cos b.cosc  1 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I 1. Đồ thị tiếp xúc với Ox  hệ sau có ngiệm :  2x 3  3  m  3 x 2  18mx  8  0 1  2 6x  6  m  3 x  18m  0  2  x  m  2   x 2   m  3 x  3m  0   x  3 Với x  m, thế vào (1) , ta được 3 2 2 3 2 2m  3  m  3  m  18m  8  0  m  9m  8  0 17 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  18. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D m  1   m  1  m 2  8m  8   0   m  4  2 6 Với x  3, thế vào (1), ta được: 35 54  27  m  3   54m  8  0  m  27  35  Vậy m  1; ;4  2 6;4  2 6  là giá trị cần tìm .  27  2. Bài toán quy về tìm k và x 0 sao cho 2 y  x 0   k, m  6x 0  6  m  3 x 0  18m  k 2  m 18  6x 0   k  6x 0  18x 0 m . 18  6x 0  0 x  3  0 Phương trình này đúng m   . 2 k  6x 0  18x 0  0 k  0  Vậy tồn tại điểm có hoành độ x 0  3 sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại đó có hệ số góc k = 0 tức tiếp tuyến song song nhau m. 3.  x 0 ;x 0    P  : y  x 2 . 2 Đồ thị không đi qua điểm  x 0 ;x 0   PT: x 0  2x 3  3  m  3 x 2  18mx 0  8 2 2 0 vô nghiệm đối với ẩn m  m  3x 0  18x 0   2x 3  10x 0  8 vô nghiệm 2 2 0 2 x 0  0  x 0  6  3x 0  18x 0  0     x0  0  x0  6 . 3 2 3 2  2x 0  10x 0  8  0 2x 0  10x 0  8  0  Vậy đồ thị không đi qua hai điểm  0;0  ,  6;36  m. Câu II 5 1. ĐK: 1  x  2 x  6x  10   4  x  2 PT   3  x  x  1  5  2x  2   3  x  x  1  5  2x   3  x   1  4  x    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn các vecto:     u   3  x  ;v  x  1; 5  2x  u.v   3  x  x  1  5  2x  2 u v   3  x   1. 4  x   x 3  10x 2  34x  40      3 x 1 u.v  u v  u và v cùng phương   x 1 5  2x 18 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  19. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D  2x 3  17x 2  49x  46  0   x  2   2x 2  13x  23   0  x  2 . Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho.  x2  3  2 x  y  3  2.   y2  3  2 y  x  3  ĐK: x , y  0 .  x2  3  2 x  y  3 1  HPT    x  3  y2  3  2 y  2  Cộng vế theo vế của 1 và  2  ta được: x2  3  3 x  3  y2  3  3 y  3 Xét hàm số: f  t   t 2  3  3 t  3 f  t  liên tục trên  0;   t 3  0 t   0;    f  t  luôn đồng biến trên  0;   f  t    2 2t t 3 Do đó: f  x   f  y   x  y .    x2  3  x  3  0  x2  3  2  x 1  0 Thay vào (1), ta được:     x  1 x  1  x2 1     x 1   1  0   x 1  0    x2  3  2 x2  3  2   Vì x  0 nên x  1  0  x  1 . Vậy  x; y   1;1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho. Câu III 1. Gọi I  x 0 ; y 0  là tâm và R là bán kính của đường tròn cần tìm. d tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi: x cos t  y0 sin t  2cos t  1 d  I;d   R  0 R cos 2 t  sin 2 t  x 0 cos t  y 0 sin t  2cos t  1  R   x 0  2  cos t  y 0 sin t  1  R . Để R là hằng số không phụ thuộc vào t thì: x 0  2; y 0  0 Lúc đó, d tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I  2;0  , bán kính R = 1. x  t  2.  có phương trình tham số là:  y  0 z  2  t  19 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
  20. www.MATHVN.com Bộ đề ôn thi Đại học Dành cho học sinh khối 12 ôn thi vào Đại học khối A, B, D M    M  t;0;2  t  2 2 2  9   2  t   t2  2   2  t   t  2 MA  MB  2 2  2t 2  8t  17  2t 2  4y  6  2  t  2   32  2  t  1  2 2       Trong mặt phẳng Oxy, đặt u  2  t  2  ;3 , v   2  t  1 ;2      MA  MB  u  v  u  v  3 3   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v cùng 2  t  2 3 7 phương   t  2  t  1 2 5  7 3 Min  MA  MB   3 3 khi M  ;0;  .  5 5 Câu IV 0 0 dx dx 1. I     x 1  x   1 2 1 1 1 1   21   x 2 4 2     1 1 Đặt  x  sin t ; t    ;  2 2  2 2    2 2 2  cos tdt cos t 2  Lúc đó: I    dt   1  dt   2J. 2  cos t  2  cos t 2 2  1  sin 2 t 0  0 0  2 dt x 2dt J  . Đặt t  tan  dx  1  t2 2  cos t 2 0 2dt 1 1 1  t 2  2 dt J  3  t2 1  t2 0 2 0 2 1 t Đặt t  3 tan u  dt  3 1  tan 2 u  du   3 1  tan u  du 2 6 6  1 J  du  3 . 3  3tan 2 u 63 0 0   94 3    I   2.  . 2 18 63 20 Văn Phú Quốc quocdhsptoan@gmail.com ♥ 0982 333 443 www.mathvn.com
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2