intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Phát triển và nâng cao kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

Chia sẻ: Nguyễn Trường Vĩ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST
Báo xấu
210
lượt xem 55
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bất đẳng thức và cực trị là một bài toán khó nhằm phát triển tư duy và nâng cao kiến thức cho học sinh cấp THCS và THPT. Trong đó, việc vận dụng các bất đẳng thức cơ bản như Côsi, Bunhiacopxki để giải được thành thạo các bài toán về bất đẳng thức và cực trị không phải là một điều đơn giản.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: Phát triển và nâng cao kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

  1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT AN NHƠN 1  ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2x 2y 2z   3 x y yz zx GIÁO VIÊN : PHAN NGỌC TOÀN NĂM HỌC : 2011 - 2012
  2. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Phần A. MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề Bất đẳng thức và cực trị là một bài toán khó nhằm phát triển tư duy và nâng cao kiến thức cho học sinh cấp THCS và THPT. Trong đó, việc vận dụng các bất đẳng thức cơ bản như Côsi, Bunhiacopxki để giải được thành thạo các bài toán về bất đẳng thức và cực trị không phải là một điều đơn giản. Trong các kì thi các cấp như thi học kì, thi vào lớp 10, thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh, cấp quốc gia, Olympic khu vực, …chúng ta thường tháy sự có mặt của bài bất đẳng thức, cực trị nhằm tìm ra những học sinh có năng khiếu học toán. Hiện nay, các chuyên đề về bất đẳng thức đã có rất nhiều thầy cô, các tác giả viết sách tìm hiểu và viết về vấn đề này. Tuy nhiên rất ít các tài liệu tìm hiểu chuyên sâu về việc rèn luyện kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, tôi đã tìm hiểu , nghiên cức để đưa ra một số kỹ năng chính thường gặp và viết thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Phát triển và nâng cao kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki” nhằm giúp học sinh có thể chủ động, tự tin hơn khi đứng trước các bài bất đẳng thức và cực trị. Đề tài chủ yếu nêu bật các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán trong các kì thi các cấp thường gặp. II. Phương pháp tiến hành Dựa trên thức tế dạy các lớp ban khao học tự nhiên, tham gia dạy bồi dưỡng các lớp học sinh giỏi các cấp trong các năm học vừa qua. Trên cơ sở đó, tôi đã tìm hiểu , nghiên cứu , tích lũy và tham khảo ý kiến các đồng nghiệp để viết sáng kiến kinh nghiệm này. Đề tài đã sử dụng các phương pháp phân tích,đánh giá ,dự đoán. Hệ thống hóa các dạng bài tập tương ứng với các kỹ năng Trong quá trình biên soạn tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Toán trường THPT An Nhơn 1. Tôi xin chân thành cảm ơn và mong được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp để chuyên đề trở nên phong phú và có thêm nhiều tài kiệu cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi. 1 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  3. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Phần B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI “PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI” I. Mục tiêu Nội dung của đề tài gồm hai phần, phần 1: giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki và các biến thể thường gặp của nó, phần 2: giới thiệu một số kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán Đề tài chủ yếu đi sâu vào phân tích để tìm ra những điểm then chốt trong các kỹ năng vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải toán. Các tài liệu tham khảo hiện nay hầu như chỉ viết chung chung và giải một số lượng lớn các bài tập mang tính chất rời rạc. Trong khi đó, Chúng tôi cố gắng qua những ví dụ cụ thể để làm nổi bật lên từng kỹ năng vận dụng bất đẳng thứcBunhiacopxki để giải toán II. Nội dung giải pháp của đề tài 1. Giải pháp Chương I. Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki và các biến thể Trong chương trình toán học phổ thông ta thượng gặp bất đẳng thức mà chúng tôi gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki với hai dạng sau( có thể có những tên gọi khác ) :  Dạng 1 .Với a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn là các số thực tùy ý ta luôn có: (a1b1  a2 b2  ...  anbn )2  (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) (A) a1 a2 a Đẳng thức xảy ra khi:   ....  n b1 b2 bn ( Quy ước nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0) Các trường hợp đặc biệt thường gặp:  Với 4 số a, b, x, y ta luôn có: (ax  by ) 2  (a 2  b 2 )( x 2  y 2 ) . a b Đẳng thức xảy ra khi  x y  Với 6 số a, b, c, x, y , z ta luôn có: (ax  by  cz )2  (a 2  b 2  c 2 )( x 2  y 2  z 2 ) . a b c Đẳng thức xảy ra khi   x y z  Dạng 2 .Với a1 , a2 ,..., an là các số thực tùy ý và b1 , b2 ,..., bn là các số thực dương , ta luôn có: a12 a22 a 2 (a  a  ...  an )2   ...  n  1 2 (B) b1 b2 bn b1  b2  ...  bn a a a Đẳng thức xảy ra khi : 1  2  ....  n b1 b2 bn Các trường hợp đặc biệt thường gặp: a 2 b 2 (a  b) 2  Với 4 số a, b tùy ý và x, y  0 ta luôn có:   . x y x y a b Đẳng thức xảy ra khi  x y a 2 b 2 c 2 ( a  b  c) 2  Với 6 số a, b, c tùy ý và x, y, z  0 ta luôn có:    . x y z x yz a b c Đẳng thức xảy ra khi   x y z 2 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  4. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Ngoài ra ta còn có thể gặp một số biến thể dạng đặc biệt sau:  Với mọi a, b  0 , ta có các bất đẳng thức sau. Đẳng thức xảy ra khi a = b 1 1   4ab (a  b) 2 ab ab   a b 4 1 1  (a  b)(  )  4 a b 1 1 4    a b ab Chương II. MỘT SỐ KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI TRONG GIẢI TOÁN 1. Kỹ năng” Biến đổi thuận”. 1.1 Biến đổi thuận dạng 1. Để vận dụng kỹ năng “Biến đổi thuận Bunhiacopxki” ở dạng 1 ta thường xuất phát từ giả thiết bài toán hoặc từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) làm xuất hiện biểu thức dạng (a1b1  a2b2  ...  anbn ) 2 .Từ đó biến đổi để đánh giá về theo biểu thức (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) . Ta cùng xem xét qua một số ví dụ sau: Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : 3(a  b  c )2  (a 2  2)(b 2  2)(c 2  2) Nhận xét: Trước hết, ta cần chú ý đến sự xuất hiện biểu thức (a  b  c)2 ở vế trái và a 2  2 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh . Điều này làm cho ta suy nghĩ đến việc biến đổi biểu thức (a  b  c)2 làm sao để có thể đánh giá theo biểu thức a 2  2 , mục đích là làm đơn giản bất đẳng thức cần chứng minh bằng cách giảm số biến ( ở đây có thể giảm biến a chẳng hạn). Từ đó, ta có lời giải như sau: Lời giải : 2 2  (b  c)  2  bc 2 Ta có: (a  b  c)   a.1  2.   (a  2) 1  ( )   2   2   (b  c ) 2  2 2 Bài toán đưa về chứng minh: 3  1    (b  2)(c  2) (2)  2  (b  c) 2 Ta lại có, (2)   (bc  1) 2  0 2 Bất đẳng thức cuối cùng này hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho lươn đúng.  2 a  b  c  Đẳng thức xảy ra khi b  c  a  b  c 1 bc  1   3 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  5. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng : (ab  bc  ca  1) 2  (a 2  1)(b 2  1)(c 2  1) Nhận xét: Tương tự như bài toán 1, ta cần chú ý đến sự xuất hiện biểu thức (ab  bc  ca  1) 2 ở vế trái và a 2  1 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh . Điều này làm cho ta suy nghĩ đến việc biến đổi biểu thức (ab  bc  ca  1) 2 làm sao để có thể đánh giá theo biểu thức a 2  1 , mục đích là làm đơn giản bất đẳng thức cần chứng minh bằng cách giảm số biến ( ở đây có thể giảm biến a chẳng hạn). Từ đó, ta có lời giải như sau: Lời giải : 2 Ta có: (ab  bc  ca  1)2   a.(b  c)  (bc  1)   (a 2  1) (b  c) 2  (bc  1)2  Bài toán đưa về chứng minh: (b  c) 2  (bc  1)2  (b 2  1)(c 2  1) (2) Đây là một đẳng thức đúng vì (b  c) 2  (bc  1)2  (b 2  1)(c 2  1) Đẳng thức xảy ra khi a(bc  1)  b  c  a  b  c  abc Bài toán 3. Cho a, b, c, d là các số thực thõa mãn (a 2  1)(b 2  1)(c 2  1)(d 2  1)  16 . Chứng minh rằng : 3  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  5 Lời giải : Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau : 4  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1  4 2 Hay  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1  16 2 2 Ta có:  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1   a (b  c  d  bcd )  1.(bc  bd  cd  1)   a 2  1  (b  c  d  bcd )2  (bc  bd  cd  1)2  Bài toán đưa về chứng minh: (b  c  d  bcd )2  (bc  bd  cd  1) 2  (b 2  1)(c 2  1)(d 2  1) Đây là một đẳng thức đúng (b  c  d  bcd )2  (bc  bd  cd  1) 2  (b 2  1)(c 2  1)(d 2  1) Nhận xét: Để vận dụng được như các bài toán 1 và bài toán 2, điểm quang trọng là viết lại bất đẳng thức cần chứng minh về dạng 4  ab  ac  ad  bc  bd  cd  abcd  1  4 1 1 1 Bài toán 4. Cho x, y, z > 1 thõa    2 . Chứng minh rằng : x y z x 1  y 1  z  1  x  y  z Lời giải : 2  x 1 y  1 z  1   1 1 1 Ta có:   x 1  y 1  z  1   x  y  z    x  y  z    ( x  y  z)  3      x y z Nên x 1  y 1  z  1  x  y  z 1 1 1  x  y  z 1 3  Đẳng thức xảy ra khi  x yz  x 1  y 1  z 1 2 2 2 2  x y z 4 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  6. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Nhận xét: Sự xuất hiện biểu thức x  1  y  1  z  1 là cơ sở để ta sử dụng kỹ năng này và cũng chính sự xuất hiện biểu thức x  y  z ở vế phải đã giúp ta biến đổi thuận một cách thuận lợi. Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : 3 a (b  1)  b(c  1)  c (a  1)  (a  1)(b  1)(c  1) 2 Lời giải : Ta có : a (b  1)  b(c  1)  (a  1)  (b  1)  (c  1) 3 Nên ta cần chứng minh: b(c  2)  1  c  (b  1)(c  1) 2 Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được:  c  (b  1)(c  2)(2c  1) b(c  2)  1  c   b(c  2)  1  (c  1)   1    c 1  c 1 (c  2)(2c  1) 3 Nên ta chỉ cần chứng minh:  c  1 (*) c 1 2 Mà (*) tương đương với: 4(c  2)(2c  1)  9(c  1)2  (c  1) 2  0 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : a b c 9 2  2  2  b (c  a ) c (a  b) a (b  c ) 2(ab  bc  ca) Lời giải : Ta có: 2 2  a b c  a b c        2 . b (c  a )  2 . c(a  b)  2 . a (b  c)   b c a   b (c  a) c (a  b) a (b  c)   a b c   2  2  2   b(c  a )  c(a  b)  a (b  c)   b (c  a ) c ( a  b ) a (b  c )  a b c a b c Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi :    33 . . 3 b c a b c a a b c 9 Nên 2  2  2  b (c  a ) c (a  b) a (b  c ) 2(ab  bc  ca) Bài toán 7. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : bc 2 ca 2 ab 2   1 a 2 (b  2c) b 2 (c  2a ) c 2 (a  2b) Lời giải : Ta có: 2 1 1 1     a b c 2  1 1 1   a 2b(b  2c)  b 2 c (c  2 a )  c 2 a(a  2b)   a a 2b(b  2c) b b 2 c (c  2 a ) c c 2 a (a  2b)    5 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  7. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 2  1 1 1  1 1 1  2 Nên       4  4  4   ab  bc  ca   a b c   a b(b  2c) b c(c  2a ) c a(a  2b)  1 1 1 1 Suy ra: 4  4  4  a b(b  2c) b c(c  2a) c a(a  2b) (abc) 2 bc 2 ca 2 ab 2 Hay   1 a 2 (b  2c) b 2 (c  2a ) c 2 (a  2b) Bài tập tương tự 1. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng : 2(1  abc)  2(1  a 2 )(1  b 2 )(1  c 2 )  (1  a)(1  b)(1  c) 2. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng : (a 2  3)(b 2  3)(c 2  3)  4(a  b  c  1)2 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : 5 (a 2  1)(b 2  1)(c 2  1)  (a  b  c  1) 2 16 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : a4 b4 c4 3 3  3  3  b (c  a ) c (a  b) a (b  c) 2 5. Cho a, b, c là các số thực dương thõa a  b  c  1 . Chứng minh rằng : 1 a 1 b 1 c b a c    2    1 a 1 b 1 c a c b 1.2 Biến đổi thuận dạng 2. Để vận dụng kỹ năng “Biến đổi thuận Bunhiacopxki” ở dạng 2 ta thường xuất phát từ giả thiết bài toán hoặc từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN, a12 a22 a2 GTNN) làm xuất hiện biểu thức dạng   ...  n . Từ đó, biến đổi để đánh giá về b1 b2 bn (a1  a2  ...  an ) 2 theo biểu thức . Ta cùng xem xét qua một số ví dụ sau: b1  b2  ...  bn Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : a2 b2 c2 abc    bc c a a b 2 Nhận xét: a2 b2 c2 Một cách rất tự nhiên, sự xuất hiện của biểu thức   ở vế phải của bc ca ab bất đẳng thức cần chứng minh làm cho ta liện hệ đến dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki và biến đổi theo chiều thuận. Từ đó ta có lời giải như sau: Lời giải : a2 b2 c2 ( a  b  c) 2 (a  b  c )2 a  b  c Ta có:      b  c c  a a  b (b  c)  (c  a)  (a  b) 2(a  b  c) 2 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : a b c   1 2b  c 2c  a 2 a  b 6 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  8. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Nhận xét: Quan sát vể phải của bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể nghĩ đến việc vận dung dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki. Nhưng nếu để như thế mà áp dụng thì không đạt được mục đích của bài toán. Với tư tưởng như bài toán 1, ta nghĩ đến việc tạo ra các biểu thức có dạng bình phương ở tử của 3 phân thức ở vế trái bằng cách nhân thêm vào tử và mẫu các lượng thích hợp. Từ đó ta có lời giải: Lời giải : a b c a2 b2 c2 (a  b  c) 2 Ta có:       2b  c 2c  a 2a  b a(2b  c) b(2c  a ) c (2a  b) 3(ab  bc  ca) a b c Ta lại có: (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca) nên   1 2b  c 2c  a 2 a  b Đẳng thức xảy ra khi a  b  c Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : a3 b3 c3 a 2  b2  c2    a  2b b  2c c  2a 3 Lời giải : a3 b3 c3 a4 b4 c4 (a 2  b 2  c 2 )2 Ta có:       a  2b b  2c c  2a a(a  2b) b(b  2c) c (c  2a ) (a  b  c)2 2 2 2 1 2 a3 b3 c3 a 2  b2  c2 Ta lại có: a  b  c  (a  b  c ) nên    3 a  2b b  2c c  2a 3 Nhận xét: Tương tự như bài toán 2, ở bài toán này ta đã vận dụng dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki bằng cách nhân tử và mẫu của mỗi phân thức các lượng thích hợp để đưa tử số của các phân thức về dạng lũy thừa bậc chẵn Bài toán 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : a4 b4 c4 abc (a  b  c) 2  2  2  1  a b 1 b c 1  c a 1  abc Nhận xét: Ở bài toán này tử số của các phân thức đã ở dạng lũy thừa bậc chẵn nên ta có thể nghĩa đến việc vận dụng ngay : a4 b4 c4 (a 2  b 2  c 2 )    1  a 2 b 1  b 2 c 1  c 2 a 3  a 2b  b 2 c  c 2 a Từ đó để giải quyết bài toán ta chỉ cần chứng minh: (a 2  b 2  c 2 ) abc(a  b  c ) 2 2 2  3 a b b c  c a 1  abc Nhưng thực sự bất ngờ khi cách áp dụng như thế này lại không giúp ta giải quyết được bài toán. Nên buộc ta phải tìm hương giải quyết khác 7 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  9. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Lời giải : Ta có: 2 a4  b4  c4  a 4c  b4a  c 4b   a 2 c  b2 a  c2 b  1  a 2 b 1  b2 c 1  c 2 a c(1  a 2b) a (1  b 2c ) b(1  c 2 a ) c (1  a 2b)  a(1  b 2c)  b(1  c 2 a ) 2  a 2 c  b2 a  c 2 b  (1  abc)(a  b  c) Ta cần chứng minh : a 2 c  b 2 a  c 2 b  abc (a  b  c) (1) a2 b2 c2 (1)     abc ab ca bc Theo bất đẳng thức Côsi và Bunhiacopxki dạng 2 ta được: a2 b2 c2 a2 b2 c2 (a  b  c )2        abc ab ca bc a  b b  c c  a a  b  b  c  c  a 2 2 2 2 2 2 Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : 2 a b c 1 1 1      (a  b  c )     b c a a b c Lời giải : a b c a 2 b 2 c 2 ( a  b  c) 2 Ta có:       (1) b c a ab bc ca ab  bc  ca a b c c 2 a 2 a 2b 2 b 2c 2 (ab  bc  ca )2       (2) b c a abc 2 bca 2 cab 2 abc (a  b  c) Nhân các bất đẳng thức (1) và (2) vế theo vế ta được: 2 a b c (a  b  c )2 (ab  bc  ca)2  1 1 1      .  ( a  b  c)      b c a  ab  bc  ca abc(a  b  c ) a b c Nhận xét: Ở đay ta đã vận dụng phối hợp việc biến đổi bằng cách nhân thêm ở tử và mẫu của mỗi phân thức để tạo ra các biểu thức có dạng bình phương, đồng thời ta đã vận dụng hai lần bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng 2 để nhân các bất đẳng thức đó với nhau để được đều cần mong muốn Bài tập tương tự 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : a b c abc 2 2  2 2  2 2  b  bc  c c  ca  a a  ab  b ab  bc  ca 2. Cho a, b, c là các số thực dương thõa a  b  c  3 . Chứng minh rằng : a2 b2 c2   1 a  2b 2 b  2c 2 c  2a 2 3. Cho a, b, c là các số thực không âm thõa a 2  b 2  c 2  1 . Chứng minh rằng : a b c 3 2 2  1 b 1 c 1 a2  2 4   a a b b c c  4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :  a b c  9 a  b  c  2  2  2   (b  c) (c  a ) (a  b)  4 8 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  10. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 5. Cho a, b, c là các số thực không âm thõa a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng : a2 b2 c2    3 b  b2  c c  c2  a a  a2  b 2. Kỹ năng” Biến đổi nghịch”. 2.1 Biến đổi nghịch dạng 1. Để vận dụng kỹ năng “Biến đổi nghịch Bunhiacopxki” ở dạng 1 ta thường xuất phát từ giả thiết bài toán hoặc từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) làm xuất hiện biểu thức dạng (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22  ...  bn2 ) . Từ đó, biến đổi để đánh giá về theo biểu thức (a1b1  a2b2  ...  anbn ) 2 . Ta cùng xem xét qua một số ví dụ sau: Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 3a 4b 5c T   bc ca ab Nhận xét: 3a 4b 5c Chính sự xuất hiện biểu thức T    mà bài toán lại yều cầu tìm bc ca ab GTNN nên ta liện hệ đến việc vận dung dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki . Với suy  m n p  nghĩ đó ta cố biến đổi biểu thức T để đưa về dạng  a  b  c      . Từ đó  bc c a a b ta đã có lời giải như sau bằng cách biến đổi nghịch Bunhiacopxki ở dạng 1. Lời giải :  3a   4b   5c  3(a  b  c) 4(a  b  c) 5(a  b  c ) Ta có: T  12    3    4    5    bc  ca   ab  bc ca ab  3 4 5  1  3 4 5   a  b  c      (b  c)  (c  a )  (a  b)      bc ca ab  2 bc ca ab 1 2  2  32 5  1 2 Nên T  2   3  2  5  12 bc ca a b Đẳng thức xảy ra khi   3 2 5 Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 3(c  b) 4(a  c) 5(b  a ) T   2b  a b  2c c  2a Nhận xét: 3(c  b) 4(a  c) 5(b  a ) Chính sự xuất hiện biểu thức T    . Với suy nghĩ như 2b  a b  2c c  2a  m n p  trên, ta cố biến đổi biểu thức T để đưa về dạng  a  b  c      . Từ đó  2b  a b  2c c  2a  ta đã có lời giải như sau bằng cách biến đổi nghịch Bunhiacopxki ở dạng 1. 9 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  11. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Lời giải : Ta có:  3(c  b)   4(a  c )   5(b  a )  3(a  b  c ) 4(a  b  c ) 5(a  b  c) T  12    3    4    5     2b  a   b  2c   c  2a  a  2b b  2c c  2a  3 4 5  1  3 4 5   a  b  c      (a  2b)  (b  2c)  (c  2a )       a  2b b  2c c  2a  3  a  2b b  2c c  2a  1 2  3  32 5  1 2 Nên T  3  3 2 5   12 bc ca a b Đẳng thức xảy ra khi   3 2 5 Bài toán 3. Cho p, q, r, x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng : p 2 q r 1 x  y2  z 2  xy  yz  zx  ( x 2  y 2  z 2 ) qr r p pq 2 Lời giải : p 2 q r Đặt T  x  y2  z2 qr r p pq Ta có:  p 2   q   r   x2 y2 z2  T   x2  y 2  z 2    x  x2    y2  y2    z2  z2    p  q  r     qr  r p   pq  qr r p pq 2 2 2 Nên T   x 2  y 2  z 2   1  (q  r )  (r  p )  ( p  q )   x  y  z   1 ( x  y  z ) 2 2 qr r p pq 2 p 2 q r 1 Hay x  y2  z 2  xy  yz  zx  ( x 2  y 2  z 2 ) qr r p pq 2 Bài toán 4. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác, x, y, z là các số thực. Chứng minh rằng : a b c x2  y2  z 2  xy  yz  zx bca cab a bc Lời giải : a b c Đặt T  x2  y2  z2 bca c  a b a bc  x2  y2  z 2   a x2   b y2   c z2  Ta có: T    x2     y2     z2    2  bca 2   cab 2   a bc 2    x2 y2 z2   2   a  b  c  2  2  b  c  a c  a  b a  b  c    Nên  x2 y2 z2  2 x y z  2 2  2   1 ( x  y  z ) 2 T     (b  c  a)  (c  a  b)  ( a  b  c )   2  2   2  b  c  a c  a  b a  b  c  2     10 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  12. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI a b c Hay x2  y2  z 2  xy  yz  zx bca cab a bc  x 2  xy  y 2  3 Bài toán 5. Cho x, y, z là các số thực thõa  2 2 . Chứng minh rằng :  y  yz  z  16 y 2  yz  zx  8 Lời giải : Ta có: 2 2 2 2 2 2 2  y  3 y 2   3z 2  z    y 3  z 3  ( x  xy  y )( y  yz  z )   x       y      x   z  y  y  2 4   4  2    2 2  2 2  3 2 2 Hay 4  y  yz  zx   48  y 2  yz  zx  8 Bài tập tương tự 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 9a 8b 7c T   bc ca ab 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 5bc 6ca 7 ab T   a (b  c ) b (c  a ) c ( a  b ) 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 6(c  b) 5(a  c ) 7(b  a ) T   2b  a b  2c c  2a 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 16c 54a 128b 8c 2 27 a 2 64b 2 T      a  b b  c c  a (a  b)2 (b  c) 2 (c  a )2 2.2 Biến đổi nghịch dạng 2. Để vận dụng kỹ năng “Biến đổi nghịch Bunhiacopxki” ở dạng 2 ta thường xuất phát từ giả thiết bài toán hoặc từ bất đẳng thức cần chứng minh( biểu thức cần tìm (a1  a2  ...  an ) 2 GTLN, GTNN) làm xuất hiện biểu thức dạng . Từ đó, biến đổi để đánh b1  b2  ...  bn a12 a22 an2 giá về theo biểu thức   ...  . Ta cùng xem xét qua một số ví dụ sau: b1 b2 bn Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng : (b  c) 2 (c  a ) 2 (a  b) 2   3 b 2  c 2  a (b  c ) c 2  a 2  b (c  a ) a 2  b 2  c ( a  b ) Nhận xét: (b  c) 2 Chính sự xuất hiện biểu thức A  và chiều của bất đẳng thức  b 2  c 2  a (b  c ) nên ta liên hệ đến việc vận dụng dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki . Với suy nghĩ (b  c) 2 đó ta cố biến đổi biểu thức A để đưa về dạng , trong đó x, y là các biểu thức thích x y 11 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  13. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI hợp để vận dụng dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki . Từ đó ta đã có lời giải như sau bằng cách biến đổi nghịch Bunhiacopxki ở dạng 2. Với các bất đẳng thức đối xứng hay hoán vị ta thường biến đổi trên một biểu thức hay tìm được một bất đẳng thức cơ sở nào đó rồi suy ra các bất đẳng thức tương tự và phối hợp chúng để giả quyết bài toán. Lời giải : (b  c) 2 (b  c) 2 b2 c2 b c Ta có: 2 2      b  c  a (b  c ) b ( a  b )  c (c  a ) b ( a  b ) c (c  a ) a  b c  a (c  a ) 2 c a ( a  b) 2 a b Tương tự, 2 2   ; 2 2   c  a  b( c  a ) b  c a  b a  b  c ( a  b ) c  a b  c Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được: (b  c) 2 (c  a ) 2 (a  b) 2   3 b 2  c 2  a (b  c ) c 2  a 2  b (c  a ) a 2  b 2  c ( a  b ) Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thõa a  b  c  3 . Chứng minh rằng : 1 1 1 1 2 2 2  2 2 2  2 2 2  4a  b  c a  4b  c a  b  4c 2 Nhận xét: 1 Chính sự xuất hiện biểu thức A  và chiều của bất đẳng thức  nên 4a  b 2  c 2 2 ta liên hệ đến việc vận dụng dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki . Với suy nghĩ đó ta ( a  b  c) 2 cố biến đổi biểu thức A để đưa về dạng , trong đó x, y, z là các biểu thức thích x y z hợp để vận dụng dạng 2 của bất đẳng thức Bunhiacopxki . Từ đó ta đã có lời giải như sau bằng cách biến đổi nghịch Bunhiacopxki ở dạng 2. Lời giải : 1 1 ( a  b  c) 2 1  a2 b2 c2  Ta có: 2 2 2  . 2      4a  b  c 9 2 a  ( a 2  b 2 )  (c 2  a 2 ) 9  2 a 2 a 2  b 2 c 2  a 2  Tương tự, 1 1  b2 a2 c2  1 1  c2 a2 b2       ;      a 2  4b 2  c 2 9  2b 2 a 2  b 2 b 2  c 2  a 2  b 2  4c 2 9  2c 2 a 2  c 2 b 2  c 2  Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được: 1 1 1 1 2 2 2  2 2 2  2 2 2  4a  b  c a  4b  c a  b  4c 2 Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng : bc ca ab 1 1 1 2  2  2    a  bc b  ca c  ab a b c Lời giải : bc (b  c) 2 (b  c )2 b2 c2 Ta có:     a 2  bc (a 2  bc)(b  c ) c (a 2  b 2 )  b(c 2  a 2 ) c(a 2  b 2 ) b(c 2  a 2 ) ca c2 a2 ab a2 b2 Tương tự, 2   ;   b  ca a (b 2  c 2 ) c (a 2  b 2 ) c 2  ab b(c 2  a 2 ) a(b 2  c 2 ) Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được: bc ca ab 1 1 1 2  2  2    a  bc b  ca c  ab a b c 12 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  14. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Bài toán 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng : a2 b2 c2 1    (2a  b)(2a  c ) (2b  c )(2b  a ) (2c  a)(2c  b) 3 Lời giải : Ta có: a2 1 (2a  a )2 1 (2a )2 a 2  1  2a a2   .     (2a  b)(2a  c ) 9 2a (a  b  c)  (2a 2  bc) 9  2a ( a  b  c) 2a 2  bc  9  a  b  c 2a 2  bc  b2 1  2b b2  c2 1  2c c2  Tương tự,   ;   (2b  c )(2b  a) 9  a  b  c 2b 2  ca  (2c  a)(2c  b) 9  a  b  c 2c 2  ab  Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được: a2 b2 c2 1    (2a  b)(2a  c ) (2b  c )(2b  a ) (2c  a)(2c  b) 3 Bài tập tương tự 1. Cho a, b, c là các số thực dương thõa a  b  c  3 . Chứng minh rằng : 1 1 1 3 2 2  2 2  2 2  a b 2 b c 2 c a 2 4 2. Cho a, b, c là các số thực dương thõa a  b  c  3 . Chứng minh rằng : a2  9 b2  9 c2  9   5 2a 2  (b  c) 2 2b 2  (c  a )2 c 2  (a  b) 2 3. Cho a, b, c là các số thực dương thõa a 2  b 2  c 2  1 . Chứng minh rằng : bc ca ab 3 2  2  2  a 1 b 1 c 1 4 3. Kỹ năng “Thêm – bớt”. Có những bất đẳng thức ( hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi khi khó hoặc thậm chí không thể giải quyết bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Khi đó, nếu ta chịu khó biến đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức phù hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn. Ta cùng xem xét các ví dụ sau để minh họa cho điều đó. Bài toán 1. Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn x 2  y 2  z 2  3 . Chứng minh rằng : 1 1 1   3 2 x 2 y 2 z Nhận xét: Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp ta được: 1 1 1 9 9     2  x 2  y 2  z (2  x)  (2  y )  (2  x) 6  ( x  y  z ) 9 Trong khi đó ta lại có, 0  x  y  z  3( x 2  y 2  z 2 )  3 nên 3 6  ( x  y  z) Vì vậy, gặp phải bất đẳng thức ngược chiều ở đây ! 1 1 x Nếu để ý một tí ta sẽ có biến đổi khá thú vị sau :   2  x 2 2(2  x ) Từ đó ta suy nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức đã cho về dạng khác mà áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki thuận lợi hơn bằng cách biến đổi “thêm bớt” Ta có lời giải sau: 13 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  15. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Lời giải : Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau :  1 1  1 1  1 1 3 x y z           3  2 x 2  2 y 2  2 z 2 2 2 x 2 y 2 z x y z x2 y2 z2 ( x  y  z )2 Ta có:       2  x 2  y 2  z x(2  x ) y (2  y ) z (2  z ) x(2  x)  y (2  y )  z (2  z ) ( x  y  z )2  2( x  y  z )  3 ( x  y  z )2 Ta cần chứng minh:  3 hay ( x  y  z )2  3  2( x  y  z )  3 2( x  y  z )  3 2 Mà ( x  y  z )2  3  2( x  y  z )  3   x  y  z  3  0 Bài toán 2. Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn xy  yz  zx  3 . Chứng minh rằng : 1 1 1   1 2  x 2  y 2  z2 2 2 Lời giải : Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau : 1 1  1 1  1 1  1 x2 y2 z2    2     2    2      1  2 2 x   2 2 y   2 2 z  2 2  x2 2  y 2 2  z 2 Ta lại có, x2 y2 z2 ( x  y  z) 2 ( x  y  z )2     1 2  x 2 2  y 2 2  z 2 (2  x 2 )  (2  y 2 )  (2  z 2 ) x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  zx) Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương thõa mãn a 2  b 2  c 2  3 . Chứng minh rằng : 1 1 1 1  1 1 1  15 2  2  2      7  a 7  b 7  c 14  b  c c  a a  b  56 Lời giải : 1 1 1 a2 1 1 1 b2 1 1 1 c2 Ta có :   . ;   . ;   . 7  a 2 7 7 7  a 2 7  b2 7 7 7  b 2 7  c 2 7 7 7  c 2 Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau : 1 1 1  a2 b2 c2  9    2 2    bc ca a b 7a 7  b2 7  c 2  4 Từ đó ta được: 1 1 1 9 9     b  c c  a a  b (b  c)  (c  a)  (a  b) 2(a  b  c ) a2 b2 c2 (a  b  c )2 (a  b  c) 2     7  a 2 7  b 2 7  c 2 (7  a 2 )  (7  b 2 )  (7  c 2 ) 24 2 9 ( a  b  c) 9 Nên ta cần chứng minh:   abc 6 2 Lại theo bất đẳng thức Côsi thì : 9 ( a  b  c) 2 9 9 ( a  b  c) 2 9 9 1 9      33 . .  a bc 6 2(a  b  c ) 2(a  b  c) 6 2 2 6 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 14 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  16. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Bài toán 4. Cho x, y, z là các số thực dương . Chứng minh rằng : 2 x  y 2 y  z 2z  x    3 (1) 2x  z 2 y  x 2z  y Lời giải : Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau :  2x  y   2y  z   2z  x  (1)   m    m    m   3  3m  2x  z   2y  x   2z  y  (2  2m) x  y  mz (2  2m) y  z  mx (2  2m) z  x  my     3  3m (2) 2x  z 2x  z 2x  z (2  2m) x  y  mz (2  2m) y  z  mx (2  2m) z  x  my Ta có:   2x  z 2x  z 2x  z (2  2m) x  y  mz (2  2m) y  z  mx (2  2m) z  x  my     2 x  z   (2  2m) x  y  mz   2 x  z   (2  2m) y  z  mx   2 x  z  (2  2m) z  x  my  2   (2  2m) x  y  mz  (2  2m) y  z  mx  (2  2m) z  x  my   2 x  z  (2  2m) x  y  mz    2 x  z  (2  2m) y  z  mx    2 x  z  (2  2m) z  x  my  9(1  m) 2 ( x  y  z )2  (4  5m)( x 2  y 2  z 2 )  (5  4m)( xy  yz  zx) 9(1  m) 2 ( x  y  z )2 Ta tìm m sao cho  3  3m đúng nên m là (4  5m)( x 2  y 2  z 2 )  (5  4m)( xy  yz  zx) 1 nghiệm phương trình : 5  4m  2(4  5m)  m  2 Nhận xét: Ở đây ta đã sử dụng kỹ năng thêm bớt bằng cách đưa vào tham số m để lí luận và đựa vào các đềuv kiện ràng buộc hợp lí để tìm ra m. Bài tập tương tự 1. Cho a, b, c là các số thực không âm thõa a 2  b 2  c 2  1 . Chứng minh rằng : ab bc ca    3(a  b  c) 1  ab 1  bc 1  ca 2. Cho a, b, c là các số thực không âm thõa a 2  b 2  c 2  1 .Chứng minh rằng : a b c ac ba c b      b c a bc ca a b 3. Cho x, y, z là các số thực dương . Chứng minh rằng : x y yz zx 2    x  7 y  z y  7z  x z  7x  y 3 4. Kỹ năng “Tham số hóa”. Bài toán 1. Cho x, y, z > 0 thõa mãn x + y + z  2 . Tìm GTNN của biểu thức: 1 1 1 T = 4x 2 + 2 + 4y 2 + 2 + 4z 2 + 2 x y z Phân tích để tìm lời giải : 1 Xét biểu thức A = 4x 2 + . Một cách tự nhiên ta tìm cách khử căn của biểu thức x2 này. 15 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  17. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách bình thường: 1 1  1 4x 2 + 2   2x   x 2 x 1 Đẳng thức xảy ra khi x  nên không đạt được yêu cầu của bài toán. 2 2 Dự đoán T đạt giá trị nhỏ nhất  x  y  z  . 3 Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các tham số p, q như sau : q 1 1  2 1 q 2 p.2x +  2 2  x A=  4x + 2  (p + q )   2xp +  = p2 + q 2  x  p2 + q 2  x  p + q2 2 p Dấu bằng xảy ra  = qx (1) 2x 2 p 8 Thay x  y  z  vào (1) ta được:   ta có thể chọn p = 8, q = 9 3 q 9 Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :  1  9 1 1  9 8 2 + 92   4x 2 + 2   16x +  x  x  4 x2  2  x  145  16 x   x  1  9 1 1  9 8 2 + 92   4y 2 + 2   16y + y  y  4 y2  2  y  16 y   145  y   1 9 1 1  9 8 2 + 92   4z 2 + 2   16z +  z  z  4z2  2  z  145  16 z   z 1   1 1 1  1  81  145 Từ đó : T  16( x  y  z )  9       16( x  y  z )    145   x y z  145  x y z 2 145 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng khi x  y  z  2 3 3 Bài toán 2. Cho x, y, z > 0 thõa mãn x + y + z  . Tìm GTNN của biểu thức: 2 1 1 1 1 1 1 T = x2 + 2  2 + y2 + 2  2 + z 2 + 2  2 x y y z z x Phân tích để tìm lời giải : 1 1 Xét biểu thức A = x 2 + 2  2 . Một cách tự nhiên ta tìm cách khử căn của biểu x y thức này. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách bình thường: 1 1 1  1 1 x2 + 2  2  x   x y 3 x y 1 Dự đoán dấu bằng  x  y  z  . Nên không đạt được yêu cầu của bài toán. 2 Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các tham số p, q, r như sau : 16 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  18. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 2 1  2 1 1  2 2 2 1  q r A=  x + 2  2  (p + q  r )   xp +   p2 + q 2  r 2  x y  p2 + q 2  r 2  x y q r p.x +  x y = p2 + q 2  r 2 1 1 x y Dấu bằng xảy ra  = x = (1) p q r 2 3 p 2q 2r 1 Thay x  y  z  vào (1) ta được:   ta có thể chọn p  , q  r  2 3 2 3 3 2 Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :  1 2 2  2 1 1  x 2 2 2 1 1 2 x 2 2  22 +2 + 2   x + x 2  y 2   2 + x + y  x  x 2  y 2         33  2 x y   1 2 2  2 1 1 y 2 2 1 1 2  y 2 2  2 +2 + 2   y + 2  2   + +  y2  2  2      2  y z  2 y z y z 33  2 y z   1 2 2  2 1 1  z 2 2 2 1 1 2  z 2 2  22 +2 + 2   z + z 2  x 2   2 + z + x  z  z 2  x 2         33  2 z x  2 x y z  1 1 1  2 3 36  3 33 Từ đó : T    4         2 33  2  x y z  33  4 x  y  z  3 33 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng khi x  y  z  2 2 Bài toán 3. Cho x, y, z > 0 thõa mãn x + y + z  6 . Tìm GTNN của biểu thức: 1 1 1 T = x2 + + y2 + + z2 + x+y y+z z+x Phân tích để tìm lời giải : 1 Xét biểu thức A = x 2 + . Một cách tự nhiên ta tìm cách khử căn của biểu thức x+y này. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách bình thường : 1 1  1  1 x2 +   x   , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  x+y 2 x y  x y Dự đoán T đạt giá trị nhỏ nhất  x  y  z  2 . Nên không đạt được yêu cầu của bài toán. Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các tham số p, q như sau : q 2 p.x + 1  2 1  2 2 1  q  x+y A= x +  (p + q )   xp +  = p2 + q 2  x+y  p2 + q2  x  y  p2 + q2 17 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  19. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 1 x x y Dấu bằng xảy ra  = (1) p q p Thay x  y  z  2 vào (1) ta được:  2q ta có thể chọn p  4, q  1 2 Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki :  1  1 1 1  1  4 2 + 12   x 2 +   4x + x+y  x y  x2  x y   4 x  17   x  y    1  1 1 1  1  4 2 + 12   y 2 +   4y + y+z  yz  y2  yz   4y  17   y  z    1  1 1 1  1  4 2 + 12   z 2 +    4z + z+x  zx  z2  zx   17  4z   zx  Từ đó : 1   1 1 1  1  9  T  4( x  y  z )         24   17   x  y yz z  x   17  x  y  y  z  z  x  1  9  3 17   24   17  3( x  y  z )  2 3 17 Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng khi x  y  z  2 2 Bài toán 4. Cho x, y thõa mãn 2 x  y  2 . Tìm GTNN của biểu thức: T  x 2  ( y  1) 2  x 2  ( y  3)2 Phân tích để tìm lời giải : Giả sử giá trị nhỏ nhất của T đạt được tại x  a , y  b , 2a  b  2 Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các tham số p, q như sau : 1 1 x 2  ( y  1) 2  2 2 . p 2  q 2   x 2  ( y  1)2   . px  q ( y  1)  (2) p q p  q2 2 Ta cần chọn p, q sao cho đẳng thức ở (2) xảy ra khi x  a , y  b , 2a  b  2 nên p q  từ đó ta có thể chọn p  a, q  b  1 a b 1 Tương tự, với biểu thức x 2  ( y  3)2 ta có thể chọn p  a, q  b  3 Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : 1 x 2  ( y  1) 2  . ax  (b  1)( y  1) a  (b  1) 2 2 1 x 2  ( y  3)2  . ax  (b  3)( y  3) a 2  (b  3) 2 1 1 Từ đó : T  . ax  (b  1)( y  1)  . ax  (b  3)( y  3)  2 2 a  (b  1) a  (b  3) 2 2 18 GV: PHAN NGỌC TOÀN
  20. PHÁT TRIỂN VÀ NÂNG CAO KỸ NĂNG VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI  a a   b 1 b 3    x  y 2 2  a  (b  1) a  (b  3) 2 2  2  a  (b  1) 2 a  (b  3)2 2  Ta cần chọn a, b sao cho :  a a  b 1 b 3     2     a 2  (b  1)2 a 2  (b  3)2  a 2  (b  1) 2 a 2  (b  3) 2   2a  b  0  a  2b  2 a  2b  6  2   0  a   3   a 2  (b  1) 2 a 2  (b  3) 2   2a  b  0 b   2   3 Với các giá trị vừa tìm của a, b ở trên ta được: 12 5 6 5 38 5 T x y 2 5 25 25 25 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 2 5 khi x  ; y   3 3 Bài toán 5. Cho hai số thực x, y. Tìm trị nhỏ nhất của biểu thức: T  ( x  1)2  ( y  1)2  ( x  1)2  ( y  1)2 + ( x  2)2  ( y  2)2 Phân tích để tìm lời giải : Giả sử giá trị nhỏ nhất của T đạt được tại x  y  a Từ đó ta mạnh dạn đưa vào các tham số p, q như sau : 1 1 ( x  1)2  ( y  1)2  2 2 . p 2  q 2   ( x  1)2  ( y  1) 2   . p ( x  1)  q( y  1)  p q p  q2 2 (2) Ta cần chọn p, q sao cho đẳng thức ở (2) xảy ra khi x  y  a nên p q  từ đó ta có thể chọn p  a  1, q  a  1 a 1 a 1 Tương tự, với biểu thức ( x  1)2  ( y  1)2 ta có thể chọn p  a  1, q  a  1 với biểu thức ( x  2)2  ( y  2) 2 ta có thể chọn p  q  1 . Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : 1 ( x  1)2  ( y  1)2  . (a  1)( x  1)  (a  1)( y  1)  (a  1) 2  (a  1)2 1 ( x  1)2  ( y  1)2  . (a  1)( x  1)  (a  1)( y  1)  (a  1)  (a  1)2 2 1 ( x  2)2  ( y  2) 2 .1.( x  2)  1.( y  2)  2  2a 1  4 Từ đó : T     . x  y   2 2  2(a 2  1) 2  2(a 2  1) 2a 1 1 Ta cần chọn a sao cho : 2  0a 2(a  1) 2 3 Với các giá trị vừa tìm của a ở trên ta được: 19 GV: PHAN NGỌC TOÀN
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y Học
320 tài liệu
1248 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2