S GD&ĐT QU NG BÌNHỞ Ả
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
K THI CH N Ỳ Ọ ĐI TUY N Ộ Ể
D THI ỰCH N H C SINH GI I QU C GIA Ọ Ọ Ỏ Ố
NĂM H C 2022-2023Ọ
Khóa ngày 20 tháng 9 năm 2022
Môn thi: TOÁN
S BÁO DANH:……………Ố
BÀI THI TH NH TỨ Ấ
Th i gian: 1ờ80 phút (không k th i gian giao đ)ể ờ ề
Đ g m có ề ồ 01 trang va 04 câu
Câu 1 (5,0 đi m)ể. Cho dãy s ố
( )
n
u
th a mãn ỏ
1
*
1
2022
2022, .
n n
n
u
n
u u n
nu
+
=
+
= + ∀
ﾥ
a) Ch ng minh r ng ứ ằ
lim .
n
u
= +
b) Tìm gi i h n ớ ạ
2
lim .
2 1
n
u
n
+
Câu 2 (5,0 đi m)ể. Cho
( )P x
là đa th c monic b c ứ ậ
n
(v i ớ
*
n
ﾥ
) có đúng
n
nghi mệ
th c phân bi t. Bi t r ng t n t i duy nh t s th c ự ệ ế ằ ồ ạ ấ ố ự
a
mà
Ch ngứ
minh r ng đa th c ằ ứ
2
( 4 2022)P x x+ +
chia h t cho đa th c ế ứ
2
( 2)x+
và
(2022) 4 .
n
P
Câu 3 (5,0 đi m)ể. Cho tam giác
ABC
có
AB AC
=
,
I
là tâm đng tròn n i ti p và ườ ộ ế
( )T
là đng tròn ngo i ti p tam giác ườ ạ ế
ABC
. Các đng th ng ườ ẳ
BI
và
CI
l n l t c t ầ ượ ắ
( )T
t i đi m th hai là ạ ể ứ
M
và
N
. G i ọ
D
là đi m thu c ể ộ
( )T
, n m trên cung ằ
BC
không ch aứ
A
;
,E F
l n l t là các giao đi m c a ầ ượ ể ủ
AD
v i ớ
BI
và
CI
;
P
là giao đi m c a ể ủ
DM
v iớ
CI
;
Q
là giao đi m c a ể ủ
DN
v i ớ
BI
.
a) Ch ng minh r ng các đi m ứ ằ ể
, , ,D I P Q
cùng n m trên m t đng tròn ằ ộ ườ
( )Ω
.
b) Ch ng minh r ng các đng th ng ứ ằ ườ ẳ
CE
và
BF
c t nhau t i m t đi m trên đngắ ạ ộ ể ườ
tròn
( )Ω
.
Câu 4 (5,0 đi m)ể. Cho
A
là t p h p g m các s nguyên d ng th a mãn đng th i haiậ ợ ồ ố ươ ỏ ồ ờ
đi u ki n sau:ề ệ
a) N u ế
a A
thì t t c các c s d ng c a ấ ả ướ ố ươ ủ
a
cũng thu c ộ
;A
b) N u ế
,a b A
mà
1a b
< <
thì
1 .ab A+
Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế
A
có ít nh t ấ
3
ph n t thì ầ ử
A
là t p h p t t c các s nguyênậ ợ ấ ả ố
d ng.ươ
S GD&ĐT QU NG BÌNHỞ Ả
H NG D N CH MƯỚ Ẫ Ấ
K THI CH N Ỳ Ọ ĐI TUY N D THI Ộ Ể Ự
H C SINH GI I QU C GIA NĂM H C 2022-Ọ Ỏ Ố Ọ
2023
Khóa ngày 20 tháng 9 năm 2022
Môn thi: TOÁN
BÀI THI TH NH TỨ Ấ
Đap an nay g m có ồ05 trang
YÊU C U CHUNGẦ
(Đáp án, h ng d n này có 05 trang)ướ ẫ
* Đáp án ch trình bày m t l i gi i cho m i bài. Trong bài làm c a h c sinh yêu c u ph iỉ ộ ờ ả ỗ ủ ọ ầ ả
l p lu n lô gic ch t ch , đy đ, chi ti t và rõ ràng.ậ ậ ặ ẽ ầ ủ ế
* Trong m i bài, n u h c sinh gi i sai bỗ ế ọ ả ở c gi i trướ ả ư c thì cho đi m 0 đi v i nh ngớ ể ố ớ ữ
b c gi i sau có liên quan. câu hình, n u h c sinh không v hình ho c v hình sai thìướ ả Ở ế ọ ẽ ặ ẽ
cho đi m 0.ể
* Đi m thành ph n c a m i bài nói chung phân chia đn 0,5 đi m. Đi v i đi m thànhể ầ ủ ỗ ế ể ố ớ ể
ph n l n h n 0,5 đi m thì tu t giám kh o th ng nh t đ chi t thành t ng 0,5 đi m.ầ ớ ơ ể ỳ ổ ả ố ấ ể ế ừ ể
* H c sinh có l i gi i khác đáp án (n u đúng) v n cho đi m t i đa tu theo m c đi mọ ờ ả ế ẫ ể ố ỳ ứ ể
c a t ng bài.ủ ừ
* Đi m c a toàn bài là t ng (không làm tròn s ) c a đi m t t c các bàiể ủ ổ ố ủ ể ấ ả
Câu Nôi dung*Điêm+
Câu 1a
(2,0
đi m)ể
Ta có
0, 1
n
u n
> ∀
. Suy ra
*
1
2022 0, .
n n
n
n
u u n
nu
+
+
− = > ∀ ﾥ
0,5
đi mể
Suy ra
( )
n
u
là dãy s tăng ng t.ố ặ 0,5
đi mể
Gi s ả ử
( )
n
u
là dãy s b ch n trên. Suy ra ố ị ặ
( )
n
u
có gi i h n h u ớ ạ ữ
h n. Đt ạ ặ
lim
n
L u
=
thì
1L
(do
1
2022u
=
). Từ
1
2022
n n
n
n
u u nu
+
+
= +
suy ra
1 1 0L L L L
= + =�
(đi u này vô lý). ề
0,5
đi mể
Suy ra
( )
n
u
là dãy s không b ch n trên. Do đó ố ị ặ
lim .
n
u
= +
0,5
đi mể
Câu 1b
(3,0
đi m)ể
B đ: ổ ề N u ế
1
lim( )
n n
u u L
+
− =
thì
lim .
n
uL
n=
0,5
đi mể
Ch ng minh b đ: ứ ổ ề Vì
1
lim( )
n n
u u L
+
− =
nên v i m i ớ ọ
0
ε
>
t n ồ
t i ạ
0
N
sao cho v i m i ớ ọ
0
n N
, ta có
1
2
n n
u u L
ε
+
− − <
. Khi đó v i ớ
m i ọ
0
n N
>
ta có
( )
0 0 0
0
0 1 1
0 0
1...
1
. ( ) .
2
nN N N n n
N
uL u N L u u L u u L
n n
u N L n N
n n
ε
+ −
− − + − − + + − −
< − + −
0,5
đi m ể
Giữ
0
N
c đnh, ta có th tìm đc ố ị ể ượ
1 0
N N
>
sao cho
0
0
1
2
N
u N L
N
ε
−<
. Suy ra v i m i ớ ọ
1
n N
>
ta có
.
n
uL
n
ε
− <
V y ậ
lim .
n
uL
n=
0,5
đi mể
Tr l i bài toán: ở ạ
Ta có
2
2 2
12
2022 2022 1
2. . , 1.
n n
n
n n
u u n
n n u
+
+ +
� �
− = + ∀
� �
� �
0,5
đi mể
Mà
2022
lim 1
n
n
+=
và
2
1
lim 0
n
u=
nên
2 2
1
lim( ) 2.
n n
u u
+
− =
0,5
đi mể
Theo b đ, ta có ổ ề
2
lim 2.
n
u
n
=
V y ậ
2 2
lim lim . 1.
2 1 2 1
n n
u u n
n n n
� �
= =
� �
+ +
� �
0,5
đi mể
Câu 2
(5,0
đi m)ể
G i các nghi m th c c a ọ ệ ự ủ
( )P x
là
1 2
, ,...,
n
a a a
(v i ớ
1 2
...
n
a a a
< < <
).
Ta có bi u di n ể ễ
1
( ) ( ),
n
i
i
P x x a
=
= −
suy ra
2 2
1
( 4 2022) ( 4 2022 )
n
i
i
P x x x x a
=
+ + = + + −
.
0,5
đi mể
V i m i ớ ỗ
{ }
1;2;...;i n
thì tam th c b c hai ứ ậ
2
4 2022
i
x x a+ + −
có
bi t th c ệ ứ
'
4 (2022 ) 2018.
i i i
a a∆ = − − = −
T ừ
1 2
...
n
a a a
< < <
suy ra
' ' '
1 2
... .
n
∆ < ∆ < < ∆
0,5
đi mể
Do đa th c ứ
2
( 4 2022)P x x+ +
có nghi m th c duy nh t nên ph i cóệ ự ấ ả
'
0
n
∆ =
và n u ế
1n
>
thì
'
0, 1, 1.
i
i n
∆ < ∀ = −
0,5
đi mể
T ừ
'
0
n
∆ =
ta có
2 2
4 2022 ( 2)
n
x x a x+ + − = +
.
Suy ra
2 2
( 4 2022) ( 2)P x x x+ + +M
.
1,0
đi mể
M t khác, ặ
'
1 1
(2022) (2022 ) (4 ).
n n
i i
i i
P a
= =
= − = − ∆
� �
0,5
đi mể
V i ớ
1n
=
thì ta có
'
(2022) 4 4.
n
P= − ∆ =
0,5
đi mể
V i ớ
1n
>
thì ta có
1
' ' ' 1
1 1 1
(2022) (2022 ) (4 ) (4 )(4 ) 4 .4 4 .
n n n n n
i i i n
i i i
P a
−−
= = =
= − = − ∆ = − ∆ − ∆ > =
� � �
1,0
đi mể
V y ta luôn có ậ
(2022) 4 .
n
P
0,5
đi mể
Câu 3a
(2,5
đi m)ể
X
Q
P
F
E
N
I
M
B
C
A
D
G i ọ
β
là góc
ﾥ
CBA
và
X
là giao đi m c a ể ủ
CE
và
BF
.
Ta có
ﾥ
ﾥ
0 0
180 180 .
2 2
QIP BIC
β β β
= = − − = −
1,0
đi mể
M t khác ặ
ﾥ
ﾥ
ﾥ
ﾥ
ﾥ
2 2
PDQ MDA ADN MBA ACN
β β β
= + = + = + =
(do
, , , , ,A M C D B N
cùng n m trên đng tròn ằ ườ
( )T
).
1,0
đi mể
T đó suy ra ừ
, , ,D Q I P
cùng n m trên m t đng tròn ằ ộ ườ
( )Ω
.0,5
đi mể
Câu 3b
(2,5
đi m)ể
Ta có
ﾥ
ﾥ
0
180BIF BIC
β
= = −
mà
ﾥ
ﾥ
ﾥ
FDB ADB ACB
β
= = =
, t đó suy ừ
ra
, , ,B I F D
cùng n m trên m t đng tròn. ằ ộ ườ 0,5
đi mể
Ta có
,,,I E C D
cùng thu c m t đng tròn. ộ ộ ườ
Th t v y, ậ ậ
ﾥ
ﾥ
BCD BMD
=
( do cùng ch n m t cung c a đng trònắ ộ ủ ườ
( )T
) và
ﾥ
ﾥ
ﾥ
ﾥ
.
2
ICB MBA MDA MDE
β
= = = =
Xét tam giác
DEM
, ta có
ﾥ
ﾥ
ﾥ
ﾥ
ﾥ
ﾥ
IED MDE EMD ICB BCD ICD
= + = + =
. T đó suy ra ừ
,,,I E C D
cùng thu c m t đng tròn.ộ ộ ườ
0,5
đi mể
T đó suy ra ừ
ﾥ
ﾥ
ECI EDI
=
(do
, , ,I E C D
cùng thu c m t đng tròn)ộ ộ ườ
và
ﾥ
ﾥ
FDI FBI
=
(do
, , ,F D B I
cùng thu c m t đng tròn). ộ ộ ườ
Do v y ậ
ﾥ
ﾥ
XCI XBI
=
, suy ra
, , ,I X C B
cùng thu c m t đng tròn.ộ ộ ườ
0,5
đi mể
Đ hoàn t t ch ng minh ta c n ph i ch ra đc ể ấ ứ ầ ả ỉ ượ
ﾥ ﾥ
IXD IPD
=
.
Do t giác ứ
IXCB
n i ti p, ta suy ra ộ ế
ﾥ ﾥ ﾥ
0
180 2
EXI IXC CBI
β
= − = =
.
Ta cũng có
ﾥ
ﾥ
0
180BXC BIC
β
= = −
, mà
ﾥ
CDF
β
=
.
T đó suy ra t giác ừ ứ
DFXC
n i ti p và ộ ế
ﾥ ﾥ
DFC DXC
=
.
0,5
đi mể
Ta l i cóạ
ﾥ
ﾥ
ﾥ ﾥ
ﾥ
ﾥ
ﾥ
0 0
0
180 180 2
180
IPD PDF DFC DXC
EXI DXC IXD
β
= − − = − −
= − − =
.
Nh v y ch ng minh hoàn t t.ư ậ ứ ấ
0,5
đi mể
Câu 4
(5,0
đi m)ể
+ Ta ch ng minh ứ
A
ch a các s ứ ố
1,2,3,4,5,6.
Ta có
1A
.
0,5
đi mể
N u ế
2A
thì theo a) ta suy ra t t c các ph n t c a ấ ả ầ ử ủ
A
đu là s ề ố
l . Vì ẻ
A
có ít nh t ấ
3
ph n t , ta ch n ầ ử ọ
,a b A
v i ớ
1 .a b< <
Theo
b) thì
1 ,ab A
+
nh ng ư
1ab
+
là s ch n. Đi u này mâu thu n. Do ố ẵ ề ẫ
đó
2 .A
1,0
đi mể
Vì
3A
nên t n t i ồ ạ
2a
>
và
a A
. Áp d ng b) ta suy raụ
1 2 1 2(1 2 ) 3 4 1 (1 2 )(3 4 ) ,a A a a A b a a A+ + + = + = + + +�� �� �
nh ngư
1,0
đi mể