Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 6 năm 2017-2018 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Trực Ninh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HUYỆN TRỰC NINH<br /> <br /> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI<br /> NĂM HỌC 2017 -2018<br /> MÔN TOÁN LỚP 6<br /> Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> (Đề thi gồm 01 trang)<br /> <br /> -------------------------------<br /> <br /> Bài 1 (5,0 điểm). Tính hợp lí<br /> a) A  20182  2017.2018<br /> b) B  (1).(1)2 .(1)3 .(1)4 .....(1)99 .(1)100<br /> 1 2 3<br /> 88<br /> 88     ... <br /> 6 7 8<br /> 93<br /> c) C <br /> 1 1 1<br /> 1<br />     ... <br /> 12 14 16<br /> 186<br /> <br /> Bài 2 (5,0 điểm)<br /> a) Tìm x, y  Z biết (2 y  1)(x  4)  10<br /> b) Cho x, y  N thỏa mãn (3x  5 y)( x  4 y) 7 . Chứng tỏ rằng (3x  5 y)( x  4 y) 49<br /> c) Tìm số tự nhiên n trong khoảng từ 290 đến 360 để phân số<br /> <br /> 5n  2<br /> (n  N ) rút gọn được?<br /> 2n  7<br /> <br /> Bài 3 (4,0 điểm)<br /> a) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n  1, 2n  1 , 5n  1 đều là số chính phương?<br /> b) Cho A  2017  20172  20173  ...  20172018<br /> Chứng tỏ rằng A 2018 . Tìm chữ số tận cùng của A?<br /> Bài 4 (4,0 điểm)<br /> a) Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho<br /> BC  5cm . Tính độ dài đoạn thẳng AC?<br /> b) Cho xOy  1600 . Vẽ tia phân giác Ox1 của xOy . Tính số đo góc xOx1 ?<br /> Giả sử Ox 2 là tia phân giác của xOx1 , Ox 3 là tia phân giác của xOx2 ,..., Ox 42 là tia phân<br /> giác của xOx41 . Tính số đo góc xOx42 ?<br /> Bài 5 (2,0 điểm)<br /> a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có n3  n 6<br /> b) Viết số 43211234 dưới dạng tổng của một số số nguyên dương. Gọi T là tổng các lập<br /> phương của tất cả các số đó. Tìm số dư của T trong phép chia cho 6?<br /> <br /> -------------------HẾT-------------------Họ và tên thí sinh:……………..……............…… Họ, tên chữ ký GT1:……………………..<br /> Số báo danh:……………….……..............……… Họ, tên chữ ký GT2:……………………..<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6<br /> Bài1(5,0đ)<br /> a (1,5 đ)<br /> b (1,5 đ)<br /> <br /> A  2018.(2018  2017)  2018.1  2018<br /> B  (1).1.(1).1.....(1).1 (Có 50 thừa số -1)<br /> <br /> 1,5đ<br /> 1,0đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> B 1<br /> <br /> c (2,0đ)<br /> <br /> Bài 2(5đ)<br /> a (1,5đ)<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 3<br /> 88<br /> (1  )  (1  )  (1  )  ...  (1  )<br /> 6<br /> 7<br /> 8<br /> 93<br /> C<br /> 1 1 1<br /> 1<br />     .... <br /> 12 14 16<br /> 186<br /> 5 5 5<br /> 5<br />    ... <br /> 6 7 8<br /> 93<br /> C<br /> 1 1 1<br /> 1<br />     ... <br /> 12 14 16<br /> 186<br /> 1 1 1<br /> 1<br /> 5.(    ...  )<br /> 6 7 8<br /> 93<br /> C<br /> 1 1 1 1<br /> 1<br />  .(    ...  )<br /> 2 6 7 8<br /> 93<br /> C  10<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 2 xy  x  8 y  14<br /> x(2 y  1)  8 y  4  14  4<br /> x(2 y  1)  4(2 y  1)  10<br /> (2 y  1)( x  4)  10<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Vì x, y  Z nên 2 y  1 Z , x  4  Z , suy ra 2 y  1, x  4 là ước nguyên của<br /> 10 và 2 y  1 lẻ<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Lập bảng<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 2y+1<br /> <br /> 1<br /> <br /> -1<br /> <br /> 5<br /> <br /> -5<br /> <br /> x-4<br /> <br /> 10<br /> <br /> -10<br /> <br /> 2<br /> <br /> -2<br /> <br /> x<br /> <br /> 14<br /> <br /> -6<br /> <br /> 6<br /> <br /> 2<br /> <br /> y<br /> <br /> 0<br /> <br /> -1<br /> <br /> 2<br /> <br /> -3<br /> <br />  x  14  x  6  x  6  x  2<br /> ;<br /> ;<br /> ;<br />  y  0  y  1  y  2  y  3<br /> <br /> Vậy <br /> b (1,5đ)<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Phải chứng minh 3x  5 y 7  x  4 y 7<br /> Đặt A  3x  5 y, B  x  4 y . Xét tổng A  4B  7 x  21y 7<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Nếu A 7  4B 7 , mà (4,7)  1  B 7<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Nếu B 7  4B 7  A 7 . Chứng tỏ 3x  5 y 7  x  4 y 7<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> 3 x  5 y 7<br /> Vì (3x  5 y)( x  4 y) 7  <br /> x  4y 7<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> c (2,0đ)<br /> <br /> Nếu (3x  5 y) 7  ( x  4 y) 7  (3x  5 y)( x  4 y) 49<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Nếu ( x  4 y) 7  (3x  5 y) 7  (3x  5 y)( x  4 y) 49<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Gọi d là ước nguyên tố chung của 5n  2 và 2n  7<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> 5n  2 d<br /> 2(5n  2) d<br /> <br />  (10n  35)  (10n  4) d  31 d .<br />  2n  7 d<br /> 5(2n  7) d<br /> <br /> Ta có: <br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> Vì d nguyên tố nên d = 31<br /> 5n  2 31 5n  2  62 31 5n  60 31 5( n  12) 31<br /> <br /> <br /> <br /> 2n  7 31 2n  7  31 31 2n  24 31 2(n  12) 31<br /> <br /> Khi đó <br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Mà (5,31)  1;(2,31)  1 suy ra n  12 31  n  31k  12(k  N )<br /> Do 290  n  360  290  31k  12  360  9  k  11, mà k là số tự nhiên<br /> nên k 9;10;11<br /> <br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> Từ đó tìm được n 291;322;353<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Bài3(4,0đ)<br /> a (1,5đ)<br /> Do n  1 là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.<br /> <br /> Nếu n  1 3 thì n chia cho 3 dư 2  2n  1 chia cho 3 dư 2, vô lí.<br /> <br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> Do đó n  1 chia cho 3 sẽ dư 1  n 3<br /> <br /> b (2,5đ)<br /> <br /> Do 2n  1 là số chính phương lẻ nên 2n  1 chia cho 8 dư 1, suy ra 2n 8 , từ đó<br /> n 4.<br /> Do đó n  1 là số chính phương lẻ nên n  1 chia cho 8 dư 1, suy ra n 8<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Ta thấy n 3 , n 8 mà (3,8)  1 nên n 24 , mà n là số nguyên dương<br /> Với n  24 thì n  1  25  52 ; 2n  1  49  72 ; 5n  1  121  112<br /> <br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> Vậy n  24 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài.<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Ta có A  2017  20172  20173  ...  20172018 (tổng A có 2018 số hạng,<br /> 2018 2 )<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> A  (2017  20172 )  (20173  20174 )  ...  (20172017  20172018 )<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> A  2017(1  2017)  20173 (1  2017)  ...  2017 2017 (1  2017)<br /> A  2018(2017  20173  ...  2017 2017 ) 2018<br /> A  2017  2017 2  (20173  2017 4  20175  20176 )  ... <br /> <br /> 1,0đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> (20172015  2017 2016  2017 2017  2017 2018 )<br /> <br /> 0,75đ<br /> <br /> A  (...6)  20173 (...0)  ...  20172015 (...0)  (...6)<br /> Bài4(4,0đ)<br /> a (2,0đ)<br /> Trường hợp điểm C thuộc tia đối của tia BA<br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> 0,25đ<br /> C<br /> <br /> Điểm C thuộc tia đối của tia BA nên hai tia BA và BC đối nhau, suy ra<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> điểm B nằm giữa hai điểm A và C.<br /> Ta có: AB  BC  AC<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Thay số tính được AC  7cm<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Trường hợp điểm C thuộc tia BA<br /> C<br /> <br /> 0,25đ<br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> Trên tia BA, BA  BC (2cm  5cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C.<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Ta có: AB  AC  BC<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Thay số tính được AC  3cm<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> b (2,0đ)<br /> <br /> Tia Ox1 là tia phân giác của xOy nên xOx1 <br /> <br /> xOy 1600<br /> <br />  800<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> Tia Ox 2 là tia phân giác của xOx1 nên xOx2 <br /> <br /> xOx1 1600<br />  2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Tia Ox 3 là tia phân giác của xOx2 nên xOx3 <br /> <br /> xOx2 1600<br />  3<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Tương tự như trên, tia Ox 42 là tia phân giác của xOx41 nên<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> xOx41 1600<br /> xOx42 <br />  42<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Bài5(2,0đ)<br /> a (0,75đ)<br /> <br /> b (1,25đ)<br /> <br /> Ta có n3  n  n(n2  1)  n(n2  n  n 1)  n  n(n 1)  (n 1)  n(n 1)(n  1)<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Với mọi số nguyên dương n thì (n  1)n(n  1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp<br /> sẽ chia hết cho 2 và 3 mà (2,3)  1 nên n(n  1)(n  1) 6<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Ta có<br /> <br /> 43211234  a1  a2  a3  ...  an<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> T  a13  a23  a33  ...  an3<br /> <br /> Xét hiệu T  43211234  (a13  a23  a33  ...  an3 )  (a1  a2  a3  ...  an )<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> T  43211234  (a13  a1 )  (a23  a2 )  (a33  a3 )  ...  (an3  an )<br /> <br /> Theo câu a ta có a13  a1 6 , a23  a2 6 , a33  a3 6 , … , an3  an 6 nên<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> T  43211234 6<br /> <br /> Suy ra T và 43211234 cùng dư khi chia cho 6<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Mặt khác 4321 chia 6 dư 1 nên 43211234 chia cho 6 cũng dư 1. Vậy T chia<br /> 6 dư 1.<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br />