S GIÁO D C - ĐÀO T OỞ Ụ Ạ Đ THI CH N H C SINH GI I B C PTTHỀ Ọ Ọ Ỏ Ậ
TH A THIÊN HU Ừ Ế NĂM H C 1999-2000.Ọ
----------------------- -------------------------------------------------
Đ CHÍNH TH C Ề Ứ MÔN: TOÁN B NG B VÒNG 2. Ả
SBD: (180 phút, không k th i gian giao đ )ể ờ ề
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: (2.5 đi m) V i n là s nguyên d ng. Gi i ph ng trình:ể ớ ố ươ ả ươ
n
1 1 1
... 0
sin 2x sin 4x sin 2 x
+ + + =
Bài 2: (2.5 đi m) A, B, C là ba góc c a m t tam giác. Ch ng minh:ể ủ ộ ứ
sin A sin B sin C
1 2
sin B sin C sin C sin A sin A sin B
< + + <
+ + +
Bài 3: (2.5 đi m) Cho hàm s ể ố
f : Z Z
+ +
→
th a mãn đ ng th i các đi u ki n:ỏ ồ ờ ề ệ
(1) f(n + 1) > f(n) , ∀n∈Z+.
(2) f[f(n)] > n + 2000 , ∀n∈Z+
a/Ch ng minh: f(n + 1) = f(n) , ứ∀n∈Z+.
b/Tìm bi u th c f(n).ể ứ
Bài 4: ( 2.5 đi m) Cho parabol (P): yể2 = 2x và đ ng tròn (C): xườ 2 + y2 – 8x + 12 = 0.
Ch ng minh r ng có vô s tam giác v i ba đ nh trên (P) mà các c nh ti p xúc v i (C).ứ ằ ố ớ ỉ ạ ế ớ
S GIÁO D C - ĐÀO T OỞ Ụ Ạ KỲ THI CH N H C SINH GI I B C PTTHỌ Ọ Ỏ Ậ
TH A THIÊN HU Ừ Ế NĂM H C 1999-2000.Ọ
-----------------------
H NG D N CH M Đ THI MÔN TOÁNƯỚ Ẫ Ấ Ề
B NG A – VÒNG 1.Ả
Bài 1: (2.5 đi m)ể
+(0.50 đ) Đi u ki n: sin2ề ệ mx ≠ 0 ⇔ 2mx ≠ kπ, k∈Z
m
k
x ,k Z (m = 1,n)
2
π
⇔ ≠ ∈
.
+(0.50 đ)
cos x cos 2x sin x 1
cot gx cot g2x sin x sin 2x sin x.sin 2x sin 2x
− = − = =
+(0.25 đ) Do đó ta có công th c t ng quát: ứ ổ
m 1 m
m
1
cot g2 x cot g2 x sin 2 x
−
− =
.
+(0.75 đ) Ph ng trình đã cho tr thành:ươ ở
(cotgx – cotg2x) + (cotg2x – cotg4x) +...+ (cotg2n-1x – cotg2nx) = 0
⇔ cotgx – cotg2nx = 0 ⇔ cotg2nx = cotgx ⇔
n
h
x ,h Z.
2 1
π
= ∈
−
+(0.50 đ) So l i đi u ki n ta có nghi m: ạ ề ệ ệ
v i h ớ≠ p(2n – 1), ∀p ∈Z.
Bài 2: (2.5 đi m)ể
+(0.50 đ) Áp d ng đ nh lý hàm s sin, b t ph ng trình c n ch ng minh tr thành:ụ ị ố ấ ươ ầ ứ ở
a b c
1 2 (1)
b c c a a b
< + + <
+ + +
, v i a, b, c là ba c nh c a m t tam giác.ớ ạ ủ ộ
+(0.50 đ) V i 0 < x < y và z > 0, ta có b t đ ng th c: ớ ấ ẳ ứ
x x x z (2)
y z y y z
+
< <
+ +
.
+(0.50 đ) Ch ng minh b t đ ng th c (2).ứ ấ ẳ ứ
+(1.00 đ) Vì a, b, c là ba c nh c a m t tam giác nên: 0 < a < b + c; 0 < b < a + c; 0 < c < a + b nênạ ủ ộ
ta áp d ng đ c đ c b t đ ng th c (2) và ta có:ụ ượ ượ ấ ẳ ứ
a 2a
a b c a b c
<
+ + + +
;
b 2b
a b c a b c
<
+ + + +
;
c 2c
a b c a b c
<
+ + + +
.
C ng v theo v các b t đ ng th c trên ta đ c (1), nên b t đ ng th c đ cho đ cộ ế ế ấ ẳ ứ ượ ấ ẳ ứ ề ượ
ch ng minh.ứ
Bài 3: (2.5 đi m)ể
Câu a (1.5 đ)
+(0.5 đ) Vì f(n)∈ Z+ nên t gi thi t (1) ta đ c: f(n+1) ừ ả ế ượ ≥ f(n) +1 , ∀n ∈ Z+.
+(1.0 đ) K t h p gi thi t (2) ta đ c ế ợ ả ế ượ ∀n ∈ Z+:
n + 2001 = (n+1)+2000 = f[f(n+1)] ≥ f[f(n)] + 1 = n + 2001
do đó: f(n+1) = f(n) + 1, ∀n ∈ Z+.
Câu b (1.0 đ)
+(0.75 đ) f(n) = f(1) + n – 1, ∀n ∈ Z+ ⇒ f{f(1)} = f(1) + f(1) – 1
Suy ra: 1 + 2000 = 2f(1) – 1 ⇒ f(1) = 1001 ⇒ f(n) = n + 1000, ∀n ∈ Z+.
+(0.25 đ) Th l i th a các đi u ki n, nên f(n) = n + 1000, ử ạ ỏ ề ệ ∀n ∈ Z+.
Bài 4: (2.5 đi m).ể
+(0.25 đ) Đ ng tròn (C) có tâm I(4,0), bán kính R = 2.ườ
+(0.50 đ) L y A(xấ1 ; y1), B(x2 ; y2) tùy ý ( y1≠ y2) thu c (P), ph ng trình đ ng th ng AB là: ộ ươ ườ ẳ
AB: (y - y1)(x2 - x1) = (y2 - y1)(x - x1)
Do A, B ∈ (P) nên
2
1 1
y 2x=
,
2
2 2
y 2x=
do đó: AB: 2x – (y1 + y2)y + y1.y2 = 0.
+(0.50 đ) Tìm đi u ki n ti p xúc:ề ệ ế
AB ti p xúc (C) ế⇔
2 2
1 2
1 2 1 2
2
1 2
| 8 y y | 2 (8 y y ) 4 4 (y y ) (1)
4 (y y )
+
= ⇔ + = + +
+ +
.
+(0.25 đ) T ng t , n u C(xượ ự ế 3 ; y3) thu c (P) và yộ1 ≠ y3 , ta có:
AC ti p xúc (C)ế
2 2
1 3 1 3
(8 y y ) 4 4 (y y ) (2)
⇔ + = + +
.
+(0.5 đ) Do đó n u AB và AC ti p xúc (C) ta đ c (1) và (2). Đi u này ch ng t yế ế ượ ề ứ ỏ 1 và y3 là hai
nghi m c a ph ng trình n y:ệ ủ ươ ẩ
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
(8 y y) 4 4 (y y) hay (y 4)y 8y y 48 4y 0 (3)
+ = + + − + + − =
+(0.25 đ) V i yớ1 ≠ ± 2, (3) là ph ng trình b c hai có ươ ậ ∆’ > 0 nên (3) luôn có hai nghi m yệ2 và y3:
1
2 3 2
1
8y
y y 4 y
+ = −
và
2
1
2 3 2
1
48 4y
y .y y 4
−
=−
+(0.25 đ) Do đó, th vào ta đ c: ế ượ
2 2
2 3 2 3
(8 y y ) 4 4 (y y )
+ = + +
. V y theo đi u ki n ti p xúc taậ ề ệ ế
đ c BC ti p xúc (C). Và t các k t qu trên ch ng t r ng có vô s tam giác th a đượ ế ừ ế ả ứ ỏ ằ ố ỏ ề
bài.