intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2017-2018 – Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Bình

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST
Báo xấu
12
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các em học sinh cùng tham khảo Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2017-2018 – Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Bình để phục vụ cho học tập luyện thi. Đây còn là tư liệu phục vụ cho giáo viên để hỗ trợ công tác đánh giá năng lực học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2017-2018 – Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Bình

  1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 THÁI BÌNH ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------ Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,0 điểm) 2x −1 1) Cho hàm số: y = có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng x +1 khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. 2) Cho hàm số: y = 2 x3 − ( m + 6 ) x 2 − ( m 2 − 3m ) x + 3m 2 có đồ thị là ( Cm ) ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn: ( x1 − 1) + ( x2 − 1) + ( x3 − 1) = 2 2 2 6. Câu 2. (4,0 điểm) 1) Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O ( n ∈ N * ,n ≥ 2 ). Gọi S là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập S, 1 biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập S là . Tìm n. 13 2) Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc [ 0;100π ] của phương trình: 3 − cos2 x + sin2 x − 5sinx − cosx =0 2cos x + 3  x2  Câu 3. (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để= hàm số y log 2018  2017 x − x − − m  xác định  2  với mọi x thuộc [ 0;+∞ ) . Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a,  ABC = 600 , = SB SA = SC , SD = 2a . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại K. 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). 2) Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích V1 ;V2 trong đó V1 là V thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính 1 . V2 3) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của K trên SC và SA. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN. Câu 5. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:  x3 − y 3 − 3 ( 2 x 2 − y 2 + 2 y ) + 15 x − 10 =0   x 2 + y − 5 + 3 y − 3 x 2 − 6 y + 13 = 0 Câu 6. (2,0 điểm) Cho a,b,c,d là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (1 + a 2 + b 2 + a 2b 2 )(1 + c 2 + d 2 + c 2 d 2 )  HẾT  Họ và tên thí sinh:............................................................... SBD:...................
  2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 THÁI BÌNH ---------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------ HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN (Gồm 05 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1. 2x −1 Cho hàm số: y = có đồ thị là (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho (4 điểm) x +1 1. tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. (2 điểm) Ta có:= lim y 2 nên y=2 là đường tiệm cận ngang lim y 2;= 0,5 x →+∞ x →−∞ lim y = −∞; lim− y = +∞ nên x=-1 là đường tiệm cận đứng x →−1+ x →−1  2x −1  Giả sử điểm M  x0 ; 0  ∈ ( C ) ; x0 ≠ −1  x0 + 1  3 d( M ,TCD= ) x0 + 1 ; d( M ,TCN ) = 0,5 x0 + 1 3 Suy ra: d( M ,TCD ) + d( M ,TCN ) = x0 + 1 + ≥2 3 0,5 x0 + 1  x= Dấu bằng xảy ra khi  0 3 − 1( tm ) .Các điểm M cần tìm: M =  ( 3 − 1; 2 − 3 ) − 3 − 1( tm )  x0 =  (  M =− 3 − 1; 2 + 3 ) 0,5 2. Cho hàm số: y = 2 x3 − ( m + 6 ) x 2 − ( m 2 − 3m ) x + 3m 2 có đồ thị là ( Cm ) ( m là tham (2 điểm) số). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn: ( x1 − 1) + ( x2 − 1) + ( x3 − 1) = 2 2 2 6. Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 x3 − ( m + 6 ) x 2 − ( m 2 − 3m ) x + 3m 2 = 0 (1) 0,5 ⇔ ( x − 3) ( 2 x − mx − m 2 2 )= 0  x = 3  ⇔ x = m  −m x =  2 Để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 3 m ≠ 3  nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 m ≠ −6 0,5   m = 0 ( loai ) Khi đó: ( x1 − 1) + ( x2 − 1) + ( x3 − 1) =6 ⇔  2 2 2 1,0  m = 4 ( tm )  5 4 Vậy m = 5 1
  3. CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 2. Cho (H) là đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O ( n ∈ N ,n ≥ 2 ). Gọi S là tập * (4 điểm) hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác (H). Chọn ngẫu nhiên một tam giác 1. 1 (2 điểm) thuộc tập S, biết rằng xác suất chọn được một tam giác vuông trong tập S là . Tìm n. 13 Số phần tử của tập hợp S là: C2n 3 0,5 Số phần tử không gian mẫu: n ( Ω ) = C2n 3 Gọi A là biến cố: “ Chọn được tam giác vuông” Đa giác đều 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm O. Mỗi tam giác vuông được tạo bởi hai đỉnh nằm trên cùng một đường chéo qua tâm O và một đỉnh trong 2n-2 đỉnh còn lại . 1,0 ⇒ Số tam giác vuông được tạo thành: Cn1 .C21n − 2 Cn1 .C21n − 2 1 Theo bài ra ta có: P ( A ) = = ⇔ n = 20 0,5 C23n 13 2. Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc [ 0;100π ] của phương trình: (2 điểm) 3 − cos2x+sin2x-5sinx-cosx =0 2cosx+ 3 − 3 0,25 Điều kiện: cosx ≠ 2 3-cos2x+sin2x-5sinx-cosx=0 ⇔ 2sin 2 x-5sinx+2+2sinx.cosx-cosx = 0  2sin x − 1 =0 ⇔ ( 2sin x − 1)( s inx+cosx-2 ) = 0⇔ s inx+cosx-2=0 0,5 sin x + cos x − 2 = 0 (phương trình vô nghiệm) 0,25  π  x = 6 + k 2π 2sin x − 1 = 0 ⇔  (k ∈ Z )  x = 5π + k 2π  6 0,5 π Đối chiếu điều kiện nghiệm phương trình là: x = + k 2π, k ∈ Z 6 π x ∈ [ 0;100π] ⇒ 0 ≤ + k 2π ≤ 100π ⇒ 0 ≤ k ≤ 49, k ∈ Z 0,5 6 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: π π  π  π  π π  50 7375 +  + 2π  +  + 4π  + ... +  + 98π  =  + + 98π  . = π 6 6  6  6  6 6  2 3 Câu 3. Hàm số xác định với mọi x thuộc [0;+∞) khi và chỉ khi (2 điểm) x2 x2 2017 x − x − − m > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇔ 2017 x − x − > m, ∀x ∈ [ 0; +∞ )(*) 0,5 2 2 x2 Xét hàm số: f = ( x) 2017 x − x − trên [ 0; +∞ ) . Hàm số liên tục trên [ 0; +∞ ) 2 =f '( x) 2017 x.ln 2017 − 1 − x và liên tục trên [0;+∞) =f ''( x) 2017 x. ( ln 2017 ) − 1 > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) 2 ⇒ f ' ( x ) đồng biến trên [ 0; +∞ ) ⇒ f ' ( x ) ≥ f= ' ( 0 ) ln 2017 − 1 > 0, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇒ f ( x) là hàm số đồng biến trên [ 0; +∞ ) ⇒ min f ( x ) = 1 1,0 [0;+∞ ) Bất phương trình (*) ⇔ f ( x ) > m, ∀x ∈ [ 0; +∞ ) ⇔ min f ( x ) > m ⇔ m < 1 0.5 [0;+∞ ) 2
  4. CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a,  ABC = 600 , (6,0 điểm) SA = SB= SC; SD = 2a . Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại K. 1) Tính khoảng cách từ A đến (SCD) 2) Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần có thể tích V1 ;V2 trong V đó V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính 1 V2 3) Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của K trên SC và SA. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN. S N M E A D K O H B C 1. Tính khoảng cách từ A đến (SCD) (2 điểm) 2 6a Gọi H là trọng tâm ∆ ABC . Chứng minh SH ⊥ ( ABCD ) và tính được SH = 1,0 3 3 0,25 Lập luận được d( A,( SCD )) = d( H ,( SCD )) 2 2 6a 0,5 Tính được d( H ,( SCD )) = 9 a 6 0,25 Suy ra d( A,( SCD )) = 3 2. Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần có thể tích V1 ;V2 trong đó V1 là (2 điểm) V thể tích khối đa diện chứa đỉnh S. Tính 1 V2 Trong mặt phẳng (SAB), dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với SB tại K. Chứng minh ( AKC ) ⊥ SB . Suy ra (P) là mặt phẳng (AKC) a 3 SK 5 Tính được SB = 3a; BK = ⇒ = 6 SB 6 1,0 V SK 5 5 5 1 ⇒ SAKC = = ⇒ VSAKC = VSABC = VSABCD ⇒ V2 = VSABCD 1,0 VSABC SB 6 6 12 12 11 V1 = ⇒ V1 VSABCD ⇒ = 11 12 V2 3
  5. CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 3. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của K trên SC và SA. Tính diện tích (2 điểm) mặt cầu ngoại tiếp khối chóp K.ACMN. Trong mặt phẳng (AKC) dựng d1 là đường trung trực của đoạn AK; d 2 là đường trung trực của đoạn KC, d1 cắt d 2 tại điểm I. Chứng minh được I cách đều 5 đỉnh của hình chóp K.ACMN Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K.ACMN. Do đó bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC S N M d1 K A I d2 C 1,0 a 33 Tính được KA = KC = 6 a2 6 Diện tích tam giác KAC: S KAC = 6 1,0 KA.KC. AC 11 6a Bán kính mặt= cầu là : R = 4 S KAC 48 121πa 2 Diện tích mặt cầu: S mc =4πR 2 = 96 Câu 5.  x − y − 3 ( 2 x 2 − y 2 + 2 y ) + 15 x − 10 = 3 3 0 (1) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:   x 2 + y − 5 + 3 y − 3 x 2 − 6 y + 13 = 0 ( 2)  x2 + y − 5 ≥ 0  Điều kiện:  y ≥ 0 3 x 2 − 6 y + 13 ≥ 0  Biến đổi phương trình (1) ⇔ ( x − 2 ) + 3 ( x − 2 ) = ( y − 1) + 3 ( y − 1) 3 3 Phương trình có dạng: f ( x − 2 )= f ( y − 1) với f ( t ) =t 3 + 3t , t ∈ R f ' ( t ) = 3t 2 + 3 > 0, t ∈ R nên hàm số f ( t ) đồng biến trên R Do đó: f ( x − 2 ) = f ( y − 1) ⇔ x − 2 = y − 1 ⇔ y = x − 1 0,5 Thay vào phương trình (2) ta được: x 2 + x − 6 + 3 x − 1 − 3 x 2 − 6 x + 19 =0 ( 3) 0,25 Điều kiện: x ≥ 2 4
  6. CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Khi đó phương trình ( 3) ⇔ x 2 + x − 6 + 3 x −= 1 3 x 2 − 6 x + 19 0,25 ⇔ 3 x − 1 x 2 + x − 6 = x 2 − 8 x + 17 ⇔ 3 x − 2 x 2 + 2 x − 3 = ( x 2 + 2 x − 3) − 10 ( x − 2 )  x−2  x−2 ⇔ 10  2 +3 2 − 1 =0  x + 2x − 3  x + 2x − 3 0,5  x−2 1  2 = x + 2x − 3 5 ⇔  x−2 −1  2 = ( vn )  x + 2x − 3 2  23 + 341 x−2 1  x= ( tm ) = ⇔ x − 23 x + 47 =0 ⇔ 2  2 x2 + 2x − 3 5  23 − 341 x = ( tm )  2  23 + 341  23 − 341 x = x =  2  2 Suy ra nghiệm của hệ phương trình là:  hoặc  0,5  y = 21 + 341  y = 21 − 341  2  2 Câu 6. Cho a,b,c,d là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của (2,0 điểm) biểu thức: P= (1 + a 2 + b 2 + a 2b 2 )(1 + c 2 + d 2 + c 2 d 2 ) (1 + a 2 )(1 + b2 )(1 + c 2 )(1 + d 2 ) P= ⇒ ln P = ln (1 + a 2 ) + ln (1 + b 2 ) + ln (1 + c 2 ) + ln (1 + d 2 ) Chứng minh được bất đẳng thức: ln (1 + t 2 ) ≥ 8 2 17 t − + ln , ∀t ∈ [ 0;1] (*) 1,0 17 17 16 Áp dụng (*) ta có: ln (1 + a 2 ) + ln (1 + b 2 ) + ln (1 + c 2 ) + ln (1 + d 2 ) ≥ 8 8 17 ( a + b + c + d ) − + 4 ln 17 17 16 4 17  17  ⇔ ln P ≥ 4 ln ⇔ P ≥   16  16  1 Dấu bằng xảy ra khi a= b= c= d= 4 4  17  Vậy min P =   1,0  16  Lưu ý: - Trên đây là hướng dẫn chấm bao gồm các bước giải cơ bản, học sinh phải trình bày đầy đủ, hợp logic mới cho điểm. - Mọi cách giải khác đúng đều được điểm tối đa. - Điểm toàn bài không làm tròn. - Câu 4 nếu không có hình vẽ không chấm điểm. 5
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2