Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố có đáp án môn: Toán 9 (Năm học 2015-2016)

Chia sẻ: Cảnh Vũ Đức | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

69
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm đánh giá lại thực lực học tập của các em học sinh trước khi tham dự kì thi. Mời các em và giáo viên tham khảo "Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố có đáp án môn: Toán 9" năm học 2015-2016. Hy vọng đề thi giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố có đáp án môn: Toán 9 (Năm học 2015-2016)

MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ [*****] LỚP 9 Năm học 20152016 MÔN: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 05 câu, 01trang) Câu 1 (2 điểm): a) Cho x = 3 + 2 ; y = 3 − 2 . Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức A = x5 + y5 . x y 2 z b) Cho A = + + . Biết xyz=4, tính A xy + x + 2 yz + y + 1 zx + 2 z + 2 Câu 2(2 điểm): a) Giả sử phương trình: x2+ax+b = 0 có hai nghiệm x1, x2 và phương trình :x2+cx +d = 0 có hai nghiệm x3, x4. Chứng minh rằng: 2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(bd)2 (a2c2)(bd)+(a+c)2(b+d) mx − 2 y = 2 b) Cho hệ phương trình: (với m là tham số). Tìm m để hệ phương trình đã cho 2 x + my = 5 −2015m 2 + 14m − 8056 có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn hệ thức: x + y − 2014 = m2 + 4 Câu 3(2điểm): a) Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn P = a 2 + b2 là số nguyên tố. P − 5 chia hết cho 8. Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn ax 2 − by 2 chia hết cho P. Chứng minh rằng cả hai số x,y đều chia hết cho P. 3 1 �x − 1 � 1 �3 − 2 x x � b) Cho x > 1; y > 0 , chứng minh: + � �+ 3 3 � + � ( x − 1) � y � y 3 �x − 1 y � Câu 4(3 điểm): Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC = 4 AB. Tia Cx vuông góc với AC tại điểm C , gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx ( D không trùng với C ). Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K , E. a) Tính giá trị DC .CE theo a. b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất . c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một dây cung cố định. Câu 5(1 điểm): Trong một cuộc thi giải toán có 31 bạn tham gia. Mỗi bạn phải giải 5 bài. Cách cho điểm như sau: mỗi bài làm đúng được 2 điểm, mỗi bài làm sai hoặc không làm sẽ bị trừ 1 điểm, điểm thấp nhất của mỗi bạn là 0 điểm (không có điểm là số âm). Chứng tỏ rằng có ít nhất 7 bạn có số điểm bằng nhau. Hết 1
MÃ KÍ HIỆU ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ [*****] Lớp 9 Năm học 2015 2016 MÔN:Toán (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 Câu Đáp án Điểm a) (1 điểm) Tính được x + y = 6 và xy = 7 0,25 Tính được x2 + y2= 22 0,25 Và x + y = 90 3 3 0,25 Tính được x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1686 0,25 b) (1 điểm) Câu 1 2 đ ĐKXĐ x,y,z 0. Kết hợp xyz=4 � x, y, z > 0; xyz = 2 0,25 Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với x , thay 2 ở mẫu của hạng 0,25 tử thứ ba bởi xyz ta được. x xy 2 z A= + + =1 0,25 xy + x + 2 2 + xy + x z ( x + 2 + xy ) Suy ra A = 1 ( vì A>0). 0,25 Câu 2 a) ( 1 điểm) 2 đ VT = 2[x12+x1(x3+x4)+x3x4][ x22+x2(x3+x4)+x3x4] =2(x12 cx1+d) (x22 cx2+d)( theo Vi ét) 0,5 =2[x1 x1 c x1x2(x1+x2)+d(x1 + x2 )+c x1x2 cd(x1+x2)+d ] 2 2 2 2 2 2 =2[b2+abc+d(a22b)+c2b+acd+ d2] =2(bd)2+2a2d+2c2b+2abc+2abd VP = 2(bd)2 a2(bd)+c2((bd)+ a2(b+d)+c2(b+d)+2ac(b+d) 0,5 =2(bd) +2a d+2c b+2abc+2abd . 2 2 2 Vậy VT = VP (đpcm) 2
b) (1 điểm) Dùng phương pháp thế, ta có: mx − 2 mx − 2 y= mx − 2 y = 2 �y = � 2 �� 2 �� 2 x + my = 5 � mx − 2 2 x + my = 5 �2x + m =5 2 0,25 mx − 2 2m + 10 y = x= 2 � � m +4 �� 2 �� ,∀m �R 5m − 4 ( m + 4 ) x=2m+10 � 2 �y= 2 m +4 2m + 10 x= m2 + 4 Nên hệ luôn có nghiệm duy nhất: ,∀m R 5m − 4 y= 2 0,25 m +4 −2015m 2 + 14m − 8056 Thay vào hệ thức: x + y − 2014 = m2 + 4 −2014m 2 + 7m − 8050 −2015m 2 + 14m − 8056 Ta được: = m2 + 4 m2 + 4 � −2014m 2 + 7 m − 8050 = −2015m 2 + 14m − 8056 m =1 � m − 7 m + 6 = 0 � ( m − 1) ( m − 6 ) = 0 2 m =6 Kết luận: để hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn hệ 0,25 thức: −2015m 2 + 14m − 8056 m =1 x + y − 2014 = thì m2 + 4 m=6 0,25 Câu 3 a) ( 1 điểm) 2 đ Đặt P=8k+5 ( k là số tự nhiên) 0,25 ( ax ) 2 4k +2 − ( by 2 ) M( ax 2 − by 2 ) � a 4 k + 2 .x8 k + 4 − b 4 k + 2 . y 8 k + 4 MP 4k +2 Ta có � � � � 3
� ( a 4 k + 2 + b 4 k + 2 ) .x8 k + 4 − b 4 k + 2 ( x8k + 4 + y 8 k + 4 ) MP 0,25 Mà a 4 k + 2 + b 4 k + 2 = ( a 2 ) + ( b2 ) 2 k +1 2 k +1 Ma 2 + b 2 = P 0,25 và b 1; y > 0 � x − 1 > 0; y > 0 � > 0; > 0; 3 > 0 ( x − 1) 3 y y Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: 1 1 1 3 + 1+ �۳ 1 −3. 3 .1.1 2 (1) ( x − 1) 3 ( x − 1) 3 ( x − 1) 3 x −1 3 3 3 �x − 1 � �x − 1 � �x − 1 � 3( x − 1) � �+ 1+ �۳ 1 −3 3 � �.1.1 � � 2 (2) 0,25 �y � �y � �y � y 1 1 1 3 3 + 1+ �۳ 1 −3. 3 3 .1.1 2 (3) y y y3 y Từ (1); (2); (3): 0,25 3 1 �x − 1 � 1 3 3( x − 1) 3 + � �+ 3 −6+ + ( x − 1) � y � y 3 x −1 y y 0,25 3 1 �x − 1 � 1 3 − 6 x + 6 3 x 3 − 2x x � + � �+ 3 � + = 3( + ) ( x − 1) � y � y 3 x −1 y x −1 y 4
4 Hình vẽ 3 đ D K B A N M C E a) ( 1 điểm): Tính giá trị DC.CE theo a . ﾷ Ta có: EBC = ﾷADC (Cùng bù với góc KBC ﾷ ); ﾷACD = ECB ﾷ = 90o 0,25 � ∆ACD và ∆ECB đồng dạng với nhau(gg) 0,25 DC AC � = � DC.CE = AC.BC 0,25 BC EC a 3a 3a 2 0,25 Do AB = ; BC = DC.EC = AC.BC = 4 4 4 b) (1 điểm): Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất. 1 S∆BDE = BC.DE S ∆BDE nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất. 2 0,25 Ta có: DE = DC + EC 3a 2 2 DC .EC = 2 = a 3 ( Theo chứng 4 minh phần a) Dấu " = " � DC = EC = a 3. 2 0,5 2 S( BDE ) nhỏ nhất bằng 3a 3 khi D thuộc tia Cx sao cho 8 a 3. CD = 0,25 2 c) (1 điểm): Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một dây cung cố định. 5
Gọi giao điểm của đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC là M, N ( M nằm giữa A và B) M, N đối xứng qua DE. 0,25 Ta có: Hai tam giác ∆AKB và ∆ACD đồng dạng (gg) AK AB � = � AK . AD = AC. AB (1) AC AD Hai tam giác ∆AKM và ∆AND đồng dạng (gg) AK AM � = � AK . AD = AM . AN (2) AN AD 0,25 a2 T ừ (1) v à (2) suy ra AM . AN = AC. AB = 4 a2 � = ( AC − MC )( AC + NC ) = AC 2 − MC 2 (Do MC = NC) 4 3a 2 a 3 � MC 2 = � MC = NC = 4 2 0,25 M , N là hai điểm cố định. Vậy đường tròn đường kính DE luôn có dây cung MN cố định. 0,25 Số điểm của mỗi bạn có thể xếp theo 5 loại sau đây: Làm đúng 5 bài, được 10 điểm. Làm đúng 4 bài, được 7 điểm. Làm đúng 3 bài, được 4 điểm. 5 Làm đúng 2 bài, được 1 điểm. 0,5 1 đ Loại còn lại, đều bị 0 điểm Vì 31 chia 5 có thương là 6 và dư 1, nên theo Nguyên lý Điríchlê, có ít nhất 7 bạn có số điểm bằng nhau. 0,5 Hết NGƯỜI SOẠN ĐỀ TỔ CHUYÊN MÔN BAN GIÁM HIỆU 6