TRƯỜNG THCS
GIAO TÂN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019
MÔN TOÁN - LỚP 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
(4,0 điểm)
Cho biểu thức :
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
.....
3 3 3 3 3 3
C
Chứng minh rằng : C <
3
16
Bài 2. (5,0 điểm)
Câu 1: Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z - 38
Câu 2: Cho tỉ lệ thức
22
22
a + b ab
=
c + d cd
với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ - d
Chứng minh rằng :
ac
=
bd
hoặc
ad
=
bc
Bài 3. (3,0 điểm)
Câu 1 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có
n + 3 n + 2 n + 1 n
4 + 4 - 4 - 4
chia hết cho 300
Câu 2 : Cho
. Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ?
Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
22
H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24
Bài 5. (5,0 điểm).
Cho
Δ ABC
nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc
với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc
với AC và AE = AC.
1) Chứng minh rằng BE = CD .
2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H.Chứng minh
MA BC
3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ?
----- Hết -----
TRƯỜNG THCS
GIAO TÂN
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN - LỚP 7 NĂM HỌC 2018-2019
(4,0 điểm) Cho biểu thức :
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
.....
3 3 3 3 3 3
C
Chứng minh rằng : C <
3
16
Đáp án
Đ ểm
Biến đổi:
2 3 4 99 100 2 3 98 99
1 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100
3 3. ..... 1 .....
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
C


0,25
Ta có
2 3 98 99 2 3 4 99 100
2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100
3 1 ..... .....
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
CC
2 3 98 99 2 3 4 99 100
2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100
4 1 .... .....
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
C
0,25
2 2 3 3 99 99 100
2 1 3 2 4 3 100 99 100
4 1 ....
3 3 3 3 3 3 3 3 3
C
0,25
2 3 99 100
1 1 1 1 100
4 1 ....
3 3 3 3 3
C
0,25
Đặt
2 3 99
1 1 1 1
1 ....
3 3 3 3
D
Ta có:
2 3 99 2 98
1 1 1 1 1 1 1
3 3. 1 .... 3 1 ....
3 3 3 3 3 3 3
D


0,25
Khi đó:
2 98 2 3 99
1 1 1 1 1 1 1
3 3 1 .... 1 ....
3 3 3 3 3 3 3
DD
2 98 2 3 99
1 1 1 1 1 1 1
4 3 1 .... 1 ....
3 3 3 3 3 3 3
D
0,25
2 2 98 98 99
1 1 1 1 1 1 1
4 3 1 1 ...
3 3 3 3 3 3 3
D
0,25
99
1
43
3
D
0,25
Suy ra
99
11
D = . 3 -
43



0,25
99
31
D = -
4 4.3
0,25
Nên ta có
99 100
3 1 100
44 4.3 3
C


0,25
99 100
3 1 100
44 4.3 3
C
0,25
99 100
1 3 1 100
.
4 4 4.3 3
C


0,25
2 99 100
3 1 25
16 4 .3 3
C
0,25
2 99 100
3 1 25
- +
16 4 .3 3
C


0,25
Ta có
2 99 100
1 25
4 .3 3
> 0 nên
2 99 100
3 1 25
16 4 .3 3




<
3
16
. Vậy C <
3
16
0,25
Bài 2. (5,0 điểm)
Câu 1: (2,5 điểm)
Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z – 38
Đáp án
Đ ểm
Ta có : 2x + y = z – 38 nên 2x + y – z = – 38
0,25
+ Vì 3x = 4y = 5z – 3x – 4y nên 3x = 5z – 3x – 3x
0,25
3x = 5z – 6x
9x = 5z
xz
=
59
xz
=
20 36
(1)
0,25
+ Vì 3x = 4y
xy
=
43
xy
=
20 15
(2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra
x y z
=
20 15 36
0,25
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x y z 2x + y - z -38
= = = - 2
20 15 36 2.20 + 15 - 36 19

0,25
Do đó :
x = - 2 x = (-2) . 20 = - 40
20
0,25
y = - 2 y = (-2) . 15 = - 30
15
0,25
z = - 2 z = (-2) . 36 = - 72
36
0,25
Vậy x = -40 ; y = -30 ; z = - 72
0,25
Câu 2: (2,5 điểm)
Cho
cd
ab
dc
ba
22
22
với a, b, c, d
0; c
- d . Chứng minh rằng
d
c
b
a
hoặc
c
d
b
a
Đáp án
Đ ểm
Ta có:
22
22
a + b ab
=
c + d cd
nên
22
22
a + b 2ab
=
c + d 2cd
0,25
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a + b 2ab a + b + 2ab a + b - 2ab
= =
c + d 2cd c + d + 2cd c + d - 2cd
2 2 2 2
2 2 2 2
a + ab + b + ab a - ab + b - ab
=
c + cd + d + cd c - cd + d - cd
22
22
a + b a - b
=
c + d c - d
0,25
Suy ra
22
a + b a - b
c + d c - d
a + b a - b
c + d c - d
hoặc
a + b b - a
c + d c - d
0,25
+ Với
a + b a - b
c + d c - d
thì
a + b . c - d = a - b . c + d
0,25
ac - ad +bc – bd = ac + ad –bc - bd
0,25
ad = bc
ac
=
bd
0,25
+ Với
a + b b - a
c + d c - d
thì
a + b . c - d = b - a . c + d
0,25
ac - ad +bc – bd = bc + bd –ac - ad
0,25
ac = bd
ad
=
bc
0,25
Vậy nếu
22
22
a + b ab
=
c + d cd
với a, b, c, d
0; c
- d thì
ac
=
bd
hoặc
ad
=
bc
0,25
Bài 3. (3,0 điểm)
Câu 1: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có
n + 3 n + 2 n + 1 n
4 + 4 - 4 - 4
chia hết cho 300
Đáp án
Đ ểm
Với mọi n nguyên dương, ta có
n + 3 n + 2 n + 1 n
4 + 4 - 4 - 4
=
n 3 2
4 .(4 + 4 - 4 - 1)
0,25
nn
= 4 .(64 + 16 - 4 - 1) = 4 .75
0,25
n - 1 n - 1
= 4 . 4 . 75 = 300 . 4
0,25
Mà
n - 1
300 . 4
chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương )
0,25
Nên
n + 3 n + 2 n + 1 n
4 + 4 - 4 - 4
chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương )
Câu 2: (2,0 điểm) Cho
. Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ?
Đáp án
Đ ểm
Điều kiện : x
Z
; x ≠ 12
0,25
Biến đổi
27 - 2x
Q= 12 - x
2.(12 - x) + 3 3
= = 2 +
12 - x 12 - x
Ta có 2
Z
; x
Z
; x ≠ 12
nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi
3
12 x
có giá trị nguyên
0,25
Mà
3
12 x
có giá trị nguyên khi và chỉ khi
12 x
Ư(3)
0,25
Ư(3)
= -3; -1; 1; 3
+ Nếu 12 - x = - 3 thì x = 15 (thỏa mãn điều kiện)
0,25
+ Nếu 12 - x = -1 thì x = 13 (thỏa mãn điều kiện)
0,25
+ Nếu 12 - x = 1 thì x = 11 (thỏa mãn điều kiện)
0,25
+ Nếu 12 - x = 3 thì x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
0,25
Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi
x 9; 11; 13; 15
0,25
Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
22
H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24
.
Đáp án
Đ ểm
Ta có
22
H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24
2 2 2 2
= 3x - 2y - 4. 2y - 3x - xy - 24 3x - 2y - 4. 3x - 2y - xy - 24
0,25
2
= - 3. 3x - 2y - xy - 24
2
= - 3. 3x - 2y + xy - 24


Ta có
2
3. 3x - 2y 0
với mọi giá trị của x, y
0,25
xy - 24 0
với mọi giá trị của x, y
Do đó
2
3. 3x - 2y + xy - 24 0
với mọi giá trị của x, y
0,25
Nên
2
- 3. 3x - 2y + xy - 24 0


với mọi giá trị của x, y
0,25
Hay H ≤ 0 với mọi giá trị của x, y
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi
3x - 2y 0
0,25
và
xy - 24 0
(1)
+ Với
3x - 2y = 0
thì 3x = 2y
xy
=
23
0,25
Đặt
xy
= = k
23
. Khi đó x = 2k ; y = 3k
0,25
Thay x = 2k và y = 3k vào (1) ta được
2k . 3k - 24 = 0
0,25
6k2 = 24
k2 = 4
k = 2 hoặc k = -2
0,25
+ Với k = 2 thì x = 2.2 = 4
y = 3.2 = 6
0,25
+ Với k = - 2 thì x = 2.(-2) = - 4
y = 3.(-2) = - 6
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là 0 khi và chỉ khi x = 4; y = 6
hoặc x = - 4; y = - 6
0,25