TR NG THPT TRI U S N 2ƯỜ Ệ Ơ Đ THI GI A H C KÌ 2 NĂM H C 2013-2014Ề Ữ Ọ Ọ
Môn: TOÁN - L p 11ớ
Th i gian làm bài:ờ 90 phút.
I. PH N CHUNG Ầ(9,0 đi m)ể
Bài 1. (2.0 đi m)ể. Tìm các gi i h n c a dãy s sau ớ ạ ủ ố
a) A =
3
3 2
2n 3n 1
lim n 2n 1
+ +
+ +
b) B =
n
n
lim 2
Bài 2. (2.0 đi m) ểTìm các gi i h n c a hàm s sauớ ạ ủ ố
a) M =
2
x 3
x 4x 3
lim x 3
− +
−
b) N =
3
2
x 0
1 3
lim 1 x 1 x
x 2
� �
− − −
� �
� �
Bài 3. (2,0 đi m). ể Tìm s h ng đu và công sai c a m t c p s c ng, bi t các số ạ ầ ủ ộ ấ ố ộ ế ố
h ng ạc a nó th a mãn ủ ỏ
u u u 10
5
2 3
u u 17
1 6
− + =
+ =
.
Bài 4. (3,0 đi m). ể Cho t di n ABCD có AB, AC, AD đôi m t vuông góc v i nhau.ứ ệ ộ ớ
G i H là hình chi u c a A trên đng th ng CD.ọ ế ủ ườ ẳ
a) Ch ng minh AB ứ CD;
b) G i K là chân đng cao v t A c a tam giác ABH. Ch ng minh r ng ọ ườ ẽ ừ ủ ứ ằ
AK (BCD);
c) Gi s HC = 3HD, KB = 4KH. Hãy bi u di n vect ả ử ể ễ ơ
AK
uuur
theo các vectơ
AB, AC, AD
uuur uuur uuur
.
II. PH N RIÊNG Ầ(1,0 đi m). H c sinh đc ch n m t trong hai bàiể ọ ượ ọ ộ Bài 5A
ho cặ Bài 5B.
Bài 5A. (1,0 đi m). ểCho ba s a, b, c tho mãn h th c ố ả ệ ứ
2a 3b 6c 0+ + =
. Ch ngứ
minh r ng ph ng trình ằ ươ
2
ax bx c 0+ + =
có ít nh t m t nghi m thu c kho ng (0;ấ ộ ệ ộ ả
1).
Bài 5B. (1,0 đi m). ể Ch ng minh ph ng trình ứ ươ
3
8x 6x 1 0− − =
có 3 nghi m phân ệ
bi t. Tìm 3 nghi m đó.ệ ệ
H t ế
2
TR NG THPT TRI U S N 2ƯỜ Ệ Ơ ĐÁP ÁN Đ THI GI A H C KÌ 2 NĂM H C 2013-2014Ề Ữ Ọ Ọ
Môn: TOÁN - L p 11ớ
Th i gian làm bài:ờ 90 phút.
I. PH N CHUNG Ầ(9,0 đi m)ể
Bài 1. (2.0 đi m)ể.
a) (1.5 đi m)ể
2 3
3
3 1
2n n
lim 2 1
1n n
+ +
=+ +
. (1.0 đi m)ể V y A = 2. ậ(0.5 đi m)ể
b) (0.5 đi m) ểTa có
n 0 1 2 n 2
n n n n n
n n n
02 C C C ... C C
< = <
+ + + +
(0.25 đi m)ể
Mà
2
n
n n 2n
lim lim lim 0
n!
C n(n 1)
2!.(n 2)!
= = =
−
−
nên B = 0. (0.25 đi m)ể
Bài 2. (2.0 đi m) ể
a) (1.0 đi m) ểTa có
2
x 3 x 3
x 4x 3 (x 3)(x 1)
lim lim
x 3 x 3
− + − −
=
− −
(0.5 đi m)ể
x 3
lim(x 1) 2
= − =
(0.5 đi m)ể
b) (1.0 đi m) ểTa có
3
3
2 2
x 0 x 0
3
1 x 1 x
1 3 2
N lim 1 x 1 x lim
x 2 x
− − −
� �
= − − − =
� �
� �
� �
3 3
2 2 2
x 0 x 0
x x 3 x x 3
1 x 1 1 1 x 1 x 1 1 1 x
2 2 2 2 2 2
lim lim
x x x
� �
� � � � � � � �
− − − + − − − − − − − − −
� �
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� �
= = +
� �
� �
� �
(0.5
đi m)ể
2 2 3
x 0 2 2
2233
x 3x 3x x 3
1 x 1 x 1 1 x
4 2 4 8 2
lim xx x 3 3
x 1 x 1 x 1 1 1 x 1 x
22 2 2 2
� �
� � � � � �
� �
− − − + − + − − −
� � � � � �
� �
� �
� � � �
� �
= +
� � � �
� �
� �
� � � � � �
− + −
� �
� � � �
− + − − + −
� �
� � � � � �
� �
� � � �
� � � � � �
� �
� �
� �
(0.25 đi m)ể
=
2 2
x 0
33
3 x
1
4 8
4
lim xx x 3 3
1 x 1 1 1 1 x 1 x
22 2 2 2
� �
� �
−
−
� �
+
� �
� � � � � � � �
− + −
� �
� � − + − − + −
� � � � � �
� �
� �
� � � � � �
� �
1 1 1
8 4 8
−
= + =
(0.25 đi m)ể
Bài 3. (2,0 đi m). ể G i d là công sai c a c p s c ng ọ ủ ấ ố ộ (0.5 đi m)ể
T đ bài ta có h ừ ề ệ
( ) ( ) ( )
( )
u d u 2d u 4d 10
1 1 1
u u 5d 17
1 1
+ − + + + =
+ + =
(0.5 đi m)ể
3
u 3d 10
1
2u 5d 17
1
+ =
+ =
(0.5 đi m) ể
u 1
1
d 3
=
=
(0.5 đi m)ể
Bài 4. (3,0 đi m). ể
a. (1.0 đi m) ểTa có AB AC, AB AD (0.5 đi m)ể
AB (ACD) AB CD. (0.5 đi m)ể
b. (1.0 đi m) ể
Ta có AB CD, AH CD CD (AHB) (0.5 đi m)ể
CD AK mà AK BH nên AK(BCD). (0.5 đi m)ể
c. (1.0 đi m) ểVì các tam giác ADC, ABH vuông nên H thu cộ
đo n DC, K thu c đo n BH và t ạ ộ ạ ừ HC=3HD, KB=4KH
ta có
1 1
DH DC; HK HB
4 5
= =
uuur uuur uuur uuur
. (0.25 đi m) ểT đó ta có:ừ
( )
1 1
AK AH HK AH HB AH HA AB
5 5
=+=+ =+ +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
4 1
AH AB
5 5
= +
uuur uuur
(0.25 đi m)ể
( ) ( )
4 1 4 1 1 4 1 1
AD DH AB AD DC AB AD DA AC AB
5 5 5 4 5 5 4 5
� � � �
= + + = + + = + + +
� � � �
� � � �
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(0.25 đi m)ể
3 1 1
AD AC AB
5 5 5
= + +
uuur uuur uuur
. V y ậ
1 1 3
AK AB AC AD
5 5 5
= + +
uuur uuur uuur uuur
(0.25 đi m)ể
II. PH N RIÊNG Ầ(1,0 đi m). H c sinh đc ch n m t trong hai bàiể ọ ượ ọ ộ Bài 6A ho cặ Bài 6B.
Bài 5A. (1,0 đi m). ). ểĐt ặ
2
f(x)=ax bx c+ +
f (x)
liên t c trên R. ụ(0.25 đi m)ể
Ta có
f (0) c=
,
2 4 2 1 c c
f a b c (4a 6b 12c)
3 9 3 9 3 3
� �
= + + = + + − = −
� �
� �
(0.25 đi m)ể
N u ế
c 0=
thì
2
f 0
3
� �
=
� �
� �
PT đã cho có nghi m ệ
2(0;1)
3
(0.25 đi m)ể
N u ế
c 0
thì
2
2 c
f (0).f 0
3 3
� �
= − <
� �
� �
PT đã cho có nghi m ệ
2
0; (0;1)
3
� �
�
� �
� �
V y ph ng trình đã cho luôn có ít nh t m t nghi m thu c kho ng (0; 1) ậ ươ ấ ộ ệ ộ ả (0.25 đi m)ể
Bài 5B. (1,0 đi m). ể Xét hàm s ố
3
f (x) 8x 6x 1= − −
. Ta th y f(x) liên t c trên R và có: ấ ụ
1
f ( 1) 3; f ( ) 1; f (0) 1; f (1) 1
2
− = − − = = − =
(0.25 đi m)ể
suy ra
1 1
f ( 1)( ) 0; ( )f (0) 0; f (0)f (1) 0
2 2
− − < − < <
nên ph ng trình đã cho có ít nh t m t nghi m ươ ấ ộ ệ
trên m i kho ng ỗ ả
( )
1 1
1; ; ;0 ; 0;1
2 2
− −
� �� �
−
� �� �
� �� �
và đây là ph ng trình b c 3 nên nó có đúng 3 nghi m ươ ậ ệ
phân bi t. ệ(0.25 đi m)ể
Vì ph ng trình có c 3 nghi m thu c đo n ươ ả ệ ộ ạ
[ ]
1;1−
nên ta có th đt ể ặ
x cost=
v i ớ
[ ]
t 0;π�
.
Ta có ph ng trình ươ
( )
3
1 k2
4cos t 3cos t cos3t cos x k Z .
2 3 9 3
π π π
− = = = +� � � �
(0.25 đi m)ể
Vì
[ ]
t 0;π�
nên ta ch l y đc 3 nghi m ỉ ấ ượ ệ
5 7
t ; t ; t
9 9 9
π π π
= = =
.
V y ph ng trình đã cho có 3 nghi m là ậ ươ ệ
5 7
x cos ; x cos ; x cos .
9 9 9
π π π
= = =
(0.25 đi m)ể
H t ế
4
Chú ý:
H c sinh gi i theo cách khác mà đúng thì v n cho đi m t ng ng v i thang đi m này.ọ ả ẫ ể ươ ứ ớ ể
Trong Bài 4, h c sinh không v hình ho c hình sai c b n thì không ch m.ọ ẽ ặ ơ ả ấ
5