PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TR NGTHCS TÂN CƯỜ ƯỚ
Đ THI CH N H C SINH GI I L P 9 Ề Ọ Ọ Ỏ Ớ
NĂM H C 2015 - 2016Ọ
Môn thi: Toán 9
Th i gian làm bài :150 phút( Không k th i gian giaoờ ể ờ
đ)ề
(Đ này g m 01 trang)ề ồ
Bài 1 (6,0 đi m):ể
1) Cho bi u th c ể ứ
3 2 2 : 1
2 3 5 6 1
Ax x x x
x x x x x
� �� �
+ + +
= − + −
� �� �
� �� �
− − − + +
� �� �
V i ớ
x 0; x 4; x 9
a) Rút g n bi u th c A.ọ ể ứ
b) Tìm giá tr c a bi u th c A -1 khi x= ị ủ ể ứ
6 6 6 ......+ + +
( có vô h n d uạ ấ
căn) là 6
c) V i giá tr nào c a x thì ớ ị ủ
1
A
đt giá tr nh nh t ? Tìm giá tr nh nh tạ ị ỏ ấ ị ỏ ấ
đó.
2) Cho x =
3 3
84 84
1 1
9 9
+ + −
. Ch ng minh x có giá tr là m t s nguyênứ ị ộ ố
Bài 2 (4,0 đi m )ể
a) Gi i ph ng trình + + = (x+y+z) -3000ả ươ
b) Ch ng minh r ng : n uứ ằ ế
( ) ( )
2 2
1 1
x yz y xz
x yz y xz
− −
=
− −
Với
, 1, 1, 0, 0, 0x y yz xz x y z
Thì
1 1 1
x y z x y z
+ + = + +
Bài 3 (3,0 đi mể)
a , Tìm các s nguyên x, y th a mãn : yố ỏ 2+ 2xy -7x-12=0
b, Ch ng minh r ng:ứ ằ
v i a, b là các s d ng.ớ ố ươ
Bài 4 (6 đi m)ể
Cho AB là đng kính c a đng tròn (O;R). C là m t đi m thay đi trênườ ủ ườ ộ ể ổ
đng tròn (C khác A và B), k CH vuông góc v i AB t i H. G i I là trung đi mườ ẻ ớ ạ ọ ể
c a AC, OI c t ti p tuy n t i A c a đng tròn (O;R) t i M, MB c t CH t i K.ủ ắ ế ế ạ ủ ườ ạ ắ ạ
a) Ch ng minh 4 đi m C, H, O, I cùng thu c m t đng tròn.ứ ể ộ ộ ườ
b) Ch ng minh K là trung đi m c a CH.ứ ể ủ
c) Xác đnh v trí c a C đ chu vi tam giác ACB đt giá tr l n nh t? Tìm giáị ị ủ ể ạ ị ớ ấ
tr l n nh t đó theo R.ị ớ ấ
Bài 5 (1,0đi mể) Cho x,y là các s d ng tho mãn: ố ươ ả x+y = 4
Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
2 2
33
A x y xy
= + +
--------------------------- H t -------------------------ế
Đ chính th cề ứ
H NG D N CH M Đ THI CH N HSG L P 9 ƯỚ Ẫ Ấ Ề Ọ Ớ
NĂM H C 2015 - 2016Ọ
Môn: Toán
Bài N i dung ộBi uể
đi m ể
Bài 1 1)
a) V i đi u ki n ớ ề ệ
( )
*
ta có:
( ) ( )
3 2 2 1
:
2 3 1 1
2 3
Ax x x x x
x x x x
x x
� �� �
+ + + +
� �
= − + −
� �
� �
� �
− − + +
− − � �
� �
)
( ) ( )
9 4 2 1
:1
2 3
x x x
x
x x
− − + + + � �
=� �
+
− − � �
( ) ( )
3 1
:1
2 3
x
x
x x
−� �
=� �
+
− − � �
1 1 1
:
2 1 2
x
x x x
+
= =
− + −
b) ta có x=
6 6 6 ......+ + +
( vô h n d u căn) v i x>0ạ ấ ớ
x2 = 6+
6 6 6 ......+ + +
( vô h n d u căn)ạ ấ
x2 = 6 +x
x2- x -6 =0
( x+2)(x-3) = 0
x= -2( lo i) ho c x=3( nh n)ạ ặ ậ
Ta có : A-1=
1 1 2 3
1
2 2 2
x x x
x x x
+ + − +
− = =
− − −
Do v y, giá tr c a bi u th c A-1 t i x=3 là:ậ ị ủ ể ứ ạ
3 3( 3 2) 3( 3 2)
3 4
3 2
+
= = − +
−
−
c) ta có
1 1 2 3
1
2 1 1
x x
AA
x x x
+ −
= = = −�
− + +
.
Đ ể
1
A
có GTNN thì
3
1x+
có GTLN, hay
1x+
có
GTNN.Ta có:
1 1x+
, d u "=" x y ra khi x = 0.ấ ả
Giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
1
A
là
3
1 1 3 2
0 1
− = − = −
+
, x y ra khi x = 0.ả
(0,5
đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25đ
2, Đt ặ
3 3
84 84
1 a; 1 b
9 9
+ = − =
x = a + b; a3 + b3 = 2; ab =
1
3
−
.
Ta có: x3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Suy ra: x3 = 2 – x
x3 + x – 2 = 0
( )
( )
2
x - 1 x x + 2 0
+ =�
x = 1. Vì x2 + x + 2 =
2
1 7
x + 0
2 4
� �+ >
� �
� �
. T đó suy ra đi u ph i ừ ề ả
ch ng minhứ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
a)
ĐK: (*)
Do ≥ 0, ≥ 0, ≥0
Áp d ng b t đng th c cosi ta có :ụ ấ ẳ ứ
= ≤
= ≤
= ≤
V y : + + ≤ (x+y+z)-3000ậ
D u "=" x y ra ấ ả x-2000= y-2001= z-2002=1
2003
2002
2001
z
y
x
( tho man đk (*) )ả
V y nghi m c a ph ng trình là: x=2001, y=2002, z=2003ậ ệ ủ ươ
b ,
( ) ( )
2 2
1 1
x yz y xz
x yz y xz
− −
=
− −
( )
( )
( )
( )
2 2
x yz y xyz y xz x xyz
− − = − −�
2 3 2 2 2 2 3 2 2 2
0x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz
− − + − + + − =�
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 3 2 2 2 2 2 2
0x y xy x yz xy z x z y z x yz xy z− − − + − − − =�
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2
0xy x y xyz x y z x y xyz x y
− − − + − − − =�
( ) ( ) ( )
2
0x y xy xyz x y z x y xyz
� �
− − + + + − =�� �
( ) ( )
2
0xy xyz x y z x y xyz− + + + − =�
(vì
0x y x y
−� � �
)
( )
2
xy xz yz xyz x y xyz
+ + = + +�
( )
2
xyz x y xyz
xy xz yz
xyz xyz
+ +
+ + =�
(vì
0xyz
)
111x y z
x y z
+ + = + +�
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 3 a) Ta có : y2+2xy -7x -12 =0
4y2+ 8xy -28 -48 = 0
4y2-49 +4x(2y-7) = -1
( 2y -7)(2y+7+4x) =-1
V y ta có ậ
Ho c ặ
2 7 1 4
2 7 4 1 4
2 7 1 3
2 7 4 1 3
y x
y x y
y x
y x y
− = = −
� �
� �
+ + = − =
� �
− = − = −
� �
� �
+ + = =
� �
V y các c p s nguyên (x;y) th a mãn đi u ki n đ bài là:ậ ặ ố ỏ ề ệ ề
(x;y)
{ }
( 3;3);( 4;4)− −
b) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
a + b 2(a + b) (1)
a 3a + b b 3b + a 4a 3a + b 4b 3b + a
=
+ +
Áp d ng b t đng th c Cô-si cho các s d ng ta đc:ụ ấ ẳ ứ ố ươ ượ
( ) ( )
( ) ( )
4a + (3a + b) 7a + b
4a 3a + b 2
2 2
4b + (3b + a) 7b + a
4b 3b + a 3
2 2
=
=
T (2) và (3) suy ra: ừ
( ) ( ) ( )
4a 3a + b 4b 3b + a 4a + 4b 4
+
T (1) và (4) suy ra:ừ
( ) ( )
a + b 2(a + b) 1
4a + 4b 2
a 3a + b b 3b + a
=
+
. D u b ng x y ra khi và ch khiấ ằ ả ỉ
a = b.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 4
K
M
I
C
O
H
B
A
1) Ch ngứ minh 4 đi m C, H, O, I cùng thu c m t đng tròn (2đ)ể ộ ộ ườ
Ch ng minh OIứ
⊥
AC.
Suy ra
∆
OIC vuông t i I suy ra I thu c đng tròn đng kính ạ ộ ườ ườ
OC. CH
⊥
AB (gt)
∆
CHO vuông t i H ạ
H thu c đng tròn ộ ườ
đng kính OC.ườ
Suy ra I, H cùng thu c đng tròn đng kính OC, hay C, I, O, H ộ ườ ườ
cùng thu c m t đng tròn.ộ ộ ườ
0.75đ
0.25đ
0.75đ
0.25đ
2) Ch ng minh K là trung đi m c a CHứ ể ủ (2đi m)ể
∆
MAB có KH//MA (cùng
⊥
AB)
KH HB AM.HB AM.HB
KH
AM AB AB 2R
= = =�
(1)
Ch ng minh choứ CB // MO
ﾷ
ﾷ
AOM CBH=
(đng v ).ồ ị
C/m
∆
MAO đng d ng v i ồ ạ ớ
∆
CHB
MA AO AM.HB AM.HB
CH
CH HB AO R
= = =�
(2)
T (1) và (2) suy ra ừCH = 2 KH
CK = KH
K là trung đi m ể
c a CH.ủ
0,75đ
0,25đ
0.75đ
0.25đ
3) Chu vi tam giác ACB là
ACB
P AB AC CB 2R AC CB= + + = + +
Ta l i có:ạ
( )
22 2 2 2 2 2
AC CB 0 AC CB 2AC.CB 2AC 2CB AC CB 2AC.CB
− + + + +� � � � �
( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2
2 AC CB AC CB AC CB 2 AC CB AC CB 2AB
+ + + + +� � � � �
(theo đl pitago)
2
AC CB 2.4R AC CB 2R 2+ +�� �
Đng th c x y ra khi AC = CB ẳ ứ ả
M là đi m chính gi a cung AB.ể ữ
Suy ra
( )
ACB
P 2R 2R 2 2R 1 2 + = +
, d u "=" x y ra khi M là ấ ả
đi m chính gi a cung AB.ể ữ
V y max ậ
( )
ACB
P 2R 1 2= +
đt đc khi M là đi m chính gi a ạ ượ ể ữ
cung AB.
0,25đ
0,5 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 5 Ta có
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
0 ( ) 2
( ) 4
2 2( ) ( ) 8(*)
2 2
x y x xy y
x y
x y xy x y x y x y
− = − +
+
+ + + + = =� � � � � �
Cũng t ừ
2 2 2
2 2
2 ( ) 4
( ) 4 33 33
4 (**)
4 4 4
x y xy x y xy
x y
xy xy
+ +�� �
+
= =
T ( *) Và (**) suy ra A = ừ
2 2
33 33 65
84 4
x y xy
+ + + =
d u " =" x y ra ấ ả
2x y= =�
.
V y Min A = ậ
65 2
4x y= =�
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ