PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TR NG THCS THANH MAIƯỜ
Đ THI CH N H C SINH GI I L P 9 Ề Ọ Ọ Ỏ Ớ
NĂM H C 2015 - 2016Ọ
Môn: Toán
Th i gian làm bài: 150 phút ờ
Câu 1: (6 đi m)ể
1. Cho A =
2 1 1
:2
1 1 1
x x x
x x x x x
� �
+ −
+ +
� �
� �
− + + −
� �
a. Rút g n A ọ
b. Tìm
x
đ A ể
Z
2. Cho
abc
,
bca
,
cab
là các s t nhiên có 3 ch s . ố ự ữ ố
Ch ng minh r ng: n u ứ ằ ế
abc
M
37 thì
bca
và
cab
cũng chia h t cho 37.ế
Câu 2: (4 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
3 4 1 8 6 1x x x x+ − − + + − −
=1
2. Cho x, y, z th a mãn xyz = 2015.ỏ
Ch ng minh r ng: ứ ằ
2015
2015 2015
x
xy x+ +
+
2015
y
yz y+ +
+
1
z
zx z+ +
=1
Câu 3: (3 đi m)ể
1. Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình:ệ ủ ươ
x4 + x2 + 1 = y2
2. Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng vµ a+b+c=2015.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
A=
Câu 4 (6.0 điêm).
Cho điêm M năm trên n a đng tron tâm ư ươ O đng kinh ươ AB = 2R (M không trung v i ơA
va B). Trong n a măt phăng ch a n a đng tron co b la đng thăng ư ư ư ươ ơ ươ AB, ke tiêp tuyên
Ax. Đng thăng ươ BM căt Ax tai I; tia phân giac cua
ﾷ
IAM
căt n a đng tron ư ươ O tai E, căt
IB tai F; đng thăngươ BE căt AI tai H, căt AM tai K.
a) Ch ng minh 4 điêm ư F, E, K, M cung năm trên môt đng tron. ươ
b) Ch ng minh ư
HF BI
⊥
.
c) Xac đinh vi tri cua M trên n a đng tron ư ươ O đê chu vi
AMB∆
đat gia tri l n ơ
nhât va tim gia tri đo theo R?
Câu 5: (1 đi m)ể
Tìm nghi m nguyên d ng c a ph ng trình:ệ ươ ủ ươ
1! + 2! +......... + x! = n2 ( x! = 1.2.3........x)
- H t -ế
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI H NG D N CH M THI CH N HSG L P 9 NĂM H C 2015 - 2016ƯỚ Ẫ Ấ Ọ Ớ Ọ
TR NG THCS THANH MAI ƯỜ Môn: Toán
Câu 1: (6 đi m)ể
1. a) ĐK: x 0; x 1
Rút g n A = ọ
2
1x x+ +
b) Vì x ≥ 0 nên 0 < A ≤ 2 và A
Z => A = 1 ho c A = 2ặ
+) A = 1 =>
2
1x x+ +
=1 <=>
1x x+ −
=0 <=> x =
5
2
+) A = 2 =>
2
1x x+ +
=2 <=>
x x+
=0 <=> x = 0
2. Ta có:
abc
+ 11
bca
= 111a + 1110b + 111c
M
37 (vì 111
M
37).
Mà
abc
M
37 => 11
bca
=>
bca
M
37 (vì (11; 37) =1)
Ta có:
abc
M
37 => 11
abc
M
37. Xét t ng: 11ổ
abc
+
cab
= 1110a+111b+111c
M
37
=>
cab
M
37
0.5
1.5
1
0.5
0.5
1.0
1.0
Câu 2: (4 đi m)ể
1. (2đ)
2. (2đ)
3 4 1 8 6 1x x x x+ − − + + − −
=1
<=>
( )
2
1 2x− −
+
( )
2
1 3x− −
=1
<=>
1 2x− −
+
3 1x− −
=1
Áp d ng: ụ
a b a b+ +
. D u b ng x y ra khi a.b≥0 ấ ằ ả
=>
1 2x− −
+
3 1x− −
=1 khi 2≤
1x−
≤3 <=> 5≤x≤10
Ta có :
2015
y
yz y+ +
=
2015
xy
xyz xy x+ +
=
2015 2015
xy
xy x+ +
1
z
zx z+ +
=
1
xyz
xyzx xyz xy+ +
=
2015
2015 2015x xy+ +
Do đó
2015
2015 2015
x
xy x+ +
+
2015
y
yz y+ +
+
1
z
zx z+ +
=
2015
2015 2015
x
xy x+ +
+
2015 2015
xy
xy x+ +
+
2015
2015 2015x xy+ +
= 1 (đpcm)
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 3: (3 đi m)ể
1. (1,5d)
Vì x2 ≥ 0 v i ớ
∀
x
nên (x4+x2+1) -(x2+1) < x4+x2+1 ≤ (x4+x2+1)+x2 <=> (x2)2 <y2 ≤(x2+1)2
do đó y2 = (x2+1)2 => (x2+1)2 = x4+x2+1 <=> x=0 suy ra y=
1
V y nhi m nguyên (x;y) c n tìm là: (0;1), (0;-1)ậ ệ ầ
2. (1,5®)
Ta cã:
2
a
b c+
+
4
b c+
≥ a ( Bđt Côsi cho hai s d ng )ố ươ
T ng t : ươ ự +
4
c a+
≥ b ;
2
c
a b+
+
4
a b+
≥ c
C ng v v i v ta đc: ộ ế ớ ế ượ
≥
2
abc+ +
V y Min A = 2015/2. D u b ng x y ra khi a=b=c = 2015/3ậ ấ ằ ả
Câu 4 (6.0 điêm).
Hinh ve
x
I
F
M
H E
K
A O B
Ta co M, E năm trên n a đng tron đng kinh AB nên ư ươ ươ
ﾷ
0
90FMK =
va
ﾷ
0
90FEK =
.1.0
Vây 4 điêm F, E, K, M cung năm trên đng tron đng kinh FK ươ ươ 0.5
Ta co
HAK∆
cân tai A nên AH = AK (1) 0.5
K la tr c tâm cua ư
AFB∆
nên ta co
FK AB⊥
suy ra FK // AH (2) 0.5
Do đo
ﾷ
ﾷ
FAH AFK=
ma
ﾷ
ﾷ
FAH FAK=
(gt) cho nên
ﾷ
ﾷ
AFK FAK=
0.5
Suy ra AK = KF, kêt h p v i (1) ta đc ơ ơ ươ AH = KF (3) 0.5
T (2) va (3) ta co ưAKFH la hinh binh hanh nên HF // AK. Ma
AK IB⊥
suy ra
HF IB
⊥
.
0.5
Chu vi cua
AMB
AMB C MA MB AB
∆
∆ = = + +
l n nhât khi chi khi ơ MA
+ MB l n nhât (vi AB không đôi). ơ
0.5
Ap dung bât đăng th c ư
( )
( )
22 2
2a b a b+ +
dâu "=" xay ra
a b=�
,
ta co
( )
22 2 2
2( ) 2MA MB MA MB AB+ + =
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Nên MA + MB đat gia tri l n nhât băng ơ
2AB
khi va chi khi
MA = MB hay M năm chinh gi a cung ưAB.
0.5
Vây khi M năm chinh gi a cung ưAB thi
AMB
C
∆
đat gia tri l n nhât. ơ
Khi đo
2 (1 2) 2 (1 2)
AMB
C MA MB AB AB AB AB R
∆
= + + = + = + = +
0.5
Câu 5: (1 đi m)ể
1! + 2! +......... + x! = n2
. x=1 suy ra n2 = 1 => n = 1
. x=2 suy ra n2 = 3 => n
Z ( lo i)ạ
. x=3 suy ra n2 = 9 => n=3
. x=4 suy ra n2 = 33 => n
Z ( lo i)ạ
Ta ch ng minh x≥5 ph ng trình vô nghi m. ứ ươ ệ
Th t v y x≥5 thì 1! + 2! +......... + x! = 33+ 5! + ....... + x! có ch s t n cùng là 3 mà nậ ậ ữ ố ậ 2 không
có t n cùng là 3. ậ
V y ph ng trình có nghi m nguyên d ng ( x;n) là (1;1) , (3;3)ậ ươ ệ ươ
- H t –ế
DUY T C A T NG I RA ĐỆ Ủ Ổ ƯỜ Ề