Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2012-2013 - Trường THPT Thuận Thành Số 1

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1<br /> Web: http://bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1<br /> Ngày 14/03/2013<br /> (Đề thi gồm 01 trang)<br /> <br /> ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG<br /> NĂM HỌC 2012 – 2013<br /> MÔN: TOÁN LỚP 11<br /> Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Câu 1 (2,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên  0;1004  :<br /> <br /> 8sin 2 xcosx  3 sinx  cosx<br /> 0<br /> <br /> <br /> sin  x  <br /> 6<br /> <br /> Câu 2 (3,0 điểm)<br /> a) Từ các chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi<br /> một khác nhau, trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau.<br /> b) Tính tổng S <br /> <br /> 1 0<br /> 1 1<br /> 1<br /> n<br /> Cn <br /> C n  ... <br /> Cn .<br /> 1.2<br /> 2.3<br />  n  1. n  2 <br /> <br /> Câu 3 (1,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình x 5  x  2  0 có nghiệm x 0 thỏa<br /> mãn x 0  9 8 .<br /> Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a,<br /> SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a 3 . M và I là hai điểm thỏa mãn<br />    <br /> <br />   <br /> <br /> 3MB  MS  0 , 4IS  3ID  0 . Mặt phẳng (AMI) cắt SC tại N.<br /> a) Chứng minh đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng (AMI).<br /> b) Chứng minh ANI  900 ;AMI  900 .<br /> c) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMI) và hình chóp S.ABCD.<br /> Câu 5 (1,0 điểm). Cho ba số dương a, b, c thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> <br /> P<br /> <br /> bc<br /> ca<br /> ab<br /> <br /> <br /> a  3 bc b  3 ca c  3 ab<br /> <br /> --------------------------------- Hết -------------------------------Họ tên thí sinh: …………………………………….. SBD: ……………………..<br /> ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)<br /> <br /> ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM TOÁN 11<br /> Câ<br /> u<br /> 1<br /> <br /> ĐÁP ÁN<br /> <br /> <br /> <br /> <br />   0  x   k  k <br /> 6<br /> 6<br /> <br /> PT  4sin 2x sinx  3 sinx  cosx  0<br /> <br /> ĐKXĐ: sin  x <br /> <br /> Điể<br /> m<br /> 2,0<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 3<br />  2(cosx  cos3x)  3 sinx  cosx  0  cos3x= cosx <br /> sinx<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> <br />  x  6  k<br /> <br /> <br />  cos3x=cos  x    <br /> k  <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> x    k<br /> <br /> <br /> 12<br /> 2<br /> Kết hợp với điều kiện xác định  Phương trình đã cho có nghiệm là x  <br /> <br /> <br /> <br /> k<br /> 12<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> k   .<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br />   k   2008<br /> x  0;1004   0    k  1004   6<br /> 6<br /> 12<br /> 2<br /> k <br /> <br /> 1  k  2008<br /> <br /> k <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br />  k với<br /> 12<br /> 2<br /> 1  k  2008<br />   5<br />  <br /> ,gồm 2008 nghiệm lập thành cấp số cộng có x1  <br /> ,<br /> <br /> 12 2 12<br /> k <br /> <br /> công sai d <br /> nên tổng các nghiệm là:<br /> 2<br /> n<br /> 2008  5<br />   3025052<br /> S   2x1   n  1 d  <br /> .<br /> <br /> <br />  2 12   2008  1 2  <br /> 2<br /> 2 <br /> 3<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  Các nghiệm của phương trình đã cho trên  0;1004  là x k  <br /> <br /> 2<br /> a)<br /> <br /> 3,0<br /> 1,5<br /> Gọi a1a 2a 3a 4a 5a 6 là số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được thiết lập từ<br /> {0;2;3;5;6;8}.<br /> - Để lập thành một số dạng a1a 2a 3a 4a 5a 6 :<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> a1  0 nên có 5 cách chọn a1 , sau đó chọn một hoán vị 5 chữ số còn lại. Do đó có tất<br /> cả 5.5! = 600 số dạng a1a 2a 3a 4a 5a 6 .<br /> - Ta tìm tất cả các số có hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau trong các số trên:<br /> Có 5 vị trí trong mỗi số a1a 2a 3a 4a 5a 6 để hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau, trong đó vị<br /> trí đầu bên trái chỉ có một khả năng là 50a 3a 4a 5a 6 , các vị trí còn lại có thể hoán vị 0 và<br /> 5.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Sau khi chọn vị trí để hai chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau, ta chọn một hoán vị các chữ số<br /> còn lại. Do đó có 9.4! = 216 số dạng a1a 2a 3a 4a 5a 6 ,trong đó có chữ số 0 và chữ số 5<br /> đứng cạnh nhau.<br /> Vậy có tất cả 600 – 216 = 384 số thỏa mãn yêu cầu.<br /> b)<br /> Ta chứng minh bổ đề:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> Ck <br /> C k 1<br /> n<br />  k  1<br />  n  1 n1<br /> <br /> 0,5<br /> 1,5<br /> <br /> (*)<br /> <br /> 1<br /> n!<br /> 1<br />  n  1!<br /> .<br /> <br /> .<br />  k  1  n  k !k!  n  1  n  k ! k  1!<br /> n!<br /> n!<br /> <br /> <br /> (luôn đúng).<br />  n  k ! k  1!  n  k ! k  1!<br /> <br /> Thật vậy: (*) <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Áp dụng bổ đề, số hạng tổng quát của S là:<br /> <br /> 1<br /> <br />  k  1 k  2 <br /> Vậy S <br /> <br /> <br /> <br /> Ck <br /> n<br /> <br /> 1<br /> 1 k 1<br /> 1  1<br /> <br /> .<br /> Cn 1 <br /> Ck  2 <br /> <br /> n2<br /> k  2 n 1<br /> n  1 n  2<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> C<br />  n  1 n  2 <br /> 1<br /> <br />  n  1 n  2 <br /> <br /> 2<br /> <br /> n2<br /> <br /> 2<br /> n 2<br /> <br /> C<br /> <br /> 0<br /> n2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> n2<br />  C3 2  ...  C n  2 <br /> n<br /> <br /> 1<br /> n2<br /> <br /> C<br /> <br /> <br /> <br /> 2n  2  n  3<br /> <br /> .<br />  n  1 n  2 <br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1,0<br /> 5<br /> <br /> Đặt f  x   x  x  2<br /> f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên đoạn [1; 2]. f(1).f(2) = -2.28 = -56 < 0<br /> Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x 0  1;2  .<br /> 5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 5<br /> <br /> Mặt khác: x 0  x 0  2  0  x 0  x 0  2  2 2x 0 Dấu “=” không xảy ra vì<br /> ,<br /> <br /> x 0  1;2  Vậy x 5  2 2x 0  x10  8x 0  x 0  9 8 (đpcm).<br /> 0<br /> 0<br /> 4<br /> a)<br /> <br /> 0,5<br /> 3,0<br /> 1,0<br /> <br /> S<br /> <br /> I<br /> <br /> c<br /> <br /> N<br /> M<br /> <br /> A<br /> <br /> b<br /> D<br /> <br /> a<br /> B<br /> <br />  <br /> <br /> Đặt AB  a,<br />  1 <br /> <br />  BC  b,<br /> 2<br /> <br /> C<br /> <br />    <br /> <br /> AD  b, AS  c<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />      <br /> a  a, b  2 a  2a, c  a 3, a.b  a 2 , a.c  0, b.c  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br />     3  4   3  1 <br /> <br /> <br /> Ta có: SD  b  c, AI  b  c, AM  a  c<br /> 7<br /> 4<br /> 4<br />  <br />  <br />   7<br />  <br />  SD.AI  0, SD.AM  0 Do đó SD  AI, SD  AM . Vậy SD   AMI <br /> b)<br /> <br /> 0,5<br /> 1,0<br /> <br /> <br /> <br /> 1  1  1  <br /> 1 5  1 <br /> a  b  c, NI   a  b  c<br /> 2<br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> 28<br /> 14<br />  <br /> 0<br />  AN.NI  0  AN  NI  ANI  90 .<br />  3  1  <br /> <br /> <br /> 3 3 9 <br /> + AM  a  c, MI   a  b <br /> c<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 7<br /> 28<br />  <br />  <br />  AM.MI  0  AM  MI  AMI  900 .<br /> Ta có: AN <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> c)<br /> <br /> 1,0<br /> Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMI) và hình chóp S.ABCD là tứ giác AMNI.<br /> <br />  a 3<br /> <br />  a 6<br />  a 42<br /> AM <br /> , AN  AN <br /> , NI  NI <br /> 2<br /> 2<br /> 14<br /> 2<br /> 1<br /> 3a 7<br />  SANI  AN.NI <br /> ;<br /> 2<br /> 28<br />  <br /> <br />   15a 2<br /> <br /> AM.AN<br /> 5<br /> 14<br /> + AM.AN <br />  cosMAN <br /> <br />  sin MAN <br /> 16<br /> AM.AN 4 2<br /> 8<br /> 45a 2 7<br /> Vậy SAMNI  SANI  SAMN <br /> (đvdt).<br /> 224<br /> + AM <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 5<br /> <br /> 1,0<br /> Đặt x <br /> <br /> a , y  b, z  c với x, y, z > 0.<br /> yz<br /> zx<br /> xy<br /> Khi đó P  2<br />  2<br />  2<br /> x  3yz y  3zx z  3xy<br /> 3yz<br /> 3zx<br /> 3xy<br /> Ta có 3P  2<br />  2<br />  2<br /> x  3yz y  3zx z  3xy<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x2<br /> <br /> y2<br /> z2<br /> 3 2<br />  2<br />  2<br />  3Q<br /> x  3yz y  3zx z  3xy <br /> <br /> Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được:<br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> y<br /> z<br /> <br /> x 2  3yz <br /> y 2  3zx <br /> z 2  3xy <br />  x 2  3yz<br /> <br /> y 2  3zx<br /> z 2  3xy<br /> <br /> <br />  Q  x 2  y 2  z 2  3xy  3yz  3zx <br /> 2<br /> <br />  x  y  z<br />  x  y  z<br /> Q<br /> Mặt khác: xy  yz  zx <br /> 2<br /> 3<br />  x  y  z   xy  yz  zx<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> 9<br /> 3<br /> , do đó 3P   P  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 3<br /> Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng .<br /> 4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Suy ra Q <br /> <br /> Các cách giải khác đúng cho điểm tương ứng<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU<br /> -<br /> <br /> Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn<br /> cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.<br /> Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải<br /> cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.<br /> Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh<br /> kiến thức và tối ưu kết quả học tập.<br /> <br /> -<br /> <br /> CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ<br /> -<br /> <br /> Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát,<br /> hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br /> Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung<br /> thời gian tốt nhất để học.<br /> Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):<br /> <br /> + Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý<br /> thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên<br /> cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn<br /> cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.<br /> + Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này<br /> Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em<br /> thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm<br /> các dạng toán mới.<br /> <br /> HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM<br /> -<br /> <br /> -<br /> <br /> Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn<br /> cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt<br /> đầu học Online trực tiếp như ở lớp.<br /> Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động<br /> thời gian học tập của mình.<br /> Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian<br /> ngắn nhất.<br /> Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề<br /> nhanh hơn - hiệu quả hơn.<br /> Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên<br /> toàn quốc.<br /> Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá<br /> trình học.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br />