Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Thái Nguyên

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN<br /> <br /> KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> NĂM HỌC2014-2015<br /> MÔN: TOÁN – LỚP 11<br /> Thời gian: 150 phút<br /> <br /> Bài 1 (4 điểm).<br /> Giải phương trình:<br /> <br /> 2 2<br />  2  2sin 2 x .<br /> tan x  cot 2 x<br /> <br /> Bài 2 (4 điểm).<br /> <br /> Cho dãy số  un <br /> <br /> u1  4<br /> <br /> xác định bởi <br /> 1<br /> un1  9 un  4  4 1  2un<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> n  N *<br /> <br /> .<br /> <br /> Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số.<br /> <br /> Bài 3 (4 điểm).<br /> Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc<br /> <br /> BAE  CAF , gọi<br /> <br /> M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt<br /> đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC<br /> có diện tích bằng nhau.<br /> Bài 4 (4 điểm)<br /> Cho tập hợp A  1;2;3;...;18 . Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao cho<br /> hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Bài 5 (4 điểm).<br /> Cho các số dương a, b, c thoả mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng:<br /> <br /> a 1 b 1 c 1<br /> <br /> <br /> 3<br /> 1  b2 1  c2 1  a2<br /> <br /> ---------- Hết ----------<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH<br /> MÔN: TOÁN<br /> Bài<br /> Bài 1<br /> <br /> Lời giải<br /> Giải phương trình:<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> 2 2<br />  2  2sin 2 x .<br /> tan x  cot 2 x<br /> <br /> cos x  0<br /> <br /> Lời giải : Điều kiện : sin 2 x  0<br />  tan x  cot 2 x  0<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 2sin 2 x  cos 2 x<br /> 1<br /> <br /> Ta có : tan x  cot 2 x <br /> sin 2 x<br /> sin 2 x<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> Do đó phương trình đã cho tương đương với :<br /> <br />  2  2  sin 2 x  2  sin 2 x<br />   sin 2 x  1 . 2 sin 2 x  2   0<br />  sin 2 x  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> sin 2 x <br /> <br /> <br /> 2<br /> sin 2 x  1<br /> <br /> ( Thỏa điều kiện (1) )<br /> sin 2 x  1<br /> <br /> 2<br /> Giải các phương trình trên ta được :<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> <br /> <br /> 5<br /> x   k ; x   k ; x <br />  k  k  Z <br /> 2<br /> 12<br /> 12<br /> Bài 2<br /> <br /> <br /> <br /> Cho dãy số  un  xác định bởi<br /> <br /> u1  4<br /> <br /> <br /> 1<br /> un1  9 un  4  4 1  2un<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> n  N *<br /> <br /> .<br /> <br /> Tìm công thức số hạng tổng quát un của dãy số.<br /> Lời giải:<br /> <br /> *<br /> Đặt xn  1  2un n  N<br /> 2<br /> n<br /> <br /> Ta có xn  0 và x  1  2un , n  N<br /> <br /> *<br /> <br /> xn2  1<br /> hay un <br /> 2<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> Thay vào giả thiết, ta được:<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> xn21  1 1  xn2  1<br /> <br />  <br />  4  4 xn <br /> 2<br /> 9 2<br /> <br />  9x<br /> <br /> 2<br /> n 1<br /> <br /> 1đ<br /> 2<br /> <br />  9  x  1  8  8 xn   3 xn 1    xn  4 <br /> 2<br /> n<br /> <br /> 2<br /> <br /> Suy ra: 3xn 1  xn  4 n  N * ( Do xn  0 , n  N * )<br /> n 1<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> Hay 3 xn1  3 xn  4.3 , n  N<br /> <br /> *<br /> <br /> Đặt yn  3n xn , n  N * . Ta có: yn 1  yn  4.3n , n  N *<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> n<br /> n 1<br /> *<br /> Từ đó yn 1  y1  4  3  3  .....  3 , n  N<br /> <br /> Hay yn 1  y1  6  2.3n 1 , n  N *<br /> n<br /> Theo cách đặt ta có: x1  3  y1  9  yn  3  2.3 .<br /> <br /> 1<br /> , n  N *<br /> n 1<br /> 3<br /> 1<br /> 4<br /> 1 <br /> *<br /> Do đó un   3  n 1  2 n 2  , n  N<br /> 2<br /> 3<br /> 3 <br /> <br /> 1đ<br /> <br /> Suy ra: xn  2 <br /> <br /> Bài 3<br /> <br /> Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc<br /> BAE  CAF , gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường<br /> <br /> thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D.<br /> Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện tích bằng nhau.<br /> Lời giải:<br /> A<br /> <br /> M<br /> <br /> O<br /> <br /> N<br /> <br /> 0,5đ<br /> B<br /> <br /> E<br /> <br /> F<br /> <br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> Đặt BAE  CAF   ,<br /> <br /> S ABC <br /> <br /> EAF   . Tacó<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> AF<br /> AB. AF .sin      AC. AF .sin  <br />  AB.CD  AC.BD <br /> 2<br /> 2<br /> 4R<br /> <br /> (R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1)<br /> Diện tích tứ giác ADMN là<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 1,5 đ<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> S AMDN <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> AM . AD.sin   AD. AN .sin(   )<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> =<br /> <br /> 1<br /> AD.  AF .cos     .sin   AF .cos  .sin      <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> AF<br /> AD. AF .sin  2    <br /> . AD.BC . (2)<br /> 2<br /> 4R<br /> <br /> 1,5 đ<br /> <br /> Vì tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta có :<br /> AB.CD + AC.BD = AD.BC<br /> <br /> 0,5 đ<br /> <br /> (3).<br /> <br /> Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.<br /> Bài 4<br /> <br /> Cho tập hợp A  1;2;3;...;18 . Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A<br /> sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2.<br /> Lời giải:<br /> <br /> Ta cần tìm số phần tử của tập T sau:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> T  (a1 ,a 2 ,...,a 5 ) : a1  a 2  ...  a 5 ; 1  a i  18; a i  a j  2<br /> <br /> 1đ<br /> <br /> Xét tập hợp H  (b1 ,b 2 ,..., b 5 ) : b1  b 2  ...  b5 ; 1  bi  14<br /> Xét ánh xạ f cho tương ứng mỗi bộ (a1 ,a 2 ,...,a 5 ) với bộ (b1 , b 2 ,..., b5 ) xác<br /> <br /> 1,5 đ<br /> <br /> định như sau:<br /> <br /> b1  a 1 , b 2  a 2  1, b 3  a 3  2,b 4  a 4  3, b 5  a 5  4 .<br /> Dễ thấy khi đó f là một song ánh, suy ra T  H .<br /> Mặt khác mỗi bộ (b1 , b 2 ,..., b5 ) trong H là một tổ hợp chập 5 của 14 phần tử. 1,5 đ<br /> 5<br /> Do đó H  C14  2002 . Vậy T  2002 .<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />