PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017
m¤N: TOÁN 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (5 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
63
93
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
--
=-
+
+
b) Tính giá trị biểu thức: B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ 17.18.19
c) Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị
đồng thời giảm chữ số hàng chục và giảm chữ số hàng đơn vị đi n đơn vị thì được một số có
3 chữ số gấp n lần số có 3 chữ số ban đầu.
Bài 2 (3 điểm)
a) Tìm các số x, y, z biết rằng: 3x = 4y, 5y = 6z và xyz = 30.
b) Tìm x biết:
1 3 3
x 1,6
2 4 5
- + = - +
Bài 3 (3 điểm)
1) Cho hàm số y = f(x) = (m – 1)x
a) Tìm m biết: f(2) – f(–1) = 7
b) Cho m = 5. Tìm x biết f(3 – 2x) = 20
2) Cho các đơn thức A =
1
2
-
x2yz2, B =
3
4
-
xy2z2, C = x3y
Chứng minh rằng các đơn thức A, B, C không thể cùng nhận giá trị âm.
Bài 4 (7 điểm)
Cho
D
ABC nhọn có góc A bằng 600. Phân giác
·
ABC
cắt AC tại D, phân giác
·
ACB
cắt AB tại E. BD cắt CE tại I.
a) Tính số đo góc BIC.
b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE. Chứng minh
D
CID =
D
CIF.
c) Trên tia IF lấy điểm M sao cho IM = IB + IC. Chứng minh
D
BCM là tam giác đều.
Bài 5 (2 điểm)
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n = 2n+11
Họ và tên thí sinh: ................................................................................................
Số báo danh: ....................................Phòng.....................................................
HƯỚNG DẪN
BÀI
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
(5đ)
a
( )
( )
- - - -
= - = -
++
+
+
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4
6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3
93
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
A2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
0.5
( )
( )
( )
( )
--
=-
++
12 4 10 3
12 5 9 3 3
2 .3 3 1 5 .7 1 7
A2 .3 3 1 5 .7 1 2
0.5
-
=-
2 5.( 6)
A3.4 9
0.5
-
= - =
1 10 7
A6 3 2
0.5
b
4B=1.2.3.4+2.3.4.(5 – 1)+3.4.5.(6 – 2)+…+17.18.19.(20 – 16)
0.5
4B=1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + 17.18.19.20 – 16.17.18.19
0.5
4B=17.18.19.20
0.5
B = 17.18.19.5 = 29070
0.5
c
Gọi số có 3 chữ số cầìm tìm là
abc
(a, b, c là STN có 1 chữ số, a
0)
Theo bài ra ta có:
(a n)(b n)(c n) n.abc+ - - =
0.25
Þ
100(a + n) + 10(b – n) + (c – n) = n(100a + 10b + c)
Þ
100a + 100n + 10b – 10n + c – n = 100an + 10bn + cn
Þ
100(n – 1)a + 10(n – 1)b + (n – 1)c = 89n
0.25
Þ
89n
M
n – 1 mà (89; n – 1) = 1 nên n
M
n – 1
0.25
Tìm được n = 2
Số có 3 chữ số cần tìm là 178
0.25
2
(3đ)
a
x y y z x y z
;k
4 3 6 5 8 6 5
Þ = = Þ = = =
0.25
Þ
x = 8k, y = 6k, z = 5k
0.25
xyz = 30
Þ
8k.6k.5k = 30
Þ
240k3 = 30
Þ
k = ½
0.5
Þ
x = 4, y = 3, z =
5
2
0.5
b
1 3 3 1 3 8 3
x 1,6 x
2 4 5 2 4 5 5
- + = - + Þ - + = - +
0.25
13
x1
24
Þ - + =
0.25
11
x24
Þ - =
0.5
31
x hoacx
44
Þ = =
0.5
3
(3đ)
1.a
Vì f(2) – f(–1) =7
Þ
(m – 2).2 – (m – 1).(–1) = 7
0.25
Þ
2m – 4 + m – 1 = 7
0.25
Þ
3m – 5 = 7
Þ
m = 4
0.5
1.b
Với m = 5 ta có hàm số y = f(x) = 4x
0.25
Vì f(3 – 2x) = 20
Þ
4(3 – 2x) = 20
0.25
Þ
12 – 8x = 20
Þ
x = –1
0.5
Giả sử cả 3 đơn thức A, B, C cùng có giá trị âm
Þ
A.B.C có giá trị âm (1)
0.25
Mặt khác: A.B.C = (– ½ x2yz2).(– ¾ xy2z2). x3y =
3
8
x6y4z4
0.25
Vì
3
8
x6y4z4
0
x, y
Þ
A.B.C
0
x; y
(2)
0.25
Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2)
Þ
điều giả sử sai.
Vậy ba đơn thức A = – ½ x2yz2, B = – ¾ xy2z2, C = x3y không thể cùng có
giá trị âm.
0.25
4
(7đ)
Vẽ hình đúng, ghi đúng giả thi
ế
t, k
ế
t luận
4
3
2
12
1
N
M
C
F
E
D
I
B
A
0.5
BD là phân giác của góc ABC nên B1=B2= ½ ABC
CE là phân giác của góc ACB nên C1=C2= ½ ACB
0.5
Mà tam giác ABC có A+B+C = 1800 suy ra 600 + ABC+ACB = 1800
0.5
Þ
ABC+ACB = 1200
Þ
B2+C1= 600
0.5
Þ
BIC = 1200
0.5
D
BIE =
D
BIF (cgc)
Þ
BIE = BIF
0.5
BIC = 1200
Þ
BIE = 600
Þ
BIE = BIF = 600
0.5
Mà BIE + BIF + CIF = 1800
Þ
CIF = 600
0.5
CID = BIE = 600 (đ.đ)
Þ
CIF = CID = 600
0.5
Þ
D
CID =
D
CIF (gcg)
0.5
c
Trên đoạn IM lấy điểm N sao cho IB = IN
Þ
NM = IC
0.5
Þ
D
BIN đều
Þ
BN = BI và BNM = 1200
0.5
Þ
D
BNM =
D
BIC (cgc)
0.5
Þ
BM = BC và B2 = B4
Þ
D
BCM đều
0.5
5
(2đ)
Đặt S = 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n
S = 2S – S = (2.23 + 3.24 + 4.25 + …+ n.2n+1) – (2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n)
0.5
S = n.2n+1 – 23 – (23 + 24 + …+ 2n-1 + 2n)
0.5
Đặt T = 23 + 24 + …+ 2n-1 + 2n . Tính được T = 2T – T = 2n-1 – 23
0.5
Þ
S = n.2
n+1
– 2
3
– 2n-
1
+ 2
3
= (n – 1).2
n+1
Þ
(n – 1).2n+1 = 2n+11
Þ
n – 1 = 210
Þ
n = 210 +1 = 1025
0.5