TR NG TRUNG H C C S QUANG TRUNGƯỜ Ọ Ơ Ở
PHÒNG GD&ĐT Đ THI TH CH N H C SINH GI I C P T NH L P 9 THCS Ề Ử Ọ Ọ Ỏ Ấ Ỉ Ớ
ĐÔNG HÒA
Môn thi: Toán
Th i gian làm bài: 150 phút (không k th i gian giao đ)ờ ể ờ ề
Câu 1:(5 đi m) ể
a) Rút g n bi u th c: ọ ể ứ
1 4 1
2
x
x x x + +
+ + + +���
; ( n d u căn, ấ
1
4
x −
)
b) Tính giá tr bi u th c: ị ể ứ
3 3
84 84
A 1 1
9 9
= + + −
c) Cho x + y = 1 và x y
0 . Ch ng minh r ng : ứ ằ
( )
3 3 2 2
20
1 1 3
x y
x y
y x x y
−
− + =
− − +
Câu 2:(2 đi m) ể : M t ca nô và m t bè n a trôi t do cùng r i b n sông đ xuôi dòng ộ ộ ứ ự ờ ế ể
sông. Ca nô xuôi dòng đc 96km thì tr v A, c đi l n v m t 10h. Trên đng v ượ ở ề ả ẫ ề ấ ườ ề
còn cách A 32km thì ca nô g p bè n a trôi. Tìm v n t c riêng c a ca nô và c a dòng ặ ứ ậ ố ủ ủ
n c.ướ
Câu 3:( 4 đi m)ể
a) Cho m t hình vuông và 4n + 1 đng th ng. M i đng th ng chia hình vuôngộ ườ ẳ ỗ ườ ẳ
thành 2 t giác có t s di n tích b ng 2 : 3. Ch ng minh trong 4n + 1 đng th ng cóứ ỉ ố ệ ằ ứ ườ ẳ
ít nh t n + 1 đng th ng cùng đi qua 1 đi m.ấ ườ ẳ ể
b) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:ị ớ ấ ủ ể ứ
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1
Ax y y z z x
= + +
+ + + + + +
Câu 4: ( 2 đi m)Gi i ph ng trìnhể ả ươ :
2 2
2 9 2 1 4x x x x x
+ + + − + = +
Câu 5: ( 4 đi m)ể Cho đng tròn (O; R) v i dây AB c đnh sao cho kho ng cách t Oườ ớ ố ị ả ừ
t i AB b ng ớ ằ
2
R
. G i H là trung đi m c a AB, tia HO c t đng tròn (O; R) t i C. Trênọ ể ủ ắ ườ ạ
cung nh AB l y M tùy ý ( khác A, B). Đng th ng qua A và song song v i MB c tỏ ấ ườ ẳ ớ ắ
CM t i I. Dây CM c t dây AB t i K.ạ ắ ạ
a) So sánh :
v i ớ
. b) Ch ng minh: ứ
.
MK
1
MB
1
MA
1
c) G i Rọ1, R2 l n l t là bán kính đng tròn ngo i ti p tam giác MAK và tam giácầ ượ ườ ạ ế
MBK, hãy xác đnh v trí c a đi m M trên cung nh AB đ tích Rị ị ủ ể ỏ ể 1.R2 đt giá tr l nạ ị ớ
nh t.ấ
Câu 6:( 3 đi m) ểCho hình ch nh t ABCD, c nh AB = a c đnh . ữ ậ ạ ố ị
M là trung đi m AB, trên BC l y đi m N, đng th ng AN c t đng th ng DC t i P,ể ấ ể ườ ẳ ắ ườ ẳ ạ
đng th ng PB c t đng th ng DM t i Q.ườ ẳ ắ ườ ẳ ạ
a) Ch ng minh ứ
=
ﾷ
BAP
b) Qua A v đng th ng vuông góc v i đng th ng CM c t đng th ng BCẽ ườ ẳ ớ ườ ẳ ắ ườ ẳ
t i H. Tính giá tr nh nh t c a di n tich tam giác AHC theo aạ ị ỏ ấ ủ ệ
GV: Nguy n Đình Huynh T : Toán – Tin.ễ ổ
Đ 1Ề
TR NG TRUNG H C C S QUANG TRUNGƯỜ Ọ Ơ Ở
--------------------H T----------------------Ế
ĐÁP ÁN THAM KH OẢ
Câu 1:(5 đi m) ể
a) (2 đi m) ể
1 4 1 4 2 2 4 1
2 4
x x x
x x x x x
+ + + + +
+ + + + = + + +��� ���
2
4 1 2 4 1 1 4 1 1
4 2
x x x
x x x x � �
+ + + + + +
= + + + == + + +��� ���
� �
� �
� �
2
4 1 1 4 1 1 4 1 1
2 2 2
x x x
x x � �
+ + + + + +
= + + = =
� �
� �
� �
b) (3 đi m) ể Tính giá tr bi u th c: ị ể ứ A =
3 3
84 84
1 1
9 9
+ + −
Suy ra :
2 2
33 3
84 84 84 84 84 84
1 1 3 1 1 3 1 1
9 9 9 9 9 9
A� �� � � �� �
= + + − + + − + + −� �
� �� � � �� �
� �� � � �� �
� �� � � �� �
33 3
1 84 1 84
2 3 1 3 1
27 9 27 9
A� � � �
= + − + + − −� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
3 3
84 84
2 1 1
9 9
� �
� � � �
� �
= − + + −�
� � � �
� � � �
� �
� � � �
� �
( )
( )
3 2
2 1 2 0A A A A A= − − + + =�
1A
=�
c)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 3 2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 3 3
1 1 1 1
x y x y
x y x y
y x x y x y
y y y x x x
− −
− + = − +
− − + +
− + + − + +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
1 1 3 3
1 1
x x y y
x y x y
y y x x x y x y
y y x x
− + + + +
− −
−
= + + = +
+ + + + + +
+ + + +
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2
1 3
x x y y x y
x y xy y x y xy y x x x y
− + + + + + −
= +
+ + + + + + + + +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2
1 3
x x y y x y
x y xy x y y xy x x y x y
− + + + + + −
= +
+ + + + + + + + +
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2
2 1 3
x x y y x y
x y y xy x x y x y
− + + + + + −
= + =
+ + + + + + +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
22 2
2 2
1 1 2
3
1
x x y y x y
x y
x y x y x y
− + + + + + −
++
+ + + + +
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
20 0
3 3 3 3
x x y y x y x y x y x y
x y
x y x y x y x y
− + + + + + � � � �
− − + − − +
−� � � �
= + = = =�
+ + + +
Câu 2:(3 đi m)ể Gi i: G i x, y l n l t là v n t c riêng c a ca nô và c a dòng n c.ả ọ ầ ượ ậ ố ủ ủ ướ
ĐK : x> 4; y > 0; x > y.
Vì ca nô đi và v m t 10 gi , ta có ph ng trình : ề ấ ờ ươ
+ =
+ −
96 96 10
x y x y
GV: Nguy n Đình Huynh T : Toán – Tin.ễ ổ
2
4
2
K
3
1
F
E
C
D
B
A
I
M
TR NG TRUNG H C C S QUANG TRUNGƯỜ Ọ Ơ Ở
Vì ca nô khi tr v g p bè n a trôi cách A 32 km, ta có ph ng trình: ở ề ặ ứ ươ
−
+ =
+ −
96 96 32 32
x y x y y
Ta có h PT: ệ
+ =
+ −
−
+ =
+ −
96 96 10 (1)
x y x y
96 96 32 32 (2)
x y x y y
T (2), ta có: ừ
−
+ =
+ −
96 96 32 32
x y x y y
( ) ( )
( )
− + + = − = =� � �
2 2 2
96y x y 64y x y 32 x y 160xy 32x x 5y
Thay vào (1), ta có:
+ = + = =� �
96 96 16 24 10y
10 y 4
6y 4y y y y
V y h có nghi m x = 20; y = 4 ( tm)ậ ệ ệ
Câu 3:( 4 đi m)ể
a) Gi iả: Đ chia hình vuông thành 2 t giác thì đng th ng ể ứ ườ ẳ
ph i c t hình vuông 2 c nh đi di n.ả ắ ở ạ ố ệ
Đt tên nh hình v : V i EF là đng đo n th ng ặ ư ẽ ớ ườ ạ ẳ
N i trung đi m c a 2 c nh đi di n. ố ể ủ ạ ố ệ
Gi s : ả ử
IJ 2
2
3
2
B C
IADJ
BI CJ BC
SEM
AI JD
S FM
AD
+
= = =
+
g
V y đi m M là đi m c đnh vì t s ậ ể ể ố ị ỉ ố
2
3
EM
MF =
c đnh.ố ị
Trong hình vuông, có 2 đo n n i trung đi m nên ta xác đnh đc 4 đi m th a mãn tínhạ ố ể ị ượ ể ỏ
ch t trên.ấ
Vì có 4n + 1 đng th ng đi qua 1 trong 4 đi m trên nên t n t i ít nh t 1 đi m có n+1ườ ẳ ể ồ ạ ấ ể
đng th ng đi qua ( theo nguyên lí Đirichle)ườ ẳ
b) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:ị ớ ấ ủ ể ứ
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1
Ax y y z z x
= + +
+ + + + + +
Ta có :
( )
22 2
0x y x xy y xy− − +�� �
.
Vì x, y > 0 nên
( )
( )
( ) ( )
2 2 3 3 1x y x xy y xy x y x y xy x y xyz+ − + + + + + +� � �
( )
3 3 1x y xy x y z+ + + +� �
T ng t : ươ ự
( ) ( )
3 3 3 3
1 ; 1y z yz x y z x z xz x y z+ + + + + + + +� � �
Suy ra :
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
1 1 1
Ax y y z z x xy x y z yz x y z zx x y z
= + + + +
+ + + + + + + + + + + +
Mà
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
x y z
xy x y z yz x y z zx x y z xyz x y z xyz
+ +
= + + = = =
+ + + + + + + +
V y giá tr l n nh t c a A b ng 1 khi x = y = z = 1ậ ị ớ ấ ủ ằ
Câu 4: ( 2 đi m)ể Gi i ph ng trình sau :ả ươ
2 2
2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +
GV: Nguy n Đình Huynh T : Toán – Tin.ễ ổ
3
K
I
J
C
A
B
H
O
M
TR NG TRUNG H C C S QUANG TRUNGƯỜ Ọ Ơ Ở
Gi i: ảTa th y : ấ
( ) ( )
( )
2 2
2 9 2 1 2 4x x x x x+ + − − + = +
+
4x= −
không ph i là nghi m ả ệ
+ Xét
4x −
Tr c căn th c ta có :ụ ứ
( )
2 2
2 2
2 4 4 2 9 2 1 2
2 9 2 1
xx x x x x
x x x x
+= + + + − − + =�
+ + − − +
V y ta có h : ậ ệ
2 2
2
2 2
0
2 9 2 1 2 2 2 9 6 8
2 9 2 1 4 7
x
x x x x x x x x
x x x x x
=
+ + − − + =
+ + = +� �
=
+ + + − + = +
Th l i th a; v y ph ng trình có 2 nghi m : x=0 và x=ử ạ ỏ ậ ươ ệ
8
7
Câu 5: ( 5 đi m)ể
a) Xét
∆
AOH có CosAOH =
ﾷ
0
160
2
OH AOH
OA = =�
ﾷ
ﾷ
ﾷ
0 0 0
120 120 60AOB sđAB ACB= = =� � �
+
∆
ABC có đng cao CH đng th i là trung tuy n. ườ ồ ờ ế
V y ậ
∆
ABC đu =>ề
ﾷ
0
60ACB =
Vì AI // MB
ﾷ
ﾷ
ﾷ
0
60AIM CMB CAB= = =
( góc n i ti p ch n ộ ế ắ
ﾷ
BC
)
V y ậ
ﾷ
ﾷ
AIM ACB=
b)
∆
AIM đu vì ề
ﾷ
ﾷ
0
60AIM AMI= =
=> AM = MI.
AIC AMB (c-g-c)∆ = ∆
Vì AC = AB;
ﾷ
ﾷ
ﾷ
s
2
đMB
IAC MAB= =
; AI = AM
CI MB
=�
MKA
MBC
( g-g) nên
MC
MB
MA
MK
MKB
MAC
( g-g) nên
MC
MA
MB
MK
V y: ậ
1
MC
MAMB
MC
MA
MC
MB
MB
MK
MA
MK
hay
.
MK
1
MB
1
MA
1
c) B đ: Trong ổ ề
∆
ABC, ta có :
R2
Csin
c
Bsin
b
Asin
a
Áp d ng b đ ta đc:ụ ổ ề ượ
Trong
∆
AKM:
3
AK
60sin2
AK
Msin2
AK
R
0
1
Trong
∆
BKM:
3
BK
60sin2
BK
Msin2
BK
R
0
2
Áp d ng b t đng th c Côsi cho 2 s không âm Rụ ấ ẳ ứ ố 1, R2 có:
GV: Nguy n Đình Huynh T : Toán – Tin.ễ ổ
4
K
H
Q
P
M
B
D
C
A
N
TR NG TRUNG H C C S QUANG TRUNGƯỜ Ọ Ơ Ở
1 2
1 2
3
2 2
2 3 2 3
R R AK BK R R
R R
+ +
= = =
( Không đi)ổ
D u b ng x y ra khi Rấ ằ ả 1=R2
AK = BK
M là đi m chính gi a c a ể ữ ủ
ﾷ
AB
.
V y Rậ1R2 max =
4
2
R
khi M là đi m chính gi a c a cung AB.ể ữ ủ
Câu 6:( 2 đi m)ể Cho hình ch nh t ABCD, c nh AB = a c đnh . ữ ậ ạ ố ị
M là trung đi m AB, trên BC l y đi m N, đng th ng AN c t đng th ng DC t i P,ể ấ ể ườ ẳ ắ ườ ẳ ạ
đng th ng PB c t đng th ng DM t i Q.ườ ẳ ắ ườ ẳ ạ
a) Ch ng minh ứ
=
ﾷ
BAP
b) Qua A v đng th ng vuông góc v i đng th ng CM c t đng th ng BC t iẽ ườ ẳ ớ ườ ẳ ắ ườ ẳ ạ
H. Tính giá tr nh nh t c a di n tich tam giác AHC theo aị ỏ ấ ủ ệ
GI IẢ:
a) Qua M, v đng th ng song song v i AD c t AQ t i K.ẽ ườ ẳ ớ ắ ạ
Áp d ng đnh lí Talet, ta có:ụ ị
QK QM
QA QD
=
mà
QM QB
QD QP
=
Suy ra:
KB//AP
QK QB
QA QP
=
( Đnh lí Talet đo)ị ả
Nên
ﾷ
ﾷ
BAP ABK=
( c p góc so le trong) (*)ặ
Mà MK // AD; AD
⊥
AB
;MK AB AM MB⊥ =�
Suy ra :
AKB∆
cân t i Kạ
ﾷ
ﾷ
ABK QAB=
(**)
T (*) và (**), suy ra ừ
=
ﾷ
BAP
b) Ta có :
ABH∆
CBM∆
( g – g)
Vì
ﾷ
ﾷ
ﾷ
ﾷ
0
90 ; ABH CBM BAH BCM= = =
( cùng ph v i ụ ớ
ﾷ
H
)
AB BH AB BM BH BC
BC BM
= =� � � �
hay
2
2 2
a a
BH BC a= =� �
( c đnh)ố ị
( )
1 1 1 2
2 2 2
AHC
S AB HC AB BC BH AB BC BH= = +�� �� ����
D u “ = ” x y ra khi BC = BH hay ấ ả
AHC
∆
cân t i A.ạ
Khi đó
2
2
a
BH BC =�
nên Min
2 2
1 2
2
2 2 2
AHC
a a
S a= =�
ﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷﾷ
GV: Nguy n Đình Huynh T : Toán – Tin.ễ ổ
5