Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KIÊN GIANG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG
TỈNH THCS
Năm học: 2017 - 2018
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 13/3/2018
(Đề thi có 01 trang gồm 6 câu).
Câu 1. (3 điểm)
1) Cho biểu thức
245A n n
(
n
là số tự nhiên lẻ). Chứng minh rằng
A
không chia hết cho
8
.
2) Cho số
x
;0xx
thỏa mãn điều kiện:
. Tính giá trị các biểu
thức:
5
5
1
Bx x

.
Câu 2. (3 điểm)
Rút gọn biểu thức:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1
1 2 2 3 3 4 2017 2018
X
.
Câu 3. (4 điểm)
1) Giải phương trình:
32
3 2 27 8 9 6x x x
.
2) Tìm 2 số
m
,
n
cùng dấu thỏa mãn điều kiện:
2mn
đạt giá trị nhỏ nhất
sao cho hai phương trình sau có nghiệm chung:
220x mx
;
22 6 0x nx
.
Câu 4. (3 điểm)
1) Cho phương trình:
22 3 3 0x m x m
. Tìm các giá trị của
m
để phương
trình có một nghiệm nhỏ hơn
2
và một nghiệm lớn hơn
2
.
2) Cho
x
,
y
,
z
,
t
là các số thực dương. Chứng minh rằng:
2
x y z t
y z z t t x x y
.
Câu 5. (3,5 điểm) Để có được tờ giấy khổ A4 (kích thước
xấp xỉ
21
cm
29,7
cm) người ta thực hiện như
hình vẽ minh họa bên.
Bước 1: Tạo ra hình vuông
ABCD
cạnh
21a
cm.
Bước 2: Vẽ cung tròn tâm
A
bán kính
AC
cắt tia
AD
tại
F
.
Bước 3: Tạo hình chữ nhật
ABEF
.
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1
2
Khi đó hình chữ nhật
ABEF
chính là tờ giấy A4 thông dụng hiện nay.
Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 này theo đường thẳng
AE
, rồi xếp theo
đường thẳng
FM
(
M
là trung điểm
BE
) khi mở tờ giấy ra. An ngạc nhiên thấy
hai đường thẳng
FM
và
AE
vuông góc với nhau. Em hãy chứng minh giúp bạn
An vẽ điều đó.
Câu 6. (4 điểm)
Cho hình vuông
ABCD
nội tiếp đường tròn tâm
O
, trên dây cung
DC
lấy điểm
E
sao cho
3DC DE
, nối
AE
cắt cung nhỏ
CD
tại
M
. Trên cung nhỏ
CB
lấy
điểm
N
sao cho cung nhỏ
DM
bằng cung nhỏ
CN
, nối
AN
cắt dây cung
BC
tại
F
. Chứng minh rằng:
F
là trung điểm của
BC
.
----------------------HẾT-------------------
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1
3
LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1. (3 điểm)
1) Cho biểu thức
245A n n
(
n
là số tự nhiên lẻ). Chứng minh rằng
A
không chia hết cho
8
.
2) Cho số
x
;0xx
thỏa mãn điều kiện:
. Tính giá trị các biểu
thức:
5
5
1
Bx x

.
1) Ta có:
22
4 5 1 4 6n n n n
1 1 2 2 3n n n
.
Do
n
lẻ nên
1n
và
1n
là 2 số chẵn liên tiếp.
11nn
chia hết cho
8
.
Mà
23n
lẻ
23n
không chia hết cho
4
.
2 2 3n
không chia hết cho
8
.
1 1 2 2 3n n n
không chia hết cho
8
.
đpcm.
2) Ta có:
2
11
93xx
xx



(do
0x
).
3
127xx



3
3
11
3 27xx
xx



3
3
118xx
23
23
11
18.7 126xx
xx
5
5
11
126xx
xx
5
5
1123xx
.
Câu 2. (3 điểm)
Rút gọn biểu thức:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1
1 2 2 3 3 4 2017 2018
X
.
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1
4
Tổng quát:
22
22
22
2
11
11
111
n n n n
nnnn


22
22
1 2 1 1 1 1
11
n n n n n n
n n n n


1 1 1 11
1
1 1 1 1
n n n n
n n n n n n n n
Vậy:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1
1 2 2 3 3 4 2017 2018
X
1 1 1 1
1 1 1 .... 1
1.2 2.3 3.4 2017.2018
2017
số
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2017 1 ...
2 2 3 3 4 2016 2017 2017 2018
1 4072323
2018 2018 2018
.
Vậy
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 4072323
1 1 1 ... 1 .
1 2 2 3 3 4 2017 2018 2018
X
Câu 3. (4 điểm)
1) Giải phương trình:
32
3 2 27 8 9 6x x x
.
2) Tìm 2 số
m
,
n
cùng dấu thỏa mãn điều kiện:
2mn
đạt giá trị nhỏ nhất
sao cho hai phương trình sau có nghiệm chung:
220x mx
;
22 6 0x nx
.
1)
32
3 2 27 8 9 6x x x
22
3 2 3 2 9 6 4 9 6x x x x x
(Điều kiện
2
3
x
)
22
9 6 2 3 2 9 6 4 3 0x x x x x
22
9 6 4 2 3 2 9 6 4 3 2 0x x x x x x
2
2
9 6 4 3 2 0x x x
2
9 6 4 3 2x x x
2
9 9 2 0xx
2
3
1
3
x
x
(thỏa mãn)
Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán 9 các tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1
5
Vậy phương trình có nghiệm là:
21
;.
33
x


2) Do
m
,
n
cùng dấu nên:
- Nếu
0m
;
0n
thì:
22m n m n
.
- Nếu
0m
;
0n
thì:
2 2 2m n m n m n
.
+ Gọi
0
x
là nghiệm chung của hai phương trình ta được:
2
00
2
00
20
2 6 0
x mx
x nx
có nghiệm chung
2
00
2 2 8 0x m n x
có nghiệm
0
x
.
2
2 4.2.8 0mn
2
2 64mn
28
28
mn
mn

28mn
Vậy
2mn
đạt GTNN là
8
khi:
28
28
mn
mn

+ TH1:
28mn
, ta được:
2
00
2 8 8 0xx
2
00
4 4 0xx
02x
. Ta có:
2
2
3
2 2 2 0 5
2 2 2 6 0 2
m
m
n
n



(thỏa mãn)
+ TH2:
28mn
, ta được:
2
00
2 8 8 0xx
2
0
2 2 0x
02x
. Ta có:
2
2
3
2 .2 2 0 5
2 2 .2 6 0 2
m
m
n
n



(thỏa mãn)
Vậy với
3m
và
5
2
n
thì hai phương trình có nghiệm chung
02x
.
Với
3m
và
5
2
n
thì hai phương trình có nghiệm chung
02x
.
Câu 4. (3 điểm)
1) Cho phương trình:
22 3 3 0x m x m
. Tìm các giá trị của
m
để phương
trình có một nghiệm nhỏ hơn
2
và một nghiệm lớn hơn
2
.
2) Cho
x
,
y
,
z
,
t
là các số thực dương. Chứng minh rằng:
2
x y z t
y z z t t x x y
.