ĐỀ THI MẪU MÔN TOÁN
THI TUYỂN SINH ĐH, CĐ KHỐI B, D - 2009
(Thời gian làm bài: 180 phút)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số 23
.
2
x
yx
+
=−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=2x+m cắt (C) tại hai điểm
phân biệt mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau.
Câu II (2,0 điểm).
1. Giải phương trình:
(1+2cos3x)sin x + sin2x = 2sin2(2 )
4
x
π
+.
2. Giải phương trình:
222
log 2 log 5 log 8 0.xx−+ ++ =
Câu III (1,0 điểm).
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
22
2
ln ( 1) ,
1
xx
yx
+
=+ trục tung,
trục hoành và đường thẳng 1.xe
=
−
Câu IV (1,0 điểm).
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ = 2a và đường
thẳng AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 600. Tính thể tích khối tứ diện
ACA’B’ theo a.
Câu V (1,0 điểm).
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình 32
31( 1)xx axx3
+
−≤ − −
có nghiệm.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2).
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a (2,0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình:
17
214
xyz−−−
==
3
và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x – 2y – z + 5 =0.
1. Tính khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
2. Ký hiệu l là hình chiếu vuông góc của d trên (P). Viết phương trình tham số
của đường thẳng l.
Câu VII.a (1,0 điểm).
Tìm các số thực x,y thỏa mãn đẳng thức:
3
(3 5 ) (1 2 ) 9 14 .
x
iy i i++ − =+
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b (2,0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình:
17
214
xyz−−−
==
3
và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x – 2y – z + 5 = 0.
1. Tính khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
2. Ký hiệu l là giao tuyến của (P) và mặt phẳng chứa d, vuông góc với (P). Viết
phương trình chính tắc của đường thẳng l.
Câu VII.b (1,0 điểm).
Cho số phức 13z=+ .i Hãy viết dạng lượng giác của số phức z5.
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
I (2,0 điểm) 1. (1,25 điểm)
• Tập xác định: \{2}. D=
• Chiều biến thiên: '
2
70.
(2)
y
xD
x
−
=
<∀∈
−
Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-
∞
; 2) và (2; +
∞
).
• Cực trị: Hàm số không có cực trị.
0,50
• Giới hạn: ∞
22
lim lim 2; lim à lim .
xx xx
yy yvy
+−
→−∞ →+∞ →→
== =+∞ =−
Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng
x = 2, và một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.
0,25
• Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị (C):
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm 3
0; 2
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
Và cắt trục hoành tại điểm 3;0 .
2
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
- Đồ thị nhận điểm (2; 2) (là giao điểm của hai đường tiệm cận)
làm tâm đối xứng.
0,25
x
∞
−∞ 2
−
−
'
y
y
2
∞
∞
2
y
2. (0,75 điểm)
Đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tiếp
tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau.
⇔ phương trình (ẩn x) 23
2
2
x
x
m
x
+
=
+
− có hai nghiệm phân biệt
x1, x2 thỏa mãn điều kiện y’(x1) = y’(x2) (với y là hàm số đã cho)
⇔ phương trình (ẩn x) 2x2 + (m - 6)x – 2m – 3 = 0 (1) có hai
nghiệm phân biệt x1, x2 ( hiển nhiên x = 2 không là nghiệm của
(1) ) và thỏa mãn điều kiện
x1+ x2 = 4 ( do y’(x1) = y’(x2) )
0,50
2
(6)8(23)0
2
64
2
mm m
m
⎧Δ= − + + >
⎪
⇔⇔
⎨−=
⎪
⎩
=−
0,25
II (2,0 điểm) 1. (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
sin n4 sin 2 sin 2 1 cos 4 2
xsix x x x
π
⎛⎞
+− + =− +
⎜⎟
⎝⎠
0,50
sin sin 4 1 sin 4 sin 1
x
xx⇔+ =+ ⇔=x 0,25
2, .
2
xkk
π
π
⇔= + ∈
0,25
2
3
2
−
0 2
3
2
−
x
2. (1,0 điểm)
Điều kiện: x
≠
2 và x
≠
-5. Với điều kiện đó, phương trình đã cho
tương đương với phương trình:
()
22
2
log 2 . 5 log 8
3108
xx
xx
−+=
⇔+−=
0,50
()()
2
22
2
318
318 320 320
317
63 .
2
xx
xx xx xx
xxx
⎡0
+
−=
+− +−=⇔
⎢
+
−=
⎣
−±
⇔=−∨=∨=
0,50
III (1,0
điểm) Ký hiệu S là diện tích cần tính. Vì
22
2
ln ( 1) 0
1
xx
x
+≥
+
122
2
0
ln ( 1)
0; 1 ê .
1
exx
x
ennS d
x
−+
⎡⎤
∀∈ − =
⎣⎦ +
∫x
0,25
Đặt ln(x2 + 1) = t, ta có 2
2.
1
xdx dt
x
=
+
Khi x = 0 thì t = 0, và khi 1ìt=1.xeth=−
0,50
Vì vậy,
1
23
0
1
11.
26
0
Stdtt===
∫
600
H
C
B’
A’C’
A
B
1
6
0,25
IV (1,0 điểm) Ký hiệu h và V tương ứng là chiều cao và thể tích của khối lăng
trụ đã cho. Ta có:
0,50