Trần Sĩ Tùng
Trung tâm BDVH & LTĐH
QUANG MINH
Đề số 9
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
mxm
yx
2
(21)
1
--
=-.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng
yx
=
.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
xxx
2
23cos2sin24cos3
-+=
2) Giải hệ phương trình:
xy
xyxy
xyxy
22
2
2
ì
++=
ï+
í
ï+=-
î
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x
dx
xx
2
3
0
sin
(sincos)
p
+
ò
Câu IV (1 điểm): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, A¢M ^ (ABC), A¢M =
a
3
2
(M là trung điểm cạnh BC). Tính thể tích khối đa diện ABA¢B¢C.
Câu V (1 điểm): Cho các số thực x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = xyyxyyx
2222
44444
+-++++++-
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): xy
22
10025
+=
. Tìm các điểm M Î (E) sao cho
·
FMF
0
12
120
=
(F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)).
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương
trình:
xyz
30
+=+=
. Tìm trên (P) điểm M sao cho
MAMBMC
23++
uuuruuuruuur
nhỏ nhất.
Câu VII.a (1 điểm): Gọi a1, a2
, …, a11 là các hệ số trong khai triển sau:
xxxaxaxa
1011109
1211
(1)(2)...++=++++ .
Tìm hệ số a5.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xy
22
(3)(4)35
-+-=
và điểm A(5; 5). Tìm trên (C)
hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d: xyz
13
111
--
== . Tìm trên d hai
điểm A, B sao cho tam giác ABM đều.
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình:
y
xy
x
xy xy
xy
2010
33 22
2
log2
ìæö
=-
ç÷
ï
ïèø
í+
ï=+
ï
î
============================
Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn:
I. PHẦN CHUNG
Câu I: 2) TXĐ: D = R \ {1}.
Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng
yx
=
thì:
mxm x
x
m
x
2
2
2
(21)
(*)
1
(1)
1(**)
(1)
ì-- =
ï
ï-
í
-
ï=
ï
-
î
Từ (**) ta có mx
22
(1)(1)
-=-
Û xm
xm
2
é=
ê
=-
ë
· Với x = m, thay vào (*) ta được:
m
00
=
(thoả với mọi m). Vì x
¹
1 nên m
¹
1.
· Với x = 2 – m, thay vào (*) ta được: mmmmm
2
(21)(2)(2)(21)
---=---
Û m2
4(1)0
-=
Û
m
1
=
m = 1 Þ x = 1 (loại)
Vậy với m ¹ 1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng
yx
=
.
Câu II: 1) PT Û
xxx
31
cos2sin2cos6
22
-
+= Û
xx
5
cos2cos6
6
p
æö
-=
ç÷
èø Û
xk
xl
5
484
5
242
pp
pp
é=+
ê
ê
ê
=-+
ê
ë
2)
xy
xyxy
xyxy
22
2
2
1(1)
(2)
ì++=
ï+
í
ï
+=-
î
. Điều kiện:
xy
0
+>
.
(1) Û xyxy xy
21
()1210
æö
+---=
ç÷
+
èø
Û xyxyxy
22
(1)()0
+-+++=
Û
xy
10
+-=
(vì
xy
0
+>
nên xyxy
22
0
+++>
)
Thay
xy
1
=-
vào (2) ta được:
xx
2
1(1)
=--
Û xx
2
20
+-=
Û xy
xy
1(0)
2(3)
é
==
ê
=-=
ë
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).
Câu III: Đặt
tx
2
p
=-
Þ dt = –dx. Ta có I = t
dt
tt
2
3
0
cos
(sincos)
p
+
ò = x
dx
xx
2
3
0
cos
(sincos)
p
+
ò
Þ 2I = x
dx
xx
2
3
0
sin
(sincos)
p
+
ò + x
dx
xx
2
3
0
cos
(sincos)
p
+
ò =
dx
xx
2
2
0
1
(sincos)
p
+
ò =
dx
x
2
2
0
11
2
cos 4
p
p
æö
-
ç÷
èø
ò
= x
2
0
1tan
24
p
p
æö
-
ç÷
èø
= 1 . Vậy: I =
1
2
.
Câu IV: Vì ABB¢A¢ là hình bình hành nên ta có:
CABBCABA
VV
.'.''
=. Mà CABBABC
aaa
VAMS
23
.'
1133
...
33248
¢
===
Vậy, CABBACABB
aa
VV
33
.''.'
22
84
===.
Câu V: Ta có: P = xyxyx
2222
(2)(2)4
+-++++-
Xét axybxy
(;2),(,2)
=-=+
r
r
. Ta có:
abab
+³+
rr
rr
Þ xyxyxx
222222
(2)(2)41624
+-+++³+=+
Suy ra: P ³ xx
2
244
++-
. Dấu "=" xảy ra Û
ab
,
r
r
cùng hướng hay y = 0.
Mặt khác, áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
( )
xx
2
2
23(31)(4)
+£++ Þ
xx
2
2423
+³+
Dấu "=" xảy ra Û x
2
3
=.
Trần Sĩ Tùng
Do đó: P ³
xx
234
++-
³
234234
+=+
. Dấu "=" xảy ra Û xy
2
,0
3
==
.
Vậy MinP =
234
+
khi xy
2
,0
3
==
.
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) Ta có:
ab
10,5
==
Þ c
53
=. Gọi M(x; y) Î (E). Ta có:
MFxMFx
12
33
10,10
22
=-=+ .
Ta có:
·
FFMFMFMFMFFMF
222
12121212
2..cos=+-
Û
( )
xxxx
22
2
33331
103101021010
22222
æöæöæöæö
æö
=-++--+-
ç÷ç÷ç÷ç÷
ç÷
èøèøèøèøèø
Û x = 0 (y= ± 5)
Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5).
2) Gọi I là điểm thoả: IAIBIC
230
++=
uuruuruur
r
Þ I
231325
;;
666
æö
ç÷
èø
Ta có: T =
(
)
(
)
(
)
MAMBMCMIIAMIIBMIICMIMI
232366++=+++++==
uuuruuuruuuruuuruuruuuruuruuuruuruuuruuu
r
Do đó: T nhỏ nhất Û
MI
uuur
nhỏ nhất Û M là hình chiếu của I trên (P).
Ta tìm được: M
13216
;;
999
æö
-
ç÷
èø
.
Câu VII.a: Ta có:
xCxCxCxC
1001019910
10101010
(1)...+=++++ Þ
(
)
xxCCx
10546
1010
(1)(2)...2...
++=+++
Þ aCC
54
51010
2672
=+=.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(3; 4).
· Ta có:
ABAC
IBIC
ì=
í=
î Þ AI là đường trung trực của BC. DABC vuông cân tại A nên AI cũng là phân giác của
·
BAC
.
Do đó AB và AC hợp với AI một góc
0
45
.
· Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc
0
45
. Khi đó B, C là giao điểm của d với (C) và AB = AC.
Vì IA
(2;1)
=
uur
¹ (1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ Þ VTCP của d có hai thành phần đều
khác 0. Gọi
ua
(1;)
=
r
là VTCP của d. Ta có:
( )
aa
IAu
aa
222
222
cos,
2
12151
++
===
+++
uur
r
Û
aa
2
2251+=+ Û
a
a
3
1
3
é=
ê
=-
ê
ë
· Với a = 3, thì
u
(1;3)
=
r
Þ Phương trình đường thẳng d:
xt
yt
5
53
ì
=+
í
=+
î.
Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là:
91373139137313
;,;
2222
æöæö
++--
ç÷ç÷
èøèø
· Với a =
1
3
-
, thì u
1
1;
3
æö
=-
ç÷
èø
r
Þ Phương trình đường thẳng d:
xt
yt
5
1
5
3
ì
=+
ï
í
=-
ï
î
.
Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là:
7313111373131113
;,;
2222
æöæö
+--+
ç÷ç÷
èøèø
· Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là:
731311139137313
;,;
2222
æöæö
+-++
ç÷ç÷
èøèø
và
731311139137313
;,;
2222
æöæö
-+--
ç÷ç÷
èøèø
2) Gọi H là hình chiếu của M trên d. Ta có: MH = dMd
(,)2
=.
Trần Sĩ Tùng
Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB = MH
226
3
3
=
Do đó, toạ độ của A, B là nghiệm của hệ:
xyz
xyz
222
23
111
8
(2)(1)(2)
3
ì--
==
ï
ï
í
ï
-+-+-=
ï
î
.
Giải hệ này ta tìm được: AB
222222
2;;3,2;;3
333333
æöæö
++---
ç÷ç÷
èøèø
.
Câu VII.b:
yxy
x
xy xy
xy
2010
33 22
2
log2(1)
(2)
ìæö
=-
ç÷
ï
ïèø
í+
ï=+
ï
î
Điều kiện:
xy
0
>
. Từ (2) ta có: xyxyxy
3322
()0
+=+>
Þ
xy
0,0
>>
.
(1) Û
xy
y
x
2
22010
-
= Û
xy
xy
2
.20102.2010
=.
Xét hàm số: f(t) =
t
t
.2010
(t > 0). Ta có: f
¢
(t) = tt
201010
ln2010
æö
+>
ç÷
èø
Þ f(t) đồng biến khi t > 0 Þ f(x) = f(2y) Û x = 2y
Thay x = 2y vào (2) ta được: yy9
50
2
æö
-=
ç÷
èø
Û
yloaïi
yx
0()
99
105
é=
ê
æö
ê==
ç÷
èø
ë
Vậy nghiệm của hệ là:
99
;
510
æö
ç÷
èø
.
=====================