Trần Sĩ Tùng
Trường THPT Phan Châu Trinh
ĐÀ NẴNG
Đề số 13
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN – Khối D
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
3
1
x
y
x
-
=
+
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm
(
1;1
I- và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm
của đoạn MN.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
( )
cos3sin23sin3cos2
+=+
xxxx
2) Giải hệ phương trình:
(
xyxy
xy
33
22
34
9
ì
ï-=
í=
ï
î
Câu III (1 điểm): Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
( )
(
22
211
-++=-
mxxm
có nghiệm.
Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ tam giác đều
.'''
ABCABC
có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC)
bằng
2
a
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
.'''
ABCABC
.
Câu V (1 điểm): Chứng minh
( )
abc
abbccaabc
abbcca
222
1
2
+++++³++
+++ với mọi số dương
;;
abc
.
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Giải bất phương trình:
(
(
22 2
1loglog2log6
xxx
+++>-
2) Tính: 2
ln
xdx
ò
Câu VII.a (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua
(
2;1
M và tạo với các
trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
4
.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Giải hệ phương trình :
22
1
23
xy
yxxy
+
ì
+=+
ï
í=
ï
î
2) Tìm nguyên hàm của hàm số
()
cos21
cos21
x
fx
x
-
=
+
.
Câu VII.b (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) , cho điểm
1
3;
2
M
æö
ç÷
èø
. Viết phương trình chính tắc của elip
đi qua điểm M và nhận
(
1
3;0
F- làm tiêu điểm.
============================
Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn:
I. PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Gọi d là đường thẳng qua I và có hệ số góc k Þ PT
(
:11
dykx
=++
.
Ta có: d cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt M, N 3
:1
1
x
PTkxk
x
-
Û=++
+ có 2 nghiệm phân biệt khác
1
-
.
Hay:
(
2
240
fxkxkxk
=+++=
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
-
( )
0
400
140
k
kk
f
ì
¹
ï
ÛD=->Û<
í
ï-=¹
î
Mặt khác: 22
MNI
xxx
+=-=Û
I là trung điểm MN với
0
k
"<
.
Kết luận: PT đường thẳng cần tìm là
1
ykxk
=++
với
0
k
<
.
Câu II: 1) PT
cos33sin33cos2sin2
xxxx
Û-=+
1331
cos3sin3cos2sin2
2222
xxxx
Û-=+
cos3cos2
36
xx
pp
æöæö
Û+=-
ç÷ç÷
èøèø
Û
2
6
2
105
p
p
pp
é=-+
ê
ê
ê
=-+
ê
ë
xk
k
x
2) Ta có : 22
93
xyxy
=Û=±
.
· Khi:
3
xy
=
, ta có: 33
4
xy
-=
và
(
33
.27
-=-
xy
Suy ra:
(
33
;-
xy
là các nghiệm của phương trình: 2
4270231
XXX--=Û=±
Vậy nghiệm của Hệ PT là 33
231,231
xy=+=-- hoặc 33
231,231
xy=-=-+ .
· Khi:
3
xy
=-
, ta có: 33
4
xy
-=-
và
(
33
.27
-=
xy
Suy ra:
(
33
;
xy
- là nghiệm của phương trình: 2
4270()
++=
XXPTVN
Câu III: Đặt 2
1
tx
=+
. Điều kiện:
1
t
³
. PT trở thành:
(
(
2
211
mttm
-+=--
Û
( )
1
1
2
=+³
+
mtt
t
Xét hàm số:
() () ( )
2
11
'1
2
2
fttft
tt
=+Þ=-
++
( )
2
2
43
2
++
=+
tt
t
tloaïi
ft
tloaïi
1()
()0
3()
é=-
¢=Û
ê
=-
ë. Dựa vào BBT, ta kết luận
4
3
m
³
.
Câu IV: Gọi M là trung điểm BC, hạ AH vuông góc với A¢M. Ta có: (')
'
^
ìÞ^Þ^
í
^
î
BCAM
BCAAMBCAH
BCAA .
Mà '(')
2
a
AHAMAHABCAH
^Þ^Þ=
.
Mặt khác: 222
1116
'
4
'
a
AA
AHAAAM
=+Þ= .
Kết luận:
3
.'''
32
16
ABCABC
a
V=.
Câu V: Ta có:
21
2
2
aabab
aaaab
abab ab
=-³-=-
++ (1)
Tương tự:
21
2
b
bbc
bc
³-
+ (2),
21
2
c
cca
ca
³-
+ (3).
Cộng (1), (2), (3), ta có:
( )
222
1
2
abc
abbccaabc
abbcca
+++++³++
+++
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Trần Sĩ Tùng
Câu VI.a: 1) Điều kiện:
06
x
<<
.
BPT
(
( )
2
2
22
log24log6
xxx
Û+>-
()
2
22
24616360
xxxxx
Û+>-Û+->
Û
18
x
<-
hay 2
x
<
So sánh với điều kiện. Kết luận: Nghiệm của BPT là
26
x
<<
.
2) Đặt
dudx
ux
x
dvdx vx
2
2
ln ì
ìï=
=Þ
íí
=
îï
=
î
. Suy ra : 222
lnln2ln2
==-=-+
òò
IxdxxxdxxxxC
Câu VII.a: Gọi
(
(
;0,0;
AaBb
là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra:
:1
xy
d
ab
+=
.
Theo giả thiết, ta có:
21
1
8
ì
+=
ï
í
ï=
î
ab
ab
Û
baab
ab
2
8
ì
+=
í=
î.
· Khi
8
ab
=
thì
28
ba
+=
. Nên: 1
2;4:240
badxy
==Þ+-=
.
· Khi
8
ab
=-
thì
28
ba
+=-
. Ta có: 2
440222
bbb+-=Û=-± .
+ Với
(
)
(
)
2
222:1221240
=-+Þ-++-=
bdxy
+ Với
(
)
(
)
3
222:1221240
=--Þ++-+=
bdxy.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1)
22
1
(1)
23(2)
+
ì+=+
ï
í
=
ï
î
xy
yxxy (*).
Từ (1) ta có:
()( )
22 10
1
=
é
+=+Û-+-=Û
ê
=-
ë
yx
yxxyyxyx
yx
· Khi:
yx
=
thì (*) Û
xx
yx
1
23
+
ì=
í=
î Û
2
3
2
3
log3
log3
=
ì
ï
í=
ï
î
x
y.
· Khi:
1
yx
=-
thì (*) Û
xx
yx
2
1
23
-
ì=-
í=
î Û 6
6
log9
1log9
=
ì
í=-
î
x
y
2) Ta có:
(
2
tan
fxx
=-
2
1
1
cos
=-
x
Þ
(
tan
FxxxC
=-+
Câu VII.b: PTCT elip (E) có dạng:
22
22
1(0)
xy ab
ab
+=>>
.
Ta có:
22
22
3
1
4
31
ab
ab
-=
+=
ì
ï
í
ï
î
Û a
b
2
2
4
1
ì
ï
=
í
=
ï
î. Vậy (E):
22
1
41
xy
+=
=====================