Tr−êng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng §Ò thi thö §¹i häc lÇn I - n¨m 2011
Tæ to¸n M«n thi: To¸n - Khèi A- Khèi D
Thêi gian lµm bµi: 180 phót kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò
I. PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7,0®iÓm):
C©uI (2,0 ®iÓm)
Cho hµm sè y = 1
42
+
−
x
x . §å thÞ (C).
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C)
2. T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®−êng th¼ng x+ 2y + 3 = 0.
C©u II (2,0 ®iÓm)
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( )
x
x
x
2sin1
cos
4
sin2
+
−
π
= 1+tanx
2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
=+++
+=+
6854
)1()(
2
2422
yx
yyyxx
C©u III (1,0 ®iÓm)
TÝnh tÝch ph©n: I = dx
x
x
∫+
+
1
0
6
4
1
1
C©uIV (1,0 ®iÓm)
Cho h×nh chãp ®Òu S.ABC, c¹nh ®¸y AB = a. Gäi M, N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña SB, SC, vµ mÆt
ph¼ng (AMN) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SBC). TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABC
C©u V (1,0 ®iÓm)
Cho x,y,z lµ ba sè thùc d−¬ng tháa mQn x + y + z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
P = xyz
z
xzy
y
yzx
x
+
+
+
+
+
333
II. PhÇn riªng (3,0 ®iÓm):
ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét trong hai phÇn ( phÇn A hoÆc B)
A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn.
C©u VI.A(2,0 ®iÓm)
1. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (S): x2 + y2 – 2x - 4y = 0. vµ ®−êng th¼ng (d)
x + y -1 = 0. T×m ®iÓm A trªn (d) mµ tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®−êng trßn (S) vµ
gãc BAC b»ng 60°.
2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho mÆt ph¼ng (P): 2x– y +2z +11 = 0, vµ hai ®iÓm A(1;-1;2)
B(-1;1;3). T×m ®iÓm C thuéc (P) sao cho tam gi¸c ABC cã chu vi nhá nhÊt.
C©u VII.A(1,0®iÓm)
Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( ) ( )
2
loglog 11313 22 xx xx +=++−
B. Theo ch−¬ng tr×nh N©ng cao.
C©u VI.B (2,0®iÓm)
1. T×m täa ®é c¸c ®Ønh h×nh vu«ng ABCD, biÕt ®Ønh A vµ C thuéc trôc Ox, c¸c ®Ønh B, D lÇn l−ît
thuéc c¸c ®−êng th¼ng (d1): x – y = 0, (d2): x – 2y + 3 = 0.
2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm M(1; 2; 3). ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm
M c¾t c¸c tia Ox, Oy, Oz lÇn l−ît t¹i A,B,C sao cho tø diÖn OABC cã thÓ tÝch nhá nhÊt.
C©u VII.B(1,0®iÓm)
Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
( ) ( )
x
xx ≤−−+ 22 loglog 1515
............................HÕt................................
L−u ý: ThÝ sinh thi khèi D kh«ng ph¶i lµm c¸c c©u VII.A, VII.B
Hä vµ tªn thÝ sinh……………………………………..Sè b¸o danh……………………..
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm chÊm
(§Ò thi thö khèi A- D n¨m 2011)
C©u I Lêi gi¶i §iÓm
1.(1,0®)
3. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè: y = 1
42
+
−
x
x
Gi¶i: 1. TX§: D = R\ {-1}
2. Sù BT: + TC§: x = -1, TCN: y = 2.
+ y’ = 2
)1(
6
+x > 0 ∀x ≠ -1.
+ Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng (-∞ ; -1) vµ (-1; +∞).
+ Ta cã BBT:
+
+
2
+∞
-∞
+∞
-1
-∞
y
y'
X
2
3. §å thÞ hµm sè nh− h×nh vÏ:
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
2.(1,0®)
T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®−êng th¼ng x+ 2y + 3 = 0. (d)
Gi¶i:
PT ®−êng th¼ng (∆) vu«ng gãc víi (d) cã d¹ng: 2x – y + m = 0⇔ y = 2x + m.
PT hoµnh ®é giao ®iÓm cña (C) vµ(∆)lµ: 1
42
+
−
x
x =2x + m ⇔ 2x2 + mx +m+4 = 0 (*).
(∆) c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt ⇔ ∆ = m2- 8m –32 > 0
⇔ m< 4 - 4 3; m > 4 + 4 3(**)
Täa ®é c¸c giao ®iÓm: A(xA; 2xA+m), B(xB;2xB+ m).
Trung ®iÓm cña AB cã täa ®é I( 2
BA xx +; xA+xB +m).
¸p dông Vi Ðt cho PT (*) ta cã: xA + xB = - 2
m; xA.xB = 2
4+m. ⇒ I(- 4
m;2
m).
A,B ®èi xøng nhau qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ - 4
m + m + 3 = 0 ⇔ m = - 4. (t/m **)
Khi m = - 4 ta cã:
=
=+
0
2
BA
BA
xx
xx ⇒ xA = 0; xB = 2, hoÆc xA = 2; xB = 0
VËy trªn (C) cã hai ®iÓm ®èi xøng nhau qua (d): A(0; - 4), B(2; 0)
HoÆc A(2; 0), B(0; - 4)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
C©u II.
§iÓm
1.(1,0®)
Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( )
x
x
x
2sin1
cos
4
sin2
+
−
π
= 1+tanx (1)
Gi¶i: §kx® : cosx ≠
≠≠
≠ 0 ⇔ x ≠
≠≠
≠ 2
π
+ kπ. (*)
(1) ⇔
−x
4
sin2
π
(sinx + cosx)2 = (sinx +cosx)
⇔ (sinx +cosx)
−+− 1)cos)(sin
4
(sin2 xxx
π
= 0⇔ (sinx +cosx).cos2x = 0
⇔
=
=+
02cos
0cossin
x
xx ⇔
=
+−=
π
π
π
.
.
4
mx
mx (t/m (*))
VËy PT cã nghiÖm : x = mπ, x = - 4
π
+ mπ. (m ∈ Z)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
2.(1,0®)
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
=+++
+=+
6854
)1()(
2
2422
yx
yyyxx (I)
Gi¶i: §KX§; x≥ - 4
5. (I) ⇔
=+++
+=+
6854 2
4623
yx
yyxyx .
Ta thÊy y = 0 kh«ng tháa mQn hÖ
Chia hai vÕ PT thø nhÊt cho y3, ta ®−îc: yy
y
x
y
x+=+
3
3
. (*)
XÐt hµm sè: f(t) = t3 + t,(t∈ R), cã f’(t) = 3t2 +1 > 0 ∀t∈ R.⇒ f(t) ®ång biÕn ∀t∈ R.
Tõ (*) ta suy ra: f( y
x) = f(y) ⇔ y
x= y ⇔ x = y2. Thay vµo PT thø hai cña hÖ ta cã
854 +++ xx = 6 ⇔ 2 )8)(54( ++ xx = 23 -5x
⇔
−=++
≤
2
)523()8)(54(4
5
23
xxx
x ⇔
=+−
≤
04142
5
23
2xx
x⇔
=
=
≤≤−
)(41
1
5
23
4
5
Lx
x
x
⇔ x =1
⇒ y2 = 1⇔ y = ±1. VËy hÖ ®Q cho cã hai nghiÖm: (x;y) = (1;-1),(1;1)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
C©u III
(1,0®) TÝnh tÝch ph©n: I = dx
x
x
∫+
+
1
0
6
4
1
1
Gi¶i: Ta cã: I = dx
xxx
xxx
∫+−+
++−
1
0
242
224
)1)(1(
)1( = +
+
∫
1
0
21x
dx dx
x
x
∫+
1
0
6
2
1 = I1 + I2
Ta cã: I1 = ∫+
1
0
21x
dx . §Æt x = tant, t∈ (- 2
π
;2
π
).⇒ dx = (1+tan2t)dt .
x = 0, t = 0. x = 1, t = 4
π
. I1 = ∫∫ ==
+
+4
0
4
0
2
2
tan1
)tan1(
ππ
dt
t
dtt 4
π
.
I2 = dx
x
x
∫+
1
0
6
2
1. §Æt: x3 = tant, t∈ (- 2
π
;2
π
).⇒ 3x2dx = (1+tan2t)dt
0,25®
0,25®
0,25®
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
x = 0, t = 0. x = 1, t = 4
π
. Do ®ã I2 = 123
1
tan1
)tan1(
3
14
0
4
0
2
2
π
ππ
==
++
+∫∫ dt
t
dtt
VËy I = I1 + I2 = 4
π
+12
π
= 3
π
0,25®
C©u IV
(1,0®)
Cho h×nh chãp ®Òu S.ABC, c¹nh ®¸y AB = a. Gäi M, N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña
SB, SC, vµ mÆt ph¼ng (AMN) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SBC). TÝnh thÓ tÝch khèi
chãp S.ABC
Gi¶i:
I
H
A
B
C
S
K
a
M
N
Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC, I = SK ∩ MN ⇒ I lµ trung ®iÓm cña SK vµ MN.
V× (AMN) ⊥(SBC) ⇒ SK ⊥ (AMN) ⇒AI ⊥ SK ⇒ AI võa lµ ®−êng cao võa lµ trung
tuyÕn , do ®ã ∆SAK c©n ®Ønh A, ⇒ SA = AK = 2
3a.
Gäi H lµ t©m ®¸y ⇒ SH ⊥ (ABC) ta cã: SH = 12
5
22 aAHSA =−
DiÖn tÝch ®¸y SABC = 4
3
2
a . VËy V= 3
1. SH. SABC = 3
1.12
5
a.4
3
2
a= 24
5
3
a
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
C©u V
(1,0®)
Cho x,y,z lµ ba sè thùc d−¬ng tháa mQn x + y + z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu
thøc
P = xyz
z
xzy
y
yzx
x
+
+
+
+
+
333
Gi¶i.
Ap dông B§T Cèi cho 3 sè ta cã:
2
3
2
1
4
3xyzx
yzx
x≥+
+
+
+ (1). 2
3
2
1
4
3yxzy
xzy
y≥+
+
+
+ (2)
2
3
2
1
4
3zxyz
xyz
z≥+
+
+
+ (3). Céng theo vÕ (1) ,(2),(3) ta ®−îc:
P + )(
2
3
44 zyx
zxyzxyzyx ++≥
++
+
++ ⇒ P 42
9zxyzxy ++
−≥ (*)
MÆt kh¸c ta cã : (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 ≥ 0 ⇔ xy +yz +zx ≤ 3
1(x+y+z)2 = 3 (**)
Thay (**) vµo (*) ta ®−îc: P ≥ 2
3
4
3
2
9=− .
VËy min P = 2
3, ®¹t ®−îc ⇔ x = y = z = 1
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
C©u
VI.A
1.(1,0®)
T×m ®iÓm A∈(d): x+y -1= 0, tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB,AC víi ®−êng trßn (S)
x2 + y2 – 2x - 4y = 0 vµ gãc BAC = 60°.
§iÓm
Gi¶i: Gi¶ sö tõ A(a; 1-a) ∈(d): kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB,AC vµ gãc BAC = 60°
Khi ®ã gãc BAI = 30°. §−êng trßn (S) cã t©m I(1;2), b¸n kÝnh R = 5
d
R
I
B
A
C
Trong tam gi¸c ABI ta cã AI = 2R = 2⇔ AI2 = 20⇔ (a- 1)2 + (a+1)2 = 20
⇔ a2 = 9 ⇔ a = ± 3 ⇒ cã hai ®iÓm tháa mQn A1(3; -2), A2(-3; 4)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
2(1,0®)
Cho hai ®iÓm A(1;-1;2) , B(-1;1;3) vµ mf(P): 2x – y +2z +11 = 0. T×m ®iÓm C ∈(P)
sao cho tam gi¸c ABC cã chu vi nhá nhÊt.
Gܶi V× AB kh«ng ®æi nªn chu vi tam gi¸c ABC nhá nhÊt ⇔ CA + CB nhá nhÊt.
Thay täa ®é A,B vµo VT cña (P) ⇒ A,B n»m cïng phÝa víi (P). Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi
xøng cña A qua (P), ®−êng th¼ng A’B c¾t (P) t¹i C⇒ C lµ ®iÓm cÇn t×m.
P
A
H
A'
B
C
PT ®−êng th¼ng (d) qua A ⊥(P) cã VTPT )2;1;2( −n cã d¹ng:
+=
−−=
+=
tz
ty
tx
22
1
21
, (t ∈R).
Täa ®é giao ®iÓm H cña (d) vµ (P): 2(1+2t) + 1+t+ 2(2+2t) +11 = 0 ⇒ t =-2,
⇒ H( -3; 1; -2) ⇒ A’(-7;3;-6).
PT ®−êng th¼ng A’B cã d¹ng:
+−=
−=
+−=
tz
ty
tx
96
23
67
.
Täa ®é C = A’B ∩ (P) : 2(-7+6t) -3 + 2t + 2(-6+ 9t) +11 = 0 ⇒ t = 16
9
⇒ C(- 16
15
;
8
15
;
8
29 −)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
C©u
VII.A Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( ) ( )
2
loglog 11313 22 xx xx +=++− . (1)
Gi¶i: §Kx®: x > 0. §Æt
( )
t
x=− 2
log
13 , (t > 0). ⇒
( )
t
x
x=+ 2
log
13
Khi ®ã (1) cã d¹ng: t + t
x2
= 1 + x2 ⇔ t2 - (1+x2)t + x2 = 0 ⇔ t = 1, hoÆc t = x2.
0,25®
0,25®
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !