Đề thi thử toán - số 31 năm 2011

Chia sẻ: HUI.VN | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi thử toán - số 31 năm 2011', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử toán - số 31 năm 2011

Đề số 31 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị (Cm); (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (C m) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. Câu II: (2 điểm) 1) Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 x 2 + 91 = y − 2 + y 2 (1) 2) Giải hệ phương trình: y 2 + 91 = x − 2 + x 2 (2) e2 dx Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I = x ln x.ln ex e Câu IV: (1 điểm) Tính thể tích của hình chóp S.ABC, bi ết đáy ABC là m ột tam giác đ ều c ạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a. Câu V: (1 điểm) Cho a, b, c là những số dương thoả mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh bất đẳng 1 1 1 4 4 4 + + +2 +2 thức: a+b b+c c+a a +7 b +7 c +7 2 II.PHẦN RIÊNG (3 điểm) A. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 4 x 2 + 9 y 2 = 36 và điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm C, D sao cho MC = MD. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng x −1 y z + 2 == và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 0. (d) : 1 2 2 Câu VII.a (1 điểm) Cho tập hợp X = { 0,1, 2,3, 4,5,6,7} . Có thể lập được bao nhiêu số t ự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X, sao cho một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1. B. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 5 x 2 + 16 y 2 = 80 và hai điểm A(–5; –1), B(–1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ MAB. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai m ặt phẳng và hai đ ường th ẳng có phương trình (P): 3x + 12 y − 3z − 5 = 0 và (Q): 3x − 4 y + 9 z + 7 = 0 x + 5 y − 3 z +1 x − 3 y +1 z − 2 = = = = (d1): , (d2): . −4 −2 2 3 3 4 Viết phương trình đường thẳng (∆ ) song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d1), (d2) Câu VII.b (1 điểm) Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình: An3 + 2Cnn −2 9n .
Hướng dẫn Đề số 31 Câu I: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là: x=0 ⇔ x(x2 + 3x + m) = 0 ⇔ 2 x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x + 3x + m = 0 (2) (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm xD, xE ≠ 0. m0 ∆ = 9 − 4m > 0 ⇔ �2 �4 m< 0 +3 0+m 0 9 Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là: kD = y’(xD) = 3xD + 6 xD + m = −( xD + 2m); kE = y’(xE) = 3xE + 6 xE + m = −( xE + 2m). 2 2 Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc ⇔ kDkE = –1. ⇔ (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE + 6m(xD + xE) + 4m2 = –1 ⇔ 9m – 18m + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-et). 1 ⇔m = ( 9 65 ) . 8 � π� � π� π kπ Câu II: 1) PT ⇔ cos � − � − cos3 x ⇔ cos � − � cos(π − 3 x) ⇔ x = + = = x x � 3� � 3� 32 2) Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x 2 + 91 − y 2 + 91 = y − 2 − x − 2 + y 2 − x 2 x2 − y 2 y−x = + ( y − x)( y + x) � y−2 + x−2 x + 91 + y + 91 2 2 � � x+ y 1 � ( x − y) � + + x + y� 0 = � x 2 + 91 + y 2 + 91 � x−2 + y−2 � � ⇔ x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y đều lớn hơn 2) Vậy từ hệ trên ta có: x 2 + 91 = x − 2 + x 2 � x 2 + 91 − 10 = x − 2 − 1 + x 2 − 9 � � x2 − 9 x−3 � � 1 1 = + ( x − 3)( x + 3) � ( x − 3) �x + 3) � − 1�− = � ( �0 � � x − 2 +1 � x + 91 + 10 � x − 2 + 1 � x 2 + 91 + 10 2 � ⇔x = 3 Vậy nghiệm của hệ x = y = 3 e2 e2 e2 dx d (ln x) �1 1� Câu III: I = � =� =�− �(ln x ) = 2ln2 – ln3 d e x ln x (1 + ln x ) e ln x (1 + ln x ) 1 + ln x � e� x ln Câu IV: Dựng SH ⊥ AB . Ta có: ( SAB) ⊥ ( ABC ), ( SAB) �( ABC ) = AB, SH �( SAB) � SH ⊥ ( ABC ) và SH là đường cao của hình chóp. Dựng HN ⊥ BC , HP ⊥ AC � SN ⊥ BC , SP ⊥ AC � ﾷSPH = ﾷSNH = α ∆ SHN = ∆ SHP ⇒ HN = HP. a3 a3 . ∆ SHP vuông có: SH = HP.tan α = tan α ∆ AHP vuông có: HP = HA.sin 60o = 4 4 a 2 3 a3 1 1a 3 .tan α . = tan α Thể tích hình chóp S . ABC : V = .SH .S ABC = . 3 34 4 16 11 4 Câu V: Áp dụng bất đẳng thức + ( x > 0, y > 0) x y x+ y 1 1 4 1 1 4 1 1 4 + + + ; ; Ta có: a + b b + c a + 2b + c b + c c + a a + b + 2c c + a a + b 2a+b+c Mặt khác: 1 2 2 =2 � 2a 2 + b 2 + c 2 + 4 − 4a − 2b − 2c � �2 0 2a + b + c 2a + b + c + 4 a + 7 2 2 � 2( a − 1) 2 + (b − 1) 2 + (c − 1) 2 �0
1 2 1 2 Tương tự: ; 2b + c + a b + 7 2c + a + b c + 7 2 2 1 1 1 4 4 4 + + +2 +2 Từ đó suy ra a+b b+c c+a a +7 b +7 c +7 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Câu VI.a: 1) Gọi (d) là đường thẳng qua M(1; 1) cắt (E) tại C, D. Vì (E) có tính đối xứng nên (d) không thể vuông góc với Ox, do đó ph ương trình c ủa (d) có d ạng: y = k ( x − 1) + 1 � y = kx + 1 − k Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (E): 4 x 2 + 9(kx + 1 − k )2 − 36 = 0 � (4 + 9k 2 ) x 2 + 18k (1 − k ) x + 9(1 − k ) 2 − 36 = 0 ( ∆ = 288k 2 + 72k + 108 > 0, ∀k ) (1) ⇒ (d) luôn cắt (E) tại 2 điểm C, D với các hoành độ x1 , x2 là nghiệm của (1). −18k (1 − k ) Theo định lý Viet: x1 + x2 = 4 + 9k 2 −18k (1 − k ) 4 M(1; 1) là trung điểm của CD ⇔ x1 + x2 = 2 xM � =2 � k =− . 4 + 9k 2 9 Vậy, phương trình đường thẳng (d): 4x + 9y – 13 = 0. 2) Gọi A(a; 0; 0) Ox . � (Q / ) : 4 y − 3x + 10 = 0 uuuuuu r r r (d) qua M 0 (1; 0; − 2) và có VTCP u = (1; 2; 2) . Đặt M 0 M 1 = u Do đó: d(A; d) là chiều cao vẽ từ A trong tam giác AM 0 M 1 uuuuu r r � 0 ; u � 8a 2 − 24a + 36 AM 2.S AM 0 M1 � � � d ( A; d ) = = = r M 0 M1 u 3 Theo giả thiết: d(A; (P)) = d(A; d) 8a 2 − 24a + 36 2a = � 4a 2 = 8a 2 − 24a + 36 � 4( a − 3) 2 = 0 � a = 3 � 3 3 Vậy, có một điểm A(3; 0; 0). Câu VII.a: Giả sử n = a b c d e . • Xem các số hình thức a b c d e , kể cả a = 0. Có 3 cách chọn vị trí cho 1 (1 là a hoặc b ho ặc c). Sau đó chọn trị khác nhau cho 4 vị trí còn lại từ X \ { 1} ⇒ số cách chọn A74 . Như vậy có 3. (7. 6. 5. 4) = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài. • Xem các số hình thức 0b c d e ⇒ có 2 A6 = 240 (số) 3 • Loại những số dạng hình thức 0b c d e ra, ta còn 2520 – 240 = 2280 số n thỏa YCBT. Câu VI.b: 1) Phương trình đường thẳng (AB): x − 2 y + 3 = 0 và AB = 2 5 x0 − 2 y0 + 3 x0 − 2 y0 + 3 Gọi M ( x0 ; y0 ) � E ) � 5 x0 + 16 y0 = 80. Ta có: d ( M ; AB) = = 2 2 ( 1+ 4 5 1 Diện tích ∆ MAB: S = . AB.d ( M ; AB ) = x0 − 2 y0 − 3 2 �1 1� Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 2 cặp số � ; − �( 5 x0 ; 4 y0 ) có: , 2� �5 2 �1 � � 1� 2 1 1 9 � . 5 x0 − 2 .4 y0 � � + 4 �5 x0 + 16 y0 ) = 20 .80 = 36 ( 2 5 �5 �� x0 − 2 y0 � � − 6 � 0 − 2 y0 � � 3 − 6 � 0 − 2 y0 + 3 � + 3 6 x 6 x 6 � − 3 � 0 − 2 y0 + 3 � � x0 − 2 y0 + 3 � x 9 9 8 5x 4 y x0 = = 5 x0 = −8 y0 1 1 3 − � max x0 − 2 y0 + 3 = 9 � � �� x0 − 2 y0 = 6 2 5 5 y0 = − x0 − 2 y0 + 3 = 9 3
� 5� 8 Vậy, max S MAB = 9 khi M � ; − �. � 3� 3 r r 2) (P) có VTPT nP = (1; 4; − 1) , (Q) có pháp vectơ nQ = (3; − 4; 9) r r (d1) có VTCP u1 = (2; − 4; 3) , (d2) có VTCP u2 = (−2; 3; 4) ( ∆1 ) = ( P ) (Q) ( d1 ),( P ) P ( P) (P ) 1 1 ⇒ (∆ ) = (P1) ∩ (Q1) và (∆ ) // (∆ 1) Gọi: (Q1 ) (d 2 ),(Q1 ) P (Q) rr u = u∆1 r 1r r (∆ ) có vectơ chỉ phương u = [nP ; nQ ] = (8; − 3; − 4) 4 r r rr r u1 và u nên có VTPT: nP1 = [u1 ; u ] = (25; 32; 26) (P1) có cặp VTCP Phương trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 � 25 x + 32 y + 26 z + 55 = 0 r rr r r (Q1) có cặp VTCP u2 và u nên có VTPT: nQ1 = [u2 ; u ] = (0; 24; − 18) Phương trình mp (Q1): 0( x − 3) + 24( y + 1) − 18( z − 2) = 0 � 4 y − 3 x + 10 = 0 25 x + 32 y + 26 z + 55 = 0 Ta có: (∆ ) = ( P ) (Q1 ) ⇒ phương trình đường thẳng (∆ ) : 1 4 y − 3 z + 10 = 0 Câu VII.b: n = 3, n = 4 .