TR NG ĐHSPKT H NG YÊNƯỜ Ư Đ THI K T THÚC H CỀ Ế Ọ
PH NẦ
Khoa Khoa h c c b n ọ ơ ả
Đ s : 08ề ố
H c ph n: Toán cao c p 3ọ ầ ấ
Ngày thi:
Th i gian làm bài: 90 phút.ờ
Câu 1: Cho hàm s :ố
3 2 2
2 7 1 5 2
3 2 4 8 8
z x x y xy x y= − − − + −
1. Tìm đi m c c tr c a hàm.ể ự ị ủ
2. T i đi m ạ ể
1 1
(,)
2 2
N
, hàm z tăng hay gi m n u d ch chuy n ra kh i đi mả ế ị ể ỏ ể
N theo h ng l p v i tr c Ox m t góc ướ ậ ớ ụ ộ
0
30
.
3. T i đi m N đó hãy tìm h ng đ hàm z thay đ i nhanh nh t .ạ ể ướ ể ổ ấ
Bi u di n trên hình v .ể ễ ẽ
Câu 2: Trong không gian Oxyz, dùng tích phân m t tìm tr ng tâm c a tam giác ph ngặ ọ ủ ẳ
đ ng nh t ABC v i A (0, -3, 0), B (-2, 0, 0) và C (0, 1, 3).ồ ấ ớ
Câu 3: Tính
( ) ( )
2 2
2
L
I x xy dx xy y y dy
= − + − +
∫
Ñ
L là đ ng cong n i 3 đi m A (-1, 1), B (0, 0), C (1, 1) trong đó đo n AB làườ ố ể ạ
đ ng thườ ngẳ, đo n BC là đ ng ạ ườ
2
y x=
và đo n CA là đ ng th ngạ ườ ẳ
b ng 2 cách:ằ
Cách 1: Tính tr c ti p tích phân đ ng lo i 2.ự ế ườ ạ
Cách 2: Áp d ng công th c Green.ụ ứ
Câu 4: Gi i h ph ng trình vi phân:ả ệ ươ
'
' 2
3 2
1
2
x
y y z
z y z e
−
= +
=− + +
tho mãn đi u ki n: khi x=0 thì y=0 và z=0.ả ề ệ
Gi ng viên ra đ 1: Khoa / B mônả ề ộ
2
-2
1/2
1/2
N
Gi ng viên ra đ 2:ả ề
Bài 1:
' 2
'
5
2 7 0
8
20
2 8
x
y
z x x y
y
z x
= − + − =
=− − − =
→
4
28
y x= − −
Suy ra
' 2 2
5 4 9
2 7 2 2 5 0
8 8 8
x
z x x x x x= − + + + = − + =
1 1
9
25 8. 16 4
8
5 4 9 18 4 36 4 5
4 4 4 8 8
x y
∆ = − = → ∆ = ±
+ +
→ = = → = − − = − = −
2 2
5 4 1 2 4 1
4 4 4 8
x y
−
= = → = − − = −
M1 (
9
4
, -5) , M2 (
1
4
, -1)
M1 (
9
4
, -5) M2 (
1
4
, -1)
''
4 7
xx
z x r
= − =
2 -6
''
1
xy
z s
=− =
-2 -1
''
1
2
yy
z t
=− =
-
1
2
-
1
2
s2 - rt 1-2.
1
2
−
=3 1-(-6).(
1
2
−
)=-2
Không c c trự ị Có c c trự ị
r = -6 c c đ iự ạ
2.
'
1 1 5 1 23
( ) 2. 7.
4 2 8 2 8
x
z N
= − + − = −
'
1 2 1
( ) 1
4 8 2
y
z N
= − − − = −
23 23 3 1
os 1. os . 0
8 6 3 8 2 2
z
l
c c
π π
∂
∂
− −
= + = + <
V y hàm z s gi m n u d ch chuy n ra kh i đi m N theo h ng l p v iậ ẽ ả ế ị ể ỏ ể ướ ậ ớ
tr c Ox m t góc ụ ộ
0
30
.
C
B
O
A
3. H ng thay đ i nhanh nh t là ướ ổ ấ
23
8i j
− −
Bài 2:
1. * V hìnhẽ
*Tìm to đ D đ vi t ph ng ạ ộ ể ế ươ
trình m t ph ng.ặ ẳ
Ph ng trình đ ng AC:ươ ườ
3 9
4 4
z y= +
V y ậ
9
4
D
z=
Ph ng trình m t ph ng:ươ ặ ẳ
1
9
2 3
4
9 9 3 9
349
2 8 4 4
x y z
x y z z x y
+ + =
−
→ − + = → = − + +
* Ph ng trình đ ng th ng AB: ươ ườ ẳ
33
2
y x= − −
* Ph ng trình đ ng th ng BC: ươ ườ ẳ
1
2
x
y= +
2. Di n tích S:ệ
2 2
3 9
14 8
181 181 181
. .4 .
8 8 2
xy
xy
S D
D
ds dxdy
S
= = + +
÷ ÷
= = =
∫∫ ∫∫
3.Tính xG
( )
'
2 2 0
2
03
2 2 0
2
2
3 9 181 181
1 .
4 8 8 8
181 181 2 181 8 181
2 4 2 .
8 8 3 8 3 3
2
3
xy xy
C B
S D D AB
G
xdxdy xdxdy xdxdy dx xdy
x
x x dx x
x
−
−
−
= + + = =
÷
÷ ÷
÷
− −
= + = + = =
÷
−
→ =
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫
4
2
-2
y
5
x
C
A
B
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-1
1
x
y
A
B
C
1
02
3
23
2
2 2
0
2
181 181
8 8
181 3
1 3
8 2 2
181 16 2 181
.
8 3 3
1
3
xy
x
G
Dx
G
y dxdy dx ydy
xx dx
y
+
−− −
−
= =
= + − − −
÷ ÷
= − = −
÷
= −
∫∫ ∫ ∫
∫
1
22
3
0
2
21
22
3
2
0
181 181 9 3 9
.8 8 8 4 4
181 9 3 9
8 8 8 4
181
2
1
xy
x
G
x
D
x
y
x
y
G
z z dxdy dx x y dy
xy y y dx
z
− +
=− +
=
= = − + +
÷
= − + +
÷
=
→ =
∫∫ ∫ ∫
∫
Bài 3:
( ) ( )
2 2
2
L
I x xy dx xy y y dy
= − + − +
∫
Ñ
Trên đo n AB : ạ
, 1 0y x x
= − − ≤ ≤
, nên dy = -dx. Do đó :
( ) ( )
0
2 2 2 2 2 2
1
0
2 3 2
1
2 [( 2 ) ( )]
0
5 1 5 1 7
(5 ) ( ) 1
3 2 3 2 6
AB
I x xy dx xy y y dy x x x x x dx
x x dx x x
−
−
= − + − + = + − − − −
= + = + = − =
−
∫ ∫
∫
Trên cung BC :
2
, 2 ,0 1y x dy xdx x= = ≤ ≤
Do đó:
( ) ( )
1
2 2 2 3 3 4 2
0
1
5 4 2 6 5 3
0
2 [( 2 ) ( ).2 ]
1
1 2 1 2
( 2 2 ) ( ) 0
3 5 3 5
BC
I x xy dx xy y y dy x x x x x x dx
x x x dx x x x
= − + − + = − + − +
−
= − + + = + + =
∫ ∫
∫
Trên đo n AC có: y = 1, ạ
1 1x
− ≤ ≤
. Do đó :
( ) ( )
2 2
13
2 2
1
2
11 1 2
( 2 ) ( ) 1 1
1
3 3 3 3
CA
I x xy dx xy y y dy
x
x x dx x
−
= − + − +
−−
= − = − = − − − + =
∫
∫
V y ậ
7 2 2 9
6 5 3 10
I
= + − =
Áp d ng công th c Green ụ ứ
2
2P x xy= −
2
Px
y
∂= −
∂
2
Q xy y y= − +
Qy
x
∂=
∂
V y ậ
( )
1 1 52
2
0 0
1
2 1 9
2 ( 2 ) ( ) ( ) 0
5 2 10
y
D y
I y x dxdy dy y x dx y y y dy y y
−
= + = + = + = + =
∫∫ ∫ ∫ ∫
Bài 4:
'
'
3 2
1
2
x
y y z
z y z e
= +
=− + +
'' ' ' '
' ' '
'' '
3 2 3 2 2 .
3 3 2 . 4 4 2 .
4 4 2 .
x
x x
x
y y z y y z e x
y y y y e x y y e x
y y y e x
= + = − + +
= − + − + = − +
→ − + =
Ph ng trình thu n nh t:ươ ầ ấ
'' '
4 4 0y y y− + =
Ph ng trình đ c tr ng:ươ ặ ư
2
1 2
2
1
2
2
4 4 0 2
x
x
y e
y xe
λ λ λ λ
− + = → = =
→ =
→ =
Ph ng trình không thu n nh t:ươ ầ ấ