TRUNG TÂM LUY N THI Đ I H CỆ Ạ Ọ Đ THI TH TUY N SINH Đ I H C NĂM 2011Ề Ử Ể Ạ Ọ
THPT CHUYÊN LÝ T TR NG C N TH Ự Ọ Ầ Ơ Môn thi: TOÁN; kh i Aố
Th i gian làm bài: 180 phút, không k phát đờ ể ề
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH Ầ Ấ Ả (7 đi mể)
Câu I (2 đi mể)
Cho hàm s ố
13
3+−= xxy
(1)
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (ả ự ế ẽ ồ ị C) c a hàm s (1).ủ ố
2. Đ nh ịm đ ph ng trình sau có 4 nghi m th c phân bi t:ể ươ ệ ự ệ
mmxx 33 3
3−=−
Câu II (2 đi mể)
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
2 2
4
4
(2 sin 2 )(2 cos cos )
cot 1 2sin
x x x
xx
− −
+ =
2. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 2
2
5 0 ( , )
2 5 1 0
x y xy x y x y
xy y y
+ + − =
∈
+ − + =
¡
Câu III (1 đi mể)
Tính
2
cos 8
sin 2 cos 2 2
x
dx
x x
π
+
÷
+ +
∫
Câu IV (1 đi mể)
Cho hình chóp S.ABC có m t ph ng (ặ ẳ SAC) vuông góc v i m t ph ng (ớ ặ ẳ ABC),
, 2SA AB a AC a= = =
và
·
·
0
90 .ASC ABC= =
Tính th tích kh i chóp ể ố S.ABC và cosin c a góc gi a hai m t ph ng (ủ ữ ặ ẳ SAB), (SBC).
Câu V (1 đi mể)
Cho ba s th c d ng ố ự ươ a, b, c th a mãn:ỏ a.b.c = 1. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:ị ớ ấ ủ ể ứ
ab bc ca
Ta b ab b c bc c a ca
= + +
+ + + + + +
PH N T CH N (3 Ầ Ự Ọ đi mể) - Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph nỉ ượ ộ ầ (ph n A ho c ph n Bầ ặ ầ )
A. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ
Câu VI.a (2 đi mể)
1. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
, cho hai đi m ể
(4; 1), ( 3; 2)A B− − −
và đ ng th ng ườ ẳ
: 3 4 42 0x y∆ + + =
.
Vi t ph ng trình đ ng tròn ế ươ ườ
( )C
đi qua hai đi m ể
,A B
và ti p xúc v i đ ng th ng ế ớ ườ ẳ ∆.
2. Trong không gian t a đ ọ ộ Oxyz, cho b n đi m ố ể A(6; −6; 6), B(4; 4; 4), C(− 2; 10; −2) và S(−2; 2; 6). Ch ngứ
minh O, A, B, C là b n đ nh c a m t hình thoi và hình chi u vuông góc c a ố ỉ ủ ộ ế ủ S trên m t ph ng (ặ ẳ OABC)
trùng v i tâm ớI c a ủOABC. Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng ả ữ ườ ẳ SO và AC.
Câu VII.a (1 đi mể)
Gi i ph ng trình: ả ươ
2
3 3
(2 1) log (4 9) log 14 0x x x x+ − + + =
B. Theo ch ng trình Nâng caoươ
Câu VI.b (2 đi mể)
1. Trong m t ph ng t a đ ặ ẳ ọ ộ
, cho hình thoi
ABCD
có A(1; 0), B(3; 2) và
·
0
120 .=ABC
Xác đ nh t a đị ọ ộ
hai đ nh ỉ
C
và
.D
2. Trong không gian t a đ ọ ộ Oxyz, cho ba đi m ểA, B, C l n l t di đ ng trên các tia ầ ượ ộ Ox, Oy và Oz sao cho
m t ph ng (ặ ẳ ABC) không đi qua O và luôn đi qua đi m ểM(1; 2; 3). Xác đ nh t a đ các đi m ị ọ ộ ể A, B, C để
th tích kh i t di n ể ố ứ ệ OABC đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
Câu VII.b (1 đi mể)
Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 2 2
3 3
3 3 27 9 ( , )
log ( 1) log ( 1) 1
x y x y x y
x y
x y
+ + + +
+ = + ∈
+ + + =
¡
---------------H t---------------ế
Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.ượ ử ụ ệ ộ ả
H và tên thí sinh:……………………………………………..S báoọ ố
danh………………………………………
ĐÁP ÁN – THANG ĐI MỂ
Môn thi: TOÁN; kh i: Aố
Câu Đáp án Đi mể
I
(2,0
đi m)ể
1. (1,0 đi m)ể
• T p xác đ nh: D = ậ ị
¡
• S bi n thiên:ự ế
- Chi u bi n thiên: ề ế
2 2
' 3 3, ' 0 3 3 0 1, ( 1) 3, (1) 1y x y x x y y= − = ⇔ − = ⇔ = ± − = = −
0,25
Hàm s đ ng bi n trên m i kho ng (ố ồ ế ỗ ả −∞; −1) và (1; +∞), ngh ch bi n trên kho ng (ị ế ả −1;
1)
- C c tr : ự ị + Hàm s đ t c c ti u t i x = 1 và yố ạ ự ể ạ CT = y(1) = −1;
+ Hàm s đ t c c đ i t i x = -1 và yố ạ ự ạ ạ CĐ = y(-1) = 3.
- Gi i h n: ớ ạ
x x
lim , lim
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
0,25
B ng bi n thiên:ả ế
0,25
'' 6 , '' 0 6 0 0, (0) 1y x y x x y= = ⇔ = ⇔ = =
⇒ đi m u n I(0; 1)ể ố
Đ th : đi qua các đi m (ồ ị ể −2; −1), (2; 3)
và nh n đi m u n I(0; 1) là tâm đ i x ng.ậ ể ố ố ứ
0,25
2. (1,0 đi m)ể
Ph ng trình đã cho là ph ng trình hoành đ giao đi m gi a đ th ươ ươ ộ ể ữ ồ ị
(C’) c a hàm s :ủ ố
13
3+−= xxy
và đ ng th ng (d):ườ ẳ
13
3+−= mmy
((d) cùng ph ng v i tr c hoành)ươ ớ ụ
Xét hàm s : ố
13
3+−= xxy
, ta có:
+ Hàm s là m t hàm ch n nên (C’) nh n tr c Oy làm tr c đ i x ng, ố ộ ẵ ậ ụ ụ ố ứ
đ ng th i ồ ờ
0x
∀ >
thì
33
3 1 3 1y x x x x= − + = − +
0,25
T đó (C’) đ c suy t (C) nh hình bên:ừ ượ ừ ư ở 0,25
−1
y’(x)
y(x)
−∞ +∞
1
00 +
+−
3
−1
−∞
+∞
x
y
0
1
−2
−12
1
•
•
•
•• −1
3
x
y
0
1
−2
−1
2
1
•
•
•
•−1
3
•
(d)
+ D a vào đ th (C’) ta suy ra đi u ki n c a m đ ph ng trình đã cho có 4 nghi mự ồ ị ề ệ ủ ể ươ ệ
phân bi t là:ệ
3
3
3
2 3
3 0
1 3 1 1 0 3
3 2 0 1
m
m m
m m m
m m m
− < < −
− <
− < − + < ⇔ ⇔
< <
− + >
≠
0,5
II
(2,0
đi m)ể
1. (1,0 đi m)ể
1) ĐK:
,x k k
π
≠ ∈¢
V i ĐK trên ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:ớ ươ ươ ươ ớ
4 4 2 2
2 2 2
1
cos sin (2 sin 2 )(cos cos )
2
1 1
1 sin 2 (2 sin 2 )(cos cos )
2 2
x x x x x
x x x x
+ = - -
- = - -Û
0,25
2 2 2 2
2
1
2 sin 2 2(2 sin 2 )(cos cos ) 1 2 cos cos
2
2 cos cos 1 0
x x x x x x
x x
- = - - = -Û
- - =Û
0,25
2
22 , ( )
3
x l
x l l Z
p
pp
é=
ê
ê
Ûê= ± + Î
ê
ë
0,25
So v i đi u ki n ta suy ra nghi m c a ph ng trình làớ ề ệ ệ ủ ươ
22 ,
3
x l l
pp
= ± + ΢
0,25
2. (1,0 đi m)ể
Nh n xét: H đã cho không có nghi m (x; 0), nên t ng đ ng v i: ậ ệ ệ ươ ươ ớ
25 0
1
2 5 0
x
x xy y
x y y
+ + − =
+ + − =
0,25
1
( )( ) 6
15
x y x y
x y x y
+ + =
⇔
+ + + =
0,25
2
( )
13
3
( )
12
x y
I
xy
x y
II
xy
+ =
+ =
⇔+ =
+ =
0,25
Gi i các h (I), (II) ta đ c nghi m c a h là:ả ệ ượ ệ ủ ệ
−±+
+±−
2
51
;
2
55
;
2
51
;
2
55
0,25
III
(1,0
đi m)ể
2
cos 1 cos(2 )
1
84
sin 2 cos 2 2 2 2 1 sin(2 )
4
xx
dx dx
x x x
ππ
π
++ +
÷
=
+ + + +
∫ ∫
0,25
A
S
C
B
M
H
2
cos(2 )
14
2 2 1 sin(2 ) sin( ) cos( )
48 8
xdx
dx
xx x
π
ππ π
÷
+
÷
= +
÷
+ +
÷
+ + + ÷
∫ ∫
0,25
2
cos(2 )
1 1
4
3
2
2 2 1 sin(2 ) sin ( )
4 8
xdx
dx
x x
π
π π
+
÷
= +
÷
÷
+ + +
∫ ∫
0,25
1 3
ln 1 sin(2 ) cot( )
4 8
4 2 x x C
π π
= + + − + +
÷
0,25
IV
(1,0
đi m)ể
+ K SH vuông góc AC (H ẻ∈ AC) ⇒ SH
⊥ (ABC)
⇒
3
3, ,
2
a
SC BC a SH= = =
2
3
2
ABC
a
S
∆
=
⇒
3
.
1.
3 4
S ABC ABC
a
V S SH
∆
= =
0,25
+ G i M là trung đi m SB và ọ ể
ϕ
là góc
gi a hai m t ph ng (SAB) và ữ ặ ẳ (SBC).
Ta có: SA = AB = a,
SC BC a 3= =
⇒ AM ⊥ SB và CM ⊥ SB
⇒
·
cos cos AMC
ϕ
=
0,25
+ ∆SAC = ∆BAC ⇒
3 6
2 2
a a
SH BH SB= = ⇒ =
0,25
AM là trung tuy n ế∆SAB nên:
2 2 2 2
2
2 2 10
4 16
AS AB SB a
AM + −
= =
10
4
a
AM⇒ =
T ng t : ươ ự
42
4
a
CM =
·
2 2 2
AM CM AC 105
cos AMC 2.AM.CM 35
+ −
⇒ = = −
V y: ậ
105
cos 35
ϕ
=
0,25
V
(1,0
đi m)ể
Đ t ặ
1 1 1
, ,a b c
x y z
= = =
. Khi đó theo gi thi t ta có ả ế x, y, z là 3 s th c d ng th aố ự ươ ỏ
mãn: xyz = 1 và bi u th c T đ c vi t l i:ể ứ ươ ế ạ
1 1 1
1 1 1
Tx y y z z x
= + +
+ + + + + +
0,25
Ta luôn có Bđt th c đúng: ứ
()
232 2
3
33 3 3
0x y x xy y xy− ≥ ⇔ − + ≥
()()
32 2
3
3 3
3 3 3 3
1 1 1x y x y x xy y x y xy
⇒ + + = + − + + ≥ + +
÷
⇒
()
3
3
3 3
1x y xy x y z+ + ≥ + +
3
3
33
1
1
z
x y x y z
⇒ ≤
+ + + +
(1)
0,25