Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút. ( Đề thi gồm 01 trang)

Bài 1: (2,0 điểm):

1

1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:

c

a

0

 1

   . 1

n

n

3

5

3

5

là số nguyên dương.

   và a + b + c = 1. 1 a 1 1 c b

2

  6

2 1

x

x

x

4

x

12

 . 8

Chứng minh rằng   1 b 2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh  Bài 2: (2,5 điểm): 1) Giải phương trình 



2

6

4

xy

y

y

2) Giải hệ phương trình

bài này hôm qua tôi đánh nhầm

4

3

2

y

  1

 

3 4

x

1 2 

x

1

3   x    

2) Hãy tính

.

Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA1; BB1; CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AA1 cắt đường tròn (O) tại K khác A. 1) Chứng minh A1 là trung điểm của HK. HA HB HC  BB CC AA 1 1

1

3) Gọi M là hình chiếu vuông góc của O trên BC. Đường thẳng BB1 cắt (O) tại giao điểm thứ

2

hai là E, kéo dài MB1 cắt AE tại N. Chứng minh rằng

AN NE

3

x

y

 AB 1   EB  1 3 3  xy

    1

2

2

2

xyz

x

y

z

. Chứng minh rằng:

2

.

4

4

4

Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn Bài 5: (1,5 điểm): 1) Trên bảng ghi một số nguyên dương có hai chữ số trở lên. Người ta thiết lập số mới bằng cách xóa đi chữ số hàng đơn vị của số đã cho, sau đó cộng vào số còn lại 7 lần số vừa bị xóa. Ban đầu trên bảng ghi số 6100. Hỏi sau một số bước thực hiện như trên ta có thể thu được 1006 hay không ? Tại sao ? 2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2 y 

 2 z 

3 3 2

x 

xy

yz

xz

x

y

z

Hết

Trang | 1

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Bài 1: (2,0 điểm):

1

1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:

a

b

c

0

Chứng minh rằng 

 1

 1

   và a + b + c = 1. 1 a 1 1 c b

    0   0

Từ GT ta có:

   . 1 1     a 

2

 

0

ab

0

a b ca cb c

ab

0

   

 a b c a b c

   

 

 

 

 

 a b ab

a b     c a b c

 

a b

0



 a b c b a c

0

0





0

      c b     c a 

c

b

a

c

a

b

 1  c 1  1

   0 1    0 1    0 1

 1  b 1  1

n

n

3

5

3

5

là số nguyên dương.

1 a 1 1    c b 1   a b c 1 b 1 c 1   a b c  a b ab          a b     c a b c

2

  6

2 1

x

x

x

x

4

12

 . 8



2

2

  

0;

6

x

x

     0

b

a

2

Nếu a + b = 0 => c = 1 => c – 1 = 0 => Nếu c + b = 0 => a = 1 => a – 1 = 0 => a Nếu a + c = 0 => b = 1 => b – 1 = 0 => Vậy ta có đpcm. 2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh  Bài 2: (2,5 điểm): 1) Giải phương trình  x  , đặt ĐKXĐ a 2

2

2

 1

 1

 a b  ab  a    a b b    ab a b ab a b    0

  PTTT: 8 b  a b     0 1 

a

b taco

:

x

  6

x

2

+) với

a

   

6 1

1

x

x

 

6 1

vonghiem

1

ab a b

     0

a

  

b

0

+) với

 1

 1

   

2 1

1

x

x

   

2 1

x

3(

TM

)

 vô nghiệm   b  

   

2

6

4

PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 3 y

xy

y

  1

2) Giải hệ phương trình

4

3

2

y

  1

 

3 4

x

  2

3   x    

1 2 

x

1

2

2

y

  

0

x

y

3

6

2

4

2

2

2

4

2

y

xy

  

y

x

y

x

xy

y

y

0

  1

   x



  x 2

2

4

2

x

xy

y

y

  0 3

   

2

0

2

4

2

x

y

y

y

0

Thỏa mãn (2)

  3

 x  y

0

3 4

  

   

2

     y

x

1 2

3

x

y

3 3 

xy

Với Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn

 1

Trang | 2

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

3

3

xy

1

x

y

x

1

xy

3 3 

3

y

2

3

2

  

  

b 1 3

a

a

a

2

ab 3

b 3

a

a

a

1

a

 2

 3   b a 3

 , đặt x + y = a và xy = b (a, b nguyên) ta có:  1

 1

 y  1

  xy x             1 Vì a, b nguyên nên có các TH sau :

1 1

a

1)

(loại)

  2

a

  

b 1 3

a

2

  

a

 

1 2

0  1 3 1

a

2)

(nhận)

  0;1 , 1; 0

 

 

2

0

a

a

1

b 1 3

  

 a   b    b 

a

  2

x 1   y   x y ;  0  xy   

3)

(nhận)

   1 1 2

3

2

a

a

 

b 1 3

  

  b 

a

a

3

 

x 2    y   x y ;  3  xy   

4)

(nhận)

   1 2 2

4

a

1

   y 3 x   x y ;  xy  4   

A

  b 

   b 1 3    x y  ;

 

N

E

1

B1

1

1

1

C1

   a        a  Vậy    0;1 , 1;0 Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC a) góc A1 = góc C2 = góc C1 => ∆CHK cân C, CA1 là đ/cao + đ trung trực => đpcm b) Có: HA HB HC  BB CC AA 1 1

HC 1 CC 1

HB 1 BB 1

HA 1 AA 1

1

  

  

  

  

  

  

H

O

  3

HA HB HC 1 1 1 CC BB AA 1 1 1

  

HAC

HBC

HBA

  3

3 1 2

  

S S

S S

S S

C

ABC

ABC

ABC

     

2 1

B

M

A1

K

2

(đpcm)

. AN AE EN EA .

AN EN

AB 1 EB 1

  

2

2

2

x

y

z

3

xyz

. Chứng minh rằng:

   c) Từ GT => M trung điểm BC => ....=> ∆B1MC cân tại M => góc MB1C = gócMCB1 = góc AB1N => ∆CBB1 đồng dạng ∆B1AN (g-g) => 1B N AE Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ta có:    Bài 5: (1,5 điểm): 2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2

2

 2

A

.

4

4

4

x 

y 

y

xz

z

xy

z 

 3 2

x

yz Vì x, y, z dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có:

2

2

4

2

x

yz

x

  yz

+)

  1

4

4

1 2

1 

x

yz

x 

x

yz

2

x

yz

1 yz

2

Trang | 3

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

+)

(2)

1 y

1   z

1 z

2 yz

2

2

2

1 yz 2

Từ (1) và (2) => :

. Tương tự :

;

4

4

4

y 

y

1 z

xz

   1 z

1 1   x 4 

  

  z  z xy 1 y x x  yz  1 1  x 4    

(3)

 1 1  y 4   1 1  y 4     2

2

y

yz

zx

x

Lại có

2

z 2

z

x

 đpcm

Từ (3) và (4) có :

1 3   2

xyz xyz

3 2

1    A 2 y

x

xy   zx    A      1   z 1 x 1   2 yz xyz 1 y 1 x 1 z 1 x    1 z 2  1 1  y 4  xy

Dấu « = » xảy ra khi

Trang | 4

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

    1 1  2 y  (4) 2   y xyz    z 1

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào

lớp 10 các trường chuyên.

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những

năm qua.

- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh

giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết

quả tốt nhất.

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/

Trang | 5

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807