SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2024 – 2025
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 02/06/2024
Thời gian làm bài: 120 phút, không tính thời gian phát đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
4 5 60xx+ −=
.
2. Giải hệ phương trình:
23
31 1
2
xy
xy
= +
−= +
Câu 2 (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức
22
2:
1 22
xx
Px xx x

+

=−−


− +− +


, với
0; 1xx≥≠
.
2. Cho hai đường thẳng
125)(:dy x= −
và
2
(:)d
. Tìm các giá trị của
tham số
m
để hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm có tung độ bằng
3
.
Câu 3 (2,0 điểm)
1. Một người thợ dự định may
1000
chiếc khẩu trang trong một thời gian nhất định. Nhờ tăng
năng suất lao động, nên mỗi ngày người đó may thêm được
30
chiếc khẩu trang so với kế hoạch. Do
đó, chẳng những đã may vượt mức
170
chiếc khẩu trang mà còn hoàn thành công việc sớm hơn dự
định
1
ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày người đó dự định may được bao nhiêu chiếc khẩu trang?
2. Tìm các giá trị của tham số
m
sao cho phương trình
có hai nghiệm
12
,xx
thoả mãn
( )
2
1 1 2 12
2 1 2 4 5 2 x.x mxxm x− − +−=+
Câu 4 (1,0 điểm). Hai người đứng trên bờ hồ tại các điểm
A
và
B
cách
nhau
200
mét quan sát một điểm
C
trên cái cây phía bờ bên kia. Dùng
giác kế, người tại
A
đo được
0
45CAB =
, người tại
B
đo được
0
60CBA =
( tham khảo hình vẽ bên). Hỏi điểm
C
đó cách điểm
A
bao
nhiêu mét ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
60
0
45
0
C
A
B
Câu 5 (2,0 điểm). Cho đường tròn
()O
và điểm
A
nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến
,AB AC
đến đường tròn
()O
, với
,BC
là các tiếp điểm. Gọi
H
là giao điểm của hai đường thẳng
AO
và
BC
.
1. Chứng minh tứ giác
ABOC
nội tiếp.
2. Gọi
,MN
là hai giao điểm của đường thẳng
AO
với đường tròn
()O
sao cho
M
thuộc
đoạn
AN
. Gọi
P
là trung điểm
HN
, đường thẳng qua
H
vuông góc với
BP
tại
J
cắt đường thẳng
BM
tại
S
.
a. Chứng minh rằng hai tam giác
BPN
và
SHB
đồng dạng.
b. Hai đường thẳng
SP
và
BC
cắt nhau tại
K
, đường thẳng qua
B
vuông góc với
SP
tại
I
cắt đường thẳng
MN
tại
Q
. Chứng minh rằng
..HK HQ PQ KC=
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương
,,xyz
thỏa mãn
2 22
3xy yz zx xyz++=
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
2 22
22 22 2 2
( )( )( )
xz yx zy
Pyy z zz x xx y
= ++
+++
.
- - - - - - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - - - - - -
Họ và tên thí sinh: .......................................................
Số báo danh: .............................. Phòng thi: ...............
Cán bộ coi thi số 1: .....................................................
Cán bộ coi thi số 2: .....................................................
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2024 – 2025
Môn: Toán
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)
Câu Đáp án Điểm
1
1. (1,0 điểm). Giải phương trình:
2
4 5 60xx+ −=
25 4.4.( 6)∆= − −
121=
0,5
Khi đó phương trình có 2 nghiệm là
3
4
và
2−
0,5
2. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình :
23
31 1
2
xy
xy
= +
−= +
23 23
31 3 12 2
1
2
xy xy
xxy
y
= +
= +
⇔

−−= +
= +
0,25
( )
2x 3
2x 3
3 2 2x 3 3
32 3
y
y
x
xy
= −
= −
⇔⇔

− −=
−=
0,25
2x 3
63
y
x
= −
⇔−+ =
0,25
x3
.
3y
=
⇔=
Vậy hệ phương trình có nghiệm
x3
.
3y
=
=
0,25
2
1. (1,0 điểm). Rút gọn biểu thức
1
22
2: 22
x
xx
Pxx x





−


+
=−−
+− +
với
0; 1xx≥≠
.
Với
0x≥
và
1x=
/
thì
( )( )
112
22
2: 2xxx
xx
Px





−−+


+
=−−
+
0,25
( )
( )( )
1
112
2
2
2: xx
xxx
x
P

−




−−+


+−
= +
0,25
( )( )
2
112
2:
xx
xxx
P

 +




−−+


=
0,25
12.
11
2:
xx
xx
P =


−−

=
Vậy
2Px=
.
0,25
2. Cho hai đường thẳng
125)(:dy x= −
và
2
(:)d
. Tìm các giá trị
của tham số
m
để hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm có tung độ bằng
3
.
Hai đường thẳng
1
( )d
và
2
( )d
cắt nhau khi và chỉ khi
2 12m+=
/
hay
1
2
m=
/
0,25
Gọi
( ,3)Aa
là giao điểm hai đường thẳng
1
d
và
2
d
.
Ta có
132 5Ad a∈ ↔= −
nên
4a=
hay
(4;3)A
0,25
2
1
3 (2 1).4 2 9
Ad m m m∈ ↔= + + −↔ =
( thỏa mãn điều kiện) 0,25
Vậy
1
9
m=
thỏa mãn đề bài. 0,25
3
1. (1,0 điểm). Một người thợ dự định may
1000
chiếc khẩu trang trong một thời gian nhất
định. Nhờ tăng năng suất lao động , nên mỗi ngày người đó may thêm được
30
chiếc khẩu
trang so với kế hoạch. Do đó , chẳng những đã may vượt mức
170
chiếc khẩu trang mà còn
hoàn thành công việc sớm hơn dự định
1
ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày người đó dự định
may được bao nhiêu chiếc khẩu trang?
Gọi số khẩu trang mỗi ngày người đó may được theo dự định là
x
(chiếc).
ĐK:
*
xN∈
Số khẩu trang mỗi ngày thực tế người đó may được là
30x+
(chiếc)
0,25
Theo dự định thời gian người đó may được 1000 chiếc khẩu trang là
1000
x
( ngày)
Thực tế thời gian người đó may được 1000+170 = 1170 chiếc khẩu trang là
1170
30x+
( ngày)
0,25
Do thực tế hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 ngày nên ta có phương trình:
1000 1170 1
30xx
−=
+
0,25
22
1000 30000 1170 30 200 30000 0x xx x x x⇒ + − =+ ⇔+ − =
100 ( )
300 ( )
x TM
x KTM
=
⇔= −
0,25
Vậy số khẩu trang mỗi ngày người đó may được theo dự định là 100 chiếc.
2. (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số
m
sao cho phương trình
có hai nghiệm
12
,xx
thoả mãn
( )
2
1 1 2 12
2 1 2 4 5 2 x.x mxxm x− − +−=+
Phương trình
2
: 2x 4 5 0xm m− − −=
(1)
Ta có
( )
2
2
' 4 5 2 1 0,mm m m∆= + + = + + > ∀
nên PT (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt
12
,xx
với mọi giá trị của m.
0,25
Theo định lý Vi-ét, ta có:
12
12
2
. 45
xx m
xx m
+=
=−−
0,25
Vì
1
x
nghiệm của PT (1)
( )
22
11 111 1
2
11 1
2 4 50 2 2 4 52
2 1 4 52
x mx m x mx x m x
x mxm x
⇒−−−=⇔−+−=+
⇔− − − =+
0,25
Do đó ta có
1 2 12 1 2 12
5
2x 5 2x 5 2 x x x x 2 4 5 6
x x mm m
−
++ =+ ⇒ + = ⇒ =− −⇒ =
Vậy
5
6
m−
=
.
0,25
4
Câu 4. (1,0 điểm) Hai người đứng trên bờ hồ tại các điểm
A
và
B
cách nhau
200
mét quan sát một điểm
C
trên cái cây phía bờ bên kia. Dùng giác kế, người tại
A
đo
được
0
45CAB =
, người tại
B
đo được
0
60CBA =
( tham khảo hình vẽ bên). Hỏi điểm
C
đó cách điểm
A
bao nhiêu mét ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
H
C
A
B
Kẻ
CH AB H⊥=
.
Ta có tam giác
ABC
nhọn nên
H
thuộc đoạn
AB
. Ta có
cot 1
AH CAH
CH =∠=
nên
AH CH=
0.25
0
1
cot 60 3
BH
CH = =
nên
3
CH
BH =
0,25
Suy ra
1
(1 )
3
AH BH CH+= +
hay
1
13
AB
CH =
+
0,25
Khoảng cách
200. 2
.2 1
13
AC CH= =
+
xấp xỉ bằng 179,3 mét
Đáp số: 179,3 mét
0,25
5
Câu 5. (2,0 điểm) Cho đường tròn
()O
và điểm
A
nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp
tuyến
,AB AC
đến
()O
với
,BC
là các tiếp điểm. Gọi
H
là giao điểm của
AO
với
BC
1. Chứng minh tứ giác
ABOC
nội tiếp.
H
B
C
A
O
0,25
Ta có
AB
và
AC
là hai tiếp tuyến với đường tròn nên
0
90ABO ACO∠==∠
.
0,25
Tứ giác
ABOC
có
0
180ACO ABO∠+∠=
0,25
Do hai góc ở vị trí đối diện nên tứ giác
ABOC
nội tiếp.
0,25
2. Gọi
,MN
là hai giao điểm của đường thẳng
AO
với đường tròn
()O
sao cho
M
thuộc đoạn
AN
. Gọi
P
là trung điểm
HN
, đường thẳng qua
H
vuông góc với
BP
tại
J
cắt đường thẳng
BM
tại
S
.
a. Chứng minh rằng hai tam giác
BPN
và
SHB
đồng dạng.
b. Hai đường thẳng
SP
và
BC
cắt nhau tại
K
, đường thẳng qua
B
vuông
góc với
SP
tại
I
cắt đường thẳng
MN
tại
Q
. Chứng minh rằng
..HK HQ PQ KC=
.