Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
phó thä
k× thi tuyÓn sinh líp 10
THPT chuyªn hïng v- ¬ng
n¨m häc 2009-2010
M«n: To¸n (Chuyªn To¸n)
Thêi gian lµm bµi: 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò.
(§Ò thi cã 01 trang)
Câu 1(2 điểm). Cho hệ phương trình:
2 (1)
5 (2)
mx y
x my


(m là tham số)
a) Chứng tỏ hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình trên có nghiệm (x, y) thoả mãn x + y = 5.
Câu 2(1 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương
,,x y z
thỏa mãn
3 3 2
x y z
trong đó
y
là số nguyên tố,
;3 ; 1z z y
Câu 3(3 điểm).
a) Giải phương trình:
2009 2008 2007 2 2008 2009
1 1 2 1 2 1 2 2 0x x x x x x x x
b) Cho
là các số thực dương thoả mãn điều kiện
5
4
xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
41
4
Axy

.
Câu 4(3 điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn
()O
và điểm
P
nằm trong
tam giác
ABC
sao cho
;BAP PBC CAP PCB
. Đường thẳng
AP
cắt cạnh
BC
tại
.M
a) Chứng minh rằng
M
là trung điểm của cạnh
BC
.
b) Chứng minh rằng tứ giác
BHPC
nội tiếp trong một đường tròn
()
, trong đó
H
là
trực tâm tam giác
ABC
.
c) Đường trung trực của đoạn thẳng
PA
cắt đường thẳng
BC
tại
Q
. Chứng minh rằng
QA
tiếp xúc với
()O
và
QP
tiếp xúc với
()
.
Câu 5(1 điểm).
Cho các số thực không âm
,,abc
thỏa mãn
3ab bc ca
. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2abc
——Hết——
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh ........................................................................... SBD ..........................
§Ò chÝnh thøc
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
(Chuyªn To¸n)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a)
(1đ)
Từ (1)
y = mx -2 (3)
0.25
Thế vào (2) được x =
2
25
;
1
mm
m
0.25
Từ đó tính được y =
2
52
1
m
m
0.25
Kết luận
0.25
b)
(1đ)
x + y = 7
2
73
1
m
m
= 7
0.5
Tìm được
1
2
5
m
m
; kết luận
0.5
2
(1đ)
Phương trình đã cho tương đương với
2
2 2 2 2
3x y x xy y z x y x y xy z
(1)
Do
y
là số nguyên tố,
;3 ; 1z z y
nên từ (1),
; 1, ;3 1x y x y
(2)
0.25
Từ (1),(2) suy ra
2 2 2 2
,,x y m x xy y n z mn
với
,mn
.Từ đó
2
2 2 2 2 2
4 4 4 4 2 3 3 2 2 2 2n x xy y x y y y n x y n x y
0.25
Từ đó, do
y
là số nguyên tố, nên có các trường hợp sau xảy ra
2
2 2 3 ,2 2 1n x y y n x y
: Suy ra
22
3 1 2 2 2 2 3y x y m y
suy ra
2 2 2
1 3 6 3 3m y y m
, nhưng
213mm
, vô lý
2 2 3 , 2 2n x y y n x y y
. Suy ra
2 4 2 0y x y x
, loại
0.25
2
2 2 ,2 2 3n x y y n x y
. Suy ra
22
3 2 2 2 2 3y x y m y
do
đó
22
3 4 12ym
. Tìm được
7, 1, 8, 13y m x z
Vậy
; ; 8;7;13x y z
là nghiệm duy nhất của phương trình.
0.25
3
a)
(1,5đ)
Do
1 2 3 2 2 1n n n n n n n
a b a b a a b a b ab b
,
0.25
với
1, 2a x b x
suy ra phương trình đã cho tương đương với
2010 2010
12xx
0.5
22
12 3
12 12 2
xx
x x x
xx
0.5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
3
2
x
0.25
b)
(1,5đ)
Với x > 0 ta có:
44
4 2 .4 8xx
xx
0.5
Với y > 0 ta có:
11
4 2 .4 2
44
yy
yy
0.5
4 1 4 1
4( ) 10 5
44
x y A
x y x y
Dấu đẳng thức xảy ra
44
1
141
44
5
4
x
xx
y
yy
xy




Giá trị nhỏ nhất của A là 5 đạt được khi x = 1; y =
1
4
0.5
4
a)
(1đ)
A
Q
P
M
H
F
E
O
B
C
0.25
Từ giả thiết, suy ra
( . )ABM BPM g g
suy ra
2
BM AM PM
(1)
0.25
Tương tự,
( . )ACM CPM g g
suy ra
2
CM AM PM
(2)
0.25
Từ (1),(2) suy ra
BM CM
suy ra điều phải chứng minh.
0.25
b)
(1đ)
Gọi
,EF
là giao điểm của
,BH CH
với các cạnh
,AC AB
. Khi đó do
0
90AEH AFH
nên tứ giác
AEHF
nội tiếp,
0.25
suy ra
0
180BHC EHF BAC
(1)
0.25
Từ cách xác định điểm
P
suy ra
0 0 0
180 180 180BPC PBC PCB PAB PAC BAC
(2)
0.25
Từ (1) và (2), do tam giác
ABC
nhọn, nên bốn điểm
, , ,B C H P
cùng nằm trên một
đường tròn.
0.25
c)
(1đ)
M
N
P
X
+ Phát biểu và chứng minh bổ đề. Điểm
X
nằm trên cạnh
NP
của tam giác
MNP
sao cho
.NMX MPN
Khi đó
2
NX MX
NP MP



0.25
+ Tiếp tuyến tại
A
của đường tròn
()O
cắt
BC
tại
1.Q
Do
11
Q AB ACQ
, nên
2
1
1
QB AB
Q C AC



(3)
+ Tiếp tuyến tại
P
của đường tròn
()
cắt
BC
tại
2.Q
Do
2
Q PB PCB
, nên
2
2
2
QB PB
Q C PC



(4)
0.25
+ Theo kết quả phần 1,
M
là trung điểm
BC
suy ra
sin
sin sin
sin
ABM ACM
AB CAP
S S AB BAP AC CAP AC BAP
(5)
cũng vậy
sin sin
sin sin
sin sin
PBM PCM
PB PCM PAC
S S PB PBM PC PCM PC PBM PAB
(6)
0.25
Từ (3),(4),(5),(6) suy ra
12
12
12
Q B Q B QQ
Q C Q C
Do
11
Q AB Q CA
và
11
Q PB Q CP
, nên
22
1 1 1 1
Q A Q B Q C Q P
suy ra
11
Q A Q P
. Suy ra
1
QQ
. Điều phải chứng minh.
0.25
5
(1đ)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4a b b c c a a b c
0.25
Đặt
,,bc x ca y ab z
. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2 2 2 4x y z xyz
với
, , 0 : 3x y z x y z
0.25
Không giảm tổng quát, coi
min , ,x x y z
, thế thì
1x
và
2
2 2 2 2
22
2
22
22
2
4 2 4
124
4
22
4 3 4
44
11 2 0
4
x y z xyz x y z yz x
x y z y z x
xx
x y z x x
xx

Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
11x y z a b c
0.5
Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác đúng thì cho điểm tối đa.