www.VNMATH.com
BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Độc lập -Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO KHỐI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2011
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1: Cho biểu thức
xxyyx
yxx
xxyy
yyx
xy
yx
A+++
−++
−+
−++
+
−
−
=
2
224
22
22
444
:
2
2
2
.
Với
2
22;2;0;0 xyyxyx −≠≠>>
1. Rút gọn biểu thức A
2. Cho y = 1 hãy tính x để
5
2
=A
Câu 2:
Một nhóm công nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu
họ thực hiện đúng mức đề ra, những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 10
sản phẩm, nên đó hoàn thành sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm công
nhân cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Câu 3 :
Cho Parabol (P) : y= x
2
và đường thẳng (d) y=mx - m
2
+ 3 (m là tham số ).
Tính tất cả các giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
có hoành độ x
1
; x
2
. Với giá trị nào của m thỡ x
1
; x
2
là độ dài cạnh góc vuông của
tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng
2
5
.
Câu 4 :
Cho đường tròn (O) đường kính AB=10. Dây cung CD vuông góc với AB
tại điểm E sao cho AE =1. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau
tại K, AK và CE cắt nhau tại M.
1.Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK .Tính BK
2. Tính diện tích tam giác CKM.
Câu 5:
Cho hình thoi ABCD có
BAD
=120
0
. Các điểm M, N chạy trên cạnh BC và
CD tương ứng sao cho
MAN
=30
0
. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác MAN chạy trên đường thẳng cố định.
Câu 6:
Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1 1
... 4
1 2 3 4 5 6 79 80
+ + + + >
+ + + +
----------------------------------Hết-----------------------------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
www.VNMATH.com
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh.........
Bài 5:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
MAN
0
MON 2MAN 60
⇒= =
Lại có MO = NO nên
MAN đều.
0
ONM 60
⇒=
.
Tứ giác MONC có
0 0
MCN 120
ONM 60
+ +
=
⇒
Tứ giác MONC nội tiếp đường tròn
0
OCM 60
⇒=
⇒
O
∈
AC cố định (ĐPCM)
O
N
D
A
BC
M
Bài 6: Ta có :
1 1 1 1 1 1
; ;...
1 2 2 3 3 4 3 4 79 80 80 81
> > >
+ + + + + +
⇒
1 1 1 1 1 1
... ...
1 2 3 4 79 80 2 3 4 5 80 81
+ + + > + + +
+ + + + + +
1 1 1 1 1 1
2 ... ...
1 2 3 4 79 80 1 2 2 3 80 81
⇒+ + + > + + +
+ + + + + +
1 1 1
2 ... 2 1 3 2 ... 81 80
1 2 3 4 79 80
⇒+ + + > − + − + + −
+ + +
1 1 1
... 4
1 2 3 4 79 80
⇒+ + + >
+ + +
www.VNMATH.com
Bé gi¸o dôc ®µo t¹o
céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam
Tr−êng ®¹i häc s− ph¹m hµ néi
§éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc
§Ò chÝnh thøc
®Ò thi tuyÓn sinh
Vµo khèi trung häc phæ th«ng chuyªn n¨m 2011
M«n thi: To¸n häc
(Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n vµ chuyªn Tin)
Thêi gian lµm bµi :150 phót
Câu 1 Cho
8
2
8
1
2
2
1−+=a
1.Chứng minh rằng
0224
2
=−+ aa
2. Tính giá trị của biểu thức
1
42
+++= aaaS
Câu 2
1.Giải hệ phương trình
−=+
=
+
++
yxyx
yx
xy
yx
2
22
1
2
2. Cho 2 số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức :
01222
2233
=+++++ babaabba
Chứng minh rằng 1-ab là bình phương của một số hưũ tỷ.
Câu 3 Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng
222
cbap ++=
với a, b, c là các số
nguyên dương sao cho
444
cba ++
chia hết cho p
Câu 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , BE và CF là
các đường cao .Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S các
đường thẳng BC và OS cắt nhau tại M
1.Chứng minh
ME
BS
AE
AB =
2. Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS
3.Gọi N là giao điểm của AM và EF ,P là giao điểm của AS và BC .
Chứng minh NP vuông góc với BC
Câu 5 Trong một hộp có chứa 2011 viên bi màu ( mỗi viên bi có đúng 1 màu)
,trong đó có 655 viên bi màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím và
45 viên bi còn lại là viên bi màu vàng hoặc màu trắng ( mỗi màu ít nhất 1 viên).
Người ta lấy ra từ hộp 178 viên bi bất kì .Chứng minh rằng trong số các viên bi lấy
ra luôn có ít nhất 45 viên bi cùng màu .Nếu người ta chỉ lấy ra 177 viên bi bất kì
thì kết quả bài toán còn đúng không ?
----------------------------------HÕt-----------------------------------
Ghi chó : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
Hä vµ tªn thÝ sinh.................................................................sè b¸o danh
www.VNMATH.com