zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu Henig địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua đạo hàm Studniarski

Chia sẻ: ViPutrajaya2711 ViPutrajaya2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

24
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán cân bằng vectơ được Blum - Oettli đưa ra năm 1994. Lớp các bài toán cân bằng vectơ bao gồm nhiều lớp bài toán quan trọng như: bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bài toán điểm bất động, bài toán bù vectơ, bài toán cân bằng Nash vectơ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu Henig địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc qua đạo hàm Studniarski

ISSN: 1859-2171 TNU Journal of Science and Technology 225(06): 548 - 552 e-ISSN: 2615-9562 ĐIỀU KIỆN CẦN HỮU HIỆU CHO NGHIỆM HỮU HIỆU HENIG ĐỊA PHƯƠNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CÓ RÀNG BUỘC QUA ĐẠO HÀM STUDNIARSKI Đinh Diệu Hằng1* , Trần Văn Sự2, Nguyễn Thùy Trang1, Phạm Văn Ngọc1 1Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - ĐH Thái Nguyên 2Trường Đại học Quảng Nam TÓM TẮT Bài toán cân bằng vectơ được Blum - Oettli đưa ra năm 1994. Lớp các bài toán cân bằng vectơ bao gồm nhiều lớp bài toán quan trọng như: bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bài toán điểm bất động, bài toán bù vectơ, bài toán cân bằng Nash vectơ. Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng khái niệm đạo hàm Studniaski được đề xuất bởi Studniaski (M. Studniaski (1986)), thiết lập điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu Henig địa phương của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát trong không gian Banach. Kết quả thu được này được áp dụng trực tiếp cho nghiệm siêu hữu hiệu địa phương của bài toán. Từ khóa: điều kiện cần tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc; điều kiện cần hữu hiệu; nghiệm hữu hiệu Henig địa phương; nghiệm siêu hữu hiệu địa phương; đạo hàm Studniaski. Ngày nhận bài: 21/11/2019; Ngày hoàn thiện: 27/5/2020; Ngày đăng: 31/5/2020 NECESSARY EFFICIENCY CONDITIONS FOR THE LOCAL HENIG EFFICIENT SOLUTIONS OF V ECTOR EQUILIBRIUM PROBLEMS WITH CONSTRAINTS IN TERMS OF S TUDNIARSKI’S DERIVATIVES Dinh Dieu Hang1*, Tran Van Su2, Nguyen Thuy Trang1, Pham Van Ngoc1 1TNU - University of Information and Communication Technology 2Quang Nam University ABSTRACT The equilibrium problem was first proposed in 1994 by Blum - Oettli which including a number of important problems such as vector variational inequalities, vector optimization problems, fixed poin problems, vector complementarity problems, vector Nash equilibrium problems. Currently, optimality conditions for vector equilibrium problems and vector variational inequalities are widely studied by many authors. In this paper, we’re using the concept of Studniaski’s derivative was proposed by Studniaski in the reference (M. Studniaski (1986)), we establish in this article the necessary efficiency conditions for local Henig efficient solution of vector equilibrium problems with set and generalized inequality constraints in terms of studniarski’s derivatives in Banach spaces. This obtained result is directly applied to local superefficient solution of the problem. Keywords: Necessary optimality conditions for vector equilibrium problem; necessary efficiency conditions; local Henig efficient solutions; local superefficient solutions; Studniarski’s derivatives. Received: 21/11/2019; Revised: 27/5/2020; Published: 31/5/2020 * Corresponding author. Email: dinhhangch16tn@gmail.com 548 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn
Đinh Diệu Hằng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 548 - 552 1 MỞ ĐẦU 2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1 Một số ký hiệu Xuyên suốt bài báo chúng tôi quy ước X, Y và Z là các không gian Banach thực và không gian đối ngẫu tôpô của Y và Z theo thứ tự được ký hiệu là Y ∗ và Z ∗ . Cho A là một tập khác rỗng của X. Phần trong và bao đóng của A được ký hiệu tương ứng bởi intA và clA. Bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tổng quát được Cho x ∈ X và δ > 0, hình cầu mở tâm x bán kính δ là thiết lập vào năm 1997 bởi nhóm tác giả Bianchi, Had- tập B(x, δ) = {x ∈ X : kx−xk < δ}. Quy ước tn → 0+ jisavvas và Schaible [1] và chúng giữ một vai trò quan là một dãy số dương (tn )n≥1 hội tụ về 0. Gọi C và K trọng trong giải tích phi tuyến (xem Feng và Qiu [2], là các nón lồi, đóng và có phần trong khác rỗng xác Gong [3],[4], Long, Huang và Peng [5], Luu và Hang định một thứ tự bộ phận trong các không gian Y và [6]). Đầu tiên nhóm tác giả [1] chỉ đề xuất khái niệm Z tương ứng. Các nón đối ngẫu của C và K được ký nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu kiểu toàn hiệu theo thứ tự bởi C + và K + là lồi và đóng yếu∗ và cục và địa phương cho bài toán và sau đó Gong [3] lại được định nghĩa xây dựng bổ sung khái niệm nghiệm hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu bên cạnh khái niệm hữu hiệu yếu C + = {ξ ∈ Y ∗ : hξ, ci ≥ 0 (∀ c ∈ C)}, đã biết. Bên cạnh nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cho bài toán cân bằng vectơ, điều kiện tối ưu cũng được K + = {ξ ∈ Z ∗ : hξ, di ≥ 0 (∀ d ∈ K)}. quan tâm nghiên cứu nhiều, xem [3],[4],[5],[2],[7]. Gong Tựa phần trong của nón C + là tập hợp [3],[4] thiết lập điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm C ] = {ξ ∈ C + : hξ, ci > 0 (∀ c ∈ C, c 6= 0)}. hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ bằng cách vô hướng hóa các hàm mục tiêu và ràng buộc với điều kiện là các hàm đối tượng phải lồi theo nón. Long, Huang Cho tập lồi B ⊂ Y là cơ sở của nón C, nghĩa là 0 6∈ cl B và Peng [5] đã mở rộng kết quả điều kiện cần và đủ và C = coneB := {tb : t ≥ 0, b ∈ B}. Vì 0 6∈ cl B, dùng tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig trong [3],[4] của bài một định lý tách trong giải tích lồi (xem Rockafellar toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức [11]), tồn tại y ∗ ∈ Y ∗ \ {0} sao cho tổng quát từ tính lồi theo nón sang lồi suy rộng theo r = inf{hy ∗ , bi : b ∈ B} > hy ∗ , 0i = 0. nón. Hằng và Sự [7] cung cấp các điều kiện cần tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu cho Ký hiệu bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát theo ngôn ngữ đạo hàm theo hướng. C ∆ (B) = {ξ ∈ C ] : ∃t > 0, hξ, bi ≥ t (∀ b ∈ B)}. Studniarski [8] đề xuất khái niệm đạo hàm Dini trên Xét một lân cận lồi mở cân đối VB của gốc O trong Y, và dưới theo hướng và khái niệm này được đặt lại tên trong đó là đạo hàm Studniarski bởi nhiều nhà nghiên cứu, xem r Luu [9]. Vai trò của đạo hàm Studniarski dùng để thiết VB = {y ∈ Y : | hy ∗ , yi | < }. lập điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu vectơ tổng 2 quát, ví dụ Luu [9] cung cấp điều kiện cần và đủ tối Cho trước một lân cận lồi U của O với U ⊂ VB , ta có ưu cho cực tiểu chặt Pareto địa phương của bài toán cone(U +B) là nón lồi và nhọn thỏa mãn 0 6∈ cl(U +B) tối ưu vectơ theo ngôn ngữ của đạo hàm Studniarski. và sự bao hàm C \ {0} ⊂ intcone(U + B) đúng. Hiện nay theo sự hiểu biết của chúng tôi là chưa có kết quả nghiên cứu điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig và Henig địa phương của bài toán cân 2.2 Nghiệm hữu hiệu Henig và siêu bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức tổng quát sử dụng công cụ của đạo hàm Studniarski trong hữu hiệu của bài toán cân bằng không gian vô hạn chiều. vectơ có ràng buộc Mục đích của chúng tôi trong bài báo là sử dụng đạo Xét bài toán (CVEP): Tìm x ∈ K sao cho hàm Studniarski để thiết lập điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu Henig địa phương và siêu hữu Fx (x) 6∈ −intcone(U + B) ∀ x ∈ S. (2.1) hiệu địa phương của bài toán cân bằng vectơ và bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc tập và bất Trong đó, song hàm F : A × A → Y thỏa mãn đẳng thức tổng quát. Kết quả thu được của chúng tôi F (x0 , x0 ) = 0 với mọi x0 ∈ A. Với tập chấp nhận là hoàn toàn mới và chưa được nghiên cứu trước đây được S = {x ∈ A : g(x) ∈ −K}, g : A → Z là hàm và thêm nữa nó có thể được áp dụng để xây dựng các ràng buộc của (CVEP). Mỗi x ∈ X, đặt thuật toán số cho bài toán cân bằng nói chung và bài Fx (S) = F (x, S) = [ F (x, x). toán tối ưu nói riêng trong tương lai. x∈S http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 549
Đinh Diệu Hằng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 548 - 552 • Một vectơ x thỏa mãn điều kiện (2.1) được gọi là Tiếp theo chúng tôi giới thiệu nón tiếp liên trung gian nghiệm hữu hiệu Henig của bài toán (CVEP). sau: • Nếu tồn tại δ > 0 sao cho (2.1) đúng với mọi ∼ x ∈ S ∩ B(x, δ) thì x được gọi là nghiệm hữu hiệu T A (x) = {v ∈ X : ∃ tn → 0+ sao cho Henig địa phương của bài toán (CVEP). x + tn v ∈ A, ∀ n đủ lớn}. • Nếu với mỗi lân cận V của 0, tồn tại một lân cận U của 0 và δ > 0 thỏa mãn Dễ dàng kiểm tra được rằng ∼ cone(Fx (S ∩ B(x, δ)))) ∩ (U − C) ⊂ V, ITA (x) ⊂ T A (x) ⊂ TA (x). thì x ∈ S là nghiệm siêu hữu hiệu địa phương của bài Cho T : X → L(X, Y ) là ánh xạ giá trị vectơ, ở đây toán (CVEP). L(X, Y ) không gian các ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X Mệnh đề 2.2.1 Cho B là cơ sở của nón C. vào Y. Bài toán (CVEP) bao gồm bất đẳng thức biến (i) Nếu x ∈ S là nghiệm siêu hữu hiệu địa phương của phân vectơ (CVVI) như trường hợp đặc biệt, nghĩa là bài toán (CVEP) thì nó cũng là nghiệm hữu hiệu Henig song hàm F được xác định bởi địa phương của bài toán (CVEP). F (x, y) = hT x, y − xi , ∀ x, y ∈ X. (ii) Nếu B đóng và bị chặn thì một nghiệm hữu hiệu Henig địa phương của bài toán (CVEP) cũng là nghiệm siêu hữu hiệu địa phương của bài toán (CVEP). Ngoài Định nghĩa 2.2.4 Nếu F (x, y) = hT x, y − xi , ∀ x, y ∈ ra, X, và nếu x ∈ S là một nghiệm hữu hiệu Henig địa intC + = C ∆ (B). phương hay một nghiệm siêu hữu hiệu địa phương của bài toán (CVEP) thì x ∈ S là một nghiệm hữu hiệu Chứng minh. Đặt K1 := K ∩ B(x, δ) và áp dụng kết Henig địa phương hay một nghiệm siêu hữu hiệu địa quả của Long et al. [5] ta nhận được kết luận. phương của bài toán (CVVI) tương ứng. Tiếp theo chúng tôi nhắc lại khái niệm đạo hàm Stud- niarski trong [8]. 3 KẾT QUẢ MỚI CỦA BÀI BÁO Định nghĩa 2.2.1 ([8]) Cho m ∈ N, m ≥ 1, x, v ∈ X và ánh xạ f : X → Y. Đạo hàm Studniarski cấp m của Chúng tôi thiết lập điều kiện cần cho nghiệm Henig f tại (x, v) được ký hiệu dm S f (x, v) và được định nghĩa địa phương của bài toán (CVEP) theo ngôn ngữ đạo như sau: hàm Studniarski trong không gian Banach và một số f (x + tu) − f (x) áp dụng của chúng. dm S f (x; v) = lim , t→0+ tm u→v Định lí 3.1 Cho x ∈ S và B là cơ sở của C. Giả nếu giới hạn tồn tại. Trong trường hợp m = 1, ta viết sử các đạo hàm Studniarski dS Fx (x; v) và dS g(x; v) dS f (x; v) thay cho d1S f (x; v). tồn tại theo mọi phương v ∈ X. Khi đó, nếu x là Khái niệm các nón tiếp liên sau làm cơ sở cho việc thiết một nghiệm hữu hiệu Henig địa phương của bài toán lập điều kiện cần hữu hiệu cho nghiệm hữu hiệu Henig (CVEP) thì ∀ v ∈ TA (x) thỏa mãn dS g(x; v) ∈ −intK, địa phương của bài toán (CVEP). tồn tại (ξ, η) ∈ (Y × Z)∗ sao cho ξ ∈ C ∆ (B), η ∈ K + , (3.1) Định nghĩa 2.2.2 ([9]) Nón tiếp liên của tập A tại hξ, dS Fx (x; v)i + hη, dS g(x; v)i ≥ 0. (3.2) x ∈ cl A được định nghĩa bởi TA (x) = {v ∈ X : ∃ tn > 0, ∃ xn ∈ A, xn → x Chứng minh. Giả sử x ∈ S là một nghiệm hữu hiệu sao cho tn (xn − x) → v}. Henig địa phương của bài toán (CVEP). Khi đó với lân cận lồi cân đối U của 0 với U ⊂ VB (xem Mục 2.1) Định nghĩa 2.2.3 ([9]) Nón tiếp liên phần trong của tồn tại một số thực δ > 0 thỏa mãn tập A tại x ∈ cl A được định nghĩa bởi coneFx (S∗) ∩ (−intcone(U ∗)) = ∅, (3.3) ITA (x) = {v ∈ X : ∃ tn → 0+ sao cho ∀ vn → v, ở đây S∗ := S ∩ B(x, δ)), U ∗ := U + B. Xét một nón x + tn vn ∈ A, ∀ n đủ lớn}. lồi nhọn và đóng D = cl cone(U ∗). Ta có D thỏa mãn quan hệ bao hàm C \ {0} ⊂ intD. Từ (3.3) và đẳng thức intcone(U ∗) = int clcone(U ∗), ta có Mệnh đề 2.2.2 ([10]) Nón tiếp liên của tập A tại x ∈ cl A được phát biểu ở dạng tương đương sau cone(Fx (S ∩ B(x, δ))) ∩ (−intD) = ∅. (3.4) TA (x) ={v ∈ X : ∃ xn ∈ A \ {x}, xn → x Theo Bổ đề 2.1 ([5], tr. 720), ta có xn − x v sao cho lim = } ∪ {0}. [cone(U + B)]+ \ {0} ⊂ C ∆ (B). n→+∞ kxn − xk kvk 550 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn
Đinh Diệu Hằng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 548 - 552 Để hoàn thành chứng minh định lí, ta chỉ ra rằng tồn Suy ra tại ξ ∈ [cone(U + B)]+ \ {0} và η ∈ S + thỏa mãn (3.2) là đủ. Để làm điều này trước tiên ta phải kiểm tra điều {dS Fx (x; v), dS g(x; v)} ∩ (−intD) × (−intK) = ∅. kiện Áp dụng định lí tách mạnh các tập lồi rời nhau dS Fx (x; v) 6∈ −intD (3.5) {dS Fx (x; v), dS g(x; v)} và (−intD) × (−intK) (xem ∀ v ∈ TA (x) ∩ {u ∈ X : dS g(x; u) ∈ −intK}. Rockafellar [11]), tồn tại ξ ∈ Y ∗ và η ∈ Z ∗ thỏa mãn Giả sử (3.5) không đúng, khi đó tồn tại một phương hξ, dS Fx (x; v)i + hη, dS g(x; v)i > hξ, −ci v ∈ TA (x) \ {0} sao cho dS g(x; v) ∈ −intK và + hη, −di ∀ c ∈ intD, d ∈ intK. dS Fx (x; v) ∈ −intD. Theo Mệnh đề 2.2.2, tồn tại một dãy (xn )n≥1 ⊂ A \ {x} với xn → x thỏa mãn Điều này dẫn đến bất đẳng thức sau xn − x v hξ, dS Fx (x; v)i + hη, dS g(x; v)i (3.12) lim = . n→+∞ kxn − xk kvk + hξ, ci + hη, di ≥ 0 ∀ c ∈ D, d ∈ K. kxn −xk xn −x Chọn các dãy tn = kvk và vn = tn . Khi đó, Vậy hξ, dS Fx (x; v)i + hη, dS g(x; v)i ≥ 0, nghĩa là bất tn → 0+ , vn → v và đẳng thức (3.2) được thỏa mãn. Bây giờ ta kiểm tra xn = x + tn vn ∈ A ∀ n ≥ 1. (3.6) (3.1). Thật vậy, trong (3.12) ta chọn t > 0 thỏa mãn Theo định nghĩa đạo hàm Studniarski: hξ, dS Fx (x; v)i + hη, dS g(x; v)i (3.13) + hξ, tci + hη, tdi ≥ 0 ∀ c ∈ D, d ∈ K. g(x + tn vn ) − g(x) lim = dS g(x; v) ∈ −intK. n→+∞ tn Chia cả 2 vế (3.13) bởi t > 0 ta được Lúc này tồn tại N1 > 0 sao cho ∀ n ≥ N1 , 1 hξ, dS Fx (x; v)i + hη, dS g(x; v)i (3.14) g(x + tn vn ) − g(x) ∈ −intK, hay t + hξ, ci + hη, di ≥ 0 ∀ c ∈ D, d ∈ K. g(x + tn vn ) ∈ g(x) − intK ∀ n ≥ N1 . Không khó để kiểm tra rằng Cho t → +∞ trong (3.14) ta thu được g(x + tn vn ) ∈ −K ∀ n ≥ N1 . (3.7) hξ, ci + hη, di ≥ 0 ∀ c ∈ D, d ∈ K. Kết hợp (3.6)-(3.7) ta kết luận Đầu tiên chúng ta chọn d = 0 ∈ K, ξ ∈ D+ \ {0} = [cone(U+B)]+ \ {0} và sau đó chọn c = 0, η ∈ K + . x + tn vn ∈ S ∀ n ≥ N1 . (3.8) Chú ý ξ 6= 0 là do giả thiết dS g(x; v) ∈ −intK suy ra điều phải chứng minh. Do x + tn vn → x ∈ B(x, δ), tồn tại N2 > 0 với Trong trường hợp nón C có cơ sở đóng và bị chặn B, x + tn vn ∈ S ∩ B(x, δ) ∀ n ≥ max{N1 , N2 }. ta có Đặt N3 = max{N1 , N2 }, ta thu được kết quả Hệ quả 3.2 Cho x ∈ S và B là cơ sở đóng, bị chặn x + tn vn ∈ S ∩ B(x, δ) ∀ n ≥ N3 . (3.9) của C. Giả sử các đạo hàm Studniarski dS Fx (x; v) và dS g(x; v) tồn tại theo mọi phương v ∈ X. Khi đó, nếu Ta có x là một nghiệm siêu hữu hiệu địa phương của (CVEP) Fx (x + tn vn ) − Fx (x) thì ∀ v ∈ TA (x) thỏa mãn dS g(x; v) ∈ −intK, tồn tại lim = dS Fx (x; v) ∈ −intD, (ξ, η) ∈ (Y × Z)∗ sao cho n→+∞ tn nên tồn tại N4 > 0 sao cho ∀ n ≥ N4 , ξ ∈ intC + , η ∈ K + hξ, dS Fx (x; v)i + hη, dS g(x; v)i ≥ 0. Fx (x + tn vn ) − Fx (x) ∈ −intD hay Fx (x + tn vn ) ∈ −intD ∀ n ≥ N4 . Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 2.1 ta nhận được kết Chọn N = max{N3 , N4 }, và từ (3.9) suy ra quả. x + tn vn ∈ S ∩ B(x, δ) ∀ n ≥ N, (3.10) Tiếp theo chúng ta áp dụng kết quả thu được cho bài toán (CVVI). Fx (x + tn vn ) ∈ −intD ∀ n ≥ N. (3.11) Định lí 3.3 Cho x ∈ S và B là cơ sở của nón C. Kết hợp (3.10)-(3.11) mâu thuẫn với điều kiện (3.4). Giả sử T : X → L(X, Y ) là ánh xạ giá trị vectơ và Do đó với mọi v ∈ TA (x) thỏa mãn dS g(x; v) ∈ −intK dS g(x; v) tồn tại theo mọi phương v ∈ X. Nếu x là ta có nghiệm hữu hiệu Henig địa phương (t.ứ. siêu hữu hiệu {dS Fx (x; v)} ∩ (−intD) = ∅. địa phương nếu thêm B đóng và bị chặn) của (CVVI) http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 551
Đinh Diệu Hằng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 548 - 552 thì ∀ v ∈ TA (x) thỏa mãn dS g(x; v) ∈ −intK, tồn tại [3] X. H. Gong , "Optimality conditions for vec- (ξ, η) ∈ (Y × Z)∗ sao cho tor equilibrium problems", J. Math. Anal. Appl., 342, pp.1455-1466, 2008. ξ ∈ C ∆ (B) (t.ứ. ξ ∈ int C + ), η ∈ K + , hξ, hT x, vii + hη, dS g(x; v)i ≥ 0. [4] X. H. Gong, "Scalarization and optimality conditions for vector equilibrium problems", Nonlinear Analysis, 73, pp.3598-3612, 2010. Chứng minh. Áp dụng Định lí 3.1 và Hệ quả 3.2 với chú rằng dS Fx (x; v) = hT x, vi , ta nhận được kết quả [5] X. J. Long, Y. Q. Huang, and Z. Y. Peng, cần chứng minh. "Optimality conditions for the Henig efficient solution of vector equilibrium problems with Chú ý 3.4 Phát biểu trong Định lí 3.1, 3.3 và Hệ quả 3.2 vẫn còn đúng nếu ta thay nón tiếp liên TA (x) bởi constraints", Optim. Letter, 5, pp.717-728, ∼ 2011. các nón tiếp liên phần trong ITA (x) và T A (x) tương ứng. [6] V. L. Do, and D. H. Dinh, "On efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems with equlibrium constraints", Nu- 4 KẾT LUẬN mer. Funct. Anal. Optim., 36, pp.1622-1642, 2015. Bài báo đã xây dựng được điều kiện cần cho nghiệm [7] D. H. Dinh, and V. S. Tran, "On opti- hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu địa phương của bài mality conditions for Henig efficient solution toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức and supperefficient solution of contrained vec- tổng quát theo ngôn ngữ đạo hàm Studniarski trong tor equilibrium problems", TNU Journal of không gian Banach. Kết quả nhận được là mới và chưa Science and Technology, 181(5), pp.237-242, được nghiên cứu trước đây và thêm nữa, chúng được 2018. áp dụng cho bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng [8] M. Studniaski, "Necessary and sufficient con- buộc. ditions for isolated local minima of nonsmooth functions", SIAM J. cont/optim., 24, pp.1044- 1049, 1986. Tài liệu [9] V. L. Do, "Higher-order necessary and suffi- cient conditions for strict local Pareto minima [1] M. Bianchi, N. Hadjisavvas, and S. Schaible, in terms of Studniarski’s derivatives", Opti- "Vector equilibrium problems with general- mization, 57, pp.593-605, 2008. ized monotone bifunctions", J. Optim.Theory Appl., 92, pp.527-542, 1997. [10] G. Giorgi, and A. Guerraggio, "On the no- tion of tangent cone in mathematical pro- [2] Y. Feng, and Q. Qiu, "Optimality conditions gramming", Optim., 25, pp.11-23, 1992. for vector equilibrium problems with con- straints in Banach spaces", Optim. Lett., 8, [11] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton pp.1931-1944, 2004. University Press, Princeton, 1970. 5 Lời cảm ơn Bài báo này là sản phẩm của Đề tài với mã số T2019-07-01. 552 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.