intTypePromotion=1
ADSENSE

Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 2

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

66
lượt xem
8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sự truyền của các sóng ngắn trong biển mở độ sâu không đổi Những nhiễu động gây bởi các xung động hữu hạn về thời gian nh- động đất, tr-ợt đất, các vụ nổ..., sinh ra các sóng xung. Do quá trình phân tán, các sóng này truyền trong n-ớc phức tạp hơn nhiều so với các loại sóng khác trong tự nhiên. Để dễ hiểu về các hệ quả vật lý của quá trình phân tán sóng, trong ch-ơng này, ta sẽ xem xét các mô hình đơn giản về cơ chế nguồn phát sinh, độ sâu đại...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 2

  1. vμ chøng tá r»ng tèc ®é pha cã mét cùc trÞ C m tho¶ m·n biÓu thøc  ω2   gk  {ρ cth kh cth k (h − h) + ρ} −  ′ ′ C 2 1  λ λ m  1  km k    = =  + , + Cm 2  λ m λ  2  k k m  ω2 2     ρ′{cth kh cth k (h′ − h)} + ρ′ − ρ = 0. − gk trong ®ã H·y kh¶o s¸t hai hμi t−¬ng øng víi hai nghiÖm ω1 vμ ω2 2 1/2 T  2π 2 = 2π  λm = . ®èi víi cïng mét gi¸ trÞ k .  gρ  km  Ch¼ng h¹n, khi h′ ~ ∞ h·y chøng minh r»ng C¸c gi¸ trÞ sè cña λ m vμ C m ®èi víi n−íc vμ kh«ng khÝ ρ′ − ρ ω1 = gk vμ ω2 = gk < ω1 2 2 b»ng bao nhiªu? ρ′ cth kh + ρ 2 NhËn xÐt vÒ sù biÕn thiªn ω, C vμ C g theo k hoÆc λ . vμ tØ sè biªn ®é t¹i mÆt ph©n c¸ch so víi mÆt tù do lμ ρ e − kh − e kh vμ ρ′ − ρ tuÇn tù ®èi víi hμi thø nhÊt vμ hμi thø hai. VÏ tèc ®é nhãm nh− lμ hμm cña k cho mçi hμi. Ch−¬ng 2 - Sù truyÒn cña c¸c sãng ng¾n trong Bμi tËp 5.2: C¸c sãng mao dÉn biÓn më ®é s©u kh«ng ®æi Søc c¨ng bÒ mÆt t¹i mÆt tù do sinh ra mét hiÖu ¸p suÊt gi÷a ¸p suÊt khÝ quyÓn Pa ë phÝa trªn vμ ¸p suÊt n−íc P ë d−íi. Nh÷ng nhiÔu ®éng g©y bëi c¸c xung ®éng h÷u h¹n vÒ thêi HiÖu nμy ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc Laplace (xem Landau vμ gian nh− ®éng ®Êt, tr−ît ®Êt, c¸c vô næ..., sinh ra c¸c sãng xung. Lifshitz, 1959, tr. 237): Do qu¸ tr×nh ph©n t¸n, c¸c sãng nμy truyÒn trong n−íc phøc P − Pa ≅ −T (ζ xx + ζ yy ) t¹i z ≅ 0 , t¹p h¬n nhiÒu so víi c¸c lo¹i sãng kh¸c trong tù nhiªn. §Ó dÔ hiÓu vÒ c¸c hÖ qu¶ vËt lý cña qu¸ tr×nh ph©n t¸n sãng, trong ë ®©y vÕ ph¶i tØ lÖ víi ®é cong bÒ mÆt vμ T lμ hÖ sè søc c¨ng bÒ ch−¬ng nμy, ta sÏ xem xÐt c¸c m« h×nh ®¬n gi¶n vÒ c¬ chÕ mÆt. §èi víi mÆt ph©n c¸ch n−íc − kh«ng khÝ ë 20oC, T = 74 nguån ph¸t sinh, ®é s©u ®¹i d−¬ng sao cho cã thÓ ph©n tÝch ®−îc dyn/cm trong hÖ CGS. H·y thiÕt lËp c¸c ®iÒu kiÖn biªn t¹i mÆt chi tiÕt. Trong c¸c môc 2.1 vμ 2.2, ta sÏ nghiªn cøu bμi to¸n gäi tù do vμ nghiªn cøu mét sãng tiÕn ph¼ng trªn nÒn n−íc s©u: lμ bμi to¸n Cauchy − Poisson vÒ c¸c sãng do mét sè lo¹i nguån Φ ∝ ekz ei ( kx − ωt ) . cã tÝnh chÊt xung g©y ra vμ ®Æc biÖt tËp trung ph©n tÝch diÔn Chøng minh r»ng biÕn sãng ë miÒn xa nguån. Trong c¸c môc 2.3 vμ 2.4 sÏ xem xÐt Tk 3 ω 2 = gk + vÒ vai trß cña sù ph©n t¸n ®èi víi qu¸ tr×nh ®iÒu biÕn yÕu c¸c ρ nhãm sãng. 14
  2. 1 2.1 C¸c bμi to¸n xung hai chiÒu 2π i  st f (t ) = e f ( s )ds , (1.5b) Γ XÐt ®¹i d−¬ng ®é s©u kh«ng ®æi, kh«ng cã c¸c biªn cøng. ë ®©y Γ lμ mét ®−êng th¼ng ®øng n»m phÝa ph¶i cña c¸c kú dÞ Gi¶ sö c¸c xung ®éng trªn mÆt tù do vμ t¹i ®¸y kh«ng phô thuéc y . Bμi to¸n ®−îc thμnh lËp trong mÆt ph¼ng x − z . VËy, cña f ( s ) trong mÆt ph¼ng phøc s . C¸c biÕn ®æi cña ph−¬ng thÕ vËn tèc Φ( x, z , t ) ph¶i tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh: tr×nh (1.1) vμ (1.4) cho: ∇ 2 Φ ( x, z , s ) = 0 , −h< z
  3. ~ V× Φ ( x, 0, 0−) = 0 vμ ζ ph¶i h÷u h¹n, ta cã Φ ( x, 0, 0+) = I / ρ .   1 ~ W2 ch kh  gF ch k ( z + h) + ( s sh kz − gk ch kz ) . (1.16) Φ= VËy, gi¸ trÞ ban ®Çu cña Φ diÔn t¶ vÒ mÆt vËt lý mét ¸p suÊt s 2 + gk th kh  k    xung t¸c ®éng lªn mÆt tù do ë thêi ®iÓm h¬i sím h¬n t = 0 + . Râ rμng c¸c phÇn thªm thø nhÊt vμ thø hai trong dÊu C¸c ph−¬ng tr×nh (1.6), (1.7), vμ (1.10) b©y giê x¸c mét bμi ngoÆc vu«ng tuÇn tù biÓu biÔn c¸c nhiÔu ®éng trªn mÆt vμ trªn to¸n gi¸ trÞ biªn, vÒ h×nh thøc t−¬ng tù nh− lμ bμi to¸n tr−êng ®¸y. NÕu thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi ng−îc Fourier vμ Laplace, hîp sãng ®¬n ®iÒu hoμ. Víi t h÷u h¹n bÊt kú, ta ch¾c r»ng sÏ ta cã kh«ng cã chuyÓn ®éng t¹i kho¶ng c¸ch rÊt xa kÓ tõ nguån nhiÔu ~ 1∞ ®éng ban ®Çu, tøc Φ ( x, t ) → 0 khi x → ∞ , ®iÒu nμy cã nghÜa ikx 1 ∞dke 2iπ  dse Φ (k , z, s) Φ ( x, z , t ) = st (1.17) 2π − Φ → 0 khi x → ∞ . Do vïng xÐt kh«ng liªn quan ®Õn mét vËt Γ §Ó thu ®−îc ®é cao mÆt tù do, ta sö dông ph−¬ng tr×nh thÓ h÷u h¹n nμo, nªn bμi to¸n cã thÓ ®−îc gi¶i b»ng c¸ch ¸p dông phÐp biÕn ®æi Fourier hμm mò theo x nh− sau: (1.2b) − Pa 1 ∂Φ ∞ 1 ∞ ikx ~ ~  e f ( x)dx, 2π − ( x,0, t ) = − ζ ( x, t ) = − ikx f (k ) = f ( x) = e f (k )dk . (1.11) g ∂t ρg −∞ ∞ ds st − s ~ − Pa 1 ∞ PhÐp biÕn ®æi Fourier − Laplace ®èi víi Φ tho¶ m·n: ∞dke  2iπe g Φ (k ,0, s) , = + ikx (1.18) ~ ρg 2π − ~ d 2Φ Γ − k 2 Φ = 0, −h< z
  4. ∞ [ ] ~e 1 dÊu tÝch ph©n cã hai cËn thùc t¹i Re  dk ζ 0 e i ( kx − ω t ) + e i ( kx + ω t ) . = (1.25) 2π s = ± iω ω = ( gk th kh)1 / 2 . víi (1.22) 0 §èi víi t < 0 ta ®−a ra mét ®−êng viÒn b¸n nguyÖt khÐp kÝn Sè h¹ng thø nhÊt vμ thø hai trong dÊu ngoÆc vu«ng tuÇn tù n»m ë nöa phÝa ph¶i cña mÆt ph¼ng s nh− trªn h×nh 1.1. V× biÓu diÔn c¸c sãng truyÒn vÒ phÝa ph¶i vμ phÝa tr¸i. nh©n tè nh©n e s t trong hμm d−íi dÊu tÝch ph©n ®ång nhÊt triÖt tiªu khi s → ∞ , tÝch ph©n ®−êng däc theo nöa ®−êng b¸n nguyÖt lín b»ng kh«ng theo bæ ®Ò Jordan. Theo lý thuyÕt thÆng d− cña Cauchy, tÝch ph©n s b»ng 0, tøc kh«ng cã nh÷ng ®iÓm k× dÞ trong nöa ®−êng trßn ®ã. VËy, hiÓn nhiªn ζ = 0, t < 0. (1.23) §èi víi t > 0 , ta chän nöa ®−êng trßn phÝa tr¸i. Còng theo bæ ®Ò Jordan, tÝch ph©n ®−êng däc theo nöa ®−êng trßn triÖt tiªu, chØ ®Ó l¹i phÇn d− cho hai cùc t¹i ± iω . se st ds se st ds 1 1  s 2 + ω2 = 2 πi  = cos ω t , t >0. 2 πi Γ ( s + iω) ( s − iω) Γ ThÕ vμo ph−¬ng tr×nh (1.21), ta ®−îc 1∞ ~ ∞dk e cos ω t ζ 0 ( k ) . H×nh 1.1 C¸c ®−êng lÊy tÝch ph©n dïng cho phÐp biÕn ®æi ®¶o Laplace ζ ( x, t ) = ikx (1.24) 2π − §Ó hiÓu râ h¬n vÒ b¶n chÊt vËt lý, ta cÇn thùc hiÖn nh÷ng Râ rμng r»ng, cos ω t lμ hμm ch½n theo k. Nãi chung, ta cã phÐp xÊp xØ. T¹i thêi gian t lín, ta cã thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p thÓ t¸ch ζ 0 ( x) thμnh phÇn ch½n vμ phÇn lÎ theo x : ζ 0 vμ ζ 0 . e o pha æn ®Þnh (method of stationary phase) cña Kelvin. ý t−ëng cña ph−¬ng ph¸p nμy nh− sau: Theo ®Þnh nghÜa cña phÐp biÕn ®æi Fourier th× ∞ ∞ ~ ~e ~o XÐt tÝch ph©n ζ0 (k ) = 2 dx cos kxζ 0 ( x) − 2i  dx sin kxζ 0 ( x) ≡ ζ0 (k ) + ζ0 (k ) e o b I (t ) =  f e itg dk , 0 0 (1.26) ~e ~o trong ®ã ζ o lμ thùc vμ ch½n theo k , ζ 0 lμ ¶o vμ lÎ theo k . a trong ®ã f vμ g lμ c¸c hμm liªn tôc theo k . Khi t lín, pha tg §Ó ®¬n gi¶n, ®Æt ζ 0 lμ ch½n theo x . Ph−¬ng tr×nh (1.24) cã cña phÇn cã d¹ng h×nh sin dao ®éng nhanh khi k biÕn thiªn. thÓ ®−îc viÕt l¹i NÕu vÏ ®å thÞ hμm d−íi dÊu tÝch ph©n theo k , th× cã rÊt Ýt vïng 1 ∞ ~e π ζ ( x, t ) = dk ζ 0 cos kx cos ω t = thùc phÝa d−íi ®−êng cong bÞ lo¹i bá, ngo¹i trõ mét ®iÓm t¹i ®ã 0 17
  5. 1/ 2 ∞ π  pha dõng, ®iÓm ®ã lμ ± itk 2  e dk =  t  e ± iπ / 4 , g ′(k ) = 0, k = k0 .  (1.27) −∞ cuèi cïng ta cã T¹i l©n cËn cña ®iÓm dõng nμy, nh©n tö dao ®éng cña hμm 1/ 2 d−íi dÊu tÝch ph©n cña ph−¬ng tr×nh (1.26) cã thÓ ®−îc viÕt  2π  f (k 0 )   e ± iπ / 4 , itg ( k 0 ) I ≅e (1.28) thμnh  t g ′′(k )    ei t g ( k 0 ) exp { i t [g (k ) − g (k0 )]} 0 trong ®ã dÊu ± ®−îc lÊy nÕu g ′′(k0 ) > 0, g ′′(k0 ) < 0 . NÕu ph©n PhÇn thùc cña exp { i t [g (k ) − g ( k0 )] } biÕn thiªn chËm, nh− tÝch c«ng phu h¬n, ta cã thÓ thÊy r»ng sai sè cã bËc O (t −1 ) . trªn h×nh 1.2, trong khi ®ã phÇn ¶o tõ tõ c¾t ngang trôc k t¹i Ngoμi ra, nÕu kh«ng cã ®iÓm dõng trong kho¶ng (a, b) , tÝch k = k0 . V× vËy ta cã thÓ thÊy, vïng l©n cËn nμy sÏ ®ãng gãp ®¸ng ph©n sÏ cã bËc lín nhÊt b»ng O (t −1 ) . §iÒu nμy vμ c¸c th«ng tin kÓ vμo tÝch ph©n. kh¸c cã thÓ thÊy trong Stoker (1957) hay Carrier, Krook, vμ Pearson (1966). Trë l¹i ph−¬ng tr×nh (1.25), chóng ta cÇn mét sè tÝnh chÊt nhÊt ®Þnh cña ®−êng cong ph©n t¸n, nh− ®−îc vÏ trªn h×nh 1.3. XÐt x > 0 . Víi tÝch ph©n thø nhÊt x g (k ) = k − ω, t { } H×nh 1.2 PhÇn thùc cña exp i t[ g ( k ) − g ( k0 )] tõ h×nh 1.3b cã thÓ thÊy cã mét ®iÓm dõng t¹i x x NÕu ta xÊp xØ g (k ) b»ng hai sè h¹ng ®Çu cña khai triÓn = ω′(k0 ) = C g (k0 ) nÕu < ( gh)1 / 2 . (1.29) t t Taylor Trong cïng kho¶ng (0, ∞) cña k , kh«ng cã ®iÓm dõng ®èi 1 (k − k0 )2 g ′′(k0 ) , g ( k ) ≅ g ( k0 ) + víi tÝch ph©n thø hai. Tõ ph−¬ng tr×nh (1.28) suy ra 2 1/ 2  2π  π  1 ~e th× tÝch ph©n cã thÓ ®−îc viÕt thμnh cos k0 x − ω(k0 ) t +  + O(t −1 ) , ζ≅ ζ0 ( k0 )    t ω′′( k0 ) 2π 4  ∞  1    I ≅ eitg ( k 0 ) f (k0 )  dk exp  i (k − k0 ) tg ′′(k0 ) , 2  x < ( gh)1 / 2 t , (1.30) −∞ trong ®ã, c¸c giíi h¹n (a, b) ®· ®−îc xÊp xØ b»ng (−∞, ∞) . Sö trong ®ã ω′′( k ) < 0 (xem h×nh 1.3c) vμ dông biÓu thøc ζ ≅ O (t −1 ), x > ( gh)1 / 2 t . B©y giê ta ph©n tÝch nh÷ng tÝnh chÊt vËt lý mμ ph−¬ng 18
  6. tr×nh (1.30) diÔn t¶. Mét ng−êi quan s¸t di chuyÓn víi tèc ®é x¸c NÕu kÕt hîp c¸c quan s¸t cña nhiÒu quan s¸t viªn trong ®Þnh x / t chËm h¬n ( gh)1 / 2 , nh×n thÊy mét chuçi sãng h×nh sin cïng mét thêi gian t , ta thu ®−îc ¶nh chôp cña mÆt tù do (xem h×nh 1.4). ThÊy r»ng, t¹i t kh«ng ®æi, c¸c sãng dμi sÏ dÉn ®Çu, víi sè sãng k0 [vμ tÇn sè ω( k0 ) ], vËn tèc nhãm cña c¸c sãng nμy cßn c¸c sãng ng¾n theo sau. B©y giê ta xÐt quang c¶nh t¹i mét b»ng x / t . Biªn ®é cña chuçi sãng gi¶m víi bËc O (t −1 / 2 ) . Víi x / t thêi ®iÓm muén h¬n, t2 > t1 . B©y giê c¶ hai quan s¸t viªn cïng lín, tõ h×nh 1.3a ta thÊy k0 nhá, do ®ã, mét ng−êi quan s¸t di di chuyÓn vÒ phÝa ph¶i. Nh−ng kho¶ng c¸ch kh«ng gian ®· t¨ng chuyÓn nhanh h¬n sÏ nh×n thÊy c¸c sãng dμi h¬n vμ víi biªn ®é lªn. Ch¼ng h¹n, gi¶ sö ξ1 ≈ ξ2 sao cho gi÷a hä k , ω ≈ const . §é lín h¬n, v× ( ω′′(k0 ) ) 1 / 2 nhá h¬n. H×nh d¹ng chÝnh x¸c cña ζ 0 ( x) réng tæng céng cña chuçi sãng ®¬n víi k , ω b©y giê gi·n ra cïng ~ cã ¶nh h−ëng tíi ζ0 ( k ) vμ biªn ®é cña c¸c sãng ph©n t¸n. ThÝ víi sù t¨ng t , ®iÒu nμy cã nghÜa r»ng c¸c ®Ønh sãng ®−îc t¹o dô, nÕu thμnh trong qu¸ tr×nh lan truyÒn. Sb ζ 0 ( x) = , π ( x2 + b2 ) ®©y lμ mét m« n−íc ®èi xøng, diÖn tÝch S vμ ®é réng ®Æc tr−ng b , ta t×m ®−îc: ~ ~ H×nh 1.4 BiÓu diÔn kh«ng ζ 0 (k ) = ζ 0e (k ) = Se− k b . gian - thêi gian cña c¸c sãng ph©n t¸n gi÷a hai quan s¸t viªn di chuyÓn §Ó ®i theo mét ®Ønh sãng cô thÓ t¹i tèc ®é pha cña nã, mét ng−êi quan s¸t ph¶i di chuyÓn víi mét tèc ®é biÕn ®æi, v× k0 vμ C (k0 ) kh«ng gi÷ nguyªn lμ h»ng sè khi ®Ønh sãng di chuyÓn vμo mét khu vùc míi. Tuy nhiªn, nÕu mét ng−êi di chuyÓn víi tèc ®é H×nh 1.3 C¸c thay ®æi cña b»ng tèc ®é nhãm cña c¸c sãng víi b−íc b»ng 2π / k0 , th× anh ta ω, ω′ vμ ω′′ theo k chØ nh×n thÊy c¸c sãng h×nh sin cã cïng b−íc sãng, chóng ®uæi kÞp anh ta tõ phÝa sau vμ v−ît lªn tr−íc, v× vËn tèc pha cña ~e chóng lín h¬n vËn tèc nhãm. NÕu ®é réng b lín, th× ζ 0 sÏ kh«ng ®¸ng kÓ, ngo¹i trõ víi Mét c¶nh t−îng t−¬ng tù còng diÔn ra víi nh÷ng nhiÔu k0 nhá hoÆc víi tr−êng hîp c¸c sãng dÉn ®Çu dμi. Khi b t¨ng, ®éng lan truyÒn sang phÝa tr¸i. biªn ®é cña mét gi¸ trÞ x¸c ®Þnh k0 gi¶m ®i. 19
  7. 2.1.2 Sù truyÒn n¨ng l−îng, vËn tèc nhãm tr×nh (1.34) trë thμnh ~e 2 XÐt mét nhiÔu ®éng di chuyÓn sang ph¶i duy nhÊt. Ph−¬ng ζ 0 ( k0 ) x2 k2  Edx ≅  dk0 = const tr×nh (1.30) ®óng cho thêi gian t lín vμ biÓu diÔn mét sãng tiÕn (1.36) 4π x1 k1 víi biªn ®é ~e lμ h»ng sè theo thêi gian. Do ®ã, n¨ng l−îng tæng céng cña c¸c 1/2 ζ0 ( k0 )   2π  , A= sãng gi÷a hai ng−êi quan s¸t di chuyÓn víi c¸c vËn tèc nhãm ®Þa (1.32) 2π  t ω′′(k0 )    ph−¬ng, ®−îc b¶o toμn. C¸ch lý gi¶i nμy, theo Jeffreys vμ gi¶m chËm theo t −1 / 2 . Jeffreys (1953), tiÕp tôc lμm t¨ng thªm ý nghÜa cña vËn tèc nhãm nh− ®· bμn luËn trong ch−¬ng 1. MËt ®é n¨ng l−îng cña sãng tiÕn nμy xÊp xØ b»ng Whitham (1965) ®· chØ ra r»ng kÕt qu¶ tiÖm cËn do pha 1/ 2 2 ~e gρ ζ0 (k0 )   2π g A2 1 dõng ®èi víi x vμ t lín phï hîp víi mét lý thuyÕt ®−îc gäi lμ lý   2 E ≈ρ = ρg ζ = = 2π  t ω′′(k0 )  2 2 2   thuyÕt quang h×nh häc. Tõ ph−¬ng tr×nh (1.29), nÕu lÊy vi ph©n theo x vμ theo t , ta ®−îc ~e 2 ρ g ζ0 ( k0 ) 1 = ω′′(k )k x t vμ 0 = ω′′(k )kt t + ω′ , = (1.33) 4 π t ω′′(k0 ) do ®ã ω′ T¹i t cho tr−íc bÊt kú, c¸c sãng n»m gi÷a hai quan s¸t viªn di 1 kx = kt = − , . (1.37) chuyÓn víi víi tèc ®é C g 1 ≡ C g (k1 ) vμ C g 2 = C g ( k2 ) , tøc gi÷a hai tω′′(k ) tω′′(k ) tia sãng Tõ ®ã suy ra x1 x2 ∂k ∂k = Cg1 = Cg 2 vμ + ω′ =0, t t ∂t ∂x trong biÓu ®å kh«ng − thêi gian. N¨ng l−îng sãng tæng céng cã thÓ ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng gi÷a chóng sÏ lμ ∂k ∂ω + =0 (1.38) ~ 2 x 2 ρg ζ e ( k ) ∂t ∂x x2  Edx ≅ x 4πt ω′′(k0 ) dx . 0 0 (1.34) V× x1 1 ∂k ∂k V× x = ω′(k0 ) t ®èi víi t cè ®Þnh vμ ω′′(k0 ) < 0 , ta cã dk = dt + dx ∂t ∂x dx = ω′′( k0 )dk0 = − ω′′(k0 ) dk0 . (1.35) tõ ph−¬ng tr×nh (1.37) ta thÊy r»ng däc theo ®−êng cong t dx / dt = C g = ω′, dk = 0 ; do ®ã k gi÷ kh«ng ®æi. Ngoμi ra, nÕu B©y giê, víi x2 > x1 , k2 < k1 (xem c¸c h×nh 1.3a, b), ph−¬ng nh©n ph−¬ng tr×nh (1.33) víi ω−1 vμ lÊy vi ph©n theo t vμ x , ta 20
  8. [ ] 3 2 x − ( gh)1 / 2 t [ ] cã ngay Z3 = k x − ( gh)1 / 2 t = Zα , vμ ∂ E ∂  E ( gh)1 / 2 h 2t   +  Cg  = 0 . (1.39) ∂t  ω  ∂x  ω  th× tÝch ph©n trªn trë thμnh ~e C¶ hai ph−¬ng tr×nh (1.38) vμ (1.39) lμ kÕt qu¶ c¬ b¶n cña α3   (2)1 / 3 ζ0 (0) ∞ 2π(( gh)1 / 2 h 2t )1 / 3  , dα cos  Zα + ζ~ 3  phÐp xÊp xØ quang h×nh vμ ®−îc coi lμ hîp lÖ phæ biÕn cho c¸c   0 chuçi sãng tùa ®iÒu hoμ biÕn thiªn chËm nh− sÏ ®−îc tr×nh bμy vμ cã thÓ ®−îc biÓu diÔn theo hμm Airy cña Z : kü trong ch−¬ng 3.  α3  1∞ π dα cos Zα + . Ai ( Z ) ≡ (1.41)  3 2.1.3 C¸c sãng dÉn ®Çu trong mét xung nhiÔu ®éng   0 C¸c sãng nhanh nhÊt øng víi k ≅ 0 vμ di chuyÓn víi tèc ®é VËy, ta cã gÇn b»ng (gh)1/2. T¹i l©n cËn front sãng, g ′(k ) ≈ x / t − ( gh)1 / 2 nhá   1/3 1/3    vμ pha th× gÇn nh− lμ dõng. H¬n n÷a, ω′′( k ) ≈ −( gh)1 / 2 h 2 k còng   [ ] 1 ~e 2 2 ζ~ ζ 0 (0) Ai  x − ( gh)1 / 2 t  . (1.42) 1/2 2  1/2 2   ( gh) h t   ( gh) h t    2 rÊt nhá vμ phÐp xÊp xØ cña ph−¬ng tr×nh (1.30) kh«ng hîp lý.  CÇn cã mét xÊp xØ tèt h¬n (Kajiura, 1963). Ai ( Z ) lμ mét hμm dao ®éng víi Z < 0 vμ suy gi¶m theo hμm mò Do k ≅ 0 , ta khai triÓn hμm pha ®èi víi k nh− sau: víi Z > 0 . Sù dao ®éng cña nã ®−îc thÓ hiÖn trªn h×nh 1.5.   2  x x k 3h Bøc tranh vËt lý lμ nh− sau: Víi mét gi¸ trÞ t cè ®Þnh, th× Z 1/2  + ...  = g (k ) = k − ω (k ) ≅ k   − ( gh) k−   t t tØ lÖ thuËn víi gi¸ trÞ x − ( gh)1 / 2 t − kho¶ng c¸ch tÝnh tõ front 6   sãng x = ( gh)1 / 2 t . T¹i mét thêi ®iÓm x¸c ®Þnh, biªn ®é sÏ nhá ë x  ( gh) 1/2 = k  − ( gh)1 / 2  + h2 k 3 + ... (1.40) phÝa tr−íc front vμ ®iÓm cao nhÊt ë mét kho¶ng c¸ch nμo phÝa t  6 sau front. VÒ phÝa sau, th× biªn ®é vμ ®é dμi sãng suy gi¶m. V× GÇn víi sãng dÉn ®Çu, x / t − ( gh)1 / 2 cã thÓ b»ng kh«ng; Z tØ lÖ víi t −1 / 3 , c¸c ¶nh sãng t¹i nh÷ng thêi ®iÓm kh¸c nhau cã chóng ta ph¶i gi÷ sè h¹ng tØ lÖ víi k 3 . Mét lÇn n÷a, chØ cã tÝch cïng d¹ng, ngo¹i trõ viÖc tØ lÖ kh«ng gian tØ lÖ víi nh©n tö t 1 / 3 , ph©n thø nhÊt trong ph−¬ng tr×nh (1.25) cã gi¸ trÞ, v× thÕ cã nghÜa r»ng cïng mét d¹ng sãng kÐo gi·n ra theo thêi gian. 1 ∞ ~e 1 Trong qu¸ tr×nh tiÕn triÓn, biªn ®é gi¶m theo t −1 / 3 , trong khi c¸c  dkζ0 (k ) cos (kx − ω t ) + O t  ≈ ζ= sãng cßn l¹i trong chuçi sãng gi¶m theo t −1 / 2 . Nh− vËy, phÇn 2π 0  ®Çu sèng l©u h¬n phÇn cßn l¹i cña chuçi sãng. Chó ý r»ng biªn   ( gh)1 / 2 h 2t  3  1 ~e ∞ [ ] ~e ζ0 (0)  cos k x − ( gh)1 / 2 t +  ≈  k  dk ®é cña c¸c sãng dÉn ®Çu tØ lÖ víi ζ0 (0) , ®¹i l−îng nμy b»ng tæng 2π   6  ~e 0 diÖn tÝch li ®é ban ®Çu ζ0 ( x). ~e ë ®©y ta ®· lîi dông tÝnh chÊt ζ 0 lμ sè thùc. NÕu tiÕn hμnh thay c¸c biÕn 21
  9. cã thÓ kh«ng ph¶i lμ sãng lín nhÊt. Trong môc nμy, ta sÏ xÐt mét m« h×nh lý t−ëng cã thÓ ph¶n ¸nh ®−îc nh÷ng ®Æc ®iÓm nμy mét c¸ch ®Þnh tÝnh. Ta sÏ gi¶ thiÕt r»ng kh«ng cã nhiÔu ®éng trªn mÆt tù do ζ ( x,0) = Φ ( x,0) = Pa ( x,0, t ) = 0 . (1.43) Trªn ®¸y biÓn z = − h , li ®é cña nÒn ®Êt H ( x, t ) cho tr−íc. VËy lμ, W = ∂H / ∂t ®−îc biÕt vμ nghiÖm chuyÓn ®æi rót ra tõ theo ph−¬ng tr×nh (1.16) ~ s 2 sh kz − gk ch kz W ~ Φ= . (1.44) k ch kh s 2 + gk th kh Li ®é cña mÆt tù do lμ ~ H×nh 1.5 Sãng dÉn ®Çu do mét m« n−íc hoÆc r·nh n−íc ®èi xøng trªn mÆt g©y 1∞ e ikx 1 sW e st [ ] 2π − ch kh 2iπ  s 2 + ω2 ζ= 1/3 ~e dk ds −1 , (1.45) 1/2 2 ra. Tung ®é lμ ζ (( gh ) h t / 2) ζ 0 (0) , xem ph−¬ng tr×nh (1.42) ∞ Γ trong ®ã ω = ( gk th kh)1 / 2 . Ta giíi h¹n thªm r»ng chuyÓn ®éng 2.1.4 Sãng thÇn g©y bëi dao ®éng nÒn ®¸y cña nÒn ®Êt lμ ®ét ngét vμ kÕt thóc ngay sau mét kho¶ng thêi Sãng thÇn (tsunami) lμ c¸c sãng n−íc sinh ra do ®éng ®Êt. gian v« cïng nhá: NÕu biÕt li ®é cña ®¸y biÓn trong vïng ®éng ®Êt, th× vÊn ®Ò sãng H ( x, 0−) = 0 nh−ng H ( x, 0+) = H 0 ( x) . trªn mÆt n−íc trë thμnh mét bμi to¸n ®éng lùc häc thuÇn tuý. §¸ng tiÕc, rÊt khã ®o ®¹c trùc tiÕp gÇn trÊn t©m ®éng ®Êt, vμ VËn tèc cña chuyÓn ®éng cña ®Êt cã thÓ ®−îc diÔn t¶ b»ng mét hμm δ ng−êi ta th−êng h−íng tíi sö dông c¸c sè liÖu ghi sãng biÓn trong mét vïng réng xung quanh trÊn t©m ®Ó ph¸n ®o¸n th« vÒ ∂Φ = W ( x, t ) = H 0 ( x) δ(t ) , b¶n chÊt cña chuyÓn ®éng kiÕn t¹o. V× vËy, cã rÊt nhiÒu c«ng ∂z ~ tr×nh nghiªn cøu lý thuyÕt vÒ sãng n−íc do c¸c chuyÓn ®éng nÒn ~ v× thÕ W = H 0 (k ) . TÝch ph©n theo s cã thÓ ngay lËp tøc cho ®¸y kh¸c nhau g©y ra. ~ [ ] H (k ) 1 i ( kx + ωt ) 1 Trong sè rÊt nhiÒu ®Æc tÝnh cña sãng thÇn ghi nhËn ®−îc ë 2π  + e i ( kx − ωt ) . ζ= dk 0 e (1.46) ch kh 2 vïng gÇn bê, cã hai ®Æc tÝnh th−êng hay ®−îc nhËn thÊy nhÊt, nh−ng kh«ng ph¶i bao giê còng vËy (Shepard, 1963). §Æc ®iÓm Hμm H 0 ( x) cã thÓ ®−îc coi lμ tæng cña hai hμm lÎ vμ ch½n thø nhÊt lμ: sãng thÇn th−êng ®i kÌm sau mét hiÖn t−îng rót o e theo x , tuÇn tù lμ H 0 ( x) , H 0 ( x) . Mét c¸ch tuyÕn tÝnh, hai phÇn n−íc ë b·i biÓn. §Æc ®iÓm thø hai: sãng ®Çu tiªn cña sãng thÇn nμy cã thÓ ®−îc xÐt t¸ch biÖt vμ sau ®ã, c¸c kÕt qu¶ cña chóng 22
  10.   ®−îc céng l¹i. DÔ dμng chØ ra r»ng, phÇn ch½n H oe ( x) cã c¸c t¸c 1/3 1/3 ~     [ ] 2 2 = π B (0 )  x − ( gh)1 / 2 t  Ai  1/ 2 2  1/2 2  ®éng rÊt gièng víi thÝ dô ta ®· xÐt tr−íc ®©y vÒ sù dÞch chuyÓn  ( gh) h t   ( gh) h t     ®èi xøng ban ®Çu cña mÆt tù do, nÐt kh¸c duy nhÊt lμ nh©n tö nh− ®· bμn luËn tr−íc ®©y. LÊy vi ph©n theo x , ta cã (ch kh) −1 , nã lμm triÖt tiªu sù ¶nh h−ëng cña c¸c sãng ng¾n. Do ~   1/ 3 1/3 B (0 )  d    [ ] ®ã, sau ®©y ta chØ quan t©m ®Õn thμnh phÇn lÎ. 2 2 ζ≅ x − ( gh)1 / 2 t  = Ai   1/ 2 2  1/ 2 2  2  ( gh) h t  dx  ( gh) h t   Ta ®−a ra ®¹i l−îng   dB ~   H 0 ( x) = o 2/3 1/3 (1.47) B (0)      [ ] 2 2 dx Ai′ = x − ( gh)1 / 2 t  , (1.49)  1/2 2  1/2 2  2  ( gh) h t   ( gh) h t  ~o ~ ~o ~    sao cho H 0 (k ) = ik B (k ) . Do H 0 (k ) lÎ, nªn B ph¶i lμ sè thùc vμ ch½n theo k ; do ®ã trong ®ã ∞ d ikx e ~ 1 1 iω t ∞ dk ch kh ik B (k ) 2 (e + e ) = Ai′ ( Z ) ≡ Ai ( Z ) − iωt ζ= dZ 2π − C¸c sãng dÉn ®Çu suy yÕu theo thêi gian t −2 / 3 nhanh h¬n 1d∞ e ikx ~ 1 iωt ∞ ch kh B (k ) 2 (e + e ) = − iωt = dk nhiÒu so víi tr−êng hîp t¨ng hay gi¶m thuÇn tuý khi ζ ~ t −1 / 3 . 2π dx − KÕt qu¶ nμy lμ do chuyÓn ®éng cña ®Êt lμ mét nöa d−¬ng, mét ∞ e ikx ~ 1d 1 Re  dk nöa ©m ®· lμm gi¶m ¶nh h−ëng hiÖu dông. Hμm Ai′( Z ) diÔn B ( k ) (e iωt + e − iωt ) . = (1.48) 2π dx − ∞ ch kh 2 biÕn nh− trªn h×nh 1.6. Chó ý r»ng Víi t lín vμ xa c¸c sãng dÉn ®Çu, c¸c tÝch ph©n cã thÓ xö lý ∞ ∞ ∞ x ~ B (0) =  B( x) dx =  dx  H 0 ( x′) dx′ = −  xH 0 ( x) dx . o o b»ng ph−¬ng ph¸p pha dõng nh− tr−íc ®©y, vμ cã thÓ nhËn −∞ −∞ −∞ −∞ ®−îc nhiÒu ®Æc ®iÓm ®Þnh tÝnh t−¬ng tù nh− tr−íc ®©y, mét VËy, nÕu mÆt ®Êt sôt xuèng ë phÝa ph¶i vμ n©ng lªn ë phÝa ®iÓm kh¸c quan träng lμ ζ ∼ t −2 / 3 khi x / t = const . Gi¶ sö ta chØ ~ tr¸i, th× B (0) > 0 vμ front sãng truyÒn vÒ phÝa ph¶i ®−îc dÉn xÐt vïng l©n cËn c¸c sãng dÉn ®Çu truyÒn vÒ phÝa x > 0 . Mét ®Çu b»ng sù h¹ thÊp mÆt n−íc (®ã lμ nguyªn nh©n rót n−íc ë lÇn n÷a, tÝch ph©n thø hai l¹i thèng trÞ vμ phÇn ®ãng gãp quan träng lμ tõ l©n cËn k ≈ 0 . Do ®ã b·i biÓn). C¸c ®Ønh sãng tiÕp sau ®ã sÏ cã biªn ®é t¨ng. ë phÝa tr¸i, x < 0 , front sãng cã pha ng−îc l¹i vÒ h−íng vμ ®−îc dÉn ®Çu ∞ ∞ ei ( kx − ωt ) ~ ~ Re  dk B (k ) ≅ Re B (0)  dk eikx e − iωt ≅ b»ng mét ®Ønh sãng. Nh−ng nÕu nÒn ®Êt sôt theo h−íng ng−îc ch kh 0 0 l¹i, tøc h¹ thÊp ë bªn tr¸i vμ n©ng lªn ë bªn ph¶i, th× front sãng   [ ] ~ 1 ≅ Re B (0)  dk exp  i k x − ( gh)1 / 2 t + ( gh)1 / 2 h 2 k 3t   ≅ truyÒn vÒ phÝa ph¶i sÏ ®−îc dÉn ®Çu b»ng sù d©ng n−íc.     6 Kajiura ®· chØ ra r»ng, nÕu gi÷ l¹i sè h¹ng gk 3 h2 trong biÓu thøc cña ω (k ) sÏ duy tr× sù ph©n t¸n ë bËc thÊp nhÊt, vμ cã thÓ 23
  11. nhËn ®−îc cïng c¸c kÕt qu¶ t−¬ng tù − c¸c ph−¬ng tr×nh (1.42) th× kÕt qu¶ cho ra lμ ph−¬ng tr×nh (1.42). vμ (1.49), b»ng c¸ch vËn dông phÐp xÊp xØ sãng dμi ngay tõ ®Çu Bμi tËp 2.2: Bμi to¸n Cauchy-Poisson víi sãng träng lùc ®Çu, ®iÒu nμy hiÓn nhiªn lμ hîp lý cho miÒn xa nguån. Trong mao dÉn ch−¬ng 11 sÏ cho thÊy r»ng phÐp xÊp xØ nh− vËy sÏ ®−îc thùc XÐt mÆt tù do víi tÝnh chÊt mao dÉn (xem bμi tËp 5.2, môc hiÖn b»ng c¸c ph−¬ng tr×nh Boussinesq tuyÕn tÝnh ho¸, ë d¹ng 5.1). H·y gi¶i bμi to¸n vÒ sù ph¶n øng cña mÆt tù do hai chiÒu mét chiÒu, nã t−¬ng ®−¬ng víi trong tr−êng hîp x¶y ra d©ng n−íc côc bé ban ®Çu:  ∂ 2ζ h 2 ∂ 4 ζ  ∂ 2ζ . = gh  2 + ζ ( x, 0) = (b / π)( x 2 + b 2 ) −1 . Rót ra kÕt qu¶ tiÖm cËn cho tr−êng hîp (1.50) 3 ∂x 4   ∂x ∂t 2   t lín vμ x / t cè ®Þnh vμ m« t¶ bøc tranh vËt lý. H·y kh¶o s¸t tr−êng hîp riªng khi ®iÓm dõng lμ ®iÓm 0 cña ω′′(k ) . C¸c nhμ khoa häc nh− Kajiura (1963) vμ Momoi (1964a, b; 1965a, b) ®· kh¶o s¸t miÒm l©n cËn nguån sãng thÇn. Bμi tËp 2.3: Sãng trªn dßng ch¶y XÐt s«ng ®¸y kh«ng ®æi h vμ tèc ®é dßng ch¶y ®ång nhÊt U . H·y ph¸t biÓu bμi to¸n gi¸ trÞ biªn vμ gi¸ trÞ ban ®Çu tuyÕn tÝnh ho¸ ®èi víi thÕ vÞ Φ cña dßng nhiÒu x¸c ®Þnh bëi tèc ®é toμn phÇn = Ui + ∇Φ, Φ = Φ( x, z , t ) , trong ®ã x, z , t quy chiÕu theo nh÷ng to¹ ®é cè ®Þnh trong kh«ng gian. Kh¶o s¸t ¶nh h−ëng cña U lªn t−¬ng quan t¶n m¸t ω = ω (k ; U ) ®èi víi sãng tiÕn. NÕu t¹i t = 0 , mét ¸p suÊt xung côc bé P = P0 δ( x) δ(t ) t¸c ®éng tõ bªn ngoμi lªn mÆt tù do, h·y t×m d¹ng tiÖm cËn cña ζ ( x, t ) víi t lín vμ x bao gåm c¶ front sãng. Nªu ý nghÜa vËt lý vμ c¸c hiÖu øng cña U . 2.2 Sù ph¶n håi ba chiÒu ng¾n h¹n ®èi víi c¸c H×nh 1.6 Sãng dÉn ®Çu do nÒn dÊt chao nghiªng bÊt ®èi xøng xung tõ ®¸y [ ] ~ −1 1/2 2/3 2 ζ B (0 ) (( gh ) h t / 2) , xem ph−¬ng tr×nh (1.49) NÕu nguån nhiÔu ®éng ®−îc giíi h¹n trong mét vïng ngang h÷u h¹n, c¸c sãng sÏ truyÒn ®i trong tÊt c¶ c¸c h−íng vμ chuyÓn Bμi tËp 2.1: ®éng chÊt láng sÏ lμ chuyÓn ®éng ba chiÒu. Chóng ta sÏ chØ H·y chØ ra r»ng nÕu gi¶i chÝnh x¸c ph−¬ng tr×nh (1.50) víi minh ho¹ tr−êng hîp sãng thÇn g©y bëi chuyÓn ®éng ®ét ngét c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu: cña nÒn ®¸y biÓn (Kajiura, 1963). ~ ζ ( x, 0) = ζ0 (0) δ( x), ζ t ( x, 0) = 0 , 24
  12. y = y′ , z = − h , Ph−¬ng tr×nh m« t¶ ®èi víi thÕ vËn tèc Φ ( x, y , z , t ) lμ nguån xung thμnh phÇn cã c−êng ®é t¹i x = x′ , t = τ lμ W ( x′, y′, τ)dx′dy′dτ . ë ®©y ta ®−a ra mét nhËn xÐt ®Ó cã ph−¬ng tr×nh Laplace ba chiÒu. Kh«ng cã xung lùc t¸c ®éng trªn mÆt biÓn t¹i mäi thêi gian. Trªn ®¸y, chuyÓn ®éng cña nÒn ®Êt thÓ sö dông sau nμy, r»ng c¸c hμm biÕn ®æi Laplace Φ , W , vμ lμ chuyÓn ®éng hai chiÒu: G quan hÖ víi nhau theo lý thuyÕt xÕp cuén nh− sau: ∂Φ ∞ = W ( x, y, t ), z = −h , (2.1)   dx′dy′W ( x′, y′, s)G ( x − x′, y − y′, z, s) . Φ ( x, y , z , s ) = (2.9) ∂z −∞ trong ®ã W chØ cã gi¸ trÞ kh¸c kh«ng trong mét vïng h÷u h¹n. Hμm G ( x, y , z , t ) ®−îc xem lμ dÔ x©y dùng, v× nguån ®iÓm cã Ngoμi ra tÝnh chÊt ®èi x−ng qua trôc. Ta ®Þnh nghÜa δ(r ) b»ng Φ, ∇Φ → 0 khi r = ( x 2 + y 2 )1 / 2 → ∞ (2.2) δ( r ) δ( x ) δ( y ) = Bμi to¸n gi¸ trÞ biªn vμ gi¸ trÞ ban ®Çu cã thÓ gi¶i b»ng biÕn 2rπ ®æi Laplace theo t vμ phÐp biÕn ®æi Fourier hai chiÒu theo x vμ víi ý r»ng c¸c tÝch ph©n mÆt cña c¶ hai phÝa lμ b»ng nhau, tøc theo y. ë ®©y, ph−¬ng ph¸p céng nguån tá ra hoμn toμn hîp lý. lμ XÐt mét nhiÔu ®éng xung tËp trung t¹i gèc x = y = 0 , z = − h t¹i 2π ∞ ∞ rdrδ(r )  dθ = 1 =   dxdyδ( x) δ( y ) . thêi gian t = 0 + . Ký hiÖu ph¶n håi thÕ b»ng G ( x, y, z , t ) , khi ®ã 2rπ −∞ 0 0 thay v× ph−¬ng tr×nh (2.1) ta cã ph−¬ng tr×nh: Ph−¬ng tr×nh (2.3) cã thÓ ®−îc viÕt l¹i thμnh ∂G = δ( x) δ( y ) δ(t − 0+), z = −h . (2.3) ∂G 1 ∂z = δ(r ) δ(t − 0+) ; (2.10) ∂z 2rπ Nãi c¸ch kh¸c, hμm G còng tho¶ m·n nh÷ng ®iÒu kiÖn nh− vμ b©y giê bμi to¸n G kh«ng chøa θ . hμm thÕ Φ , ®ã lμ: ∇ 2G = 0 , Do sù ®èi xøng trôc, cã thÓ vËn dông phÐp biÕn ®æi Hankel, (2.4) dïng hμm Bessel J 0 (k r ) víi t− c¸ch lμ hμm träng l−îng. §Þnh Gtt + gGz = 0, z =0, (2.5) nghÜa phÐp biÕn ®æi Hankel (xem Sneddon, 1951) nh− sau: G = Gt = 0, t = 0, z =0, (2.6) ∞ ˆ f ( k ) =  r J 0 (kr ) f (r ) dr , G , ∇G → 0, r → ∞, t h÷u h¹n. (2.11a) (2.7) 0 NÕu t×m ®−îc hμm G ( x, y, z , t ) , th× hμm Φ cã thÓ ®−îc biÓu diÔn khi ®ã, th× phÐp biÕn ®æi ng−îc sÏ lμ ngay b»ng ∞ ˆ f (r ) =  k J 0 (kr ) f (k ) dk . ∞ ∞ t (2.11b) Φ ( x, y , z , t ) =  dτ  dx′  dy′W ( x′, y′, τ)G ( x − x′, y − y′, z , t − τ) . (2.8) 0 −∞ −∞ 0 Ta ®i ®Þnh nghÜa phÐp biÕn ®æi hçn hîp Laplace−Hankel VÒ mÆt vËt lý, ph−¬ng tr×nh (2.8) diÔn t¶ tæng cña c¸c ˆ cña G bëi G 25
  13. ∞ ∞ NÕu ®iÓm nhiÔu ®éng kh«ng n»m t¹i gèc mμ t¹i ®iÓm r ′ , ˆ G =  e − st dt  r J 0 ( kr ) G dr . th× chóng ta ph¶i thay thÕ r b»ng r − r ′ do ®ã 0 0 ∞ ˆ Trong hÖ trôc to¹ ®é cùc G ( r − r ′ , z , s) =  k J 0 (k r − r ′ ) G (k , z , s ) dk , (2.18) 1 ∂  ∂ G  ∂ 2G 0 + = 0 , − h < z < 0, 0 ≤ r < ∞ . r (2.12) r ∂ r  ∂ r  ∂ z2 trong ®ã x = r cos θ, y = r sin θ , NÕu ¸p dông phÐp biÕn ®æi Hankel cho thμnh phÇn thø nhÊt, lÊy tÝch ph©n tõng phÇn, sö dông c¸c ®iÒu kiÖn biªn t¹i r = 0 vμ x′ = r ′ cos θ′, y′ = r ′ sin θ′ , (2.19) ∞, vμ lμm cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n tho¶ m·n J 0 , ta cã thÓ chØ [ ] [ ] 1/2 1/ 2 r − r ′ ≡ ( x − x′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 = r 2 + r ′2 − 2 rr ′ cos (θ − θ′ ) . ra r»ng ∞  1 ∂ ∂G  Khi ph−¬ng tr×nh (2.18) ®−îc thay thÕ vμo ph−¬ng tr×nh 2ˆ  dr J  = −k G . ( kr ) r  r (2.9) th× 0 r ∂r ∂r   0 ∞ 2π ∞ ˆ Φ ( r , θ, z , s ) =  r ′d r ′  dθ′ W (r ′, θ′, s )  kJ 0 ( k r − r ′ ) G (k , z , s )dk . Nh− vËy, d¹ng biÕn ®æi Laplace−Hankel cña ph−¬ng tr×nh (2.12) lμ 0 0 0 (2.20) dˆ 2 ˆ G − k2G = 0 . (2.13) TiÕp theo, cã thÓ nhËn ®−îc thÕ Φ b»ng biÕn ®æi ng−îc dz 2 Laplace. D¹ng biÕn ®æi cña ®iÒu kiÖn mÆt tù do lμ PhÐp biÕn ®æi Laplace ®èi víi li ®é mÆt tù do lμ s2 ˆ ˆ Gz + G = 0 , (2.14) 1∞ π s g g z = 0 2π  r ′d r ′ dθ′ W (r ′, θ′, s ) × ζ=− Φ = vμ biÕn ®æi cña ®iÒu kiÖn biªn ®¸y lμ 0 0 ∞ s 1 ˆ 1 kJ (k r − r ′ ) × dk . Gz = (2.21) . (2.15) 0 ch kh s + ω2 2 2π 0 NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2.13) víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn B©y giê ta sÏ mét sè tr−êng hîp ®Æc biÖt. (2.14) vμ (2.15) lμ 2.2.1 Sãng thÇn hai chiÒu do dÞch chuyÓn xung nÒn ®¸y s 2 sh kz − gk ch kz ˆ 1 1 G= (2.16) Trong tr−êng hîp ®Æc biÖt, ®¸y dÞch chuyÓn d¹ng xung 2π s 2 + ω2 k ch kh W (r , θ, t ) = ℘(r , θ) δ(t − 0+ ) (2.22) víi ω2 = gk th kh . §¶o ng−îc phÐp biÕn ®æi Hankel, ta cã biÕn ®æi Laplace lμ W = ℘ (r , θ) . BiÕn ®æi ng−îc cña phÐp biÕn ∞ ˆ G (r , z, s) =  k J 0 (kr ) G (k , z , s) dk , r = ( x 2 + y 2 )1 / 2 . (2.17) ®æi Laplace ®èi víi ph−¬ng tr×nh (2.21) cã ngay lμ 0 26
  14. kJ ( k r − r ′ ) W nc = 0 , W ns = 0 1∞ 2π ∞ n≠0  r ′dr ′  d θ℘ ( r ′, θ′ )  0 ′ ζ= cos ω t d k (2.23) 2π 0 ch kh Do ®ã, ta cã 0 0 ∞ cos ω t ˆ TiÕn tr×nh tiÕp theo cã thÓ ®−îc thùc hiÖn b»ng c¸ch biÓu ζ (r , θ, t ) =  kJ 0 ( kr ) W0 ( k ) dk diÔn J 0 (k r − r ′ ) thμnh mét chuçi víi theo ®Þnh lý céng ®· biÕt ch kh 0 (Watson, 1958, pp. 358−359) ∞ ∞ cos ω t ([ )= =  r ′J 0 ( kr ′ ) W0 (r ′) dr ′  kJ 0 (kr ) dk , ] (2.28) 1/ 2 J 0 k r + r ′ − 2 r r ′ cos (θ − θ′) 2 2 ch kh 0 0 ∞ =  ε n J n (kr ) J n (kr ′) cos n (θ − θ′) biÓu thøc nμy cã thÓ suy ra trùc tiÕp tõ phÐp biÕn ®æi Hankel (2.24) víi J 0 (kr ) , kh«ng cã nguån ®èi víi hμm nguån G . n=0 trong ®ã ε n lμ ký hiÖu Jacobi ( ε0 = 1, ε n = 2, n = 1, 2, 3,... ). ThÕ 2) DÞch chuyÓn bÊt ®èi xøng theo trôc y : ph−¬ng tr×nh (2.24) vμo ph−¬ng tr×nh (2.23) vμ ký hiÖu: ℘ (r , θ) = W1 ( r ) cos θ (2.29)  cos nθ′  Wnc (k )  ∞ 2π 1 2π  ′dr ′  dθ′℘ (r ′, θ′) J n ( kr ′)   sin nθ′  =  W s (k )  DÔ dμng chØ ra r»ng r (2.25)   n   1∞ 0 0 2 r W1 J 1 (kr ′) dr ′ , W1c = Wnc = 0 tÊt c¶ n ≠ 1 , ta cã 0 ∞ cos ω t Wns = 0 tÊt c¶ n . ζ (r , θ, t ) =  ε n  kJ n (k r ) × ch kh TÝch ph©n nμy chÝnh lμ phÐp biÕn ®æi Hankel cña W1 víi J1 nh− n=0 0 lμ hμm träng l−îng. V× ε1 = 2 , ta cã × (W cos nθ + W sin nθ) d k . c s (2.26) n n VÒ nguyªn t¾c, nÕu cho tr−íc hμm ℘ (r , θ) , ta cã thÓ lÊy tÝch ∞ ∞ cos ω t ζ (r , θ, t ) = cos θ  kJ1 (kr )  r ′ W (r ′) J (k r ′) dr ′ dk (2.30) ph©n trong ph−¬ng tr×nh (2.25) vμ nhËn ®−îc Wns (k ) vμ Wnc (k ) , 1 1 ch kh 0 0 vμ nghiÖm cuèi cïng cã thÓ thu ®−îc b»ng c¸ch thùc ph©n sè vμ KÕt qu¶ trªn còng cã thÓ thu ®−îc trùc tiÕp b»ng biÕn ®æi Hankel víi hμm träng l−îng J1 . lÊy tæng. §Ó cã mét sè ý niÖm vÒ ph−¬ng diÖn vËt lý, ta xÐt hai thÝ Nãi chung, ng−êi ta cã thÓ cÇn rÊt nhiÒu sè h¹ng trong dô ®¬n gi¶n sau ®©y: chuçi cña ph−¬ng tr×nh (2.26) ®Ó m« pháng mét nhiÔu ®éng tæng 1) DÞch chuyÓn nÒn ®èi xøng qua trôc: qu¸t h¬n. ℘ (r , θ) = W0 (r ) (2.27) B©y giê, ta sÏ chØ kh¶o s¸t sù diÔn biÕn tiÖm cËn tr−êng hîp Do tÝnh trùc giao cña {cos nθ} vμ {sin nθ} , suy ra nÒn ®¸y dÞch chuyÓn xung bÊt ®èi xøng víi r vμ t lín, cßn tr−êng hîp ®èi xøng giμnh lμm bμi tËp. NÕu viÕt ∞ ˆ W0c =  rW0 (r ′) J 0 (kr ′) dr = W0 (k ) , n = 0 0 27
  15. ˆ r ∞ W1 ˆ g (k ) = k sin ψ − ω(k ) , vμ W1 (k ) =  r J 1 (kr ) W1 (r ) dr F (k ) = k (2.34a) t ch kh 0 r g ′(k ) = sin ψ − ω′( k ) , vμ sö dông ®ång nhÊt thøc (2.34b) t 2π 1 dψ exp[− i (ψ − kr sin ψ )] = 2π  J 1 ( kr ) = g ′′ = −ω′′(k ) > 0 , (2.34c) 0 Cã mét ®iÓm dõng t¹i ®ã g ′(k ) = 0 v× sin ψ > 0 trong kho¶ng 1π =  dψ cos(ψ − kr sin ψ ) 0 < ψ < π . Gi¸ trÞ gÇn ®óng cho tÝch ph©n theo k lμ (2.31) π0 1/2  2π  r π    F (k ) expit k sin ψ − ω(k ) + i  , ®ång nhÊt thøc nμy cã thÓ chøng minh b»ng phÐp khai triÓn  t ω′′(k )  t  4   sãng tõng phÇn, phô lôc 4.A, ph−¬ng tr×nh (A.5), ta cã thÓ viÕt trong ®ã ®iÓm dõng k phô thuéc vμo ψ th«ng qua ph−¬ng tr×nh l¹i ph−¬ng tr×nh (2.30) thμnh π ∞ 1 (2.34b).  dψ  dkF (k ) cos(ψ − kr sin ψ)e = − iωt ζ (r , θ, t ) = cos θ Re π0 B»ng c¸ch ph©n tÝch t−¬ng tù, ta thÊy tÝch ph©n cßn l¹i 0 trong ph−¬ng tr×nh (2.32) kh«ng cã ®iÓm dõng vμ cã bËc O(1/t). 1 = cos θ Re × TÝch ph©n I1 trë thμnh 2π 1/2   π ∞ ∞  2π  π 1 ×  dψ e − iψ  dkF ( k )e ikr sin ψ − iωt + e iψ  dkF ( k )e − ikr sin ψ − iωt  . F (k )eit [k ( r / t ) sin ψ − ω( k ) ] + O   . (2.35) I1 =  dψ e i(−ψ + π / 4)   (2.32)  t ω′′(k )    t   0 0 0 0 TÝch ph©n ψ cã thÓ ®−îc xÊp xØ mét lÇn n÷a b»ng ph−¬ng B©y giê ta xÐt tÝch ph©n kÐp thø nhÊt ë trªn π ∞ ph¸p pha dõng ®èi víi t lín vμ r / t cè ®Þnh. Hμm pha vμ hai I1 =  dψe − iψ  dkF (k )eit [k ( r / t ) sin ψ − ω( k ) ] (2.33) ®¹o hμm ®Çu tiªn cña nã b»ng 0 0 r Hμm pha phô thuéc vμo hai biÕn, k vμ ψ , vμ mét ®iÓm pha f (ψ ) = k sin ψ − ω(k ) , (2.36a) t dõng cã thÓ ®−îc t×m thÊy trong kho¶ng k ≥ 0, 0 ≤ ψ ≤ π b»ng  dk  r df r c¸ch ®ång thêi cho b»ng kh«ng c¸c ®¹o hμm riªng theo k vμ ψ .  t sin ψ − ω′(k ) , = k cos ψ + (2.36b) dψ dψ  t  Trong c¸c c«ng tr×nh cña Papoulis (1968) ®· tæng quan ®Çy ®ñ r  d2 f r r dk d 2 k vÒ c¸c ph−¬ng ph¸p pha dõng tr−êng hîp nhiÒu chiÒu h¬n. B©y  t sin ψ − ω′(k ) . = − k sin ψ + cos ψ + (2.36c) giê ta chän mét c¸ch kh¸ dÔ hiÓu: tr−íc hÕt gi÷ cè ®Þnh ψ , vμ dψ 2 dψ dψ 2 t t   t×m ph©n bè cña pha dõng däc theo k , sau ®ã lÆp l¹i qu¸ tr×nh B»ng viÖc sö dông ph−¬ng tr×nh (2.34b), ®iÓm pha dõng râ cho ψ . Nh− vËy, víi t lín, r / t vμ sin ψ cè ®Þnh, ta cã thÓ ¸p rμng lμ t¹i ®iÓm ψ = π / 2 . KÕt hîp kÕt qu¶ nμy vμo c¸c ph−¬ng dông ph−¬ng ph¸p pha dõng 28
  16. tr×nh (2.36b) vμ (2.36c), ta ®−îc vμ sau ®ã ¸p dông ph−¬ng ph¸p pha dõng mét lÇn. Tuy nhiªn, tÝnh hîp lý cña gi¶ thiÕt kr lín khi k biÕn thiªn trong kho¶ng r − ω′(k0 ) = 0 , (2.37) tõ 0 ®Õn ∞ cÇn ®−îc kh¼ng ®Þnh, cßn ë ®©y ta ®· chän con ®−êng t ®i thËn träng h¬n. ®èi víi ®iÓm dõng ®−îc ký hiÖu lμ k0 , vμ C¸c ®Æc ®iÓm vËt lý vÒ sù ph©n t¸n gÇn nh− hoμn toμn d2 f r = − k0 a. 1/ 2  2 1 sin [k0 r − ω ( k0 ) t ] + O   . × F (k0 )   πk r  (2.39)  t  0 Tõ c«ng thøc cña Erdelyi (1954, II, tr.24, No. 25) ta cã thÓ suy ra r»ng: KÕt qu¶ trªn ®©y còng cã thÓ thu ®−îc b»ng c¸ch ¸p dông 1/ 2 A∞ A π a 2 2  ka  c«ng thøc tiÖm cËn cña J 1 (kr ) víi kr lín, ˆ W1 (k ) =  rJ1 ( kr )(a 2 − r 2 )1 / 2 dr =   J1   . a0 a 2 k 2 1/2 3π  2  J 1 (kr ) ≈  cos  k r −  , πk r  4 Do ®ã 29
  17.  ( gh)1 / 2 h 2 k 3t   1/ 2  ˆ π Aa 2  ka  [ ] k × exp   . i k r − ( gh)1 / 2 t + F (k ) = W1 =   J1   , (2.42) (2.44)   ch kh ch kh  2  2   6  ®iÒu nμy cho thÊy ¶nh h−ëng kÝch th−íc A cña vïng chøa TÝch ph©n nμy kh«ng thÓ ®−îc biÓu diÔn theo c¸c hμm ®· nguån. Th«ng qua hμm Bessel, F (k ) dao ®éng theo ka, ®iÒu nμy biÕt. Tr−íc hÕt ta viÕt l¹i nã nh− sau biÓu thÞ sù giao thoa cña c¸c sãng tõ c¸c phÇn kh¸c nhau cña    r  g 1 / 2  (kh)3  g 1 / 2   ∞ ∞   = h −5 / 2  d (kh)(kh)3 / 2 exp i kh  −   t  +   t  nguån.   h  h   6  h       0 0 2.2.2 C¸c sãng dÉn ®Çu trong sãng thÇn hai chiÒu (2.45) Ta tiÕp tôc xem xÐt thÝ dô kh«ng ®èi xøng víi hμm W1 cô vμ lËp c¸c biÕn míi (Kajiura, 1963, p. 549): thÓ cho bëi ph−¬ng tr×nh (2.41). Trong vïng cña c¸c sãng dÉn −1 / 3 ®Çu kh > 1 . TÝch ph©n cña ph−¬ng tr×nh (2.45) trë thμnh Chóng ta cã thÓ hoÆc biÓu diÔn hμm J 1 (kr ) nh− lμ mét tÝch −5 / 6  g 1 / 2 t  ∞  du2u e ph©n, ph−¬ng tr×nh (2.31), vμ thùc hiÖn xÊp xØ pha dõng ®èi víi 4 i (u 2 p + u 6 ) −5 / 2    h (2.46)  h  6  ψ trong tÝch ph©n, hoÆc lÊy xÊp xØ tiÖm cËn cho J1 (kr ) víi kr   0 lín. C¶ hai c¸ch ®Òu cho kÕt qu¶ lμ víi 1/ 2 ∞ 2 [ ] r / h − ( g / h)1 / 2 t 1 ikr − iωt − i 3 π / 4 ζ ≈ cos θ Re  dk F (k )  + e − ikr − iωt + i 3 π / 4  e p= (2.43) . (2.47) [( g / h)t / 6]1 / 3  πkr  2 0 §èi víi c¸c sãng dÉn ®Çu kr
  18. ∞ T ( p) = Re (1 + i )  du ei ( u 2 p +u6 ) , (2.49) 0 khi ®ã Tpp Aa 3 ζ = cos θ . (2.50) 16(2r ) h5 / 2 (( g / h)1 / 2 t / 6 )5 / 6 1/ 2 C¸c biÕn ®æi cña T , − Tp , vμ Tpp ®−îc vÏ trªn h×nh 2.1. V× hÖ sè cña Tpp trong ph−¬ng tr×nh (2.48) tØ lÖ víi −1 / 2 5/6 r r −1 / 2 − 5 / 6 −4 /3 ~   r −4 /3 , =  r t t t t nªn ta cã thÓ kÕt luËn r»ng ë gÇn front sãng r / t ≅ ( gh)1 / 2 biªn ®é sãng gi¶m theo t 4 / 3 hoÆc r −4 / 3 . NÕu a < 0 , mÆt ®Êt thôt xuèng ë phÝa ph¶i, − π / 2 < θ < π / 2 , vμ n©ng lªn ë phÝa tr¸i. §èi víi ng−êi quan s¸t ë phÝa ph¶i, th× thÊy c¸c sãng dÉn ®Çu sÏ lμ mét bông sãng thÊp vμ tiÕp sau lμ mét ®Ønh sãng cao, t−¬ng tù nh− tr−êng hîp hai chiÒu. 2.3 Sù lan truyÒn cña mét chïm sãng ph©n t¸n B©y giê, chóng ta nghiªn cøu sù tiÕn triÓn cña mét nhãm H×nh 2.1 T1 − T p vμ T pp nh− lμ c¸c hμm cña p . (theo Kajiura, 1963) sãng ®iÒu biÕn chËm ®Ó hiÓu thªm vÒ sù ph©n t¸n sãng. XÐt mét nhiÔu ®éng di chuyÓn vÒ phÝa ph¶i. NhiÔu ®éng nμy cã thÓ m« Víi p = 0 , nÕu ng−êi quan s¸t ë t¹i r = ( gh)1 / 2 t , th× tÝch t¶ b»ng tæng c¸c sãng h×nh sin víi b−íc sãng liªn tôc: ph©n trong ph−¬ng tr×nh (2.46) cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch ∞   (k ) e ®Æt u 6 = τ i ( kx − ω ( k ) t ) ζ ( x, t ) = Re dk . (3.1) −∞ ∞ ∞ 5  du u e =  dτ τ −1 / 6 e iτ = Γ  e i5 π / 12 4 iu 6 Sãng nμy cã thÓ do mét m¸y t¹o sãng ®Æt t¹i x ∼ − ∞ trong 6 0 0 mét m¸ng dμi, t¹i thêi gian t ∼ − ∞ . Phæ biªn ®é  ( k ) ®−îc x¸c §èi víi p tæng qu¸t, ta thùc hiÖn theo Kajiura vμ ®Þnh ®Þnh theo nhiÔu ®éng ban ®Çu (xem môc 2.1). Ta xÐt tr−êng nghÜa hîp ω (k ) tæng qu¸t, cßn sãng trªn n−íc chØ lμ mét tr−êng hîp cô thÓ. Ta xÐt mét chïm sãng trong tr−êng hîp ®Æc biÖt cã 31
  19. ®iÓm k = k0 , v× thÕ ta cã thÓ xÊp xØ ω (k ) b»ng mét Ýt sè h¹ng ®−êng bao d¹ng Gauss: khai triÓn Taylor: 2 2 ζ ( x,0) = Re A0e i k 0 x e − x / 4σ . (3.2) 1 ω (k ) = ω 0 + (k − k0 )ω 0 + (k − k0 ) 2 ω 0′ + ..., ′ ′ Phæ biªn ®é cã thÓ thu ®−îc b»ng biÕn ®æi ng−îc Fourier: 2 1∞ ∞ζ( x,0)e dx = ë ®©y ω 0 ≡ ω (k0 ) , ω 0 ≡ ω ′(k0 ) ... §Æt u = k − k0 , ta cã ′ −i k x (k ) = 2π − ∞ A0σ − (σ 2 + iω 0 t / 2 ) u 2 + i ( x −ω 0 t ) u e ′′ ′ i ( k 0 x −ω 0 t ) ζ ≅ Re ∞ A0 e du . (3.7) ∞e 0 2 2 −i ( k − k ) x − x / 4σ = dx = 1/ 2 π 2π − −∞ Hoμn thμnh c¸c phÐp b×nh ph−¬ng vμ sö dông ph−¬ng tr×nh A0 ∞ − [ x / 2σ + i ( k − k 0 ) σ ]2 − ( k − k 0 ) 2 σ 2 2π − = e dx . (3.3) (3.4) ta thu ®−îc: ∞   §Æt u = x / 2σ + i (k − k0 ) σ , ta thu ®−îc  2 i ( k 0 x −ω 0 t ) ′  − (x − ω 0t)  e ζ ≅ Re A0 exp  (3.8) A  = 0 2σ e − ( k − k 0 ) σ  e − u du ,  4σ 2 1 + iω 0′t   ′ 22 2 1/ 2  iω 0′t  ′ 2π 1 + 2σ   2σ    Γ      trong ®ã, ®−êng viÒn Γ lμ mét ®−êng th¼ng tõ − ∞ + i (k − k0 )σ ®Õn ′ Râ rμng ®−êng bao dÞch chuyÓn víi tèc ®é nhãm C g = ω 0 ; 2 ∞ + i (k − k0 ) σ trong mÆt ph¼ng phøc u . V× e − u lμ hμm gi¶i tÝch gi¸ trÞ cùc ®¹i cña nã ®¹t t¹i ®iÓm x = C g t vμ gi¶m theo t 1 / 2 ®èi trong d¶i n»m gi÷a Γ vμ trôc u thùc, theo ®Þnh lý Cauchy, ®−êng víi t lín. §é dμi cña ®−êng bao ®−îc x¸c ®Þnh b»ng viÒn cã thÓ ®−îc thay thÕ b»ng trôc thùc. Sö dông kÕt qu¶ cã s½n 1/ 2 ∞ i ω 0′t  ′   e du = π , 2 −u 1/ 2 2σ 1 +  (3.4) 2σ  −∞ t¨ng theo t 1 / 2 ®èi víi t lín. Do ®ã toμn bé nhãm sãng sÏ ph¼ng ta cã, A0σ ®i trong qu¸ tr×nh lan truyÒn. 2 σ2 e −( k − k0 )  (k ) = . (3.5) 1/ 2 π So víi ph−¬ng tr×nh (5.4) trong ch−¬ng 1, th× ph−¬ng tr×nh VËy, h×nh d¹ng sãng t¹i thêi ®iÓm t bÊt kú sÏ lμ (3.8) lμ mét xÊp xØ kh¸ h¬n. Ta coi ph−¬ng tr×nh (3.8) nh− lμ c¸c sãng d¹ng sin ®iÒu biÕn chËm, n¨ng l−îng chøa ®ùng trong toμn ∞ A0σ − ( k − k0 ) 2 σ 2 + i ( kx −ωt ) e ζ = Re dk . (3.6) bé nhãm sãng ®−îc xÊp xØ b»ng: 1/ 2 π −∞ Ta xÐt diÔn biÕn cña tÝch ph©n trªn ®©y khi σk 0 rÊt lín, tøc ®−êng bao gèc lμ rÊt ph¼ng, hay phæ biªn ®é rÊt nhän ë gÇn ®iÓm k = k0 . Hμm d−íi dÊu tÝch ph©n suy gi¶m nhanh ngay sau 32
  20. 2 do ®ã  iω ′′t    exp− (x − ω 0t ) / 4σ 2 1 + 0   ′2    ∞  2σ   [ ]  1 1  ρgA0  dx ζ ≅ 2 A0 cos dk ( x − C g t ) expi kx − ω + ω′′( dk )2 t   . 2 = (3.13)   1/ 2    4   iω 0′t  ′ 2 −∞ 1 + 2σ    Trªn qui m« kh«ng gian vμ thêi gian O (dk ) −1 , ®−êng bao ®−îc ®iÒu biÕn vμ di chuyÓn víi tèc ®é C g ; tuy nhiªn, trªn qui    ω ′′t 2     2 2 ′ exp− ( x − ω 0t ) / 2σ 1 +  0    m« thêi gian O(dk ) −2 , th× pha, cô thÓ lμ tÇn sè, thay ®æi. Trong   2σ    ∞  2 ρgA0     dx = = thÝ dô nμy ®· gi¶ ®Þnh r»ng c¸c qui m« thêi gian 1/ 2 4   ω ′′t 2  −∞ 1 +  0   Ο(1), Ο(dk)−1 , Ο(dk)- 2 , ... cã tÝnh chÊt bËc thang.   2σ     Cuèi cïng, víi mét phæ biªn ®é bÊt kú cã ®Ønh t¹i k0 (phæ ∞ 2 2 ρ ρ gA0 gA0 Gauss (3.5) lμ mét tr−êng hîp ®Æc biÖt), ph−¬ng tr×nh (3.1) cã 2 2σ  e −u du = πσ . = (3.9) 4 thÓ ®−îc xÊp xØ b»ng 22 −∞ ζ ( x, t ) ≅ Re{A( x, t ) ei ( k 0 x − ω0 t ) } (3.14) trong ®ã N¨ng l−îng tæng trong sãng ban ®Çu theo ph−¬ng tr×nh ∞ [ [ ]] A( x, t ) =  dk (k ) exp{i (k − k0 ) x − (k − k0 )ω′ + 1 (k − k0 )2 ω′′ t } (3.15) (3.2) lμ 0 0 2 ρg 2 ∞ − x 2 / 2 σ 2 ρg 2 1 / 2 −∞ A0  e dx = A0 π σ . (3.10) 4 22 Râ rμng r»ng A tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh vi ph©n sau: −∞ ∂A ∂A i ∂2 A Nh− vËy, n¨ng l−îng sãng ®−îc b¶o toμn. + ω′ = ω′′ 2 (3.16) ∂t ∂x 2 0 0 ∂x Cã thÓ nhËn thÊy r»ng trong khi σ−1 x¸c ®Þnh tèc ®é chËm cña qu¸ tr×nh ®iÒu biÕn ®−êng bao, th× ®é cong cña ®−êng cong Mét ph−¬ng tr×nh ®¬n gi¶n nh− trªn hiÓn nhiªn sÏ rÊt dÔ ph©n t¸n ω′′ l¹i liªn quan ®Õn σ −2 . §Ó chøng minh r»ng ®iÒu ph©n tÝch (xem môc tiÕp sau). §Ó chuÈn bÞ c¬ së cho viÖc më réng sang c¸c bμi to¸n phi tuyÕn th−êng khã x¸c ®Þnh nghiÖm nμy kh«ng ph¶i lμ ngÉu nhiªn, ta kh¶o s¸t thÝ dô c¬ b¶n hai chÝnh x¸c, ta sÏ x©y dùng l¹i ph−¬ng tr×nh (3.16) b»ng mét chuçi sãng lan truyÒn trªn n−íc cã c¸c b−íc sãng h¬i kh¸c nhau k + = k + dk vμ k − = k − dk víi dk / k
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2