intTypePromotion=1
ADSENSE

Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 4

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

63
lượt xem
10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sóng dài biên độ nhỏ vô hạn trên nền đáy biến đổi đáng kể Khi sóng lan truyền vào vùng có độ sâu biến thiên đáng kể trong khoảng bước sóng, hiện tượng phân tán xuất tiện, trong đó sự phản xạ trở thể hiện rõ. Lý thuyết tia đơn bỏ qua sự phản xạ sẽ không phù hợp nữa. Trước khi bàn luận về sự phân tán các sóng tản mát, ta khảo sát các bài toán tương tự đối với các sóng dài trên vùng nước nông trường hợp quá trình phân tán được xem là không quan trọng. Để đơn giản về phương diện toán học,...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 4

  1. tr−êng hîp biÕn thiªn ®é s©u liªn tôc, nªn c¸c ph−¬ng ph¸p gÇn Nh»m môc ®Ých tÝnh to¸n víi c¸c tr−êng hîp thùc tÕ: biÕn ®óng, hay ph−¬ng ph¸p sè, sÏ rÊt cÇn thiÕt vμ sÏ ®−îc xem xÐt ë thiªn ®é s©u vμ dßng ch¶y lμ tuú ý, Booij (1981) ®· sö dông lý cuèi cña ch−¬ng nμy. thuyÕt Lagrange ®Ó kh¸i qu¸t ho¸ ph−¬ng tr×nh (5.7). C¶ khóc x¹ vμ t¸n x¹ ®Òu ®−îc ®−a vμo. Song, viÖc tÝnh to¸n thùc tÕ cã thÓ kh¸ tèn kÐm vμ nªn tiÕn hμnh xÊp xØ ho¸ tiÕp. 4.1 X©y dùng lý thuyÕt sãng dμi tuyÕn tÝnh ho¸ 4.1.1 C¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ Trong môc 1.4 ta ®· thÊy r»ng, víi c¸c sãng nhá v« h¹n trªn nÒn s©u kh«ng ®æi, th× chuyÓn ®éng cña n−íc trong sãng dμi chñ yÕu diÔn ra trong ph−¬ng ngang, tøc sù biÕn ®æi trong th¼ng ®øng yÕu vμ ¸p suÊt lμ thuû tÜnh. NhËn xÐt nμy ®· ®−îc kh¼ng Ch−¬ng 4 - Sãng dμi biªn ®é nhá v« h¹n ®Þnh l¹i trong môc 3.6 khi rót ra c¸c ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn trªn nÒn ®¸y biÕn ®æi ®¸ng kÓ cho c¸c dßng ch¶y qui m« lín, tøc chÝnh lμ c¸c sãng dμi biªn ®é h÷u h¹n. VËy chuyÓn ®éng sãng dμi lμ chuyÓn ®éng gÇn ®óng Khi sãng lan truyÒn vμo vïng cã ®é s©u biÕn thiªn ®¸ng kÓ hai chiÒu. trong kho¶ng b−íc sãng, hiÖn t−îng ph©n t¸n xuÊt tiÖn, trong TuyÕn tÝnh ho¸ c¸c ph−¬ng tr×nh (6.11) vμ (6.12), ch−¬ng 3, ®ã sù ph¶n x¹ trë thÓ hiÖn râ. Lý thuyÕt tia ®¬n bá qua sù ph¶n ®èi víi c¸c sãng biªn ®é nhá v« h¹n x¹ sÏ kh«ng phï hîp n÷a. Tr−íc khi bμn luËn vÒ sù ph©n t¸n ζ c¸c sãng t¶n m¸t, ta kh¶o s¸t c¸c bμi to¸n t−¬ng tù ®èi víi c¸c
  2. ∂ζ ∂η ∂2ζ =0 =0, g∇ ⋅ (h∇ζ ) = hoÆc (1.12) . (1.5) ∂n ∂n ∂t 2 cã nghÜa r»ng ®é cao mÆt tù do cã thÓ lμ cùc ®¹i hoÆc cùc tiÓu. §©y lμ mét ph−¬ng tr×nh ®¹o hμm riªng d¹ng hyperbolic víi c¸c NÕu biªn lμ mét b·i biÓn nghiªng t−¬ng ®èi vμ nÕu sãng kh«ng hÖ sè biÕn ®æi. qu¸ dèc ®Õn møc cã thÓ ®æ (xem môc 10.5), th× ph−¬ng tr×nh NÕu c¸c sãng cã d¹ng sin theo thêi gian víi tÇn sè gãc ω , ta (1.12) cã thÓ biÕn ®æi thμnh cã thÓ t¸ch riªng c¸c phÇn phô thuéc kh«ng gian vμ thêi gian ∂ζ thμnh lim h→0 hu ⋅ n = 0 hoÆc lim h →0 h =0. (1.13) ∂n ζ = η ( x , y ) e − iω t , MÆt kh¸c, ®iÒu kiÖn biªn däc theo ®ª ch¾n sãng lëm chëm u( x, y , t ) → u( x, y ) e −iωt . (1.6) hoÆc däc theo mét b·i biÓn tho¶i cã sãng ®æ th× khã cã thÓ x¸c Tõ c¸c ph−¬ng tr×nh (1.2) vμ (1.3), c¸c nh©n tè kh«ng gian liªn ®Þnh, v× sù tiªu t¸n n¨ng l−îng trªn c¸c biªn nμy lμ mét qu¸ quan víi tr×nh phi tuyÕn khã m« t¶ b»ng to¸n häc. iωη = ∇ ⋅ (hu) , (1.7) Cuèi cïng, ph¶i x¸c ®Þnh mét ®iÒu kiÖn biªn thÝch hîp t¹i ig v« cùc. u=− ∇η (1.8) ω §Ó diÔn ®¹t luËn chøng luËn lý trªn, ta tiÕn hμnh dÉn lËp vμ c¸c ph−¬ng tr×nh (1.1) vμ (1.4) mét c¸ch chÝnh thøc h¬n, b»ng ω2 c¸ch vËn dông lý thuyÕt tuyÕn tÝnh ho¸ tæng qu¸t cho tr−êng ∇ ⋅ (h∇η) + η=0. (1.9) g hîp sãng dμi. Nh÷ng lËp luËn ë ®©y thu©n theo Friedrichs (1948) ®èi víi c¸c sãng dμi phi tuyÕn vμ mét phÇn nh− trong Víi ®é s©u kh«ng ®æi ( h = const ), ph−¬ng tr×nh (1.5) trë môc 3.1. Ta sÏ quy chuÈn tÊt c¶ c¸c biÕn theo c¸c qui m« ®· biÕt thμnh ph−¬ng tr×nh sãng cæ ®iÓn: tr−íc dùa trªn c¸c c¨n cø vËt lý: 1 ∂ 2ζ ∇2ζ = z h , (1.10) ( x ′, y ′) = k ( x, y ), z ′ = h′ = , , gh ∂t 2 h0 h0 (1.14) trong khi ph−¬ng tr×nh (1.9) trë thμnh ph−¬ng tr×nh Helmholtz: t ′ = [k ( gh0 ) 1 / 2 ]t , ζ ′ = ζ 1A ( gh0 ) 1 / 2 φ, , Φ= ω A0 k h0 ∇ 2 η + k 2 η = 0, k = . (1.11) ( gh) 1 / 2 trong ®ã ω ~ ( gh0 ) 1 / 2 k . ViÖc quy chuÈn ®èi víi t vμ Φ tu©n theo NÕu biªn bªn lμ t−êng th¼ng ®øng, th× ®iÒu kiÖn biªn ph¶i ph−¬ng tr×nh (2.2), ch−¬ng 1. C¸c ph−¬ng tr×nh phi thø nguyªn lμ dßng n¨ng l−îng ph¸p tuyÕn b»ng kh«ng. Tõ ph−¬ng tr×nh qu¶ sÏ ®óng nh− c¸c ph−¬ng tr×nh (1.3)−(1.5) ë ch−¬ng 3, nÕu ta (1.8) rót ra thay tÊt c¶ c¸c dÊu g¹ch trªn b»ng dÊu '. §Ó cho ng¾n gän, tõ ®©y trë ®i ta sÏ bá c¸c dÊu ph¶y trªn trong c¸c ph−¬ng tr×nh. 71
  3. hÑp cã nghÜa r»ng sù biÕn ®æi ph−¬ng ngang cña ζ cã thÓ bá Gi¶ sö ta cã chuçi qua ë mäi n¬i. ChuyÓn ®éng cã thÓ m« t¶ b»ng ph−¬ng tr×nh φ = φ 0 + μ φ 2 + μ φ 4 + ... 2 4 (1.15) mét chiÒu; c¸ch thiÕt lËp luËn lý sÏ tr×nh bμy d−íi ®©y. T¹i bËc Ο(μ 0 ) ta cã Gi¶ sö x lμ trôc däc vμ y lμ trôc ngang, b( x) lμ ®é réng vμ ∂ 2φ0 h( x, y ) lμ ®é s©u. Gi¶ sö y = a1 ( x) vμ a2 ( x) lμ c¸c bê, khi ®ã = 0, − h< z
  4. tr¹ng th¸i æn ®Þnh cuèi cïng sÏ lμ giíi h¹n cña nghiÖm t¹i ε ↓ 0 . Bμi tËp 1.1: Sö dông ph−¬ng ph¸p Friedrich ®Ó rót ra ph−¬ng tr×nh Thay v× c¸ch tiÕp cËn vËt lý hoÆc gi¶ vËt lý vÒ ®−a ra sù tiªu gi¶m, con ®−êng to¸n häc t−¬ng ®−¬ng lμ ph¸t biÓu r»ng η tho¶ (1.25) b»ng phÐp ph©n tÝch nhiÔu. m·n 4.1.3 NhËn xÐt thªm vÒ ®iÒu kiÖn ph¸t x¹ ∇ ⋅ g h ∇ η + ω′ 2 η = 0 , (1.31) Theo môc 2.4, víi c¸c bμi to¸n sãng d¹ng sin æn ®Þnh, th× ë ®©y ω′ lμ sè phøc víi phÇn ¶o nhá, d−¬ng. ph¶i ®Æt ®iÒu kiÖn biªn ph¸t x¹: c¸c sãng g©y bëi nh÷ng nhiÔu §Ó thÊy ý nghÜa cña “tiªu gi¶m” hay sè phøc ω′ , ta xÐt qu¸ ®Þa ph−¬ng ®−îc lan ra ngoμi. Mét c¸ch tiÕp cËn t−¬ng ®−¬ng tr×nh ph©n t¸n mét chiÒu gÇn mét vËt c¶n. Trong c¸c vïng ®é kh¸c: ®ã lμ xuÊt ph¸t tõ bμi to¸n gi¸ trÞ ban ®Çu vμ xem tr¹ng th¸i æn ®Þnh lμ tr¹ng th¸i giíi h¹n khi t → ∞ . Mét c¸ch lùa chän s©u h kh«ng ®æi, sãng ph©n t¸n b»ng ik ′ x ′x hoÆc e −ik kh¸c: ®ã lμ duy tr× theo c¸ch dÉn lËp víi tr¹ng th¸i æn ®Þnh, e nh−ng yªu cÇu mét sù tiªu gi¶m nho nhá, sù tiªu gi¶m nμy cã ë ®©y thÓ lμ thùc hay lμ nh©n t¹o, vμ sau ®ã ®ßi hái nghiÖm ®iÒu hoμ k ′ = k + i ε ( g h ) −1 / 2 , (1.32) ®¬n ph¶i triÖt tiªu ë v« cïng. Khi sù tiªu gi¶m ®−îc phÐp gi¶m −1 / 2 x → ∞ , ph¶i lo¹i bá k = ω ( g h) . Muèn nghiÖm giíi h¹n khi ®i ë cuèi, th× kÕt qu¶ cuèi cïng sÏ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ph¸t x¹. − ik ′ x TÝnh nh©n t¹o cña tiªu gi¶m nh©n t¹o lμ ý t−ëng cña Rayleigh. . Trong giíi h¹n cña ε ↓ 0 , nhiÔu trë thμnh e Trong n−íc n«ng, ng−êi ta cã thÓ t−ëng t−îng ma s¸t ®¸y lμ ik x ηS ∼ e kx →∞. , (1.33) nguån tiªu gi¶m tù nhiªn. Gi¶ sö lùc ma s¸t ®−îc diÔn t¶ b»ng ®iÒu nμy cã nghÜa lμ c¸c sãng ®i ra. Nh− vËy gi¸ trÞ phøc ω′ chØ 2ε u , ε − mét hÖ sè d−¬ng gi¸ trÞ bÐ. Ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng sÏ ®iÒu kiÖn ph¸t x¹. DÔ dμng kiÓm tra ®−îc r»ng ®iÒu kiÖn ph¸t nh− sau x¹ cã thÓ diÔn t¶ nh− sau ∂u = − g ∇ζ − 2 ε u , (1.27) ∂  ∂t  i k  η S → 0, kx →∞.  (1.34) ∂x  ph−¬ng tr×nh nμy cã thÓ kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh liªn tôc (1.2) cho Trong sù ph©n t¸n hai chiÒu g©y ra do c¸c vËt c¶n, nghiÖm ∂ζ ∂2ζ ∇ ⋅ g h ∇ η − 2ε = , (1.28) trong vïng biÓn ®é s©u kh«ng ®æi cã thÓ x©y dùng b»ng tæng cña ∂t ∂t 2 c¸c sè h¹ng d−íi ®©y: §èi víi chuyÓn ®éng ®iÒu hoμ ®¬n, ph−¬ng tr×nh (1.28) trë thμnh  H n1) (k ′r )   sin nθ  ( ∇ ⋅ g h ∇ η + (ω 2 + 2 i ε ω) η = 0 , ∼  (1.29) .  (2)  H n (k ′r ) cos nθ hay cã thÓ viÕt l¹i thμnh Do biÕn thiªn bÊt ®èi xøng cña c¸c hμm Hankel ∇ ⋅ g h ∇ η + (ω + i ε ) 2 η = 0 (1.30) víi ε nhá. §iÒu kiÖn biªn t¹i v« cïng lμ η ph¶i cã h¹n. VËy 73
  5. 1/2  H n1) (k ′r )   2   π n π  ( bμi to¸n gi¸ trÞ biªn ®óng lμ bμi to¸n vÒ nhiÔu ®iÒu hoμ tiªu exp ± i  k ′ r − − ∼   ,  (2) (1.35) gi¶m η(x, ω′) . Do ®ã, nhiÔu biÕn thiªn cã thÓ nhËn ®−îc b»ng  H n (k ′r )  π k r  2   4 phÐp biÕn ®æi ng−îc: H n2 ) ph¶i ®−îc lo¹i bá khi k ′ phøc víi phÇn thùc d−¬ng. T¹i giíi ( ∞  η(x, ω′) e h¹n ε ↓ 0 , nghiÖm tæng qu¸t cña c¸c sãng ph©n t¸n cã thÓ viÕt − iω t ζ ( x, t ) = dω , (1.40) −∞ nh− sau: ®©y lμ tæng céng tuyÕn tÝnh cña c¸c nghiÖm ®iÒu hoμ ®¬n bÞ tiªu ∞ η S =  (α n cos nθ +β n sin nθ) H n1) (kr ) . ( (1.36) gi¶m. V× ω′ = ω + iε , ph−¬ng tr×nh (1.40) cã thÓ viÕt l¹i thμnh n =0 ∞ S Víi kr >> 1, η biÕn thiªn nh− ζ (x, t ) = e ε t  η (x, ω′)e −iω′ t dω = −∞ 1/2 [ ((α ] 2 − inπ / 2 ikr − iπ / 4 S η≈ cos nθ + β n sin nθ) e ≡   e ∞ + iε n  η(x, ω′)e  πkr  dω′ . = eε t − iω′ t (1.41) − ∞ + iε 1/2 2 e ikr −iπ / 4 , ≡ A(θ)   (1.37) NghiÖm kh«ng nhít ®¬n gi¶n lμ giíi h¹n cña ε ↓ 0 , nÕu quan  πkr  niÖm r»ng tÝch ph©n Fourier trong ph−¬ng tr×nh (1.41) thùc ®©y l¹i lμ mét sãng ®i ra. V× vËy, ph−¬ng tr×nh (1.37) lμ ®iÒu hiÖn däc theo mét ®−êng ë bªn trªn mét chót so víi trôc thùc x kiÖn ph¸t x¹ cho sù ph©n t¸n hai chiÒu g©y bëi c¸c vËt c¶n h÷u trong mÆt ph¼ng phøc ω′ . B©y giê v× môc ®Ých cuèi cïng ®· ®¹t h¹n. Mét c¸ch kh¸c, ®iÒu kiÖn nμy cã thÓ biÓu diÔn t¶ b»ng ®−îc, ta cã thÓ quªn ®i tÝnh nh©n t¹o cña sù tiªu gi¶m vμ ®¬n ∂  gi¶n nãi r»ng ζ (x, t ) lμ tÝch ph©n Fourier cña nghiÖm ®iÒu hoμ (k r ) 1 / 2  − i k  η S → 0, k r >> 1 . (1.38) ∂r   ®¬n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ph¸t x¹ ∞ Ta ph¶i nhÊn m¹nh ngay r»ng ph−¬ng tr×nh (1.38) m¹nh h¬n ζ (x, t ) =  η (x, ω) e −iω t dω , (1.42) nhiÒu so víi yªu cÇu η S ↓ 0 t¹i v« cïng. −∞ Nh÷ng nhËn xÐt trªn ®©y gîi ra mét thñ tôc quy t¾c gi¶n ®Ó trong ®ã ®−êng lÊy tÝch ph©n ph¶i ë phÝa trªn trôc thùc ω mét chót. x©y dùng c¸c nghiÖm biÕn thiªn thêi gian tõ c¸c nghiÖm ®iÒu C¸c ý t−ëng trong phô môc nμy cã thÓ kh¸i qu¸t ho¸ cho hoμ ®¬n. NÕu nhiÔu b¾t ®Çu sinh ra t¹i mét thêi ®iÓm h÷u h¹n, tr−êng hîp ba chiÒu víi kh tuú ý. th× ζ → 0 khi t → −∞ . Víi qu¸ tr×nh tiªu gi¶m, ta còng kú väng r»ng ζ → 0 khi t → +∞ . VËy cã thÓ vËn dông phÐp biÕn ®æi 4.2 §é s©u gi¸n ®o¹n − sãng tíi vu«ng gãc Fourier ∞ 1 4.2.1. NghiÖm 2π − ζ (x, t ) e iωt dt . η= (1.39) XÐt ®¹i d−¬ng ®¬n gi¶n ®é s©u biÕn thiªn gi¸n ®o¹n: t¹i ∞ x = 0 , h = h1 t¹i x < 0 vμ h = h2 t¹i x > 0 , h1 , h2 − c¸c h»ng sè. Hai BiÕn ®æi cña ph−¬ng tr×nh (1.28) chÝnh lμ ph−¬ng tr×nh (1.29) vμ 74
  6. sãng tíi tÇn sè ω ®Õn tõ x ~ ±∞ . Tõ mçi chuçi sãng ®ã, cã mét víi ω phÇn n¨ng l−îng ®−îc truyÒn qua chç gi¸n ®o¹n ®é s©u vμ mét km = . (2.6) ( ghm ) 1 / 2 phÇn bÞ ph¶n x¹ trë l¹i, t¹o thμnh c¸c sãng ph©n t¸n truyÒn ra xa tõ chç gi¸n ®o¹n nμy. VÊn ®Ò lμ ph¶i t×m c¸c sãng truyÒn qua Thõa sè kh«ng gian cña vËn tèc ®−îc cho b»ng vμ c¸c sãng ph¶n x¹. i g d ηm um = − Sãng trªn hai phÝa cña x = 0 tho¶ m·n . (2.7) ω dx ∂ζ ∂ + (hu ) = 0 (2.1) C¸c ®iÒu kiÖn t−¬ng hîp t¹i ®iÓm nèi lμ ∂t ∂ x η1 = η 2 , (2.8a) vμ ∂ η2 ∂ η1 ∂u ∂ζ = h2 h1 . (2.8b) +g =0, (2.2) ∂x ∂x ∂t ∂x §Ó kÕt thóc viÖc thiÕt lËp c«ng thøc, ta ph¶i bæ sung thªm trong ®ã ζ = (ζ 1 , ζ 2 ) , u = (u1 , u 2 ) , vμ h = (h1 , h2 ) tuÇn tù t¹i x < 0 ®iÒu kiÖn ph¸t x¹: nhiÔu g©y ra bëi sãng tíi chØ cã thÓ ®i ra vμ x > 0 . B©y giê ta ph¶i t×m c¸c ®iÒu kiÖn t−¬ng hîp t¹i x = 0 . ngoμi. VËy nÕu chØ cã mét sãng tíi tõ phÝa tr¸i (hoÆc tõ phÝa §Ó lËp luËn chu ®¸o h¬n, b©y giê ta gi¶ sö c¸c ph−¬ng tr×nh ph¶i), th× c¸c sãng ë phÝa ph¶i (tr¸i) ph¶i lμ sãng chØ ch¹y sang (2.1) vμ (2.2) lμ ®óng ngay c¶ khi qua ®iÓm gi¸n ®o¹n ®é s©u vμ ph¶i (hoÆc sang tr¸i). Mét c¸ch tæng qu¸t h¬n, ta gi¶ sö r»ng cã cã thÓ tÝch ph©n ®−îc theo x tõ x = 0 − ®Õn x = 0 + . V× kho¶ng c¸c sãng tíi ®Õn tõ c¶ hai phÝa cña v« cïng A− e i k1 x vμ B+ e − i k2 x . lÊy tÝch ph©n lμ v« cïng bÐ vμ ∂ ζ / ∂ t vμ ∂ u / ∂ t lμ h÷u h¹n, nªn NghiÖm tæng qu¸t sÏ cã d¹ng sau: c¸c sè h¹ng ®Çu cña c¸c ph−¬ng tr×nh (2.1) vμ (2.2) kh«ng ®ãng η1 = A− e ik1 x + B− e −ik1 x víi x < 0 (2.9) gãp vμo kÕt qu¶, do ®ã lim h1 u1 = lim h2 u 2 , vμ (2.3) x →0 − x →0 + η 2 = B+ e −i k1 x + A+ e i k1 x víi x > 0 . (2.10) lim ζ 1 = lim ζ 2 , C¸c biªn ®é cña nh÷ng sãng tíi A− vμ B+ lμ biÕt tr−íc vμ c¸c (2.4) x →0 − x →0 + biªn ®é cña c¸c sãng ph©n t¸n A+ vμ B− sÏ ph¶i t×m thÊy. ¸p Nh÷ng ®iÒu kiÖn nμy (Lamb, 1932) liªn hÖ ζ vμ dßng uh qua dông c¸c ®iÒu kiÖn xøng hîp (2.8a) vμ (2.8b), ta thu ®−îc ®iÓm gi¸n ®o¹n ®é s©u. A+ + B+ = A− + B− , §èi víi chuyÓn ®éng ®iÒu hoμ ®¬n, ta sö dông ph−¬ng tr×nh k1 h1 ( A− − B− ) = k 2 h2 (− B+ + A+ ) (1.9) sao cho c¸c thõa sè kh«ng gian tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh tõ c¸c biÓu thøc nμy cã thÓ gi¶i ra d 2 ηm + k m η m = 0, m = 1, 2, 2 (2.5) (k h − k 2 h2 ) A− + 2k 2 h2 B+ B− = 1 1 d x2 , (2.11) k1 h1 + k 2 h2 75
  7. 2k1 h1 A− − (k1 h1 − k 2 h2 ) B+ BiÕn thiªn cña T1 vμ R1 theo tØ sè ®é s©u thÓ hiÖn trªn h×nh 2.1. A+ = . (2.12) k1 h1 + k 2 h2 Chó ý r»ng pha cña sãng ph¶n x¹ kh«ng thay ®æi khi sãng tíi ®Õn tõ phÝa s©u h¬n, nh−ng nã lÖch pha b»ng π khi sãng tíi C¸c kÕt qu¶ cã thÓ viÕt gän h¬n d−íi d¹ng ma trËn nh− sau {A }= [S ]{A } ®Õn tõ phÝa n«ng h¬n. ViÖc chøng minh r»ng n¨ng l−îng do c¸c S I (2.13) sãng ph©n t¸n (ph¶n x¹ vμ truyÒn qua) truyÒn t¶i b»ng n¨ng víi l−îng do sãng tíi chuyÓn t¶i sÏ giμnh cho b¹n ®äc nh− lμ mét {A }= B , {A }= B  , A A bμi tËp. §èi víi vïng thÒm rÊt n«ng, h2 / h1
  8. biÖt, h2 / h1 >> 1 hÖ sè ph¶n x¹ R1 = −1 , tøc hÖ thèng sãng tæng chØ cã hiÖu lùc khi c¸c chuyÓn ®éng th¼ng ®øng kh«ng ®¸ng kÓ so víi chuyÓn ®éng ngang vμ khi ∂ / ∂ x nhá. Tuy nhiªn, nh÷ng céng trong phÇn x < 0 còng lμ mét sãng ®øng nh−ng víi ®iÓm nót t¹i x = 0 . gi¶ thiÕt nμy sÏ kh«ng cßn ®óng ë l©n cËn ®iÓm bËc thÒm. VËy lý thuyÕt cña ta ë môc 4.2.1 cã cßn ®óng hay kh«ng? C©u hái Bμi tËp 2.1 nμy lμ chñ ®Ò bμi b¸o cña Bartholomeuz (1958), «ng ®· xuÊt XÐt mét thÒm cã ®é s©u h1 trong vïng x < x1 nèi víi ®¹i ph¸t tõ bμi to¸n víi kh tuú ý vμ chøng minh chÆt chÏ r»ng c¸c d−¬ng cã ®é s©u lín h¬n h2 trong vïng x > x2 . T¹i vïng chuyÓn kÕt qu¶ cña môc tr−íc lμ giíi h¹n tiÖm cËn chÝnh x¸c cña k m hm → 0 . LËp luËn cña «ng rÊt dμi vμ gåm mét sè phÐp to¸n rÊt tiÕp x1 < x < x2 , ®é s©u ®−îc cho b»ng h = ax 2 , víi h1 = ax1 , 2 h2 = ax2 vμ x2 − x1 > h1 hoÆc h2 . Gi¶ sö mét chuçi sãng chu kú 2 phøc t¹p. D−íi ®©y, chóng t«i sÏ giíi thiÖu mét c¸ch dÉn gi¶i ®¬n gi¶n h¬n th«ng qua ph−¬ng ph¸p tiÖm cËn t−¬ng hîp, dμi lμ sãng tíi trùc diÖn tõ phÝa ®¹i d−¬ng. H·y chøng minh ph−¬ng ph¸p nμy lμ mét phiªn b¶n ®Çy ®ñ h¬n cña phÐp xÊp xØ r»ng c¸c hÖ sè ph©n t¸n lμ líp biªn ë môc 3.3.3 vμ ®· ®−îc Ogilvie (1960), Tuck (1975) vμ ib T = 1/2 mét sè nhμ khoa häc kh¸c sö dông rÊt hiÖu nghiÖm trong nhiÒu μΔ bμi to¸n vÒ sãng dμi. vμ Tr−íc tiªn, ta chia miÒn tù nhiªn thμnh vïng gÇn vμ vïng [ ]  b 1  exp − 2i (ω 2 / ga) 1 / 2 R = i sh  ln  xa theo qui m« ngù trÞ ë mçi vïng. ThÝ dô, qui m« ®é dμi ë phÝa , 2 μ Δ   sãng tíi ë c¸ch xa ®iÓm nèi lμ b−íc sãng 1 / k 1 , vËy ph−¬ng tr×nh trong ®ã η1 = A(e i k1 x + Re −i k1 x ) (2.19) 1/2  ω x1 2 m« t¶ chÝnh x¸c c¸c sãng. Vïng nμy cã bËc ®¹i l−îng Ο(k1−1 ) lμ b = 1 − 4  μ= , ,  ga  x2   mét vïng xa. D−íi m¾t cña ng−êi quan s¸t ë vïng xa th× miÒn vμ l©n cËn ®iÓm ®é s©u gi¸n ®o¹n nhá ®Õn møc chØ mét sè Ýt c¸c sè 1/2 h¹ng khai triÓn Taylor ph−¬ng tr×nh (2.19) ®· ®ñ ®Ó xÊp xØ mÆt  ω2  b 1 b 1 Δ = 2  ga  sh  ln  + ib ch  ln  . 2 μ 2 μ  tù do ë ®ã; vËy       η1 = A[1 + R + (1 − R) i k 1 x] + Ο (k 1 x) 2 k1 x → 0 . (2.20) VÏ c¸c kÕt qu¶ vμ kh¶o s¸t c¸c hiÖu øng cña ω 2 / ga vμ μ Víi mét ng−êi quan s¸t t−¬ng tù kh¸c ë phÝa truyÒn qua cña (Kajiura, 1961). vïng xa th× sãng ®−îc m« t¶ b»ng ph−¬ng tr×nh 4.2.2 HiÖu chØnh c¸c ®iÒu kiÖn t−¬ng hîp t¹i ®iÓm nèi η 2 = ATe i k2 x , (2.21) MÆc dï c¸c ®iÒu kiÖn t−¬ng hîp ph−¬ng tr×nh (2.8a) vμ ph−¬ng tr×nh nμy cã xu thÕ trë thμnh (2.8b) lμ hîp lý vÒ mÆt linh nghiÖm, chóng ®· ®−îc rót ra trªn η 2 = AT (1 + i k 2 x) + Ο(k 2 x) 2 (2.22) c¬ së c¸c ph−¬ng tr×nh (2.1) vμ (2.2), mμ c¸c ph−¬ng tr×nh nμy 77
  9. cña bμi to¸n dßng ch¶y thÕ ®¬n gi¶n ho¸ nμy, vÒ nguyªn t¾c, cã trong vïng l©n cËn cña gi¸n ®o¹n ®é s©u. §èi víi vïng n−íc thÓ nhËn ®−îc b»ng c¸ch vÏ b¶n ®å ®ång d¹ng hay nh÷ng n«ng, ph−¬ng tr×nh Bernoulli cho −ig ph−¬ng tiÖn kh¸c. φ= η, ω Cho ®Õn giê, c¸c nghiÖm vïng gÇn vμ vïng xa chøa c¸c hÖ sè ch−a ®−îc x¸c ®Þnh. B−íc tiÕp theo cña ph−¬ng ph¸p tiÖm do ®ã −ig cËn t−¬ng hîp ®ßi hái c¸c nghiÖm nμy ®−îc nèi tr¬n trªn c¸c φ1 → A[(1 + R) + (1 − R)ik 1 x], k1 x → 0 , xa (2.23) ω vïng trung gian, ë rÊt gÇn víi ®iÓm nèi theo ng−ßi quan s¸t ë vïng xa nh−ng ë rÊt xa ®iÓm nèi theo ng−ßi quan s¸t ë vïng −ig φ2 → AT (1 + ik 2 x), k2 x → 0 . xa (2.24) gÇn; nãi c¸ch kh¸c ω = φ gÇn φ xa + Ο (kh) 2 . (2.29) B©y giê miÒn l©n cËn ®iÓm gi¸n ®o¹n cÊu thμnh mét vïng kx 1 gÇn cã chuyÓn ®éng hai chiÒu vμ kÝch th−íc ®Æc tr−ng lμ ®é s©u Tr−íc khi thùc hiÖn t−¬ng hîp, ta viÕt ra biÓu thøc xÊp xØ ®Þa ph−¬ng h ( h1 hoÆc h2 ). Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng vμ ®iÒu vïng xa φ gÇn : kiÖn biªn t¹i ®iÓm gi¸n ®o¹n) lμ x ∂ 2φ ∂2φ φ gÇn = C − DU h1 + U x, ∼−∞ + =0, (2.25) h1 ∂ x2 ∂ z2 ∂φ (2.30) =0. (2.26) ∂n h1 x ∼+∞ = C + DU h1 + U x, h2 h2 MÆc dï ®iÒu kiÖn biªn tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c t¹i mÆt tù do lμ ∂ φ ω2 ®Æc biÖt chó ý r»ng, c¸c h»ng sè céng t¹i x ~ ± ∞ kh¸c nhau mét − φ =0, (2.27) ∂z l−îng 2DU h1 ; thùc tÕ, D liªn quan ®Õn h»ng sè ch−a biÕt U . Do g tÝnh liªn tôc, t¹i x bÊt kú ta cã hai sè h¹ng trªn ®©y cã t−¬ng quan tØ lÖ lμ ∂φ ∂ ∂h 0 0  ω2 h  ω2 φ / g h ∂ x d z = ∂x −h φ d z − ∂ x φ ( x, − h) , U h1 = = Ο  g  = Ο (k h ) . 22  (∂ φ / ∂ z )   − biÓu thøc nμy, sau khi lÊy tÝch ph©n tõ x1 ®Õn x2 víi − x1 / h1 vμ Do ®ã ®iÒu kiÖn (2.27) lμ mét xÊp xØ x 2 / h2 >> 1 , sÏ cho φz ≅ 0 (2.28)  0 φ d z  = U h ( x − x ) + x2 ∂ h φ ( x , − h ) d x . x2  − h x1 ∂ x víi sai sè (kh) . VÒ vËt lý, ph−¬ng tr×nh (2.28) ¸m chØ r»ng ng−êi 2 (2.31)  x1   1 2 1 quan s¸t ë vïng gÇn ®· kh«ng chó ý ®Õn c¸c sãng kÝch th−íc dμi V× ph−¬ng tr×nh (2.30) ¸p dông t¹i x1 vμ x2 , vÕ tr¸i cña ph−¬ng vμ nh×n thÊy, t¹i mäi thêi ®iÓm, mét dßng ch¶y ®i qua mét kªnh tr×nh (2.31) cã thÓ viÕt l¹i nèi víi ®iÓm gi¸n ®o¹n nh− trªn h×nh 2.2. NghiÖm h×nh thøc 78
  10. C (h2 − h1 ) + DU h1 (h1 + h2 ) + U h1 ( x 2 − x1 ) , qu¶ lμ: 1 − s + 2iDk1 h1 trong khi vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh (2.31) lμ R=− , (2.33) 1 + s − 2iDk1 h1 ∞ ∂h U h1 ( x 2 − x1 ) + C (h2 − h1 ) +  [ φ ( x, − h ) − C ] d x . −∞ ∂ x 2s T= , (2.34) 1 + s − 2iDk1 h1 ThÕ c¸c biÓu thøc nμy vμo ph−¬ng tr×nh (2.31), ta ®−îc igA 2s ∂ h φ ( x,− h) − C 1 ∞ −∞ d x ∂ x U h1 . h1U = ik 2 h2 D= (2.35) (2.32) ω 1 + s − 2iDk1 h1 h1 + h2 V× φ − C ph¶i cã bËc lμ U h1 , D lμ mét sè phi thø nguyªn cã bËc vμ igA 2s − iDk 1 h1 ®¬n vÞ vμ chØ phô thuéc vμo h×nh häc cña vïng gÇn. Gi¸ trÞ C= . (2.36) ω 1 + s − 2iDk1 h1 t−êng minh cña D cã thÓ thu ®−îc cho tr−êng hîp miÒn gi¸n ®o¹n ®é s©u h×nh ch÷ nhËt nh− ë môc 4.2.3. trong ®ã k1 h1 s≡ . (2.37) k 2 h2 H×nh 2.2 Vïng gÇn cña mét V× D lμ sè thùc vμ cã bËc ®¬n vÞ (xem ph−¬ng tr×nh (2.32)), nã thÒm gi¸n ®o¹n ®é s©u chØ t¸c ®éng ®Õn pha cña R, T , U vμ C , nh−ng cã thÓ ®−îc bá qua do ®é lín cña chóng, víi sai sè bËc Ο( kh) 2 . KÕt luËn nμy Gi¶ sö r»ng vïng gÇn vμ do ®ã D ®−îc biÕt tr−íc theo C vμ phï hîp víi Bartholomeuz (1958) vμ ®· ®−îc Tuck (1976) rót ra U , ta ®i thùc hiÖn so s¸nh c¸c ph−¬ng tr×nh (2.23) vμ (2.24) víi theo c¸ch nμy. Nh− vËy, nh÷ng ®ßi hái ®¬n gi¶n cña ph−¬ng ph−¬ng tr×nh (2.30). B»ng c¸ch cho b»ng nhau c¸c hÖ sè cña c¸c tr×nh (2.8) ®· ®−îc ®¸p øng. sè h¹ng chøa cïng luü thõa cña x , ta ®−îc: ig A 4.2.3 Vïng gÇn trong miÒn gi¸n ®o¹n h×nh ch÷ nhËt C − U h1 D = − (1 + R) , ω Nãi chung, vïng gÇn cña phÇn chuyÓn tiÕp th« ph¶i ®−îc ig A U =− (1 − R) ik 1 , gi¶i b»ng sè nh− bμi to¸n kinh ®iÓn vÒ dßng thÕ æn ®Þnh. §èi víi ω mét miÒn gi¸n ®o¹n h×nh ch÷ nhËt, nghiÖm cã thÓ nhËn ®−îc ig A C + U h1 D = − b»ng ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch nhê lý thuyÕt c¸c hμm phøc (xem T, ω Milne–Thomson, 1967). Ta ®−a ra biÕn phøc z = x + j y vμ thÕ h ig A vËn tèc phøc W ( z ) víi φ ( x, y ) = Re j W ( z ) . Chó ý r»ng ®¬n vÞ ¶o U 1 =− T i k2 . ω h2 ®−îc ký hiÖu b»ng j nh»m ph©n biÖt víi ®¬n vÞ i ®−îc dïng ®Ó C¸c ph−¬ng tr×nh nμy cã thÓ gi¶i ®èi víi R, T , U vμ C ; c¸c kÕt chØ biÕn thiªn thêi gian. MÆc dï c¶ i vμ j lμ (−1) 1 / 2 , nh−ng mçi 79
  11. mét ®¹i l−îng ph¶i ®−îc coi lμ sè thùc so víi ®¹i l−îng kia khi chóng cïng xuÊt hiÖn. Ch¼ng h¹n, thÕ vËn tèc thùc ®−îc tr×nh diÔn b»ng Φ ( x, y, t ) = Re i Re j W ( z )e −iω t = = Re i e −iω t Re j (φ + jψ) = = Re i e −iω t φ = Re i e −iω t (φ1 + iψ 2 ) = = φ1 cos ωt + φ 2 sin ωt , ë ®©y φ1 vμ φ 2 lμ thùc theo c¶ i vμ j . §−êng vËt lý trong mÆt z cã thÓ ®−îc vÏ vμo nöa phÝa trªn cña mÆt ζ nh− trªn h×nh 2.3, theo c«ng thøc cña Schwarz– Christoffel dz K = (2.38) ∂ζ H×nh 2.3 Ph¸c ho¹ ®−êng vËt lý trong mÆt z trong nöa trªn cña mÆt ζ 1/2  ζ −1  ζ   ζ − c2    §Ó tÝch ph©n ph−¬ng tr×nh (2.38), ta ®−a ra mét mÆt t b»ng Râ r»ng r»ng, thÕ phøc W = φ + jψ lμ mét nguån lùc U h1 t¹i gèc ph−¬ng tr×nh t 2 − c2 cña mÆt ζ ζ= . (2.40a) t2 −1 U h1 W= ln ζ + const . (2.39) π hay 1/2  ζ − c2  §Ó Ên ®Þnh K vμ c 2 ta chó ý r»ng vËn tèc phøc lμ t =  , (2.40b)  ζ −1  1/2    ζ − c2  d z U h1 d W dW   = = .  ζ −1  biÓu thøc nμy s¾p ®Æt nöa trªn mÆt ζ vμo cung phÇn t− thø dζ d ζ πK dz   nhÊt cña t nh− trªn h×nh 2.3. LÊy ®¹o hμm loga ph−¬ng tr×nh V× ζ ~ ∞ ë gÇn A , d W / d z ≅ U h1 / π K = U h1 / h2 ; do ®ã (2.40) vμ kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh (2.38), ta cã thÓ tÝch ph©n z h2 K= theo t , víi kÕt qu¶ lμ . π 1 t − c t −1 h2 z + jh1 = − ln  ln , GÇn B , ζ ~ 0 vμ d W / d z ≅ U h1 c / π K = U ; do ®ã (2.41) π c t+c t +1  h2 c= trong ®ã h»ng sè jh1 ®−îc chän sao cho c¸c h×nh ¶nh cña ®iÓm . h1 C xuÊt hiÖn trong c¶ mÆt z vμ t . 80
  12. 1  c2 + 1 c + 1 4c  B©y giê ®Æt ph−¬ng tr×nh (2.40a) vμo trong ph−¬ng tr×nh 2D = − 2 ln 2 ln ; (2.45)  π c c −1 c − 1 (2.39), ta cã t 2 − c2 Uh1 ®©y lμ ph−¬ng tr×nh do Tuck (1976) nhËn ®−îc vμ nã kh¼ng W= ln . (2.42) π t2 −1 ®Þnh −íc l−îng bËc D ë môc 4.2.2. §èi víi mét t cho tr−íc trong gãc phÇn t− thø nhÊt, ta cã thÓ t×m z tõ ph−¬ng tr×nh (2.41) vμ W t−¬ng øng tõ ph−¬ng tr×nh 4.3 §é s©u gi¸n ®o¹n - sãng tíi xiªn (2.42). B©y giê viÖc gi¶i nghiÖm ë vïng gÇn hoμn thμnh. XÐt mét chuçi sãng ph¼ng ®i tíi d−íi mét gãc θ1 so víi C¸c phÐp xÊp xØ tiÖm cËn ë c¸c l©n cËn cña A vμ B lμ cÇn ®−êng gi¸n ®o¹n ®é s©u (h×nh 3.1). Gi¶ sö trôc y trïng víi thiÕt. Gi¶ sö t tiÕp cËn ®iÓm B tõ phÝa tr¸i, t → c − 0 , khi ®ã ®−êng gi¸n ®o¹n vμ trôc x vu«ng gãc víi trôc y . C¸c ®é s©u ë c − 1 h2 1 1 hai phÝa lμ h1 , x < 0 vμ h2 , x > 0 , mét c¸ch tæng qu¸t h1 ≠ h2 . z − j h1 ≅  c ln (t − c) − c ln 2c − ln c + 1  , π  Gi¶ sö c¸c sãng ®i tíi tõ phÝa x → −∞ vμ η I = Aei ( α1 x + βy ) sao cho α1 + β2 = k12 . 2 (3.1) 2c   U h1 W≅ ln (t − c) + ln c 2 − 1  . Vect¬ sè sãng cña sãng tíi nghiªng mét gãc π   θ1 = tg −1 (β / α1 ) (3.2) Sau khi lo¹i ln (t − c) ta cã so víi trôc x . C¸c nghiÖm cã thÓ cã d¹ng nh− sau: c −1 2c  U h1  W ≅U z +  jπ + ln 2c + ln c + 1 + ln c 2 − 1  . (2.43) η1 = A(eiα1 x + Re − iα1 x )e iβy , α1 + β 2 = k12 , x 0, 2 2 (3.4) Gi¶ sö t tiÕp cËn A tõ phÝa ph¶i, khi ®ã 1  c − 1   h2 sao cho ë phÝa tr¸i cã mét sãng ph¶n x¹ h−íng sang tr¸i vμ ë z + j h1 ≅ + j π  − ln (t − 1) + ln 2 ,   ln π c  c +1  phÝa ph¶i cã mét sãng truyÒn qua h−íng sang ph¶i. C¸c hÖ sè   ph¶n x¹ vμ truyÒn qua R vμ T ph¶i ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch vμ lμm t−¬ng hîp ®é cao mÆt n−íc vμ dßng khèi l−îng t¹i ®iÓm [ ] U h1 x = 0 . ThÕ c¸c ph−¬ng tr×nh (3.3) vμ (3.4) vμo c¸c ph−¬ng tr×nh W≅ ln (c 2 − 1) + j π − ln 2 − ln (t − 1) . π (2.8a) vμ (2.8b), ta ®−îc Lo¹i ln (1 − t ) , ta ®−îc 1+ R =T , (3.5a) 1 c − 1 U h1 z U h1  h1 (iα1 − Riα1 ) = h2iα 2T . W≅ + ln (1 − c ) − 2 ln 2 + j π − c ln c + 1  . 2 (3.5b) (2.44) π h2  C¸c nghiÖm cho R vμ T vÒ h×nh thøc gièng nh− tr−êng hîp B©y giê ta cã thÓ trõ c¸c h»ng sè thªm cña c¸c ph−¬ng tr×nh sãng tíi vu«ng gãc nÕu ta thay thÕ k1 vμ k2 b»ng α1 vμ α 2 (2.43) vμ (2.44) ®Ó cã 81
  13. trong c¸c ph−¬ng tr×nh (2.16) vμ (2.17), tøc lμ 2α1 h1 T= , (3.6a) α1 h1 + α 2 h2 α1 h1 − α 2 h2 R= . (3.6b) α1 h1 + α 2 h2 Ta cÇn chó ý tíi mét sè tÝnh chÊt cña nghiÖm. H−íng sãng tíi vμ sãng truyÒn qua b»ng: β tgθ1 = 2 , (3.7) (k1 − β2 )1 / 2 vμ β tgθ2 = . (3.8) (k2 − β2 )1 / 2 2 Víi h1 > h2 , k1 < k2 , th× θ1 > θ2 . NÕu phÝa truyÒn qua n«ng h¬n, th× vect¬ sè sãng cña sãng truyÒn qua sÏ h−íng gÇn trïng víi trôc x h¬n so víi vect¬ sãng tíi. MÆt kh¸c, nÕu h1 < h2 , phÝa sãng tíi n«ng h¬n, th× θ1 < θ2 vμ c¸c sãng truyÒn qua sÏ quay ra xa khái trôc x . KÕt qu¶ nμy chÝnh lμ hiÖn t−îng khóc x¹ ®· bμn luËn ë ch−¬ng 2 ®èi víi H×nh 3.1 H−íng cña c¸c vect¬ sãng t¹i ®−êng gi¸n ®o¹n tr−êng hîp ®é s©u biÕn thiªn chËm vμ c¸c sãng truyÒn qua ®−îc gäi lμ sãng khóc x¹. Víi mét tÇn sè cè ®Þnh, k1 vμ k 2 sÏ cè ®Þnh §iÒu g× sÏ x¶y ra khi β t¨ng n÷a? α 2 = (k2 − β2 )1 / 2 sÏ trë 2 theo h1 vμ h2 . NÕu ta t¨ng β vÒ phÝa k1 (tøc t¨ng gãc tíi), th× sÏ thμnh ¶o, vμ tgθ2 mÊt ý nghÜa. Ta quay l¹i nghiÖm nguyªn b¶n cã mét giai ®o¹n sao cho k2 = β v× k2 < k1 . T¹i giai ®o¹n nμy, vμ viÕt l¹i α 2 = iγ 2 , γ 2 = (β2 − k2 )1 / 2 sao cho γ 2 lμ thùc vμ d−¬ng: 2 θ2 = π / 2 vμ sãng truyÒn qua truyÒn däc theo ®iÓm gi¸n ®o¹n η2 = a1Te − γ 2 x eiβy . (3.10) (α 2 = 0) . Gãc tíi tíi h¹n b»ng γ2x −γ2 x −γ2 x NghiÖm tæng qu¸t thùc sù chøa e vμ e ; ta chØ lÊy e cho k2 k (θ1 ) cr = tg −1 = tg −1 2 2 2 1 / 2 . nghiÖm biªn t¹i x ~ ∞ . Nh− vËy: (3.9) α1 (k1 − k2 ) 2α1 h1 T= , (3.11a) V× α 2 = 0 , hÖ sè ph¶n x¹ R = 1 ; nh− vËy lμ cã ph¶n x¹ toμn phÇn. α1 h1 + iγ 2 h2 Sãng truyÒn qua cã c¸c ®Ønh song song víi trôc x víi biªn ®é nh− nhau däc theo c¸c ®Ønh sãng. 82
  14. α1 h1 − iγ 2 h2 NghiÖm tæng qu¸t trªn mçi miÒn ph¼ng cã thÓ viÕt nh− sau: R= . (3.11b) α1 h1 + iγ 2 h2 η1 = eiβy (eiα1 ( x + a ) + R ′e − iα 1 ( x + a ) ), x < −a , (4.1) Râ rμng r»ng, R = 1 , sù ph¶n x¹ lμ toμn phÇn. Víi c¸c ph−¬ng iα 2 x − iα 2 x iβ y η2 = e ( Ae + Be -a < x < a , ), (4.2) tr×nh (3.11), nghiÖm cã thÓ chuÈn ho¸ l¹i thμnh η3 = T ′e e iβ y iα 3 ( x − a ) x>a, , (4.3) η1 = A cos(α1 x + δ)eiβ y , (3.12) Ta cã thÓ ®Þnh nghÜa α h1 η2 = A 2 2 1 2 2 1 / 2 e − γ 2 x eiβ y . R = R′e −2iα1 a (3.13) (4.4) (α1 h1 + γ 2 h2 ) lμ hÖ sè ph¶n x¹, vμ víi δ − gãc pha T = T ′e − i ( α1 + α 3 ) a (4.5) γh tgδ = 2 2 . lμ hÖ sè truyÒn qua. C¸c hÖ sè A , B , R′ vμ T ′ ph¶i t×m b»ng α1 h1 c¸ch t−¬ng hîp η vμ h ∂η / ∂ x t¹i hai bªn ®−êng gi¸n ®o¹n. Ta ph¶i gi¶i thÝch nghiÖm víi mét ý nghÜa míi. T¹i phÝa s©u T¹i x = −a , ta cã h¬n, x > 0 , sãng truyÒn qua truyÒn däc theo trôc y , biªn ®é cña 1 + R′ = A e −ia 2 a + B e ia 2 a , nã cùc ®¹i t¹i x = 0 vμ gi¶m dÇn theo hμm mò. Gãc β cμng lín (4.6) th× biªn ®é cμng gi¶m nhanh. vμ α1 h1 (1 − R′) = α 2 h2 ( A e − ia 2 a − B e ia 2 a ) , (4.7) 4.4 Sù Ph©n t¸n ë thÒm hoÆc m¸ng ®é réng h÷u trong khi t−¬ng hîp t¹i x = a , ta cã h¹n A e ia2 a + B e −ia 2 a = T ′ , (4.8) XÐt ®¸y biÓn cã ®é s©u biÕn thiªn kiÓu bËc nh− trªn h×nh vμ 4.1. Tõ x ~ −∞ truyÒn ®Õn mét sãng tíi biªn ®é ®¬n vÞ d−íi mét α 2 h2 ( A eia 2 a − B e − ia 2 a ) = α 3 h3T ′ . (4.9) gãc xiªn. Ta xÐt xem kÝch th−íc h÷u h¹n cña bËc ®é s©u sÏ cã B©y giê viÖc cßn l¹i lμ gi¶i ®ång thêi c¸c ph−¬ng tr×nh (4.6)– nh÷ng hiÖu øng g×? (4.9). C¸c tÝnh to¸n cã thÓ ®−îc ®¬n gi¶n ho¸ nÕu dïng c¸c ký hiÖu míi sau ®©y: α μ hμ víi μ, ν = 1, 2, 3 (kh«ng lÊy tæng) Sμν = (4.10) α ν hν C¸c ph−¬ng tr×nh (4.6)–(4.9) trë thμnh Ae −iα 2 a + Beiα 2 a = 1 + R′ , (4.11) Ae − iα 2 a − Beiα 2 a = s12 (1 − R′) , (4.12) H×nh 4.1. Sèng ®Êt ngÇm 83
  15. A e iα 2 a + B e − iα 2 a = T ′ , (4.13) N¨ng l−îng cña c¸c sãng truyÒn qua vμ ph¶n x¹ tØ lÖ víi = s32 T ′ . iα 2 a − iα 2 a  T′ 2   T 2  − Be Ae (4.14)  = =  R′ 2   R 2  Tõ c¸c ph−¬ng tr×nh (4.13) vμ (4.14) ta cã thÓ biÓu diÔn A    vμ B theo T ′ hoÆc T :  2 [ ] 4s2 −1 =   (1 − s 2 )2 sin 2 2α a  4 s + (1 − s ) sin 2α 2 a . 22 2 (4.23) A = T ′e − iα 2 a (1 + s32 ) , 1 (4.15)  2 2 B = 1 T ′ e −iα 2 a (1 − s32 ) . (4.16) 2 2 DÔ dμng chøng minh ®−îc R + T = 1 , cã nghÜa r»ng n¨ng 2 Khö A vμ B tõ c¸c ph−¬ng tr×nh (4.11) vμ (4.12), ta cã thÓ l−îng cña c¸c sãng ph©n t¸n còng b»ng n¨ng l−îng cña c¸c sãng gi¶i ph−¬ng tr×nh cho R′ vμ T ′ : 2 2 tíi. Mét ®Æc tÝnh vËt lý quan träng lμ R vμ T biÕn thiªn [ ] e −iα 2 a − (1 − s12 ) (1 + s32 ) + (1 + s32 ) (1 − s32 )e 2iα 2 a tuÇn hoμn víi 2α 2 a . §Æc biÖt, víi 2α 2 a = nπ, n = 0, 1, 2, 3... , nghÜa R′ = , (4.17) Δ 2 2 lμ, 4 a / λ 2 = 0, 1, 2, 3... , trong ®ã λ 2 = 2π / α 2 , th× R = 0 , vμ T =1 4s T ′ = 12 , (4.18) thμnh thö tr−êng hîp nμy sãng truyÒn qua hoμn toμn vμ thÒm Δ gäi lμ trong suèt ®èi víi sãng tíi sãng tíi. TruyÒn qua cùc tiÓu trong ®ã vμ ph¶n x¹ cùc ®¹i x¶y ra khi sin 2 2α 2 a = 1 , hay Δ = (1 + s12 ) (1 + s32 ) e −2iα 2 a − (1 − s12 ) (1 − s32 ) e 2iα 2 a . (4.19) 2α 2 a = (n − 1 )π, n = 1, 2, 3... 2 Cuèi cïng, A vμ B cã thÓ nhËn ®−îc tõ ph−¬ng tr×nh (4.15) cã nghÜa lμ vμ ph−¬ng tr×nh (4.16) nhê ph−¬ng tr×nh (4.18). 4a 1 3 5 = , , , ... §Ó t×m hiÓu ý nghÜa vËt lý, ta kh¶o s¸t mét tr−êng hîp ®Æc λ2 2 2 2 biÖt: ®é s©u ë c¶ hai phÝa cña ®iÓm gi¸n ®o¹n b»ng nhau, h1 = h3 . B©y giê ta cã α1 = α 3 ,do ®ã C¸c gi¸ trÞ t−¬ng øng lμ: 4s2 1/2 h  ω2 / gh1 − β2  2 αh = min T , (4.24) s12 = s32 = 1 1 ≡ s = 1  2  . (4.20) (1 + s 2 ) 2 h2  ω / gh2 − β2  α 2 h2   (1 − s 2 ) 2 2 Chó ý r»ng s > 1 nÕu vïng trung t©m lμ miÒn thÒm vμ s < 1 nÕu = max R ; (4.25) (1 + s 2 )2 lμ mét vïng tròng. C¸c hÖ sè truyÒn qua vμ ph¶n x¹ lμ: nh÷ng gi¸ trÞ nμy phô thuéc vμo s 2 nh− trªn h×nh 4.2a. Phô 4s T′ = , (4.21) thuéc cña T vμ R vμo 2α 2 a lμ phô thuéc kiÓu dao ®éng (h×nh 2 − 2 iα 2 a − (1 − s )e2iα 2 a (1 + s ) e 4.2b). − (1 − s 2 )(e −2iα 2 a − e2iα 2 a ) R′ = . (4.22) (1 + s )2 e − 2iα 2 a − (1 − s )e2iα 2 a Sãng trªn thÒm thu ®−îc b»ng c¸ch thÕ ph−¬ng tr×nh (4.21) 84
  16. vμo c¸c ph−¬ng tr×nh (4.15) vμ (4.16) víi s12 = s32 = s , tøc lμ 2 η cho nªn giao thoa lμm gi¶m sãng, tøc nhá nhÊt khi A = T ′(1 + s ) e − iα 2 a B = T ′(1 − s ) e iα 2 a , 1 1 (4.26) 2 2α 2 a = (n − 1 )π , vμ lμm t¨ng sãng, tøc η lín nhÊt khi 2α 2 a = nπ . 2 2 2 V× chÊt láng t¹i x = a ho¹t ®éng nh− lμ mét c¸i pÝt t«ng ®èi víi vμ sau ®ã thÕ vμo ph−¬ng tr×nh (4.2). Bá qua c¸c b−íc trung chuyÓn ®éng trong vïng x > a , nªn biªn ®é cña nã quy ®Þnh biªn gian, ta cã kÕt qu¶ cuèi cïng: [ ] ®é cña sãng truyÒn qua. 2s (1 + s )e iα 2 ( x − a ) + (1 − s )e − iα 2 ( x − a ) η2 = (4.27) (1 + s ) 2 e − iα 2 a − (1 − s ) 2 eiα 2 a C¸c ®Æc tÝnh giao thoa rót ra ®¬n thuÇn tõ ph©n tÝch to¸n häc nh− trªn còng cã thÓ ®−îc gi¶i thÝch vÒ mÆt vËt lý. Khi mét do ®ã b×nh ph−¬ng cña ®−êng bao lμ sãng ®Ëp vμo r×a t¹i x = −a , mét phÇn sãng truyÒn qua vμo vïng [ ] 4 s 2 cos2 α 2 ( x − a) + s 2 sin 2 α 2 ( x − a ) 2 η2 = − a < x < a vμ mét phÇn ph¶n x¹. Khi ®¹t tíi r×a t¹i x = a , sãng . (4.28) 4 s 2 + (1 − s 2 )2 sin 2 2α 2 a truyÒn còng cïng chÞu tr×nh ph©n t¸n, thμnh thö mét phÇn sãng truyÒn qua tíi vïng x > a vμ mét phÇn ph¶n x¹ vÒ phÝa r×a x = 0 . Qu¸ tr×nh qua vμ ph¶n x¹ lui vμ tiÕn lÆp ®i lÆp l¹i v« cïng tËn ®èi víi tÊt c¶ sãng cña chuçi sãng ®iÒu hoμ. Sãng tæng céng ®i vÒ phÝa tr¸i trong kho¶ng x < − a lμ tæng cña c¸c sãng ph¶n x¹ tõ x = −a vμ tÊt c¶ c¸c sãng truyÒn qua tõ − a < x < a ®Õn x < − a , trong khi ®ã c¸c sãng tæng céng ®i vÒ phÝa ph¶i trong phÇn x > a lμ tæng cña tÊt c¶ c¸c sãng truyÒn qua tõ − a < x < a ®Õn x > a . B©y giê nÕu 4 a lμ mét béi sè tÝch ph©n cña b−íc sãng λ 2 , mçi lÇn ®Ønh sãng ®iÓn h×nh hoμn thμnh mét vßng khø håi, ph¶n x¹ tõ x = a ®Õn x = −a vμ quay l¹i tíi x = a , th× pha cña nã bÞ thay ®æi hai lÇn π. Thμnh thö tÊt c¶ c¸c ®Ønh sãng nμo ®Õn tíi x = a cïng mét thêi ®iÓm sau mét sè lÇn thùc hiÖn c¸c vßng khø 2 2 H×nh 4.2. §Æc tÝnh cña T vμ R : a) ¶nh h−ëng do s = α 1 h1 / α 2 h2 biÕn thiªn; b) ¶nh håi..., −2, − 1, 0, 1, 2, ... sÏ cã cïng pha; chóng giao thoa víi nhau h−ëng do 2α 2 a biÕn thiªn theo kiÓu lμm t¨ng sãng vμ hÖ qu¶ lμ biªn ®é tæng t¹i x = a lín h¬n. MÆt kh¸, nÕu 4 a béi lÎ cña nöa b−íc sãng λ 2 / 2 , th× sau MÆt tù do trong kho¶ng −a < x < a lμ tæng cña hai chuçi mét vßng khø håi mét ®Ønh sãng ®iÓn h×nh sÏ ng−îc vÒ pha so sãng lan theo hai h−íng ng−îc nhau dÉn tíi giao thoa vμ h×nh víi c¸c ®Ønh sãng kh¸c chËm hay v−ît tr−íc mét sè lÎ lÇn c¸c thμn mét sãng ®øng kh«ng gian cã biªn ®é thay ®æi däc trôc x . vßng khø håi. Sù giao thoa sÏ theo kiÓu lμm yÕu sãng, dÉn ®Õn Riªng t¹i r×a x = a biªn ®é thùc nhá nhÊt t¹i x = a . 4s2 2 η2 = x=a , (4.29) 2 2 Ngoμi ra, nÕu lÊy ®¹o hμm η2 theo x , ta thÊy ∂ η 2 / ∂x ∝ 4 s 2 + (1 − s 2 ) 2 sin 2 2α 2 a 85
  17. 2 η2 sin 2α 2 ( x − a ) , thμnh thö c−êng ®é ®é s©u biÕn ®æi chËm, ta cã thÓ rót ra nghiÖm kh¸ tæng qu¸t ®¹t cùc trÞ t¹i nh−ng ë d¹ng gÇn ®óng vμ cã ý nghÜa vÒ mÆt vËt lý. 2α 2 ( x − a ) = nπ , tøc x − a = 1 nλ 2 . Tõ ph−¬ng tr×nh (4.28) suy ra 2 §èi víi lo¹i nÒn ®¸y mμ quy m« biÕn ®æi ®é s©u cña nã lín c¸c gi¸ trÞ cùc trÞ b»ng: h¬n nhiÒu so víi b−íc sãng, th× hiÓn nhiªn lμ nªn xuÊt ph¸t tõ 4s 2 2 nÕu n = ch½n Extr η 2 = phÐp gÇn ®óng WKB kinh ®iÓn. Gi¶ sö biÕn thiªn ®é s©u lμ mét 4 s + (1 − s 2 ) 2 sin 2 2α 2 a 2 chiÒu, tøc h = h( x) , tõ ph−¬ng tr×nh (1.26), ph−¬ng tr×nh chuyÓn vμ ®éng lμ 4s 2 d  dη  2 nÕu n = lÎ. Extr η 2 =2  gh  + ω η = 0 . 2 (5.1) 4 s + (1 − s 2 ) 2 sin 2 2α 2 a dx  dx  Trong c¶ hai tr−êng hîp c¸c gi¸ trÞ cùc trÞ lμ lín nhÊt khi 2α 2 a XÐt mét sãng truyÒn theo chiÒu d−¬ng trôc x : lμ c¸c sè nguyªn lÇn cña π. Nh− vËy, c¸c ®Ønh cña T theo 2α 2 a η = A( x )e iS ( x ) / μ , (5.2) trïng víi ®Ønh thÝch øng trong vïng −a < x < a . ë ®©y x = μx , víi μ − mét tham sè nhá ®Æc tr−ng ®é nghiªng ®¸y. Cuèi cïng, ta xÐt giíi h¹n khi α 2 a ↓ 0 . NÕu khai triÓn Nh− trong môc 2.1, ta ký hiÖu Taylor ph−¬ng tr×nh (4.23) sÏ rót ra 1 dS dS k (x) = = (1 − s 2 ) 2 . (5.3) 2 =1 − (α 2 a ) 2 + Ο(α 2 a ) 4 μ dx dx T s2 ThÕ c¸c ®¹o hμm cña η vμo ph−¬ng tr×nh (5.1), ta ®−îc (1 − s 2 ) 2 2 R= (α 2 a ) 2 + Ο(α 2 a ) 4 .  d (kA)    dA′  dh s 2 (− ghk 2 + ω 2 ) A + μ  g ikA + gh i k + ih + d x   dx  dx   VËy mét barie hÑp h¬n nhiÒu so víi b−íc sãng th× thuéc lo¹i  d h dA d2A trong suèt ®èi víi c¸c sãng tíi. ThËt ra th× c¸c hiÖu øng chÊt + μ2  g  = 0. + gh  dx dx d x2  láng thùc th−êng g©y ra sù t¸ch dßng ch¶y, vμ do ®ã, sù t¶n   m¸t, vμ lμm thay ®æi kÕt luËn trªn ®©y mét c¸ch ®¸ng kÓ. Tõ bËc Ο(μ 0 ) quan hÖ t¶n m¸t sÏ nh− sau ω2 = k 2h , 4.5 Sù truyÒn qua vμ ph¶n x¹ ë vïng ®é s©u (5.4) g biÕn ®æi chËm trong khi tõ Ο(μ) , sau mét vμi phÐp to¸n ®¬n gi¶n, ta cã Cã mét sè d¹ng ®Þa h×nh ®¸y cô thÓ (biÕn thiªn tuyÕn tÝnh, d (khA 2 ) = 0 parabol); víi chóng cã thÓ nhËn ®−îc nghiÖm gi¶i tÝch (Kajiura, dx 1961). ViÖc ph©n tÝch to¸n häc ®Ó nhËn ®−îc kÕt qu¶ trong do ®ã tr−êng hîp nμy kh«ng cã g× khã kh¨n. Víi c¸c lo¹i nÒn ®¸y víi 86
  18. (khA 2 ) = const ≡ E 0 ≡ (khA 2 ) x ~ −∞ . 2 vμ F , tøc (5.5) 1 Theo E0 , nghiÖm bËc dÉn ®Çu sÏ lμ ( E e iS / μ + F e − iS / μ ) , η= (5.11) (kh)1 / 2 i  x E0 E0 exp   k ( x ) d x  , e iS / μ = η= (5.6) i ωQ = i g (kh)1 / 2 ( E e iS / μ − F e −iS / μ ) ; (5.12) μ 1/2 1/2 (kh) (kh)    b©y giê nh÷ng biÓu thøc nμy ®−îc coi nh− lμ c¸c nghiÖm chÝnh ë ®©y E 0 tØ lÖ thuËn víi dßng n¨ng l−îng cña sãng tíi tõ x ~ −∞ . 2 x¸c cña c¸c ph−¬ng tr×nh (5.8) vμ (5.9). Trong khi thÕ ta ®−îc Ta cã thÓ gi¶ thiÕt c¸c sãng di chuyÓn theo c¶ hai h−íng sao mét cÆp ph−¬ng tr×nh m« t¶ E vμ F : cho nghiÖm tæng qu¸t lμ μ d (kh)1 / 2 dE iS / μ dF − iS / μ ( E e iS / μ − F e − iS / μ ) , − =− e e 1 1/2 dx dx (kh) dx ( E0 eiS / μ + F0 e − iS / μ ) , η≅ (kh)1 / 2 vμ ë ®©y F02 tØ lÖ víi n¨ng l−îng sãng tíi tõ phÝa ph¶i, μ d (kh)1 / 2 dE iS / μ dE − iS / μ ( E e iS / μ + F e − iS / μ ) . − = e e F = (khA ) x ~ +∞ 2 2 (kh)1 / 2 dx dx dx 0 NghiÖm (5.6) hoÆc (5.7) ®Òu kh«ng tÝnh tíi sù ph¶n x¹. C¸c ®¹o hμm dE / d x vμ dF / d x cã thÓ ®−îc gi¶i ra Bremmer (1951) vμ c¸c t¸c gi¶ kh¸c ®· cã nh÷ng bæ khuyÕt μ d (kh)1 / 2 dE F e − 2iS / μ , = (5.13a) thªm cho c¸ch ph©n tÝch trªn ®©y víi tr−êng hîp ph¶n x¹ yÕu d x (kh)1 / 2 d x vμ trong t×nh huèng vÊt lý kh¸c; vμ Ogawa vμ Yoshida (1959) μ d (kh)1 / 2 dF E e 2iS / μ , = ®· øng dông cho c¸c sãng n−íc n«ng. Muèn biÕt tæng quan rÊt (5.13b) d x (kh)1 / 2 d x ®Çy ®ñ vÒ vÊn ®Ò nμy h·y xem Kajiura (1961) hoÆc Wait (1962). c¸c ph−¬ng tr×nh nμy còng lμ nh÷ng ph−¬ng tr×nh chÝnh x¸c. ë ®©y, ta sÏ sö dông c¸ch lËp luËn cña hä. B©y giê ta ®−a ra c¸c khai triÓn nhiÔu: B¾t ®Çu tõ c¸c ph−¬ng tr×nh khèi l−îng vμ ®éng l−îng, ®Ó tiÖn lîi ta ®Þnh nghÜa uh = Q , do ®ã E = E0 + μ E1 + μ 2 E2 + ... , dQ F = F0 + μ F1 + μ 2 F2 + ... , iωη = , (5.8) dx ThÕ trùc tiÕp biÓu thøc cña E vμ F ta ®−îc dη i ωQ = g h d E0 d F0 . (5.9) = =0, dx dx dx Tõ ph−¬ng tr×nh (5.7) l−u l−îng ®èi víi bËc dÉn ®Çu cho b»ng d En +1  d  ln (kh)1 / 2  Fn e − 2iS / μ , = i ωQ ≅ ig (kh)1 / 2 ( E0 eiS / μ − F0 e − iS / μ ) , (5.10) dx d x  bá qua sè h¹ng bËc Ο(μ) . B©y giê, ta lμm theo Bremmer vμ thÕ vμ E0 , F0 trong c¸c ph−¬ng tr×nh (5.7) vμ (5.10) b»ng hai hμm Èn E 87
  19. d Fn +1  d  ω2 ln (kh)1 / 2  En e 2iS / μ , = = k 2 h0 (1 + q) , dx d x  g c¸c biÓu thøc trªn cã thÓ tÝch ph©n cho kÕt qu¶: vμ E0 = const, F0 = const , ω q  (5.14a) (1 + q ) −1 / 2 ≅ k0 1 −  k= 1/ 2 ( gh0 ) 2  −2 iS / μ x d 1/2  ∞ d x ln (kh)  Fn e En + 1 = dx, (5.14b) −  sao cho q  2 iS / μ x kh ≅ k0 h0 1 +  . d  =  ln (kh)1 / 2  En e Fn +1 dx. (5.14c) 2  dx ∞  Khai triÓn loga, ta cã C¸c giíi h¹n d−íi cña tÝch ph©n ®−îc chän sao cho d 1 dq ln (kh)1 / 2 ≅ , En (−∞) = 0, Fn (∞) = 0, n = 1, 2, 3, ... dx 4 dx Tõ giê trë ®i tham sè μ cã thÓ ®Æt b»ng ®¬n vÞ vμ x kh«i phôc vμ thμnh x . Bμi to¸n ®· gi¶i xong. x kd x ≅ k x . Gi¶ sö mét tr−êng hîp cô thÓ, lÊy F0 = 0 sao cho sãng tíi 0 0 lan tõ tr¸i sang ph¶i. Khi ®ã VËy, víi c¸c nhiÔu nhá, ph¶n x¹ xÊp xØ b»ng x ∼ +∞ E = E0 + μ E1 + μ 2 E2 + μ 3 E3 + ..., (5.15) ∞ 1 d q 2ik 0 x R1 = −  e dx. (5.19) sÏ biÓu diÔn sãng truyÒn qua, trong khi −∞4 d x x ∼ −∞ F = μ F1 + μ 2 F2 + ..., (5.16) Ta sÏ xÐt mét sè tr−êng hîp cô thÓ khi ®é s©u thay ®æi tõ mét biÎu diÔn sãng ph¶n x¹. §Õn bËc Ο(μ) hÖ sè ph¶n x¹ lμ gi¸ trÞ h»ng sè nμy sang mét gi¸ trÞ kh¸c. NÕu ®é s©u biÕn ®æi kh«ng liªn tôc mét l−îng Δh0 , tøc F  ∞ d  = −  d x  ln (kh)1 / 2  e2iS / μ . R1 =  1  (5.17) E  q = ΔH ( x), H ( x) = hμm Hevisai (5.20)  dx   0  x ≈ −∞ −∞ trong ®ã δ
  20. x = − 1 L ®Õn x = + 1 L , th×  1/ 2  1 d R1 = −e2iS  dx ln(kh)   + 2 2 2ik    Δ q =   x, (5.22) x2 d  1 d 1/ 2  L +  dx e2iS  dx ln(kh)  .  dx  2ik   do ®ã x1 L/2 e2ik 0 x dx Δ Δ sin k L Tõ sè h¹ng tÝch ph©n trong ph−¬ng tr×nh trªn, râ rμng lμ / 2 L = − 4 k0 L0 ; R1 = − (5.23) R1 = Ο(k0 L) −1 , ®iÒu nμy phï hîp víi ph−¬ng tr×nh (5.23). NÕu 4 −L d 2 h / dx 2 h÷u h¹n t¹i c¸c ®Çu, cßn d 3 h / dx 3 th× kh«ng, th× tÝch R1 dao ®éng theo k0 L ; ®−êng bao sÏ nhá dÇn khi k0 L → ∞ . ph©n cuèi ë trªn cã thÓ ®−îc tÝch ph©n tõng phÇn mét lÇn n÷a Cuèi cïng, nÕu sù chuyÓn tiÕp ®é s©u v« cïng tr¬n vμ cã thÓ ®Ó cho mét sè h¹ng cã bËc Ο(k0 L) −2 . Tæng qu¸t h¬n, nÕu d n h / dx n m« t¶ b»ng mét hμm sai sè theo x , th× h÷u h¹n t¹i c¶ hai ®Çu, th× R1 = Ο(k0 L) n −1 . NÕu ®Þa h×nh v« cïng Δ d 2 2 q = 1/ 2 e− x / L (5.24) tr¬n, tøc x1 → −∞ vμ x2 → ∞ , th× R1 suy gi¶m nhanh h¬n bÊt kú πL dx luü thõa sè nμo cña k0 L0 . cã d¹ng Gauss, do ®ã KÕt qu¶ nãi r»ng sù ph¶n x¹ phô thuéc m¹nh ®é lμ tr¬n t¹i ∞ Δ Δ − k 2 L2 ∞e − ( x / L ) 2 2 ik 0 x R1 = − dx== e 0 . e (5.25) hai ®iÓm gîi tÝnh tß mß to¸n häc, v× theo quan ®iÓm vËt lý th× 1/ 2 4π L − 4 mét ®Æc tÝnh ®Þa ph−¬ng nh− thÕ liÖu cã t¸c dông ¶nh h−ëng Chó ý r»ng víi tr−êng hîp nμy R1 gi¶m theo hμm mò theo m¹nh kh«ng. ThËt vËy, ph−¬ng tr×nh (5.25) ¸m chØ r»ng hÖ sè ( k0 L ) 2 . ph¶n x¹ lμ rÊt nhá ®èi víi ®Þa h×nh tr¬n v« h¹n. Trong mét bμi b¸o víi nhiÒu phÐp to¸n phøc t¹p, Meyer (1979b), kh«ng sö C¸c thÝ dô trªn ®©y kh¸c nhau râ rÖt vÒ tèc ®é gi¶m theo dông phÐp xÊp xØ WKB, ®· cho thÊy hÖ sè ph¶n x¹ l¹i cã d¹ng k0 L ; ®Þa h×nh tr¬n h¬n sÏ gi¶m nhanh h¬n theo k0 L t¨ng. §iÒu exp[−α(k0 L)1 / 2 ] cho c¶ hai tr−êng hîp ®Þa h×nh luèng (m« t¶ b»ng nμy cã thÓ chøng minh mét c¸ch tæng qu¸t h¬n tõ ph−¬ng tr×nh (5.17) (Felsen vμ Marcuvitz, 1973). Gi¶ sö h , do ®ã c¶ k , chØ hμm Gauss) vμ thÒm (d¹ng mÆt c¾t tiÕp tuyÕn hyperbolic). ë kh¸c h»ng sè trong kho¶ng x1 < x < x2 víi x2 − x1 = L . Ta viÕt ®©y chóng t«i sÏ kh«ng xÐt tiÕp vÊn ®Ò nμy. B¹n ®äc quan t©m cã thÓ xem chi tiÕt trong bμi b¸o cña Meyer vμ trong tμi liÖu ph−¬ng tr×nh (5.17) thμnh tham kh¶o. x2 d R1 = −  e 2iS ln (kh)1 / 2 d x . dx x1 4.6 Sãng bÞ bÉy trªn luèng ®Êt dèc NÕu dh / dx h÷u h¹n t¹i c¸c ®iÓm ®Çu x = x1 , x2 , cßn d h / dx th× 2 2 Môc 4.3 ®· cho thÊy nh÷ng sãng d¹ng sin nhÊt ®Þnh cã thÓ kh«ng, ta cã thÓ tÝch ph©n tõng phÇn mét lÇn ®Ó ®−îc tån t¹i ë mét ®iÓm gi¸n ®o¹n ®é s©u, nh−ng kh«ng thÓ truyÒn ®−îc tõ n−íc n«ng ra vïng n−íc s©u. Ta sÏ nghiªn cøu ®iÒu g× 89
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2