Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đạo hàm: SKKN kinh nghiệm

ươ

ạ

ả

ươ

ệ ươ

ỉ ằ

ng pháp đ o hàm.

i ph

ớ

ọ

ụ

ng trình vô t b ng ph ng trình, h ph ổ ế H c sinh l p 11, l p 12 và giáo viên trung h c ph ọ

ụ

ế

1.Tên sáng ki n:ế Gi ự 2. Lĩnh v c áp d ng sáng ki n: thông. ế ờ 3.Th i gian áp d ng sáng ki n: T ngày 6 tháng 9 năm 2014 đ n ngày 10 tháng 1 năm 2015 4.Tác gi

ừ :ả ọ

ữ

ệ

ọ

ỉ

ị

ượ

ng, xã Yên Th , huy n Ý Yên, t nh Nam Đ nh.

ử

ườ

ệ

ỹ

ị

ng THPT M Tho – Ý Yên – Nam Đ nh.

ế

ạ H và tên: Hoàng H u Đ t Năm sinh: 1980 ườ ơ N i th ng trú: Thôn Bình Th ọ ộ Trình đ chuyên môn: C nhân khoa h c ứ ụ Ch c v công tác: Giáo viên ơ N i làm vi c: Tr ạ ệ Đi n tho i: 0989 118 585. ả ồ 5. Đ ng tác gi : không. ụ ơ ị 6. Đ n v áp d ng sáng ki n:

ị

ườ

ỹ

ị

ỉ

ị

ệ

ạ

ơ Tên đ n v : Tr ng THPT M Tho. ệ ỉ Đ a ch : xã Yên Chính, huy n Ý Yên, t nh Nam Đ nh. Đi n tho i: 03503 825 642

ủ

ế

ấ

C u trúc c a sáng ki n

ạ

ả

ế

ạ

ế

ướ

ế

ệ ả ả gi ả ả gi ả ả gi ơ ở

ọ

ả

ươ

ụ i ph

ng trình vô t b ng ph

ng trình đ ng trình đ

ỉ ằ c đ a v d ng c đ a v d ng

ề ạ

ậ

ồ

ạ 0 f v ( ) ươ ng trình v d ng đ ng b c

ng pháp đ o hàm.........................................8 f x = ....................................................8 ( ) f u ( ) ……………………………..15 ư t: đ a ph

ằ

ươ

ạ

ng trình b ng ph

ng pháp đ o hàm............................................31

ệ

ả ệ ươ i h ph ư ạ ệ ự ị

ự

ệ

ụ ố ượ ộ

ệ

ứ

ớ

ủ

ứ

ệ

ế

ố

ự ự ự

ể

ự ệ ệ ệ ế

ả ự

ệ

ế ạ ệ ạ ủ

ệ ả ướ ế ố ớ ố ớ

ệ ọ ủ ọ

ả

ế

ề ế ề ư ưở t ề ỹ ậ ế

ề

ặ

ạ

Trang ề I.Đi u ki n hoàn c nh t o ra sáng ki n ………………………………………………….4 II.Mô t i pháp………………………………………………………………………...4 1.Mô t i pháp tr c khi t o ra sáng ki n…………………………………………...4 i pháp sau khi có sáng ki n………………………………………………....7 2.Mô t 2.1. C s lý thuy t…………………………………………………………………....7 2.2.Các ví d minh h a…..............................................................................................8 ươ 2.2.1.Gi ượ ư ề ạ ươ 2.2.1.1.Ph ượ ư ề ạ ươ 2.2.1.2.Ph ệ ổ ặ ế ộ ố ạ 2.2.1.3.M t s d ng bi n đ i đ c bi ba…..22 2.2.2.Gi ự 3. Th c nghi m s ph m .................................................................................................43 3.1.M c đích th c nghi m ……………………………………………………...…......43 3.2.Đ i t ng đ a bàn và cách th c hi n………………………………………..…......43 3.3.N i dung và th c nghi m…………………………………………………...….......43 ế 3.3.1.Th c nghi m trong nghiên c u ki n th c m i………………………………....43 3.3.2.Th c nghi m trong c ng c hoàn thi n ki n th c ………………………...…...45 3.3.3.Th c nghi m trong ki m tra đánh giá ………………………………………...45 3.3.4 Đánh giá k t qu th c nghi m ………………………………………………....45 III. Hi u qu do sáng ki n đem l i……………………………………………………......46 1.Tr c h t đ i v i vi c d y c a giáo viên…………………………………………….. 46 2. Đ i v i vi c h c c a h c sinh …………………………………………………..........46 ứ 2.1.V ki n th c ………………………………………………………………….........46 2.2.V t ng tình c m ………………………………………………………….…..47 2.3.V k năng ………………………………………………………………………...47 3. K t lu n…………………………………………………………………………….....48 ả IV. Cam k t không sao chép ho c vi ph m b n quy n ………………………………......48

ề

BÁO CÁO SÁNG KI NẾ ạ ệ I. Đi u ki n, hoàn

ọ

ạ

ế

ả c nh t o ra sáng ki n ế ằ Chúng ta đã bi ự

ế t r ng: D y h c Toán là d y cho ế

ậ

ứ

ạ ọ ọ ậ ệ

ộ ạ

ế

ữ

ỉ ơ ọ

ề

ể

ệ ự ườ ọ có năng l c trí tu . i h c ề ự ồ ẽ ứ Năng l c này s giúp cho h h c t p và ti p thu các ki n th c v t nhiên, xã h i, b i ưỡ ế ớ ạ ng th gi d i quan duy v t bi n ch ng. Vì v y d y Toán không ch đ n thu n d y cho ắ ọ ọ ọ ượ h c sinh n m đ c ki n th c, nh ng đ nh lí Toán h c. Đi u quan tr ng là d y cho h c ệ ự sinh năng l c trí tu . Năng l c này s đ

ậ ứ ự ọ

c hình thành và phát tri n trong h c t p. ở ậ

ề

b c THPT các bài toán v ph

ả ươ

ố ế

ạ

ươ ổ ươ ng pháp bi n đ i t

ế ng pháp gi

ng đ ố

ươ ụ

ư ạ

ươ

ệ

ấ

ọ

ệ ng trình và h ph

ươ

ệ

ỉ

ả i ph

ệ ươ ọ ng trình vô t giúp h c sinh rèn luy n đ ắ

ắ

ọ

ể ể

ế

ậ

ượ

ụ duy và v n d ng đ hi u bi

c nâng cao t

ẩ ng trình vô t h c sinh đ

ươ

ầ ị ạ ẽ ượ ọ ậ ạ ệ ươ Trong quá trình d y h c môn Toán ng trình, h ọ ộ ị ấ ươ ố ớ ớ ng trình chi m m t v trí r t quan tr ng, xuyên su t ch ph ng trình c ba kh i l p, v i ươ ả ề ươ i đa d ng nh : Ph nhi u ph ng pháp ng, ph ả ặ ẩ ỏ ọ đ t n ph …Trong quá trình gi ng d y và ôn luy n thi THPT Qu c Gia, thi h c sinh gi i ỉ ỉ ấ i ph t nh cho các em h c sinh tôi th y vi c gi ng trình vô t r t quan ố ớ ọ ả ọ ệ ượ c tr ng đ i v i h c sinh THPT vì vi c gi ơ ả ỹ k năng gi i toán, tính c n th n, chính xác và làm cho h c sinh n m ch c môn toán h n. ươ ả ố Gi t các t ph i t ộ n i dung khác trong ch

ươ

ệ

i ph

Tuy nhiên trong th c t ệ

ặ

ươ

ả ươ ng trình vô t l

t là ph ố

ng trình, h ph ỉ ạ ử ụ i s d ng ph ư

ươ

ỉ

t ph

ậ ỉ ọ ng trình toán THPT. ự ế các bài toán gi ươ ệ ươ ng trình, h ph ế i ch có s ít các em h c sinh bi ủ

ọ ậ

ộ ố ọ

ướ

ả

ng trình trong các ng pháp hàm ng pháp này nh ng trình bày còn lúng ế i quy t.

ng gi

ề đ thi ĐH đ c bi ố ể ả s đ gi ư ọ túng, ch a g n gàng sáng s a. Th m chí còn m t s h c sinh không có h Nguyên nhân do đâu ?

ở

ươ

ạ ố

ỉ ượ

c trình bày

ng trình vô t đ

ố

ế

ổ ươ

ỉ ủ ế

ớ ề ươ

ặ ẩ

ng, ph

ươ

ng đ ế ử ụ

ệ ủ ủ ệ

ươ ơ ơ ng bài t p ng d ng tính đ n đi u c a ahàm s đ gi

ậ ứ ỉ

ế

ươ ề

ề ị

ố ể ả

ử ụ

ươ

SGK đ i s 10. ươ ng trình ụ ng pháp đ t n ph . Trong ả ố ể t s d ng tính đ n đi u c a hàm s đ kh o ố ể ả i ố ng trình vô t thì r t h n ch mà trong đ thi THPT Qu c Gia ươ ệ ng ng pháp hàm s . Do đó vi c trang b cho h c sinh ph ố

ươ i toán là r t c n thi

ọ ng pháp hàm s

t. Nh ng bài toán s d ng ph

ườ

ọ

ế ả i ng n g n hay và đ c đáo. ệ

ụ ấ ạ ố ữ ộ ề

ạ

ạ ư ầ ế

ế ạ

ế

ấ

ầ Nguyên nhân chính là do ph n ph ơ ả Tuy nhiên đó là các bài toán khá đ n gi n khá xa v i đ thi THPT Qu c Gia. Ph ươ ng pháp bi n đ i t vô t ch y u dùng ph ọ ả i tích 12 h c sinh bi ng trình SGK gi ch ố ượ ẽ ồ ị sát và v đ th hàm s . L ệ ươ ng trình và h ph ph ả ằ i b ng ph nhi u bài toán gi ấ ầ pháp hàm s đ gi ắ ể ả i th ng có cách gi đ gi ả ầ ể Đ góp ph n vào vi c gi ắ ổ ươ

ỉ ằ

ươ

ệ

ạ

ả

ậ i quy t các đ khó khăn trên, tôi m nh d n s u t m, t p ạ t thành ọ ng pháp đ o hàm”. Hy v ng

ợ h p, b xung và s p x p các bài toán d ng này theo c u trúc rõ ràng và đa d ng vi ề đ tài: “ Gi

ng trình vô t b ng ph

ng trình, h ph

i ph

ậ

ớ ề

ế

ử

ả

ươ

t, x lý bài toán gi

i ph

ng trình, h

ệ

ọ ạ

ủ

i pháp tr ệ ươ

ệ ạ ọ ườ

ế ươ

ạ ạ

ỉ ằ

i pháp: ả ả gi ng trình, h ph

ướ ạ ng trình vô t b ng ph

ự c khi t o ra sáng ki n.Th c tr ng c a vi c d y h c ng

ng pháp đ o hàm trong tr

ệ

ẽ ằ r ng v i đ tài này s giúp h c sinh nh n bi ươ ng trình nhanh và thành th o h n. ph ả ả II.Mô t gi 1.Mô t ươ ph THPT hi n nay.

ọ

ộ

ữ

ơ ả

ừ ượ

ọ

ủ

ấ ộ

ọ

ế

ụ

ọ ụ ọ

ự ủ ờ ố ọ

ọ

ộ

ố

ậ

ả

ữ

ỗ

ủ

ọ

ệ

ữ

ủ

ươ

ứ ươ ể

ế ể ấ ộ

ế

ọ

ạ

ề

ệ

ụ

ọ

ầ

ng xuyên trong quá trình gi ng d y.

ả ệ

ứ ạ ạ ố

ề ậ ượ

ổ ạ ố

ế ọ

ế ậ

ệ

ả

ng trình, h ph

ỹ ụ

ủ

ế

ồ

ọ ọ

ượ

ả

ắ đó h c sinh có th ch ra đ

ệ ế ươ t t ộ ộ

ọ

ị ồ ị c đ th hàm s ự ế

ế ế ủ

ố ồ

ụ

ố

ế ố ạ

ế

ạ

ươ

ệ

ấ

ng trình, b t ph

i ph ấ ẳ

ứ

ọ Toán h c là m t trong nh ng môn h c khoa h c, c b n mang tính tr u t ng, ộ ầ ứ nh ng ng d ng c a nó r t r ng rãi và g n gũi trong m i lĩnh v c c a đ i s ng xã h i, ữ ộ ọ ứ trong khoa h c lý thuy t và trong khoa h c ng d ng. Toán h c là môn khoa h c gi m t ọ ọ vai trò quan tr ng trong su t b c h c THPT. Tuy nhiên nó là m t môn h c khó, khô khan ỏ ở ỗ ọ ể ỗ ự ấ ớ m i h c sinh ph i có n l c r t l n đ chi m lĩnh nh ng tri th c cho mình. và đòi h i ệ ố ớ ạ ộ ậ ng trình n i Chính vì v y đ i v i m i giáo viên d y toán vi c tìm hi u c u trúc c a ch ể ừ ạ ắ ng pháp d y h c là m t vi c không th thi u. Đ t dung c a SGK, n m v ng các ph ọ ả ệ ệ ế đó tìm ra các bi n pháp d y h c có hi u qu trong vi c truy n th các ki n th c toán h c ệ ườ ả cho h c sinh, công vi c đó c n ph i làm th ươ ượ ươ ủ ề ớ ng trình đ ng trình và h ph Ch đ ph c đ c p trong SGK đ i s 10 v i ờ ượ ữ ắ ọ ớ ứ ơ ả ế ố ế ề t, v i th i l ng đó h c sinh n m v ng đ t là 14 ti s ti c các ki n th c c b n v căn ươ ế ệ ươ ứ ế ượ ng trình, các phép bi n đ i đ i s . H c sinh đã bi ng trình, h ph th c, ph c t đ ươ ươ ụ ươ ộ ố ạ m t s ph ng trình, bi i ph ng pháp gi t v n d ng linh ho t, sáng ứ ạ ừ ơ ế ạ ế ứ ả ớ ớ ả t o các ki n th c, k năng t i tích l p 12 có gi đ n gi n đ n ph c t p. Trong SGK Gi i ả ạ ể ủ ề Ứ ố ớ ố ẽ ồ ị ự ế thi u ch đ : ng d ng đ o hàm đ kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s v i s ề ố ượ ố ệ ị c khái ni m đ ng bi n ngh ch bi n c a hàm s ti ng đ i nhi u, h c sinh n m đ ỉ ồ ừ ể ả ế ế trên m t kho ng t c các kho ng đ ng bi n và ngh ch bi n ố ả ủ ẽ ượ ự ế c a m t hàm s nào đó.H c sinh bi t kh o sát s bi n thiên và v đ ả ứ ị ự d a vào tính đ ng bi n ngh ch bi n c a hàm s . Ngoài ng d ng kh o sát s bi n thiên ề ẽ ồ ị ể ả ụ ắ và v đ th hàm s , đ o hàm là công c s c bén đ gi i quy t nhi u d ng toán khác ệ ấ ươ ư ả ng trình, ng trình, h b t ph ng trình, h ph nhau nh gi ch ng minh b t đ ng th c...

ệ

ươ

Tuy nhiên trong các đ thi THPT Qu c Gia hi n nay câu ph

ố

ươ

ố ố ớ ọ

ế

ậ ế ủ ế ử ụ ậ

ề ủ ế ng đ i khó đ i v i h c sinh và ch y u dùng ph ả ng bài t p trong SGK đ a ra đ n gi n, l ng pháp bi n đ i t ệ

ủ

ử ụ

ệ ươ

ng trình là không ph bi n và b t bu c. Chính l

ng trình và h ph

ổ ế ặ

ử ụ

ươ ng trình:

i ph

ươ ử ụ ả ươ

ặ

ươ

ặ

ợ

ệ ng trình và h ươ ng pháp ậ ư ng bài t p đ a ra ươ ng và ng đ ư i ch a có ệ ủ ng pháp s d ng tính đ n đi u c a ắ ẽ ộ ế t cách s d ng. ng pháp này m t các máy móc ho c ch a bi x 7 6 13 ẽ ả ọ ng trình này h c sinh s gi i theo cách bình ph ế ng hai v ho c nhân liên h p đ a v h ph ế

ấ

ọ

ươ ộ ng trình là m t câu t ph ượ ư ườ ố ể ả hàm s đ gi i.Thông th ổ ươ ấ ạ ươ ọ ỗ sau m i bài h c cũng r t h n ch ch y u dùng ph ố ể ả ơ ượ ụ ặ ẩ đ t n ph …, còn l ng bài t p s d ng tính đ n đi u c a hàm s đ gi ơ ươ ậ ệ ỉ ớ ề nhi u. SGK ch gi i thi u các bài t p này, do đó ph ộ ố ể ả hàm s đ gi i ph ọ đó mà h c sinh s d ng ph ươ ụ Ví d 1: Gi ố ớ Đ i v i ph ẩ ụ n ph sau đó bình ph ế ử ụ n u s d ng ph ủ ệ nghi m c a ph

ặ ươ ế ng hai v ho c đ t ươ ng trình.Tuy nhiên ộ ế ạ ng pháp đ o hàm ta th y v trái là m t hàm đ ng bi n và x = 6 là m t ng trình thì l ươ ả

ươ ươ ụ Ví d 2: Gi

ờ i gi ng trình:

i ph

ư ề ệ ồ ộ ắ 3 x

- = x + + 7 7

ấ ả ủ i c a bài toán r t ng n ng n. - = - + + x 3 1 4

x 2

ọ

ươ

ế

ng pháp nào đ

ng trình này h c sinh lúng túng không bi ế

c ph ế

ộ

ấ

ươ ế ử ụ

ươ

ể t dùng ph ộ 3x sang bên v trái, khi đó v trái là m t hàm ươ ng pháp

ng trình. Do đó khi s d ng ph

ươ

ụ Ví d 3: Gi

ướ ứ Đ ng tr ể ư ả i nh ng n u tinh ý m t chút thì chuy n gi ủ ế ồ đ ng bi n ta th y x=1 là m t nghi m c a ph ả ạ đ o hàm thì bài toán này tr nên đ n gi n. i ph 3 6 x

ậ

- - x 4

3 6

) 1

- - - - � x 5 4 x x 5

(

)

ệ ộ ở ơ + = ng trình : x 5 5 ướ ng sau: i bài toán này theo h + + = 3 3 3 6 x x 5 1 x 5 + x ) ( 1

ả ể ả Nh n xét: Có th gi + = 5 ( 6 )

( 6 = -

+ = - - � x x x 4 + - + + x x 5 1 6 5

(

)

ả

ươ

ứ ạ

ẽ ấ

ậ

ẽ ả

ươ

i ph

ng trình

(cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) 6 (cid:0) = - - x x 4 (*) (cid:0) + - x + + x 5 6 5 1 6 (cid:0)

)

ng trình (*) s r t ph c t p. Vì v y ta s gi ố ơ ng pháp dùng tính đ n đi u c a hàm s . x 6

ệ ủ ( + � x 6

+ + - - x x + = 5 (*) 5

+ = 5 ) =

)

(

)

ế

ồ

ề ặ ấ V n đ đ t ra là gi ươ ằ b ng ph Ta có : 3 6 x Xét hàm s ố ( f t = 23 t f Ta có

(cid:0) (cid:0) t t f t t = + đ ng bi n trên ﾡ .

x x 5 5 + trên ﾡ . t )

( f x

Do đó: (*)

+ = ﾡ . Suy ra ) t t + > " 1 0, ( � � f x x x 6 5 6

(

) = 5

+ - - - � x x x + = 5 ) ( 1 0 � x - = x 5 6 0

ậ

ươ

ệ

V y ph

ng trình có nghi m là

(cid:0) (cid:0) = - x (cid:0) 1 + (cid:0) 1 21 =� (cid:0) x 2 (cid:0) - (cid:0) 1 21 = x (cid:0) (cid:0) 2 - 1 21 + 1 21 = - x = x = x 1; ; 2

ế

ụ

ươ

i quy t bài toán b ng ph

ng pháp dùng tính

ơ

ằ ờ ả i gi +

ả +

+ + 2 ế ơ +

ố ươ

ả

i ph

x x x x 3 (2 2)(1 3) (4 1 9

ắ ọ ơ i ng n g n h n. = + + x ) 0

i: ả

ứ

ự

ệ

ệ +

ướ ạ

ươ

ng trình d

i d ng

ế ạ t l

i ph

+ + - x x

ả ấ * Qua các ví d trên ta th y n u gi ở ệ ủ đ n đi u c a hàm s thì bài toán tr nên đ n gi n và l ụ Ví d 4: Gi ng trình : Gi ấ Cách 1: ( D đoán nghi m và ch ng minh nghi m duy nh t) ) + Vi x 3 (2

( + = - 3

1)(2 (2 (2 1) + 2 x ( 3 ) 3)

ế

ươ

ệ

ả

N u ph

ng trình có nghi m thì nghi m tho mãn :

� - < < x 3x(2x+1)<0 0 1 2

ế

ậ

ế ủ

ươ

ằ

ấ Nh n th y n u

thì hai v c a ph

ng trình b ng nhau. Do đó

x x = -� x 2 + = - 1 3 1 5

ủ

ươ

ơ ữ

ệ

ấ

ệ là nghi m c a ph

ng trình. H n n a ta th y nghi m

= - x x = - 1 5 1 5 1 � � -�� ;0 2 � �

ứ

ệ

ấ

Ta ch ng minh

là nghi m duy nh t .

x = - 1 5

( + 2

) 2 < - 1

+ V i ớ

nên ta có :

- < < - � x x x < � 0 + < - x 2 1 3 x ( 3 )

(

) + x 3 (2

1 5 2 1 2 + + + < + + 2 - - � x + x + x 2 (2 1) 2 3 x ( 3 ) 3) (2 + 1)(2 (2 + < - 2 3 1) + x ( 3 ) 3)

ươ

ả

suy ra ph

ệ ng trình vô nghi m trên kho ng

- - ; 1 2 1 5 � � � � . � �

ươ

ự ư

ấ

ươ

ệ

+ V i ớ

: làm t

ng t

nh trên ta th y ph

ng trình vô nghi m trên

- - < < x 0 1 5 1 � � ;0 . � � 5 � �

ủ

ậ

ươ

ệ V y nghi m c a ph

ng trình là

ươ

ướ ạ

x = -

i ph

ng trình d

i d ng:

ng pháp hàm s ) 2

1 5 ố Vi

ươ +

Cách 2: ( Dùng ph +

(1)

( + = - 3

) + x 3 (2

ế ạ t l + 2 x ( 3 )

- x x 1)(2 (2 (2 1) 3)

Xét hàm s ố

trên ﾡ . Ta có

ế

t (cid:0) (cid:0) = + + f t t t ( ) = + 2 + + 3 > " 0, ﾡ . f t t t ( ) (2 3) + t 3

ﾡ .

ố ồ Suy ra hàm s đ ng bi n trên (

(

)

) + = 1

Do đó : (1)

- � � � x f f x x = - x 2 3 + = - x 1 2 3 1 5

ậ

ươ

ấ

V y ph

ệ ng trình có nghi m duy nh t là

x = - 1 5

ẫ

ụ

ủ

ắ ọ ơ

ừ ộ

ươ

ấ * T hai cách trình bày c a ví d 4, ta th y trình bày theo cách 2 v n ng n g n h n ơ và đ c đáo h n. ố ớ ọ

ng pháp này đ gi

Đ i v i h c sinh khá gi

ờ

ẩ

ế ồ

ệ ả t, giúp các em có k năng, k s o trong vi c gi ữ

ệ ứ

ế

ứ

ệ

ặ

ắ

ầ

ụ

ế ả

ệ

ạ

i ph

ạ ậ

ọ ớ h c sinh THPT đ c bi ả ươ t v n d ng và tìm ra các ph ng pháp gi ư ế ng trình. Tôi m nh d n đ a ra sáng ki n này m c đích h tr ả i ph c h th ng các bài t p gi

ng trình và h ph

ệ ố ồ

ặ ụ ệ ồ

ượ

ạ

ồ

t là h c sinh l p 12 c n n m ch c các i khi g p các bài toán ỗ ợ ươ ng trình ồ ệ c ngu n tài li u b i

ờ ng pháp đ o hàm, đ ng th i giúp các đ ng nghi p có đ

ươ ọ

ọ

ỏ ỉ

ộ ấ ể ả ế ậ ỏ i toán là m t v n i vi c ti p c n ph ỹ ả ươ ằ ậ ề ầ ỹ ng pháp i bài t p b ng ph đ c n thi ả ạ ế ộ ị ố hàm s . Đ ng th i chu n b cho các em m t ki n th c v ng vàng và đ t k t qu cao ố ỳ trong k thi THPT Qu c Gia. ự ế ọ ướ Đ ng tr c th c t ế ậ ứ ề ạ ki n th c v đ o hàm bi ươ ươ gi ng trình, h ph ượ ọ cho các em h c sinh có đ ằ b ng ph ưỡ d

ố ng h c sinh thi THPT Qu c Gia và thi h c sinh gi ẹ ủ

ế

ộ

ươ ệ i t nh. ỉ ư

ươ

ng trình, h ph

ệ ươ ng

Trong ph m vi h n h p c a m t sáng ki n tôi ch đ a ra ph ạ

ạ ỉ ả ằ

ạ ươ

ng pháp đ o hàm.

i b ng ph

trình vô t gi

i pháp sau khi có sáng ki n:

ả ả gi ơ ở

ế ắ

ộ ố ấ

ề

ầ

ọ

ế H c sinh c n n m m t s v n đ sau đây

2.Mô t 2.1 C s lý thuy t:

ị

ề =

( f x

ệ ủ ế

ơ ồ

ế

ớ

ộ

ọ 1

y ,x x thu c K,

ố 1. Đ nh nghĩa v tính đ n đi u c a hàm s : ) ả + Hàm s ố đ ng bi n trên kho ng K n u v i m i ) <

)

( f x 1

( f x 2

)

( f x

ế

ộ

ớ

y ị + Hàm số

ọ 1

< � x 1 = x 2 ế ,x x thu c K,

ả ngh ch bi n trên kho ng K n u v i m i ) >

)

( f x 1

< x 2 x 1

ồ

ị

( f x 2 ế 2. Tính ch t c a các hàm đ ng bi n, ngh ch bi n: ) ( ồ

ố

ế

ặ

ị

� ế

+ N u ế ( ) f x

ố ồ

ế

ặ

ị

thì t ng ổ

(

)

cũng là hàm s đ ng bi n ( ho c ngh ch bi n) trên D. ặ

ố ươ

ế

ồ

ị

+ N u ế

(

)

g x là hai hàm s cùng đ ng bi n ( ho c cùng ngh ch bi n) trên D ế

ng, cùng đ ng bi n ( ho c cùng ngh ch ị

ố ồ

ế

ặ

ế

ấ ủ ) ( f x và ( ) + g x ) ( f x và ( f x g x cũng là hàm s đ ng bi n ( ho c ngh ch bi n) trên D ạ

ứ

bi n) trên D thì tích 3. Công th c tính đ o hàm:

g x là hai hàm s d ) .

(

)

(

ố ợ

ứ

ạ

+ Công th c tính đ o hàm hàm s h p:

(*)

a u .

( ) x u x .

ỉ

ị ươ

) ( ằ ố là h ng s . ứ

ứ không nguyên thì công th c (*) ch đúng khi

ng.

) )

ớ a Công th c (*) ch đúng v i N u ế a ứ

ạ

ố

ậ

ạ

+ Công th c tính đ o hàm c a hàm s căn b c n : N u

)

(cid:0) - (cid:0) = a x u

ẵ

ộ

ớ

ỏ

ề

ệ

ế ọ x thu c K khi n ch n,

( u x nh n giá tr d ậ ( u x là hàm s có đ o hàm ố ) ( u x (cid:0) ọ v i m i

)

trên K và th a mãn đi u ki n )

(cid:0) (cid:0) 0 ( u x =

(

( u x

ẻ

ộ

thì

ủ ( u x > v i m i ) (

)

ị

ắ

ố ự

ệ ủ

- x thu c K khi n l n u n x

)

( f x

ặ

ạ

ả

ạ

ệ

ử có đ o hàm trên K ( Kí hi u K là kho ng, đo n ho c n a

= y

ộ

ế

ồ

) )

f 0

ế

ộ

ị

) ) )

)

f 0

ổ

ọ x thu c K thì hàm s ọ x thu c K thì hàm s ọ x thu c K thì hàm s

f 0

ố ( f x đ ng bi n trên K. ố ( f x ngh ch bi n trên K. ố ( f x không đ i trên K. ề ố

ủ ứ

ộ ơ

ệ

ỉ

( x(cid:0) ( x(cid:0) ( x(cid:0) ắ ệ ầ

ề

ả

> v i m i ớ < v i m i ớ = v i m i ớ ể

)

ệ ủ ( ) f x

( f x

ươ

ằ

ớ

đ n đi u trên K, thì ph

ng trình

ệ

)

( f x

ậ

ị

( v x là các hàm s nh n giá tr thu c ộ ố

= c= ( v i c là h ng s ) ố

ơ ệ ơ )

)

4. Quy t c xét tính đ n đi u c a hàm s d a trên đ nh lí sau: ị + Đ nh lí: Cho hàm số kho ng)ả a) N u ế b) N u ế c) N u ế ệ ủ + Chú ý: Quy t c trên đ xét tính đ n đi u c a hàm s ch là đi u ki n đ ch không ph i là đi u ki n c n. ố ấ ơ 5.Các tính ch t đ n đi u c a hàm s : y ố ệ ế a) N u hàm s x= x ế n u có nghi m 0 y ố ế b) N u hàm s ( ( ( ( f v x f u x

ấ thì nghi m đó là duy nh t. ) ( = u x , ệ đ n đi u trên K, ( ( ) ) v x u x

K thì

= = �

ọ

ả

ạ

ươ ng pháp đ o hàm )x = 0 ( f

ươ ươ

ỉ ằ ư ề ạ

ụ 2.2 Các ví d minh h a 2.2.1.Gi i ph 2.2.1.1. Ph

ng trình vô t b ng ph ng trình đ a v d ng

ươ

ng pháp:

ướ

ươ

B c 1: Tìm ĐKXĐ : D c a ph

ng trình.

ủ )

( f x

ướ

B c 2: Xét hàm

trên D.

= y

)

( f x

ệ ủ

ướ

ố

ả B c 3: Tìm các kho ng đ n đi u c a hàm s

ố ể ế

ệ ủ

ấ ơ

ử ụ

ướ

ệ

ậ

B c 4: S d ng tính ch t đ n đi u c a hàm s đ k t lu n nghi m.

= y

ả

ươ

i ph

ng trình:

ể ả ằ

ổ ươ

ế

i b ng ph ế

ơ ả ợ

ng pháp bi n đ i t ươ

ờ

ụ ươ ng pháp nhân liên h p. Tuy nhiên n u dùng ph

ạ ng pháp đ o hàm thì l

ặ ẩ ụ ng, đ t n ph , ắ ả i ng n i gi

ươ ọ

ề

ụ Ví d 1: Gi Phân tích +Ví d trên là bài toán c b n có th gi ph ơ ấ ng n h n r t nhi u.

- x + 5 2 2 - = x 3

(

) =

ứ

+ Bài toán có ch a hai căn

nh ng ư

ử ụ

ượ

ả

ế ượ ằ

+ S d ng máy tính ta đ Nên bài toán gi

i quy t đ

ệ c nghi m c b ng ph

(cid:0) 1 - - + - x x + 5 2 3 0 x x 5 2 , 3 - > x 1 + + x 5 2 2 3

x = . 2 ố ươ ng pháp hàm s .

ả i tham kh o

L i gi

ĐK:

- (cid:0) (cid:0) x 3

)

- = - - - x x + 5 2 3 2

ờ ả 5 2 Xét hàm s ố ( f x

trên

)

(

V i ớ

, ta có:

(cid:0) 5 � � ;3 � �� 2 1 > + = f x 0 x - x x 1 + 5 2

(

ế

Suy ra

, mà

)

- f = 0

ệ

0 3 5 � � ;3 � � 2 � � x = 2

ấ

Do đó ậ V y ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t

ả

ươ

i ph

ng trình:

5 � � -�� ;3 2 � � ) ( f x là hàm s đ ng bi n trên ố ồ ( f x = có nghi m duy nh t ấ ệ ươ x = 2

ấ

ậ

ở

ố

ế ế

ấ

3 ả

ố ạ ậ i có bi n x ng trình trên có căn b c hai và b c b n l 3 ể sang v ph i thì ta đ ng đ i ph c t p. Mà ta th y chuy n x

ngoài căn, ượ c

ộ

ứ ạ ng.

ượ

ế ượ ằ

x x x + + 3 2 - = - 1 4

i quy t đ

ố ng pháp hàm s .

1x = ươ

ờ ả

ụ Ví d 2: Gi Phân tích: ươ + Ta th y trong ph ụ ươ ệ ặ ẩ nên vi c đ t n ph t ể ươ ạ ứ m t bi u th c có đ o hàm luôn d ệ ử ụ c nghi m: + S d ng máy tính ta đ c b ng ph Nên bài toán gi L i gi x (cid:0)

ĐK:

ả ả i tham kh o 1 2

ng trình đã cho thành:

i ph

ế ạ t l

+ - x x + + 3 - = 1 4 0

)

ươ Vi Xét hàm s ố ( f x

trên

= + - - (cid:0) ; x x x + + 3 2 1 4 (cid:0)

(

)

V i ớ

, ta có

(

) 1

1 x 2 1 � �+(cid:0) 2 � � 1 (cid:0) = + + > x f x 3 0 x > + x - 3 2 x 1 2 2

)

(

) 1

ế

Suy ra

, mà

)

+ f = + 1 - = 1 4 4 0

ệ

( f x là hàm s đ ng bi n trên ố ồ ( f x = có nghi m duy nh t ấ ệ ươ

ấ

Do đó ậ V y ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t

0 2 1 � �+(cid:0) ; � � 2 � � 1x =

1x =

ả

ươ

i ph

ng trình :

+ - x x x 2 3 1 1 + = - 4

ươ

ế

+ - x , 3

ế

ặ

ươ ng ng đ i ph c t p th m trí b t c. Ta

ng đ ợ

ể

x ươ

ứ ạ

ươ

ế

ể

ng đ i ph c t p . ấ

. N u dùng các ph 1 ậ ứ ạ ế ắ ố ổ ươ ng trình ta th y :

1, 2 ố ế

ứ x ươ ng thì t ư ng pháp nhân liên h p, nh ng bài toán bi n đ i t ả ủ sang v ph i c a ph )

ụ Ví d 3: Gi Phân tích ứ + Trong ph ng trình có ch a ba căn th c: ổ ươ ụ ẩ pháp: đăt n ph ho c bi n đ i t ươ có th dùng ph ế ấ + Ta th y n u ta chuy n (

ượ

ử ụ

ươ

c ế ượ ằ

ố ươ

ắ

ố

ọ

1x - 2 (cid:0) 1 1 3 = + - x x x + + 1 3 2 1 0 + 2 + - x x + 1 2 3 > 1 2 x

ng pháp hàm s t

ng đ i ng n g n.

i quy t đ

3 1x = là nghi m.ệ c b ng ph

ờ ả

+ S d ng máy tính ta đ Nên bài toán gi L i gi x (cid:0)

ĐK:

+ -

ả ả i tham kh o 1 2 i ph

ế ạ t l

ng trình đã cho thành :

x x 3 + + 1 - = 1 4 0

)

ươ Vi Xét hàm s ố ( f x

trên

= + - - (cid:0) ; x x x 3 + + 1 2 1 4 (cid:0) x 2 1 � �+(cid:0) 2 � �

)

(

V i ớ

, ta có:

3 1 1 (cid:0) > = + + f x 0 x > + - x 1 2 3 1 x 3

)

(

) 1

ế

Suy ra

,mà

)

= + + f 1 4 - = 1 4 0

ệ

0 x 2 1 � �+(cid:0) ; � � 2 � � 1x =

ấ

Do đó ậ V y ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t

1 2 ( f x là hàm s đ ng bi n trên ố ồ ( f x = có nghi m duy nh t ấ ệ ươ 1x =

ả

ươ

ụ Ví d 4: Gi

i ph

ng trình:

+ + + = + - x x x x 2 3 6 16 2 3 4

ươ

ng đ i công k nh nên bài toán gi

ế ằ i quy t b ng ph

+ x 6

ề ụ

ươ

ố

ả ứ ạ

ng đ i ph c t p.

ố t ặ ẩ ng pháp đ t n ph là t (

)

Phân tích + + Ta th y ấ x x 2 3 ừ pháp nâng lũy th a hay ph ấ ( Nh ng ta th y:

) 1

+ 16 ươ (cid:0) + + = + x x + + x x x 3 2 6 12 6 > . 0

ứ

ế

ạ

ươ

ử ụ

ế ượ ằ

ể sang v trái thì v trái là bi u th c có đ o hàm luôn d ượ c i quy t đ

ế 1x = là nghi m.ệ ươ c b ng ph

ố ng pháp hàm s .

ờ ả

)

) ( 2 2

ề

ệ

ị

Đi u ki n xác đ nh:

( x � 4

4 x- Do đó ta chuy n ể + S d ng máy tính ta đ ả Nên bài toán này gi ả i tham kh o L i gi (cid:0) + (cid:0) (cid:0) + + + (cid:0) (cid:0) x - + x 8 0 x x x 3 6 16 0 - � x � � � 2 4 - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 � 4 0 (cid:0) x 0

ươ

ng trình đã cho t

+ + + - - - x x x 2 3 6 = 2 3 0

ng đ +

)

Ph Xét hàm s ố ( f x

- = + - - - x ]2; 4 x x x x 16 4 trên [ 2 3 6 16 4 2 3

) 1

(

)

( -�

)2; 4

V i ớ

, ta có

ng: + ( +

)

(

Suy ra

, mà

ươ

ệ

ng trình

1x =

ươ

ệ

ấ

ậ

( f x là hàm s đ ng bi n trên kho ng 0 ng trình đã cho có nghi m duy nh t

x + + x 3 1 (cid:0) = + > x f x 0 - + + x x 3 - 16 ( f x 2 ế x 6 ả = 0

Do đó ph V y ph

2 4 )2;4 ố ồ ) ( f x = có nghi m duy nh t ấ 1x = .

ả

ươ

ụ Ví d 5: Gi

i ph

ng trình:

ế

ươ

ứ

ể

ề

ng trình là bi u th c công k nh và khó nhìn ra

- - + x = 3 x 3 3 2 2 6 - 5 x 2 1

Phân tích ủ + Quan sát qua ta th y v trái c a ph ấ ấ ủ ạ d u c a đ o hàm. Nh ng ta th y: 2

ấ ư )

(

- (cid:0) = - x 3 2 0 < 3 - 3 2

) x )

(

) 1

ứ

ủ

ươ ượ

ử ụ

( ng trình là bi u th c có đ o hàm luôn âm. ủ c ế ượ ằ

ạ ể 1x = là nghi m c a ph ươ ệ ng trình. ố ươ ng pháp hàm s . c b ng ph

i quy t đ

(cid:0) - - 4 ( x 2 - 1 1 = < 0 - - x x x 2 2 1 2 - � � � � = �- 1 � 1 ) x 1 2

ờ ả

ế Do đó v trái c a ph + S d ng máy tính ta đ Nên bài toán gi L i gi

ề

ệ

Đi u ki n

ả ả i tham kh o 3 x< (cid:0) 2

1 2

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ng v i :

- - + x 3 3 2 - = 3 x 2 6 0 -

)

Xét hàm s ố ( f x

(

)

V i ớ

ta có:

(

)

= - - - (cid:0) + x x 3 3 2 2 6 (cid:0) x - 5 x 2 5 x 1 2 1 3 � � ; ￺� � 2 2 - 1 6 (cid:0) = - - x f < 2 x 6 0 (cid:0) x - - x x - 5 ) 1 2 2 1 x 3 2 1 3 � � ; � � 2 2 � �

)

(

ị

ố

ế

Suy ra

, mà

)

= f 0 1 3 � � ; � � 2 2 � �

ệ

1x =

( f x là hàm s ngh ch bi n trên ( f x = có nghi m duy nh t ấ ệ ươ

ấ

Do đó ậ V y ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t

1x =

ả

ươ

ụ Ví d 6:Gi

i ph

ng trình:

5 - - x 3 8 + = x 1 - x 2 11

) = 1

ị

ượ ấ ủ

ứ

ể

ch a xác đ nh đ

c d u c a bi u th c

Phân tích + Ta th y ấ ( ư

ế

(cid:0) 3 - - - x + x 3 8 - x 2 3 8 2 1

c: 8

ồ trên. Nh ng n u ta quy đ ng và nhân liên h p ta đ ( 3

) = 1

ượ x 3 + x

)

ủ

ế

ươ

ượ

ứ ở ế

ộ

Do đó ta chuy n ể

sang v trái c a ph

ng trình thì ta đ

ể c m t bi u th c

v trái

- (cid:0) 3 1 + x ợ + - x 1 - - - + x x 3 8 - - x x 2 3 8 2 3 8 1 2 6 1 17 = > " > x 0, - 8 3 x + x + x 2 3 8 - + x 8 1 1 = + x + x ( 1 3 3

ạ

ươ

có đ o hàm d

11 5 x - 2 ng.

ủ

ậ

ị

ươ

ả

+ L u ý: T p xác đ nh c a ph

ng trình có hai kho ng là

ộ

, ; 8 11 ; 3 2 11 � �� 2 � �� +(cid:0) nên ta ph i xét � �

ừ ử ụ

ượ ế ượ ằ

ệ ươ

c hai nghi m c b ng ph

ố ng pháp hàm s .

= x x= 3; 8

ờ ả

ả trên t ng kho ng m t. + S d ng máy tính ta tìm đ ả i quy t đ Do đó bài toán gi ả i tham kh o L i gi

ề

ệ

Đi u ki n:

(cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 8 3 11 2

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ng v i:

- - x + - x 3 8 1 0 - x

)

( f x

Xét hàm s : ố

5 = - - � x ; x + - x , 3 8 1 (cid:0) - x 2 11 5 = 2 11 8 11 11 � � � � ; � � 3 2 2 � � � �+ � � �

V iớ

ta có :

(

)

(

) 2 11

� � x ; �+ � � � - 11 8 11 � � � ; � � � 2 3 2 � � � 3 10 x 10 (cid:0) = - = + x f - - - - x 1 + x 2 3 8 2 x 2 + - 1 x x 3 + x 3 2 3 8 8 1 x 2

(

)

) 2 11

+ 1 + 6 17 10 = + > 0 - - x 2 x + x + x 2 3 8 x ( 1 3 3 + + x 8 1

)

ế

ả

ồ

ỗ

Suy ra hàm s

ố

( f x đ ng bi n trên m i kho ng

và

)

ươ

ệ

ộ

i đa m t nghi m.

; 8 11 � � ; � � 3 2 � � 11 � � 2 � �+(cid:0) , nên trên m iỗ � �

ả kho ng ph (

)

ng trình ) (

( f x = có t ố 0 )

Mà

( f x = có hai nghi m ệ

= f f x 3 0; 8 0 0 x= 3; = , do đó = 8

ậ

ươ

ệ

V y ph

ng trình đã cho có hai nghi m

= x x= 3; 8

(

) =

) ( 1

ả

ươ

ụ Ví d 7: Gi

i ph

ng trình:

ề

ế

ế ủ

ả

ươ

- x + x + x 4 + + x 3 3 5 4 8

ạ ) 1x -

ượ

ươ

c ph

ta đ

ng trình:

+ 4 x x + + 3 + - 3 3 0 - x 4 x 4 8 = 1

)

Phân tích ấ ồ ế + N u ta tính đ o hàm luôn thì v trái r t c ng k nh. Do đó ta chia c hai v c a ph trình cho ( + Ta th y :ấ ( (

(

)

(cid:0) 1 + > = x 3 0 + x 2 (cid:0) 3 1 > + = x 3 3 0 + x 3 3 3

(

(cid:0) (cid:0) + - - � 0 - - - - 8 1 + x 4 � � x 4 � � = � � � = � � x 4 � � x 4 �

ế ử ụ

ệ

8 1 ể = - 2;

36 ) x 1 ạ x 1 c nghi m: ố c b ng cách hàm s .

- 3

ả .

ươ

ủ

ệ

Ta th y ấ

ng trình.

ươ

ng trình t

ng đ

ớ ng v i:

V i ớ

)

36 > ) ( x 1 4 4 ấ ươ ứ Do đó v trái là bi u th c có đ o hàm mang d u d ng = x ượ + S d ng máy tính ta đ ế ượ ằ ả Nên bài toán g i quy t đ ờ ả i tham kh o: L i gi ệ ề Đi u ki n: x = không là nghi m c a ph x (cid:0) 1 4 + x x x (cid:0) + + 3 3 + - 5 0 - x 4 x 4 8 = 1 + - = � x 3; x x + + 3 3 + - 5 , (cid:0) 1 4 Xét hàm s ố ( f x - 1 4 8 1 1 � � � � + � � ; � � � 4 � � � �

(

V i ớ

, ta có:

(

) 2 1

(

)

1 1 36 (cid:0) = + + > x 4 x 4 ) x f 0 - � x 3; + - x + 3 2 x 4 1 + � � ; 4 1 4 x 3 3 5 � � � � � � � � � � � �

)

ồ

ế

ả

ỗ

và

ả , nên trên m i kho ng

)

ươ

ệ

ộ

i đa m t nghi m.

- 1 � � 3; � � 4 � � 1 � �+(cid:0) ; � � 4 � �

ng trình ) ( = f

Suy ra hàm s ố ( f x đ ng bi n trên m i kho ng ( f x = có t ố 0 ) ( = 0 1

Mà

- f 2

)

ươ

ng trình

( f x = có hai nghi m ệ = -

= - x = x 0 2; 1

ậ

ươ

ệ

Do đó ph V y ph

ng trình đã cho có hai nghi m

= x x 2; 1

ả

ươ

i ph

ng trình:

- x - = x x + + 5 5 6

ng trình vi

ế ạ t l

i thành:

ụ Ví d 8: Gi Phân tích ươ + Ph

- x x - + = 5 6 0

ế

ấ

ạ

ượ

+ L y đ o hàm v trái ta đ

(*)

1 - x 2 - + - x 5 1 x + 5

ệ

ồ

Ta th y ấ

2 5 ứ 2 ủ + ể 0

ứ

ể

ượ

bi u th c

ta đ

ộ 1 + x

x x = là m t nghi m c a bi u th c (*), do đó ta quy đ ng và nhân liên h p ợ 1 - - x 2 5 2 5

(

)

1 - x x 2 + - - - = x 1 x 2 + 5 2 5 x x 25 1 + + x 5 5 � � + 2 � � � � � �

ệ

ấ

+ Ta th y: ấ

có nghi m duy nh t ) (

( ) 5;0 , 0;5

ừ

ứ ạ

1 - x 0 2 0 x = . Do đó ta đi xét d u c a ấ ủ + - 1 x + 5 2 5 - = x ả

- (cid:0) (cid:0)

ươ

)

[ - � x

ng đ + - x 5

ớ ng v i: - + x 5

- x x - + = 5 6 0 = - + - x 5 ] 6, 5;5 2 ể bi u th c đ o hàm trên t ng kho ng ả ờ ả i tham kh o L i gi ệ ề Đi u ki n: 5x 5 ươ ươ Ph ng trình đã cho t Xét hàm s ố ( 2 x f x

(

)

( -�

)5;5

- + - x 1 1 5 5 (cid:0) = x + - x f x x x 2 2 V i ớ , ta có: + - - x = x + 5 2 5 2 x 2 25

(

)

(

)

(

( -�

= + = + x x 2 2 + - - - x x x x x 25 x + + x 5 5 1 ( - + 5 25 5 � � � � � � � � (cid:0) = f x 0 0

( x(cid:0)

;

f x (cid:0)

(

)5;0

khi ) ồ

)5;0 ị

ả

. Nên

)

ươ

- < khi 0 ả

ả (

) =

x =

ộ ng trình ( f x = có hai nghi m ệ

và

- =� x ) ( x(cid:0) > f Ta th y ấ 0 Suy ra hàm s ố ( ỗ trên m i kho ng ph ) ( = f 4 0

)0;5 f x đ ng bi n trên kho ng ế ( f x = có t ố 0 ) 0 ệ

, do đó ng trình đã cho có hai nghi m

và

4 ươ x = - 4 f Mà ậ V y ph x )0;5 , ngh ch bi n trên kho ng ế ệ i đa m t nghi m. x = - x = . 4

ả

ươ

i ph

ng trình:

+ 4 - + x + x x x 3 10 3 + 3 10 3 = 10 3

ế

ụ Ví d 9: Gi Phân tích ươ + Ph

ng trình đã cho vi

t thành:

23 x

+ + - - - - x x = x 10 0

ế

ấ

ạ

ượ

+ L y đ o hàm v trái ta đ

(*).

+ + - x x 4 6 - x x 3 10 3 9 2 10 3 3 10 3 9 + 2 10 3

ợ ủ

ủ

ứ

ể

ộ

ồ

Ta th y ấ

ứ

ể

ượ

bi u th c

ta đ

ệ 9 + 2 10 3

0 x = là m t nghi m c a bi u th c (*), do đó quy đ ng và nhân liên h p c a 9 9 + + - - x x 4 6 - - x x x x 2 10 3 2 10 3 9 + 2 10 3

(

) (

)

= x + + 6 - - 27 ) ( x x + x x + 10 3 10 3 + 10 3 10 3 � � x 4 � � � � � �

ệ

ấ

Suy ra

có nghi m duy nh t

ấ ủ

ừ

Do đó ta đi xét d u c a

ả trên t ng kho ng

9 + + - x x 4 6 0 x = . 0 - x = x 2 10 3 9 + 2 10 3 9 + + - x x 4 6 - x x 2 10 3 9 + 2 10 3

- ;0 , 0;

10 � � 3 � ờ ả L i gi

ệ

ề

Đi u ki n :

ươ

ng đ

ớ ng v i:

23 x

- (cid:0) (cid:0) x 10 �� 3 �� ả i tham kh o 10 3 + + - - - - 10 3 ươ x x = x 3 10 3 3 10 3 10 0

V i ớ

ta có:

ng trình đã cho t 10 10 ; 3 3

x � -��

(

)

(

)

) (

- - x 9 10 3 9 (cid:0) = + + - = + + f x x x 4 6 x x 4 6 - - x ) x x 2 10 3 9 + 2 10 3 x x + 10 3 ( 2 10 3 + 10 3

(

) (

)

(

)

= x + + 6 - - 27 ) ( x x + x x + 10 3 10 3 + 10 3 10 3 � � � � (cid:0) = � � x 4 � � =� x x f 0 0

(

)

(

)

Ta th y: ấ

(cid:0) (cid:0) > < - � � f x khi x f x khi x 0 0; 0 ;0 10 3 10 � � ; � � 3 � � � � � � � �

ố ồ

ế

ả

ế

ả

ị

Suy ra hàm s đ ng bi n trên kho ng

, ngh ch bi n trên kho ng

)

ả

ươ

ệ

ộ

- ;0 0; 10 3 � � � � � �

ỗ Nên trên m i kho ng ph

i đa m t nghi m.

10 � � � � 3 � � ( f x = có t ố 0

(

) =

(

) =

x = -

Mà

. Do đó

x = và 2

ệ

ậ

ươ

ng trình ( ) f x = có hai nghi m ệ x = -

- f f 2 2 0 0

V y ph

ng trình đã cho có hai nghi m

2 x = và 2

ậ ự

ả

ươ

ệ Gi

i các ph

ng trình sau:

Bài t p t

luy n:

1) 2) 3)

2 x

+ - 5 + 1 + 2 - x 8 2 = - 5 x 3 x + - + 1 + - x x x x 2 x x 6 - - x 3 x 20 2 x 4 15 + + 4 8 + = x 2 - = x 5 + = 3 34 6 + x = + 2 + - x + x 1 5 4 + 3 1 7 2

4) 5)

- = - - + x x 5 1 x x + = 4 + + 1 + 4 + x 3 11 2 3 + = + - x x x 4 13 21 48 23 2 x 2 = 3 x + + 1 - + 1 5 2 4

)

9) 3 10) 11) (

- - - - + x x x + x x 5 7 3 = 25 4 3 2 x 7 - + x 1 ) ( 3 2 = 7 5 - x 19 6 x 5 + 1

ươ

ư ượ ề ạ

ng trình đ a đ

c v d ng : f(u)=f(v).

)

( f u

( f v

ề ạ

ươ

ế

ổ

ố

ng trình v d ng:

( v i ớ ,u v là các hàm s theo

(

)

ố ( f

ệ

ố ơ là hàm s đ n đi u.

ướ ướ

ệ

ậ

ố ể ế ấ

ươ

ọ

2.2.1.2.Ph ươ ng pháp: Ph ướ B c 1: Tìm ĐKXĐ ướ B c 2: Bi n đ i ph x ) ứ , ch ng minh B c 3: Xét hàm s ấ ơ ệ ủ B c 4: S d ng tính ch t đ n đi u c a hàm s đ k t lu n nghi m. ướ ** Trong ph

ử ụ ng pháp trên thì b

c 2 là quan tr ng nh t.

t f t

ả

ươ

ng trình:

i ph

+ - - x x x 2 + - 1 - = x 2 5 5 2 2 1

(

)

ứ ướ ấ

. Do đó

+ - x x 2 2

) ( 1 , 5 +

ể ươ

ụ Ví d 1: Gi Phân tích ươ ấ + Ta th y trong ph + ặ ế 1, n u ta đ t

)

ng trình có hai bi u th c d v 2 thì ph + = 5 t

i d u căn là: + ở ng trình tr thành: t

ố ặ

+ Xét hàm s đ c tr ng:

= = - = u x 5 2 u u v v (cid:0) x ( t t f 0 ,

ờ ả

L i gi

ả i tham kh o

ề

ệ

ị

Đi u ki n xác đ nh:

x (cid:0) 2 5

ủ

ệ

ươ

Ta th y ấ

không là nghi m c a ph

ng trình.

V i ớ

, đ t ặ

, (

x = 2 5 = + (cid:0) x u 1 > (cid:0) u v> 0, 0) x > = - (cid:0) 2 x v 5 2 2 5

ươ

(1)

ở ng trình tr thành: ) t

Ph Xét hàm s ố ( f

+ + v v = + t t u ( = u t > ) 0

(

)

(

)

(

)

1 1 (cid:0) = + > > (cid:0) t f t 0, 0 t f 0; +(cid:0) ố ồ ế ả Ta có: là hàm s đ ng bi n trên kho ng t 2

)

ề

ệ

ỏ

(th a mãn đi u ki n)

x 1 2 t ( f u ượ 5 c:

( f v - = 2 ng trình đã cho có nghi m

v= ta đ ươ 5 Theo (1) ta có : V i ớ u ậ V y ph =� v u 1x =� + x 1x = ệ

ả

ươ

ụ Ví d 2: Gi

i ph

ng trình:

ế ủ

ươ

Phân tích ả ộ + C ng c hai v c a ph

ớ ng trình v i 2 thì ph

ng trình t

ng đ

ớ ng v i:

+ + x x x x 2 2 + = 2 + + 3 2 + 3

)

+ + + + + + x x x x 2 2 2 3 2 2 + 3

ươ

ở ng trình tr thành:

= + + x x 2 3 u u = + v v

( + = 2 + , ph t

v ( = + 2 ) = + t f

ị

- 1

( + Đ t ặ u 2, + Xét hàm s : ố t ả ờ ả i tham kh o: L i gi x (cid:0) ệ ề Đi u ki n xác đ nh:

)

(

)

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ( ng v i:

ủ

ệ

ươ

+ + + + + + x x x x 2 2 2 + = 2 2 3 2 + 3

Ta th y ấ

không là nghi m c a ph

ng trình.

x = - 1

x > -

V i ớ

, đ t ặ

= + (cid:0) (cid:0) u 2 > (cid:0) , u v , 0 + (cid:0) (cid:0) v x 2 = + 2 3

ươ

(1)

x + u u = + v

(

ở ng trình tr thành: )

" > t

Ph Xét hàm s ố ( f ) (

)

(

)

ố ồ là hàm s đ ng bi n trên ) = v

ế =� u

( f u

( f v

Theo (1) ta có

1 (cid:0) > v ) � t f = + 1 0 t = + t t t , > 0 t 2 (cid:0) f t 0; +(cid:0)

V i ớ u

cượ : 2

(cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) + (cid:0) � v= ta đ x x x x= + = + 2 2 + 3 2 3 - (cid:0) x 4 - = x 3 0

ỏ

ị

1x =�

ề ( th a mãn đi u kiên xác đ nh)

ậ

ươ

ệ

ấ

V y ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t

(cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) x (cid:0) 3 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) x 1 (cid:0)

1x =

ả

ươ

ụ Ví d 3: Gi

i ph

ng trình:

+ + + + = x x x x x x 2 3 4 2 4 + + 6 4 4 + 3

(

)

(

ặ

Phân tích + Ta th y : ấ

) + +

+ + + + = + = x x x x x x 2 + = 3 2 3; 4 + = 6 3 4 3 x u x v x 2 ; 4 + 3

ở ng trình tr thành: ) + + =

= + + u v + nên n u đ t: ế v u 3 4 3 4

ị

t t t 3 4

ủ

ệ

ươ

x (cid:0)

ng trình.

0 (cid:0) = u x x

ươ thì ph + Xét hàm s ố ( f ả ờ ả L i gi i tham kh o ệ ề Đi u ki n xác đ nh: 0 x = không là nghi m c a ph Ta th y ấ + 2

V i ớ

x > , đ t ặ 0

> > (cid:0) v u , ( 0, 0) = + (cid:0) x 4 3

ươ

(1)

t (cid:0)

Ph Xét hàm s ố ( f

= u v v = v ở ng trình tr thành: ) t t t u + + 3 + + 3 v i ớ + + 3

(

)

(

)

(

)

ố ồ

ế

là hàm s đ ng bi n trên

V i ớ

t > ta có :

)

( f u

Theo (1) ta có:

1 (cid:0) > = + (cid:0) f t 0 t f 0; +(cid:0) t t = 1 + 2 3 =� u v 2 ( f v

V i ớ u

c ượ

ế ợ

ệ

ề

ớ

ượ

K t h p v i đi u ki n ta đ

= - (cid:0) x 1 (cid:0) + = (cid:0) v= ta đ x x x 2 4 + 3 = (cid:0) 3

x x = 3

ả

ươ

ụ Ví d 4: Gi

i ph

ng trình:

ươ

ủ

ấ

ế

ệ

Phân tích ế + Ta th y v trái c a ph ươ

ấ

ả ủ

ế

ứ ng trình có ch a ) 2 ệ ( 3x + ng trình làm xu t hi n

- x + x x + + x 7 2 + = x 3 + 2 1 8 + 1 + 1 8

. Do đó v ph i c a ph

3x + và x2 nên ta nghĩ đ n vi c bi n đ i v ổ ế ể ươ ng trình cũng có th

) 2

ấ

ủ trái c a ph ệ ( xu t hi n

+ 1 + 1 8x

(

)

) 2

(

ế

ươ

c vi

+ Ph

ng trình đ

+ + + + + x x x x 3 + = 3 1 + 1 8 1 + 1 8

ượ ) (

t thành: > 0

= + t t t f ,

ờ ả

+ Xét hàm số : L i gi

t ả i tham kh o

ề

ệ

ị

Đi u ki n xác đ nh:

- x (cid:0) 1 8

)

(

) 2

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ( ng v i:

+ + + + + x x x x 3 + = 3 1 + 1 8 1 + 1 8

ủ

ệ

ươ

Ta th y ấ

không là nghi m c a ph

ng trình.

x = - 1 8

V i ớ

(

ươ

(cid:0) = + (cid:0) u x 3 (cid:0) u v> 0; > ) 0 = + 1 x > , đ t ặ 8 (cid:0) (cid:0) v x 1 + 1 8

+ (1) v = +

)

(

)

(

)

ố ồ

ế

ở ng trình tr thành: Ph ) Xét hàm s ố ( t t f ( = 34 t f Ta có

là hàm s đ ng bi n trên

(cid:0) (cid:0) t t f 0; +(cid:0)

)

0, = t + > 1 ( ) f u u , " > t ( f v v

Theo (1) ta có : V i ớ u ượ

c :

ệ

ề

ỏ

(th a mãn đi u ki n)

(

) 2

� x = + x v= ta đ + 1 8 2 x + = u v t > 0 0 =� u + 1 8 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - = (cid:0) (cid:0) x x (cid:0) x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - + = + 3 1 2 = + (cid:0) x (cid:0) 1 3 (cid:0) x 0 x x + 1 8 2 (cid:0)

ậ

ươ

ệ

V y ph

ng trình đã cho có các nghi m:

x 2 + = x 4 3 = x= 3 1;

(

+ + + + +

)

(

) (

ả

ươ

ụ Ví d 5: Gi

i ph

ng trình:

Phân tích

x x x + + x x 3 2 9 3 4 2 1 1 = 0

(

+ + + +

)

)2

) (

ệ ố ự

ố

ượ

ế

có s 2 là h s t

do nên

c vi

t thành:

x x + + x x 2 9 4 2 1 1

(

+ Ta th y ấ ( ) ( ( 1 2

) 1 2

) 1

+ + + = + + + + 3 ) x x x x 2 + 4 4 4 2 3 2

(

+ + + + + + +

) )

(

) 1 2

) 1

x x x x 3 2 3 3 2 3 2

)

(

)

ươ

ở

Do đó ph

ng trình đã cho tr thành:

(

)

(

+ + + + -

( ( = -

) 2 + x

) 1 2

) 1

� x x x 2 3 2 3 + 2 3 3

(

)

( (

= 0 )

(

)

) (

+ Xét hàm s : ố

ươ

ng đ

ớ ng v i:

+ + = t t t f 3 2

ờ ả L i gi ươ Ph

ả i tham kh o ng trình đã cho t

(

) + -

(

)

(

)

( 2 2

) 1

+ + + + - - x x x x x 2 2 + = 3 2 3 3 + x 3 3

Đ t ặ

+ (cid:0) u x 1 (cid:0) = - (cid:0) v x 2 3

ươ

+ + + (1) v v u u u 2 + = 3 v 2 3

ở ng trình tr thành: )

Ph Xét hàm s ố ( f

= + + (cid:0) t t t t ﾡ t 2 3 ,

(

)

(

)

ố ồ

ế

Suy ra

là hàm s đ ng bi n trên

t (cid:0) > " � ﾡ � f t t t = + 2 + + 3 0, + t 3 f t R

)

( f u

( f v

Theo (1) ta có :

= =� u v

+ = - 1

V i ớ u

ượ 2 c:

� x = - v= ta đ 1 5

ậ

ươ

ệ

V y ph

ng trình đã cho có nghi m

x = - 1 5

ả

ươ

ụ Ví d 6: Gi

i ph

ng trình:

+ - x = 1 + 1 2 + - x 2 x 1 3 2

) (

) =

Phân tích ổ ế

ươ

+ Bi n đ i ph

ng trình đã cho ta đ

ượ ( c:

)

( f x

ấ

ế

ứ

ươ

+ + - x x + - x 2 2 1 3

ng trình đã cho có

ể ư ề ươ

ồ

1 2 ( f x nên ph

(

ậ ) + 1

) + + 1

ế

ậ Ta th y v trái có căn b c ba, v ph i có ch a th đ a v ph ươ Do đó ph

ng trình đ ) 3

(

+ x x x x + + 1 + = 1 2 2 1

ế ả ạ ố ứ ng trình d ng đ i x ng đ ng b c ba. ổ ượ x c bi n đ i thành: = + t t

ờ ả

+ Xét hàm s : ố L i gi

ề

ệ

ị

Đi u ki n xác đ nh:

t ả i tham kh o (cid:0) - (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 13

) (

) =

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ( ng v i :

+ + - x x + - x 2 1 2 2 1 3

(

) 1

(1)

+ + + + � x x x x x + + 1 + = 1 2 2 1

u (cid:0)

Đ t ặ

(

)

ươ

(cid:0) = + (cid:0) u x (cid:0) 1 + = (cid:0) (cid:0) x 2

(

)

(

)

ố ồ

ế

Ph Xét hàm s ố ( f = f Ta có :

là hàm s đ ng bi n trên

+ (2) u + = u v v v 1 ng trình (1) tr thành: ) = t + trên ﾡ (cid:0) " (cid:0) (cid:0) t t f t 23 t ﾡ

)

ở 3 t + > 1 ( ) f u

Theo (1) ta có :

= 0 , ( f v ﾡ t =� v u

ượ

V i ớ u

(

) 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - x (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) v= ta đ x x + = 1 2 + 1 + + 2 ( (cid:0) x x + (cid:0) 1 0 ) 3 = 1 2 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) 1 2 - = 2 x x x 0

(cid:0) (cid:0) - x (cid:0) 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) x 0 (cid:0) = (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + 1 5 (cid:0) + (cid:0) = 1 5 (cid:0) x = (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) 1 5 (cid:0) = x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2

ề

ệ

ế

ố

ị

ượ

ủ

ệ

ươ

Đ i chi u đi u ki n xác đ nh ta đ

c nghi m c a ph

ng trình là:

x = và 0

+ 1 5 = x 2

ả

ươ

ụ Ví d 7:Gi

i ph

ng trình sau:

- x x + 3 - - x 2 1 4 + + - x = x 1 1 1

)

(

)

(

)

) ( + - 1

suy ra

;

- = - = - - - x = x x 4 4 x x x x 4 4 , 1 + 4 3

(

)

) + = x (

( + 4; 3 )

Phân tích + Ta th y : ấ + - = 3 1 ươ

ượ

ế ướ ạ

- - x 2 4

t d x

i d ng: )

(

)

c vi + 3 +

(

)

(

x Nên ph - x ng trình đã cho đ x 4 - - - x x + 3 4 + - - - = ) x x 1 4 4 + 1 4 3

(

) +

(

) +

(

)

- x x 4 - � x x 4 + 3 + + 3 + - - - = ) x x 4 1 4 + 1 3 4

)

+ Xét hàm s ố ( f

t t = + t + - t 4 1

(cid:0)

ờ ả L i gi ề Đi u ki n:

ả i tham kh o 1x(cid:0) ệ 0

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ng v i:

(

) +

(

) +

(1)

(

)

- x + 3 - + x 4 4 + + - x = + + x 3 x 1 1 - 1 x x 4 - � x x + 3 4 + x + 3 + - - - = ) x x 4 1 4 + 1 3 4

)

Xét hàm s ố ( f

t (cid:0) (cid:0) t = + t t , 0 4 + - t 4 1

Ta có

(

)

(

)

(

)

(

+ - t t 4 1 + - t (cid:0) > " (cid:0) t f t = + 1 0, 0; 4 t + - 2 ( 2 4 ) 2 t 1 4

Suy ra

là hàm s đ ng bi n trên

f t

ố ồ ) =

(

ế )

(

)0; 4 - = + x 4 3

ề

ệ

ỏ

Theo (1) ta có:

(th a mãn đi u ki n)

- � x f x f = � x x + 3 4 1 2

ậ

ươ

ệ

V y ph

ng trình đã cho có nghi m

x = 1 2

ả

ươ

ụ Ví d 8: Gi

i ph

ng trình:

Phân tích + Gi

ả ử ươ s ph

c phân tích thành:

2 +

- - x + x 24 60 = 36 - - 1 x 1 x 5 7 1

ượ )

( A x

( - + B x

ng trình đã cho đ ( ) A x 5

( B x 5

) + 1

) 1

ứ

ấ

ồ

ượ

Đ ng nh t đa th c ta đ

2 +

- - - 7 + 7 - - 1 x 1 x = 7 1 A B= 1, 5 = 2

(

)

(

( 2 5

) + 1

) 1

ươ

ượ

ế ướ ạ

Khi đó ph

ng trình đ

c vi

i d ng:

t d

= - - - - - - x x x x 5 7 7 2 - - 1 x 1 x 5 7 1

)

+ Xét hàm s ố ( f

= + - t t t 2 1 t

ờ ả

L i gi

ả i tham kh o

2 +

)

(

( 2 5

) + 1

) 1

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ( ng v i:

(1)

= - - - - - - x x x x 5 7 7 2 - - 1 x 1 x 5 7 1

)

Xét hàm s ố ( f

= + - t t > t t 2 , 0 1 t

(

)

(

)

(

)

ố ồ

ế

Ta có

, suy ra

là hàm s đ ng bi n trên

1 (cid:0) = f t t 2 + + 1 > " > t 0, 0 f t 0; +(cid:0) t t 2

(

) =

( f x

) 1

ệ

ề

ỏ

Theo (1) ta có :

(th a mãn đ u ki n)

- - � f x x x 5 - = - x 5 7 = � 1 7 3 2

ậ

ươ

ệ

ấ

V y ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t

x = 3 2

ả

ươ

ụ Ví d 9: Gi

i ph

ng trình:

Phân tích 3

+ 2 - - x x 10 = - - x 2 2 - 3 2 x 7 + x 5 + x x 5 2 2 2

Ta có

+ 2 - - x x x 10 - = - x 1 - - 3 2 x 7 + x x 5 2 5

(

+ Ta th y : ấ

2 +

(

- - - - x x 1 5 + x 2 ) 1 ; - - + x x 5 2 = 5 x 5 ) 1 4

(

) 2 +

5 - - - - x x 2 2 2 2 5 = + x 2 2 - x 2 4 2

(

) 1

ươ

ượ

ng trình đã cho đ

c phân tích thành:

2 +

(

2 +

(

)

5 - - - - x x 2 2 - - x 5 ) 1 = 4 x 2 2 4

+ Xét hàm s ố ( f

t = - t t 5 + 4

h oả ờ ả i tham k L i gi 1x (cid:0) ệ ề Đi u ki n:

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ng v i:

(

) 1

(1)

2 +

(

2 +

(

)

- - - - x x 1 2 2 - + x x 5 + x 5 2 = 5 2 2 5 - - - - � x x 2 2 - - x 5 ) 1 = 4 x 2 4 2

)

Xét hàm s ố ( f

(cid:0) t = - t t , 0 5 + 4

(

)

(

)

[

ố ồ

ế

Ta có

là hàm s đ ng bi n trên

) 2

(

(cid:0) > t f = + 1 0 " (cid:0) t f 0; +(cid:0) t t 2 +

(

.Suy ra )

Theo (1) ta có :

- - - � t ( f x f x - = x x 4 ) = 1 2 2 1 2 2

ề

ệ

ỏ

(th a mãn đi u ki n)

) 2 = 1

(cid:0) (cid:0) = (cid:0) 1 (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - - x ( (cid:0) x (cid:0) x x 2 2 (cid:0)

ậ

ng trình đã cho có các nghi m

ệ :

x 3 x= 1; = 3

+ - + + = + +

ươ V y ph ậ Bài t p áp d ng + 1)

x x x x x x

ụ + 10 5

12)

3 3 3

3) 3

13)

4) 3

14)

5) 4

6) 5

15)

4 4 = 1 + - - x 4 x x 1 3 1 13 + + + + + 11 5 2 + + 2 2) 3 x x x x 2 2 2 + = 8 1 + 7 - x + 2 + - 4 5 x x x x + x 4 5 5 + - 5 x 2 + = 2 1 2 - - x 3 3 + - = x x x 3 3 5 2 + 2 3 + + + 2 - - - - x x x x 2 8 2 - - 2 - 6 x 3 + x x - + 6 13 8 + = x 1 4 x = + x 7 8 + + x 2 2 + 7 2 - - - - x + x x 3 x 8 3 2 + x 3 = - x 4 x - + 3 - = x 1 5 + + x 3 1 + 2 + x 3 1 - - x + = x 5 3 2 8 + - - x x x 2 - + 2 + = x 2 6 2 - + x 3 + 3 2 3 10 1 x 1 x 4 1 + x 3 2 2 1 2 � � � � � �

16)

- x - = x 29 + + x 3 4 3 10 5 + + x 1 + 5 + x 5 1 - - - x x 5 2 = 16 4 2 3 � 1 �+ x 5 � + + + + + + + =

)

(

17)

x x x x x 3 1 4 9 6 5 4 2 1 0 + 2 - - x x 16 = x 4 + - 1 - + + + + + + + = 5 + x 8 5

)

) ( ) (

(

8) 16 9) ( 10)(

18)

11)

x x x x 2 1 3 4 4 4 x 3 3 9 3 0 8 + 2 - - x 135 677 = x 5 5 + - 1 - = 2 + x 24 2 x 8 675 2 x 9 x 30 � 1 � +� x 3 x 18 10 + x 5 x 1155 + x 27 5 3 1 + + - + - x 4 x x 2 3 2 10 3

ươ

ề ạ

ồ

ậ

ộ ố ạ

ế ổ ặ

ệ

ư t : đ a ph

ng trình v d ng đ ng b c ba.

D ng 1: Ph

2.2.1.3. M t s d ng bi n đ i đ c bi ươ (

ạ (

)

3 A ax + b + B ax + b

ng trình đ a đ ) ( = � A f x + B �

� � 3

ư ượ ề ạ c v d ng: ( ) f x + +

)

( A f x

( f x

ươ

ả

ng trình:

i ph

ng pháp:

+ = + mx nx px q B . � � � �

Bài toán: Gi ươ Ph ướ B c 1: ĐKXĐ ướ B c 2: Ph ) 3 +

(

ế )

ổ ề ạ )

(

( f x

+ + + = B ax b A ax b A

(

)

ươ ng trình bi n đ i v d ng: ) 3 ) ư

= + B f x ) ( At f t Bt f t

( ố ặ

ứ

, ch ng minh

là hàm s ố

ệ

ướ B c 3: Xét hàm s đ c tr ng: ơ đ n đi u.

= (cid:0)

ệ ủ ) D(cid:0)

( f x

y ;a b

ố ử ụ Khi đó s d ng tính ch t đ n đi u c a hàm s : ) , Xét hàm s ố

ấ ơ , ( x D

)

( f u

)

(

)

ệ

ả

ố (

ế N u hàm s

( f v )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) =� u v f x đ n đi u trong kho ng ;a b , ta có : (cid:0) = ( (cid:0) u v , a b ; (cid:0)

)

( f x

ươ

ả

ng trình:

ướ

ử

ấ

ọ

ướ

i ph ươ

ng pháp trên thì b

c 2 là quan tr ng nh t. Ta s lý b

ư c hai nh

ướ B c 4: Gi Chú ý: Trong ph sau:

ươ

ế + N u ph

+ = ax b

(

)

(

)

c v d ng: (

(

)

(

ng trình đ a đ ) ( ) )

ươ

ư ượ ề ạ ( ) f x

thì ph

ng trình

+ + + + = + + + A ax b B ax b B f x A A ax b B ax b = 0

ệ

luôn nh n ậ

làm nghi m .

= - x b a

ủ

ệ

ộ

ươ

Do đó

ữ là m t trong nh ng nghi m c a ph

ng trình:

- + + = mx nx 0 b a

(

)

(

)

(

)

ư ượ ề ạ

( f x

+ Sau khi đ a đ

c v d ng

, ta nên

ể

ạ

ki m tra l

i xem cách phân tích đó có đúng không.

+ + + = + + ( px q ) A ax b B ax b A B f x

(

)

23 x

ả

ươ

ụ Ví d 1:Gi

i ph

ng trình:

Phân tích

+ + + x x x x 4 + = 2 2 3 3 + 1

ả ủ

ế

ươ

ượ

ậ ủ

+ V ph i c a ph

ng trình đ

c vi

ế ạ t l

i thành:

ươ ng

ươ

( ể ư ượ ề ạ

ồ

trình là 3, nên ph

ng trình có th đ a đ

+ + x x + mà b c c a ph 1 1 3 3

) 3 ố ứ c v d ng đ i x ng đ ng b c ba. ) 3

(

)

ậ (

) 3

ươ

ướ ạ

ế + N u ph

ng trình đã cho vi

ế ượ t đ

i d ng:

c d

= + + + + ax b + ax b x x 3 1 3 + 1

ệ ủ

thì

là nghi n c a

- + + x x 4 + = 2 0

ượ

ươ

23 x x = -

+S d ng máy tính ta đ

ng trình đã

b a ử ụ

ng trình trên, nên ph +

ệ là nghi m c a ph ( (

) 3

ể ượ

ế ướ ạ

ạ

ấ

cho có th đ

c vi

i d ng:

t d

i ta th y

ủ ) 1

) 1

ươ + . Ki m tra l ể 1

+ + + = + 1 ( x x x x 3 3 1

ả

ỏ th a mãn. ờ ả L i gi

i tham kh o:

ề

ệ

Đi u ki n:

- x (cid:0) 1 3

(

) 3

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ( ng v i:

) 1

+ + + = + + x x x x 3 1 3 + (1) 1

)

(cid:0) t t ,

Ph Xét hàm s ố ( t f ( = 23 t f Ta có (

) )

(cid:0) = + 3 t + > " (cid:0) t t 1 0,

Suy ra

f t ﾡﾡ ế ﾡ

)

(

( f x

ố ồ là hàm s đ ng bi n trên ) = + 1

Theo (1) ta có :

+ + � x f x x 3 1 + = 1 3 1

ề

ệ

ỏ

(th a mãn đi u ki n)

(cid:0) - = (cid:0) (cid:0) x x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) x 1 - = x

ậ

ươ

ệ

V y ph

1 = x x 0; x 0 ng trình đã cho có các nghi m : = 1

(

)

ả

ươ

ụ Ví d 2: Gi

i ph

ng trình:

Phân tích

+ + + = + x x x x x 2 18 55 57 18 15 9 + 7

ả ủ

ế

ươ

ượ

+ V ph i c a ph

ng trình đ

c vi

ế ạ ướ ạ i d

t l

i d ng:

( ể ư ượ ề ạ

+ + x x + . Mà b c c a ậ ủ 7 9 2 9 7

ươ ng trình: ủ ế

) 3 ố ứ c v d ng đ i x ng đ ng b c ba. + 3 x 2 ươ nên v trái c a ph

ậ ồ + + 2 x 57 18 ượ ng trình đ

x 55

3x là

0 +

= . 0 c phân

ươ ng trình có th đ a đ x = - ủ ệ ượ là nghi m c a ph c 3 2.1= ệ ố ủ 3 , do h s c a 2 ) (

(

x + = 3 ) + x 3

ươ ph ng trình là 3, nên ph ử ụ + S d ng máy tính ta đ x = - T ừ � tích thành:

+ x 3 2

(

)

(

)

(

) 3

ươ

ượ

Do đó ph

ng trình đã cho đ

c vi

+ + + = + + + x x x 3 3 2 9 7 9 7

ế t thành: ) (

32 t

ố ặ

+ Khi đó ta xét hàm s đ c tr ng:

= t f x 2 + t

ờ ả

L i gi

ề

ệ

Đi u ki n:

- x (cid:0)

ả i tham kh o 7 8

(

)

(

)

(

) 3

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ng v i:

+ + + = + + x x x x + (1) 2 3 3 2 9 7 9 7

(

32 t

+ = (cid:0) t t t ,

) + >

(

)

Xét hàm s : ố = f

ố ồ

ế

Ta có

(cid:0) " (cid:0) t t f 26 t 1 0,

)

(

( f x

Theo (1) ta có

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) + = + (cid:0) + (cid:0) f x 3 7 8 � x x + = 3 9 7 + = + ﾡ . ﾡ .Suy ra hàm s đ ng bi n trên x ( ﾡ 3 ) 2 (cid:0) x 3 9 7 (cid:0)

ề

ệ

ỏ

(th a mãn đi u ki n)

(cid:0) - x = (cid:0) (cid:0) x x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) x 2 (cid:0) 0

ậ

ươ

ệ

V y ph

3 + = x 3 2 = x= 2 1; x x ng trình đã cho có hai nghi m

(

)

ả

ươ

ụ Ví d 3: Gi

i ph

ng trình:

Phân tích

+ + + = + x x x x x 108 432 585 268 15 8 2 + 3

(

ả ủ

ế

ươ

ượ

+ V ph i c a ph

ng trình đ

c phân tích thành:

ươ

ể ư ượ ề ạ

ậ

ồ

) 3 ố ứ

ng trình là 3, nên ph

c v d ng đ i x ng đ ng b c ba.

+ + x x + . Mà b c c a ậ ủ 4 2 3 3 2 3

ng trình có th đ a đ x = -

ử ụ

ượ

ủ

+ S d ng máy tính ta đ

ệ là nghi m c a:

+ + + x x x 108 432 585 = 268 0 4 3

ệ ố ủ

ủ

ế

3 4.3

+ T ừ

nên v trái c a ph

ươ ng

= - = = � x + = x 4 3 0 108 4.27

, ta có h s c a )

)

ể ượ

ể

ạ

ỏ

( 4 3

3x là : ( 3 3

c phân tích thành:

i ta th y th a mãn.

+ + + x 4 4 4 3 trình có th đ

ấ ) 3

ươ

+ Ph

ng trình đã cho t

ớ ng v i:

. Ki m tra l ( ( ) 3 3

( 4 3

+ = + + + + + x ) x x x x 4 4 4 2 3 3 2 3

ng đ ) (

34 t

ố ặ

= + t f t 3

ờ ả

+ Xét hàm s đ c tr ng: L i gi

i tham kh o:

ề

ệ

Đi u ki n:

- x (cid:0)

ả 3 2

)

(

) 3

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ng v i:

( 4 3

( 3 3

+ + + = + + x x x x + (1) 4 4 4 2 3 3 2 3

)

= + (cid:0) t

)

34 t t 3 , + > " 0,

ế

ố

ồ

Ph Xét hàm s ố ( f ( = f Ta có

(cid:0) (cid:0) t t t 212 t 3

(

)

(

Theo (1) ta có :

(

) 2

(cid:0) (cid:0) - x (cid:0) + = + (cid:0) + ﾡﾡ .Suy ra hàm s đã cho đ ng bi n trên ﾡ 4 3 (cid:0) f x f x 3 4 2 3 � x x 3 + = 4 3 2 (cid:0) + = + x x 3 4 2 3 (cid:0)

x = -�

ề

ệ

ỏ

( th a mãn đi u ki n)

ậ

ươ

ệ

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) + + = (cid:0) x 4 3 22 13 0

V y ph

ng trình đã cho có nghi m

x = - x 9 1

(

)

ả

ươ

ụ Ví d 4:Gi

i ph

ng trình:

Phân tích

+ + + = + x x x x x 192 288 164 34 17 9 3 + 4

)

ả ủ

ế

ươ

ượ

+V ph i c a ph

ng trình đ

c phân tích thành:

ậ ủ . Mà b c c a

ươ

ể ư ượ ề ạ

) ồ

ậ

ng trình là 3, nên ph

( ( ố ứ c v d ng đ i x ng đ ng b c ba

ng trình có th đ a đ x = -

ử ụ

ượ

ủ

ươ

+ S d ng máy tính ta đ

ệ là nghi m c a ph

ng trình:

+ + + x x 3 3 4 3 4 5

+ + + x x 192 288 = 34 0 1 2 x 164

ế ủ

+ T ừ

(*), ta có h s c a x

ệ ố ủ 3 là :

nên nhân hai v c a

ươ

= - = = � x + = x 1 0 2 192 3.84 3.4 1 2 0

)

ế

ể ượ

( 3 4

( 5 4

c phân tích thành:

. Ki m ể

ạ

ấ

ph ng trình (*) ta đ Do đó v trái c a ph tra l

+ + + x x 2 2

x + = . ượ 4 c 2 ủ ươ ng trình có th đ ỏ i ta th y th a mãn.

)

(

)

(

)

ươ

+Khi đó ph

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ng v i:

( 3 4

( 5 4

+ + + = + + + x x x x 2 2 3 3 4 5 3 4

(

)

33 t

= + f t 5

ờ ả

+ Xét hàm s : ố L i gi

i tham kh o:

ề

ệ

Đi u ki n:

- x (cid:0) t ả 4 3

)

(

)

(

)

ươ

ng trình đã cho t

ng đ

ớ ng v i:

(1)

( 3 4

( 5 4

+ + + = + + + x x x x 2 2 3 3 4 5 3 4

)

= + (cid:0) t t 5 ,

)

(

)

ế

Ph Xét hàm s ố ( t f ( = 29 t f Ta có

(cid:0) " (cid:0) t t t f 0, ﾡ

ố ồ +

33 t + > 5 (

)

là hàm s đ ng bi n trên + = 2

Theo (1) ta có :

+ = ﾡﾡ . Suy ra ( + � f x f x x x 4 2 4 3 4 3 4

x =�

ệ

ề

ỏ

(th a mãn đi u ki n)

(

) 2

ệ

ậ

ươ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - x (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 (cid:0) (cid:0) = + = + (cid:0) x x 16 0 1 2 + 15 x x 2 4 3 4 (cid:0)

ng trình đã cho có nghi m

x = 0

ậ

ng trình sau

ươ )

- - x + x 2

ụ + 29 x +

i các ph ( + x 2 (

)

V y ph ả Gi Bài t p áp d ng : = x 1) 33 29 + = + 5

3 + 1 + x x x x 6 2 9 3

+ 2 - - - - 9 ( 3 ) x x x x 4 36 110 x 6 = 114 2 7

(

+ 2 - - 26 ) x x x 54 54 30 x - = x 6 2 5 1

)

+ + + = - - 8 + x 10 ( x x x + x 24 180 458 395 3 9 19 + x 3 5

+ + + + 2 + 2 - x ( x ) x x x x + x x 192 864 1316 678 6 9 20 2 + = x 5 3 0

ạ

ươ

ng trình đ a đ

ư ượ ề ạ (

c v d ng : (

)

(

D ng 2: Ph

A ax + b + B ax + b = A mx + n + B mx + n

ươ

i ph

ng trình:

ả ng pháp: ế

ướ +

+ + = + B mx n a x 1 b x 1 + c x d 1 1

Bài toán: Gi ươ Ph B c 1: Bi n đ i ph ( (

ổ )

)

ươ (

)

+ + = + + B ax b A ax b A mx n

ề ạ ng trình v d ng: + 3 B mx n (

)

(

)

ướ

ố ặ

ứ

ch ng minh

ố ơ là hàm s đ n

B c 2: Xét hàm s đ c tr ng: đi u.ệ

= + t f At Bt f t

= (cid:0)

ệ ủ ) D(cid:0)

ấ ơ x D

( f x

y ;a b

ố ử ụ Khi đó s d ng tính ch t đ n đi u c a hàm s : ) , Xét hàm s ố

, (

)

( f u

)

(

)

ệ

ả

ố (

ế N u hàm s

( f v )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) =� u v f x đ n đi u trong kho ng ;a b , ta có : (cid:0) = ( (cid:0) u v , a b ; (cid:0)

+ = + mx n

ể ử

ấ

ọ

ướ

ươ ng trình: ng pháp trên b

c 1 là quan tr ng nh t. Đ s lý b

ư c 1 ta làm nh

ả ướ i ph B c 3: Gi ươ Chú ý: Trong ph sau:

ệ

ộ

ươ

ữ ỉ + Tìm m t nghi m h u t

ng trình.

0x c a ph ủ

ax b ướ

ướ

ượ

ươ

+ Thay

vào b

c 3 ta đ

c ph

ng trình theo

x x= + = b n , + (*) a b ax : 0 mx 0

ượ

+ Đ ng nh t h s

ở ướ b

ầ c 1 và đ u bài ta đ

. Khi đó ta ch n ọ A và

ấ ệ ố 3x

ồ a . Thay a vào (*) tìm đ

c ượ b .

ể

ạ ế

ả

+ Sau khi tìm đ

c ượ

a= .A a

i k t qu phân tích đã đúng ch a.

,a b A ta ki m tra l ,

ả

ươ

i ph

ng trình:

ươ

ứ

ậ

ấ

ố ứ

ạ

ể ươ ượ ề ươ

ấ ủ ươ

ạ ng trình là 3, l c đ

i có ch a căn b c ba (đây là 2 phép ng trình d ng đ i x ng

c v ph

ng trình có th đ

ụ Ví d 1: Gi Phân tích: ấ + Ta th y b c cao nh t c a ph c nhau). Nên ph

+ - 6x + = 13x 9 + 26x 1 x

)+ A 26x 1

+ + 26x 1 (vì 1B = )

ượ toán ng ậ ồ đ ng b c ba. ử ụ + S d ng máy tính ta đ ươ ả ủ ế + V ph i c a ph ả ử ươ s ph + Gi (

(

ng trình đã cho đ a đ ) ) 3

( A 26x 1

+ + = + + A ax b + ax b

ượ

ừ ồ

a b+ = 3 ọ

. Ch n

3 1 1.1

+ = x 1

c: T (*) ta đ ax b ấ ệ ố ủ Đ ng nh t h s c a A

)

(

) + x 2

ể

ạ

3 26 ủ 3x c a (*) và đ u bài ta đ = = a 1; c:ượ (

+ Thay vào (*) ta đ

ỏ

ấ

+ + = + + 1x = là nghi mệ ượ ( ư ề ạ ng trình đ a v d ng: ư ượ ề ạ c v d ng : ) + 26x 1 (*) 1x = là nghi m suy ra + . Vì ệ A a = = ầ ượ c: . 2 ( =� b ) + x 2 26x 1 26x 1 . Ki m tra l

(

)

ta th y th a mãn. + Xét hàm s đ c tr ng:

= t f t ư + . t

ờ ả ố ặ ả L i gi i tham kh o:

(

) 3

) + x 2

ươ

ng đ

ng:

ng trình đã cho t +

+ = + + 26x 1 26x 1 + (1)

(

)

ế

Ph Xét hàm s ố ( f ( = 3t f Ta có

ﾡ , nên 3

(cid:0) t , t 2 (cid:0) " (cid:0) t t t ﾡ t

(

) = t + > 1 0 ) ( = + f x 2

Theo (1) ta có :

+ = + = + f ) x 2 26x 1 26x 1 f � 26x 1 �

ố ồ là hàm s đ ng bi n trên ( + (

) = 7x 7

+ 2 - - + - R ) 3 + x 2 ) ( x 1 x 0 � + = 14x 7 0 6x x �

ậ

ươ

ệ

V y ph

ng trình đã cho có các nghi m:

;

và

(cid:0) (cid:0) = x 1 (cid:0) (cid:0) - + 7 77 =� (cid:0) x 2 (cid:0) - - (cid:0) 7 77 = x (cid:0) (cid:0) 2 - - 77 77 = 7 - + = 7 x 1= x x 2 2

ả

ươ

i ph

ng trình:

ậ

ạ ể ươ ượ

ố ứ

ươ

ấ ủ ươ

ươ ng trình có th đ

ng trình là 3, l c đ

ứ i có ch a căn b c ba (đây là 2 phép toán ồ ạ ề c v ph ng trình d ng đ i x ng đ ng

ấ c nhau). Nên ph

+ + + - x x + = x 162 114 29 4 2 1 0 x 81

(

)

+ = + + + + ax b x 2 1 + (*)

ượ

3 2

là nghi m.ệ ) ( A ax b x = - ầ

+ = x = - ượ c ư ề ạ ng trình đ a v d ng: + . Vì ax b x

)

ụ Ví d 2: Gi Phân tích ấ + Ta th y b c cao nh t c a ph ượ ng ậ b c ba. ử ụ + S d ng máy tính ta đ ả ử ươ s ph + Gi ừ ồ 3,

ượ

ệ là nghi m suy ra + T (*) ta đ 1 A a = ấ ệ ố ủ 3 trong (*) và đ u bài ta đ ượ c: + Đ ng nh t h s c a x . ( ) =� = + + b A x 2 4 3

( 3 3

( ) A x 1 2 - + = - a b = 3 81 3.3 ( + x 3 2

) 1

1 , ch nọ + 3 4 2

thay vào (*) ta đ

= = + a 2 3 x x 2 + (th a ỏ 1

)

33 t

= + t t 4

ả

ờ ả

)

( 3 3

( 4 3

( 3 2

) 1

3 4 2

ng đ

ớ ng v i:

+ + + = + + x x x x 2 2 + (1) 1

ươ +

)

= (cid:0) t t 4 ,

)

(

)

mãn) + Xét hàm s ố ( f L i gi ươ Ph Xét hàm s ố ( f t ( = 29 t f Ta có

(cid:0) " (cid:0) t t t f 0

ươ ﾡﾡ .Suy ra +

ố ồ +

)

ế (

)

(

là hàm s đ ng bi n trên ) 3 + = 2

Theo (1) ta có: +

+ = + ﾡ = + � x f f x x 2 2 1 3 1 2 � x x 3 2 2 1

(

i tham kh o ng trình đã cho t 33 t + > 4 ( 3 ) ( 1 27

ậ

ươ

x = -� ấ

ệ

+ = + x ) � x x x 27 7 0

V y ph

1 ng trình đã cho có nghi m duy nh t

x = - 1

ả

ươ

ụ Ví d 3: Gi

i các ph

ng trình sau:

Phân tích:

+ 2 - - - - x x x x x 24 150 299 = 193 2 3 1

ậ

ấ

ạ ể ươ ượ

ố ứ

ươ

ấ ủ ươ

ươ ng trình có th đ

ng trình là 3, l c đ

ứ i có ch a căn b c ba (đây là 2 phép toán ồ ạ ề c v ph ng trình d ng đ i x ng đ ng

ấ c nhau). Nên ph

+ Ta th y b c cao nh t c a ph ượ ng ậ b c ba. ử ụ + S d ng máy tính ta đ ả ử ươ s ph + Gi

c ng trình đ a đ ) (

(

) - + x 1

= + - - - + ax b A ax b x x 3x = là nghi m ệ ượ ư ượ ề ạ c v d ng : ( ) + A x 2 2 3 3

. Ph

ươ =

ệ a

(*) 1 3x = ,suy ra 3 ng trình có nghi m = -� = b 2

ừ ồ

a b+ = 2 thay vào (*) ta

3 3.2 3

, ch n ọ 2

+ = - - = A 3; 4

)

22 x 3 ượ c: ( 3 2

ỏ (th a mãn)

- - - - - x x x x 1 A a = 3 . - + x x 3 24 ) 1 2 3 1 4

33 t

ươ

x 2 = t

+ T (*) suy ra ax b ấ ệ ố 3 ta đ + Đ ng nh t h s x ) ( ( 3 + = ượ đ 3 2 4 ) + Xét hàm s ố ( + f t ờ ả L i gi ươ Ph

ng đ ) 3 +

ươ (

- - - - - x x x x

ả i tham kh o ng trình đã cho t ( 3 2

ớ ng v i: ) = 4

( 3 2

) 1

(1)

4 2 - + x 3 2 3 1

)

x + (cid:0) t t ,

33 t + >

)

ồ

Xét hàm s ố ( = t f ( = 29 t f Ta có

ế đ ng bi n trên

(cid:0) " (cid:0) t t t 1 0, ﾡ

(

) =

- - - - - �

)

Theo (1) ta có:

ﾡﾡ nên hàm s ố ( f ( f x x x f x x 2 3 2 1 - = x 2 4 2 3 1

(

- - - 4 ) 3 = + 2 - - � x x x 2 4 2 3 1 � x x x 8 50 99 = 63 0

(cid:0) = x (cid:0) (cid:0) =� (cid:0) x 3 2 3 (cid:0) = (cid:0) x (cid:0) 7 4

ậ

ươ

ệ

V y ph

ng trình đã cho có các nghi m:

= = x x x , 3, 3 2 7 = 4

ả

ươ

ụ Ví d 4: Gi

i ph

ng trình:

- - - x x x 25 1 + x 3 8 1 40 3 4 - = x 3

ả

ế ủ ớ

ấ

ạ ể ươ ượ

ươ

ạ

ấ ủ ươ

ượ ươ ng trình có th đ

c: x x ng trình là 3, l c đ

- - - x 40 75 1

Phân tích + Nhân c hai v c a v i 3 ta đ ấ + Ta th y b c cao nh t c a ph ượ toán ng c nhau). Nên ph ậ ồ đ ng b c ba. + S d ng máy tính ta đ + Gi

+ - = x x 3 3 3 4 8 ậ ứ i có ch a căn b c ba (đây là 2 phép ố ứ ề c v ph ng trình d ng đ i x ng

ử ụ ả ử ươ s ph ( +

)

(

ượ ề ạ c v d ng: ) - + + 3 3 3 1

= + + 2 - A ax b x x x x = ượ 0 ng trình phân tích đ ( ) + A x ax b 3 3 8 8 1

b = -�

ừ

ươ

ệ

T (*) suy ra

. Ph

ng trình có nghi m

(*) x = 0

23 x

+ = + - ax b x 8 1

ằ

= = A a= 5, 2 = thay vào (*) ta 5.8 5.2

( 5 2

( 3 2

. Ch n ọ ỏ ( th a mãn)

ượ đ

c :

- - - - x x x A a = . ) + x 1 40 + 3 x 3 3 8 8 1

ượ + 2 x +

(

ố 3 ta đ Cân b ng hên s x ( ) ) 3 = + 1 5 3 1 ) 35 t

+ Xét hàm s : ố

= t f t 3

ươ

- - -

ờ ả L i gi ươ Ph

ả i tham kh o ng trình đã cho t

ng đ

x x x 40 1

ớ ng v i: ( 5 2

) 1

( 3 2

) 1

(1)

75 3 + x 8 + - - - - � x x x x - = x 4 ) = 1 + 3 3 3 ( + 2 x 5 3 8 + 3 x 3 3 8 1

(

= + (cid:0) t t 3 ,

(

)

Xét hàm s : ố = f

ế ﾡ ố ồ là hàm s đ ng bi n

Ta có

(cid:0) (cid:0) t f t t

) )

ﾡﾡ nên + 2 - - f t 215 t ( �

(

x x x x x f f 1 - = x 2 1 + 3 8 1 2 8 3

Theo (1) ta có (

) 35 t + > " 3 0, ) - = 1 ) 3 = 1

+ 2 - - - - � x x 3 1 8 � x x 8 15 = x 14 0

ậ

ươ

ệ

V y ph

ng trình đã cho có các nghi m:

x = , 0

x = , 2

x 2 = (cid:0) x 0 (cid:0) - (cid:0) =� x (cid:0) (cid:0) = x 7 8 2 (cid:0) - = x

ả

ươ

ụ Ví d 5: Gi

i ph

ng trình:

Phân tích

ậ

ấ

ấ ủ

ng trình là 3, l

ạ ể ươ ượ

ươ

ạ

ươ

ươ ng trình có th đ

c đ

ứ i có ch a căn b c ba (đây là 2 phép ố ứ ề ng trình d ng đ i x ng c v ph

ấ c nhau). Nên ph

ượ

+ 2 - 7 8 x x - + 2 x x 5 12 - = x 6 2 1

+ Ta th y b c cao nh t c a ph ượ toán ng ậ ồ đ ng b c ba. ử ụ +S d ng máy tính ta đ + Gi

ả ử ươ s ph

1x = là nghi m.ệ

)

(

)

(

c ng trình đã cho phân tích đ - + + x ax b

( A x

ượ ề ạ c v d ng: ) - + + 3 2 x 1

ượ

= + + A ax b 2 2 1

b =�

ồ

+ Khi đó ta đ + Đ ng nh t h s x 2 3

ax b A x 1x = là nghi m nên ệ = a= 1, 1

ượ

a b+ = 1 ươ

Ta đ

ỏ , không th a mãn ph

ng trình đã cho.

+ + = c: ấ ệ ố 3 ta đ ( - + = x x x x - + . Vì x 1 A a = , ch n ọ 3. 1 - + 2 x x 2 x ượ c : ) + 1 2 1

ư i nh sau:

ươ

ượ

+ Do đó ph ng t + T

+ 2 - - x x x x 5 12 - = x 6 8 + 8 8

ươ ế ạ ng trình đã cho vi t l ự ư nh trên ta phân tích đ ( ( + 2

(

c: + x

ỏ

) + 1

( th a mãn)

= + + - - x x x x 8 8 8 + x 8 1

) 1 (

)

) 1 + t

= t f t

ờ ả

+ Xét hàm s : ố ả i tham kh o

(

L i gi ươ

ươ

) 1

) + 1

ng đ

ớ ( ng v i:

(1)

ươ ng trình đã cho t +

+ + + = - - x x x + x x 8 8 8 + x 8 1

)

Ph Xét hàm s ố ( f

= (cid:0) t t t t , ﾡ .

(

)

23 t

ồ

Ta có

ế đ ng bi n trên

(cid:0) = " (cid:0) f t t t + > 1 ﾡ

+ = - - �

(

( f x

f + x x x 0 , ) 1 8 ﾡ , suy ra hàm s ố ( f ) + = x 1 8 8 8 + x 8 8

+ = - - � x x 8 8 8 + 25 x - = x 7 11 0

Theo (1) ta có ( (

) 3 1 ) ( 1

ậ

ệ

ươ V y ph

ng trình đã cho có nghi m

- - � x x + x 4 + x ) = 7 0 � x 1x =�

(

)

ả

ươ

ụ Ví d 6: Gi

i ph

ng trình:

ậ

ạ ể ươ ượ

ố ứ

ươ

ấ ủ ươ

ươ ng trình có th đ

ng trình là 3, l c đ

ứ i có ch a căn b c ba (đây là 2 phép toán ồ ạ ề c v ph ng trình d ng đ i x ng đ ng

ấ c nhau). Nên ph

ươ

ế

ệ

ấ

ậ

ngoài căn ta nghĩ đ n ph

ả ng án chia c hai v cho

c:ượ

Phân tích ấ + Ta th y b c cao nh t c a ph ượ ng ậ b c ba. ể + Đ xu t hi n b c ba

3x ta đ

- - x x x x x 7 13 1x = . + = x 8 2 + 1 3 3

ở 7 x

ế 3 1 + - 2 x x

- 2 3 13 + 2 x 8 = 3 x

ượ

Đ t ặ

, ta đ

ự

ươ

c phân tích thành:

= + 2 + 2 - - t t t 8 t 13 = t 7 2 t 3 3

)

ượ ng trình đ ( ) ( + = 2 t t 2 2 1

ươ ví d trên ph ) 3 + 1 +

+ + 3 - - - - t 3 t 3 2 t 3 3

ế ủ

ủ

ệ

ươ

t 2 = t t 2

ng trình cho

1 3 x ụ + T ng t ( ) + Xét hàm s ố ( t f ờ ả L i gi Ta th y ấ

ượ

ta đ

c :

- 2 3

ả i tham kh o x = không là nghi m c a ph ả ươ ng trình, chia c hai v c a ph 3 1 + - 2 x x

8 = 3 x 7 x

(1)

)

13 + 2 x 3 + - - 1 = 1 + 3 2 3 3 x 1 + - 2 2 x 3 x � � � + (cid:0) t t 2 ,

)

(

)

ố ồ

ế

Xét hàm s ố ( t f ( = 23 t f Ta có

là hàm s đ ng bi n trên

(cid:0) " (cid:0) t t f t 0, ﾡ

Theo (1) ta có :

� f f 3 1 3 3 1 + - 2 x x 2 - = x 1 + - 2 x 3 x 2 1 2 � � � � � + - � � � � � � 2 2 x x x � � � � � = 3 ﾡ t + > ﾡ , suy ra 2 � 2 � �- = 1 � 3 � � � x � � � � � � � (cid:0) (cid:0) = x (cid:0) (cid:0) 1 - + 5 89 + - � x x + = x 2 3 13 8 0 =� (cid:0) x 4 (cid:0) - - (cid:0) 5 89 = x (cid:0) (cid:0) 4

- + 5

ậ

ươ

V y ph

ng trình đã cho có các nghi m

ệ :

- -

ươ

ng trình sau

6) 7)

+ + 2 - - - x x x + = x 3 24 36 22 2 + 2 - - + 2 - - x x 24 11 6 3 - - 3 = 10 18 x 36 + 2 - - x x x 4 - = x x 8 13 1 3 3 x 27 3

ụ - = x 1 - = x 10 6 + 2 x x 27 + 2

- - x x x 12 10 8 15 9 + 2 - - x x x 3 - + 2 x x 54 220 293 2 2 + 2 - -

ả i các ph Bài tâp áp d ng: Gi + 2 1) 3 x x 3 5 2) 3 x x 3) 4) 5)

4 + 3 x 4 3 + = 3 x 21 5 6 = 3 136

10)

x x x 190 96 16 + x 2 2 + 2 - - - - x x x x x 40 255 x 1 5 3 + = x 41 5 8 + 2 x = 136 = 304 507 3 5 4

ằ

ươ

ạ

ả ệ ươ i h ph

ng trình b ng ph

ng pháp đ o hàm.

2.2.2. Gi 2.2.2.1.Bài toán:

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

(I)

) )

( F x y ( G x y

ươ

= (cid:0) (cid:0) ; 0 (cid:0) = (cid:0) ; 0 (cid:0)

)

( f y

ộ

ướ

ủ ệ ề ạ

ươ

ặ ho c

)

( f v

ố

( f x ,x y )

ướ

ệ

B c 2: Ch ng minh x

)

Ph ng pháp: ư B c 1: Đ a m t trong hai ph ( f u ứ ệ ( ướ B c 3: H

)

ng trình c a h v d ng: ,u v là các hàm s theo bi n ế ( trong đó f là hàm s đ n đi u. ố ơ = ho c ặ ( ( G x y

2.2.2.2. Các ví d :ụ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) u y v (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) I I = = (cid:0) (cid:0) = ( G x y 0 0 ; ; (cid:0) (cid:0)

ụ Ví d 1: Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

(cid:0) - - (cid:0) x = y y x (cid:0) (cid:0) x - + 1 - = y 2 3 3 (cid:0)

ng trình th nh t c a h vi 5

+ = + y x y

ứ ấ ủ ệ ế )

ừ

đó đ ứ

+ t t

ượ

ươ

ỉ

Phân tích ươ + Ph + Xét hàm s ố ( = f x= vào ph + Thay y

t thành: x y= ượ x c ủ ệ ng trình th hai c a h ta đ

c ph

ng trình vô t theo x.

t ươ

ờ ả

L i gi

ĐKXĐ:

(cid:0) (cid:0) y x 1;

ươ

ng đ

ớ ng v i:

(1)

+ = + x x y y

ả i tham kh o 2 3 ng trình th nh t c a h t =

ứ ấ ủ ệ ươ )

, v i ớ

+ t t t

Ph Xét hàm s ố ( f (

)

(

)

ồ

Ta có

t > 0 nên hàm s ố ( f

ế đ ng bi n trên

1 (cid:0) = + > t f " > t t 5 0 , 0 t 0; +(cid:0)

)

( f x

= 3 ) t ( f y =� x y

ượ

Theo (1) ta có ươ Thay vào ph

ứ ng trình th hai ta đ

c :

(2)

- x x - + 1 3 - = 2 3 0

)

Xét hàm s ố ( g x

= - - 1; +(cid:0) x x - + 1 3 2 3

trên [ 3 >

)

(

)

( g x

ế

ồ

, nên hàm s ố (

V i ớ

1x > ta có : (

1 (cid:0) = + 0 1; +(cid:0) g x đ ng bi n trên - - x 1 2 2 3

ấ

x = . 2

)2 =

2 ệ x ng trình (2) có nghi m duy nh t

ươ ỏ

ề

ệ

(th a mãn đi u ki n) ệ

g Mà x V i ớ ậ V y h ph = nên ph 0 =� y 2 ệ ươ ng trình có nghi m là (2;2)

(

)

(

) 1

ụ Ví d 2: Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

(cid:0) + + - - x y x (cid:0) 4 3 = y 5 2 0 (cid:0) + + - (cid:0) (cid:0) x y = x 4 2 3 4 7

ươ

ượ

ổ

thì ph

ng trình đ

ế c bi n đ i

ặ +

ế =

= - u y 5 2

Phân tích ừ ươ ng trình th nh t ta th y n u đ t +T ph ) +

ứ ấ (

ấ (

)

thành:

+ + � x = x u u x x u u 8 2 2 2

)

ượ

+ Xét hàm s ố ( f

ươ

ủ ệ ở

ứ

ươ

ỉ

+Khi đó ph

ng trình th hai c a h tr thành ph

ng trình vô t theo x

(cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) = = - (cid:0) (cid:0) - t t t x u y 2 5 2 = + . T đó ta đ ừ x = (cid:0) y (cid:0) 5 4 2

ờ ả

L i gi

ả i tham kh o

ĐK:

(

ươ

ng trình th nh t c a h t

ng đ

(cid:0) (cid:0) x y , 3 4 + = - - y 2 6 2 5 2 5 2 ứ ấ ủ ệ ươ

ớ ng v i: ) (

38 x (

)

) y ) 3 +

(1)

+ = - - x ( � x x y y 2 2 5 2 5 2

)

(

)

(cid:0) t = + 3 t ﾡ (cid:0) (cid:0) t t 23 t t , + > " 1 0

Xét hàm s ố ( f = f Ta có: Suy ra

(

)

ừ

T (1) ta có:

f ﾡ (cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) = - - (cid:0) (cid:0) t t là hàm s đ ng bi n trên ố ồ ( ) ( ﾡ ế ) � - = x x y f f y 5 2 2 2 5 2 x = (cid:0) y (cid:0)

ươ

ủ ệ

ứ

ượ

Thay vào ph

ng trình th hai c a h ta đ

2 � + � �

5 4 2 2 - x + - x = x 4 2 3 4 7 5 4 2 � � �

+ 2 - - � x x - = x 4 6 2 3 4 0 (2) 3 4

)

Xét hàm s ố ( g x

trên đo n ạ

= + 2 - - - x x x 4 6 2 3 4 (2) 3 4 3 � � 0; � �� 4

)

(

)

( g x

ế

ị

Ta có

, nên hàm s ố ( )g x ngh ch bi n trên

4 (cid:0) = - - (cid:0) (cid:0) x x x 4 4 3 0 (cid:0) - 3 � � 0; 4 � � < " x 3 4

(cid:0) (cid:0) 3 � � 0; 4 � �

ươ

ệ

ấ

Mà

nên ph

ng trình (2) có nghi m duy nh t

(cid:0) g 0 (cid:0) 1 x = trên 2 3 � � 0; 4 � � 1 � �= � � 2 � �

ệ

ề

ỏ

V i ớ

( th a mãn đi u ki n)

ệ

ấ

Do đó h có nghi m duy nh t là

= x =� y 2 1 2

1 2 � � ; 2 � � � �

(

) 1

ụ Ví d 3 : Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

(cid:0) + + (cid:0) x + = x y y 2 2 1 (cid:0) - (cid:0) x + + = y 2 2 1 1 0 (cid:0)

ặ

ổ c bi n đ i thành:

+ = x x u

ế =

ượ ng trình đ = c ượ

, thay vào ph

ứ ng trình th

= ) + � u x x y + u ươ 2 1

ờ ả

ĐKXĐ:

Phân tích ứ ấ ủ ệ ừ ươ ng trình th nh t c a h : +T ph + thì ph ươ ế N u đ t y u 2 1 + Xét hàm s ố ( = + . Khi đó ta đ 3 t t f t ượ ủ ệ hai c a h ta tìm đ c x ả i tham kh o L i gi 1 y (cid:0) 2

(

) 3

ươ

ng đ

ớ ng v i:

ng trình th nh t c a h t

+ + x + = x y y 2 1 2 + (1) 1

ứ ấ ủ ệ ươ )

+ = (cid:0) t ,

)

ế

Ph Xét hàm s ố ( t f ( = 23 t f Ta có

(cid:0) (cid:0) t t ﾡﾡ , nên hàm s đ ng bi n trên ố ồ ﾡ

(

Theo (1) ta có: ươ

1x =

= - - � t t + > " 1 0 ( ) f x f y = x y 2 1 2 1

ứ ỏ

ượ ng trình th hai c a h ta đ y = (th a mãn đi u ki n) ệ

ấ

Thay vào ph 1x = ta đ V i ớ ệ ươ ậ V y h ph

) ủ ệ ề c ượ ệ ng trình đã cho có nghi m duy nh t là (1;0)

ụ Ví d 4: Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

(cid:0) - - (cid:0) y (cid:0) x + - (cid:0) + + 1 ( x y x y 2 x 1 ) - + 1 + = 4 y 2 + = y 6 1 0 (cid:0)

(

)

ứ ấ ủ ệ ể

ậ ố

ấ

ặ

Phân tích ừ ươ + T ph

ng trình th nh t c a h , đ làm m t căn b c b n ta đ t

= - (cid:0) u x u 1 0

ươ

Khi đó ph

ở ng trình tr thành:

+ + = + u u y y 2 + 2

(

)

+ Xét hàm s ố ( f

ệ ủ

ề

t 2 (cid:0) f t = + 1 t = + t t + . Ta có: 2 + 2

ứ ng trình th hai c a h + - y y

, nên ta đi tìm đi u ki n c a bi n y t ủ ệ ươ

) 2 = 1

Vì Ph

ng đ

ủ ệ (cid:0) 0

y u (cid:0) ươ 4 0 ứ ng trình th hai c a h t t ế ừ ươ ph ớ ( ươ ng v i: x

(

)

[

t (cid:0)

ế

Do đó

, v i ớ

, suy ra

t 2 (cid:0) > f t = + 1 0 f 0; +(cid:0) t là hàm s đ ng bi n trên ố ồ ( ) +

ươ

ượ

ươ

c ượ

, thay vào ph

ứ ng trình th hai ta đ

c ph

ng trình theo

= t = 2 � u y x y + 4 1

)

(

- (cid:0) u

ả i tham kh o 1x (cid:0) x 1

Khi đó ta đ ế bi n y. ờ ả L i gi ĐKXĐ: = Đ t ặ u

ệ ở

H tr thành:

2 =

(cid:0) + + (cid:0) u y y 2 2 (1) (cid:0) u ( (cid:0) + - y x + = + ) 1 (2) (cid:0)

y 0

ng trình (2) ) = + t

ừ ươ T ph Xét hàm s ố ( f

+ (cid:0) t t y 4 (cid:0) t 2, 0

(

)

[

ế

ồ

Ta có

nên hàm s ố ( )

t 4 (cid:0) > " (cid:0) f t t = + 1 0 0, f 0; +(cid:0) t đ ng bi n trên

)

+ = t ) 2 ( f u y

)

2 ( f y = + 4 - y (cid:0) 0 � y 1

ươ =

) =

( y y

Theo (1) ta có : u= ta đ V i ớ y ượ y + vào ph y= 4 1 Thay x ) 2 ( +

+ 5 + 4 + 3 + 2 - � y y y y y + y =� u = ( vì x x 1 ượ ng trình (2) ta đ c: ) ( + 6 1 3 3 3 4 0 y y y 4

( vì

= (cid:0) y 0 (cid:0) + + + + + y (cid:0) 0 (cid:0) � y y y y y 3 3 4 4 � ) (cid:0)

ề ề

ệ ệ

ỏ ỏ

(

)

ệ

= = y y

V i ớ ậ V y h ph

) ( 1;0 , 2;1

= y 1 =� x 1 0 (th a mãn đi u ki n) =� x 2 1 (th a mãn đi u ki n) ệ ươ ng trình có các nghi m là:

( x x

) 2 = + 2

ụ Ví d 5: Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

(cid:0) + 3 - (cid:0) y y 3 3 (cid:0) + 2 x y y - = 3 8 �(cid:0) 3

ứ ấ ủ ệ ượ

ế

c vi + 2

- + y y x + 26 x - = x 2 9 3

Phân tích ươ + Ph ế

ặ

N u đ t

ủ

(*) ươ

ả ư

t thành - = x 2 ế thì v trái c a ph

ng trình (*) cũng ph i đ a

- - u 3 u u 3 9

)

- x x 6 = - 3 3 t t )

cượ : ) ố ( t f ( 3 ủ

ươ

ế

ng trình th nh t c a h đ + thì ta đ y= ệ ấ ể Đ làm xu t hi n hàm s ượ ề ạ : ( c v d ng đ ạ L i có

. Nên ph

ng trình (*) đ

c vi

t thành

+ 26 x

- - + + ax b ax b x = là nghi m c a: ệ x x 9 = 2 0

)

- - - - x u u 3

( = x 2 3 = - 3 3 t t

ế

ả

ị

ồ . Đây là hàm s có c kho ng đ ng bi n, kho ng ngh ch bi n

ố )2x -

ồ

ệ ươ

ủ ( ng đ ng c a

ả ả và u .

) ( 2 + Xét hàm s ố ( f ề nên ta đi tìm đi u ki n t

(

)

ố ồ

ừ

ế

ượ

1t (cid:0)

- = 2x

. V i ớ

thì

là hàm s đ ng bi n . T đó ta đ

V i ớ

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 2 1 (cid:0) f t (cid:0) (cid:0) (cid:0) x � (cid:0) u 1 (cid:0) 3

(cid:0) (cid:0) 3, x � u ờ ả L i gi ĐKXĐ:

ả i tham kh o y x 0

ệ

ươ

H đã cho t

ng đ

ng v i

ớ :

(cid:0) - x 9 3 (cid:0) (cid:0) + y y ) (cid:0) x - = x 2 ( + y y 3 + 26 x - = 3 8 (cid:0)

(

Đ t ặ

= + = - u y u u y 3 , 3

) �� 3 + 2

(

)

ệ ở

H tr thành

) 1 (

)

( u ) (

(cid:0) - - x x 6 9 3 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - = x 2 ( u ) x u - = 3 3 5 (cid:0)

(

)

(

)

(

ươ

ng trình

- - - - + 2 u ) 2 ( � u x x 3 ) 1 u 3 * 2 3 = 2

Vì

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x � u 3

1 = - (cid:0) x � > u ) t t t 3 , 1

)

[

ồ

ố

ế

Xét hàm s ố ( f t ( = 23 t f Ta có

(cid:0) - (cid:0) " (cid:0) t t 1; +(cid:0)

) =

Theo (1) ta có :

- � � 3 0, ( f x 1 ( f u u 2 - = x 2

nên hàm s đã cho đ ng bi n trên ) = + x u (

)

ươ

ượ

Thay vào ph

ng trình (2) ta đ

- 2 ) ( + u u u

(

- 3 ( 3 ) ( 5 ) � u + 2 u 9 - = 1 ) - = 1 5

u + - �

22 u ) (

6 0 ) = + + 2 u 6 +

3 - = u 9 + 3 - u 2 u 2 3 0

( Vì

)

ề

ệ

ỏ

ượ

(th a mãn đi u ki n)

V i ớ

(

ệ ươ

ậ

ệ

V y h ph

ng trình đã cho có nghi m là

)4;1

+ + > 2 u u u 2 � � 3 u 6 3 0 = (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 (cid:0) u = ta đ 2 x � (cid:0) (cid:0) u ( � u u =� = x � = y 1 y 4 + = 3 2 (cid:0)

(

)

ụ Ví d 6 : Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

(cid:0) + 2 - - x x y = 2 y 3 + + 2 2 2 1 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 2 - - - x x + 2 y x 2 2 1 2 1 (cid:0)

ươ

Phân tích = + Đ t ặ

. Ph

ứ ấ ở ng trình th nh t tr thành:

(

) 1

- (cid:0) - - u y u x x 1 , 0 u 3 3 3 - - - � x + = 3 2 ( - = x u 3 u ) 1 u 3

)

ế

ả

ố

ồ

ị

. Vì hàm s trên có c kho ng đ ng bi n, kho ng ngh ch bi n

t = - t

- u x

+ Xét hàm s ố ( 3 3 f t ị ủ ( ề nên ta đi tìm mi n giá tr c a x 1

)1 , 1 1

+ Ta có

- (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 � � - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) y u 1 1 1 (cid:0) (cid:0)

)

- t 1 = - 3 3 t t 1 ]1;1

ủ ệ

ươ

ượ c

ươ

. Thay vào ph ế ươ

ứ ươ

- � u - = 1

ng pháp bi n đ i t

ng trình th hai c a h ta đ ổ ươ ng.

ng đ

1 y 1 trên [ nên xét hàm s ố ( f - = Khi đó ta có x y x 1 1 ả ỉ ng trình vô t theo x và gi i theo ph ph

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x y 1

ả i tham kh o ệ 0 2, 1

ờ ả L i gi ề Đi u ki n:

- - - - -

) 3

(

( - = x

ươ

ứ ấ ủ ệ ươ

ươ

) 1

ng trình th nh t c a h t

ng đ

ớ ( ng v i:

(1)

x y y 3 1 3 1

Vì

- (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 1 1 1 (cid:0) x 2 (cid:0) 0 � � - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) y (cid:0) 1 (cid:0)

)

[

]1;1

ế

ố

ị

(cid:0) - " - t 1 1 Xét hàm s ố ( f t ( = 23 t f Ta có

]1;1 ] 1;1 nên hàm s ngh ch bi n trên )2

( f x

Theo (1) ta có:

- - � f - = x y y y 1 1 trên [ = - 3 3 t t [ -� � t 3 0, ( ) - = 1 1 1 1

ươ

ủ ệ

ứ

ượ

V i ớ

thay vào ph

ng trình th hai c a h ta đ

- = - 2 x y 1 1

(

) 2

= 2 - - x x x 2 4 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 4 3 4 2 (cid:0) (cid:0) - = 2 - - (cid:0) x 17 26 + = x 9 0 x x 4 3 (cid:0)

ỏ

V i ớ

(

) 1; 1-

ệ ươ

ậ

ệ

V y h ph

ng trình đã cho có các nghi m là

ề ệ (th a mãn đi u ki n) )1;1 và (

(cid:0) = = 2 - � x y 1 1 0 � (cid:0) x 2 1x =� = y 1 = - (cid:0) y 1

(cid:0) + + = + +

)

(

ụ Ví d 7: Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

(

3 x y

) 1

ứ ấ ủ ệ

ế ủ

ượ

ươ

Phân tích ừ ươ + T ph

ng trình th nh t c a h ta chia c hai v c a ph

ng trình cho

2y ta đ

xy x y y 1 1 3 9 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - - - - x + 2 x y xy x x 3 + 5 4 3 7 0 (cid:0)

+ + = x x x y 1 3 2 y

(

)

ấ

ố ạ

ả ủ

ươ

ả

ng trình trên ph i

ả 3 + + 9 y + + thì v ph i c a ph 2 1 ế

ệ ể Đ làm xu t hi n hàm s d ng: ư ề ạ đ a v d ng :

= t t t t f

3 y 3 y � �+ + 3 1 � � y � �

ượ

ề

ỉ ầ ư

ứ

ả

ề Đ có đ

vào trong căn và ph i ch ng minh

y (cid:0) 0 1 y

)

(

c đi u đó ta ch c n đ a ) (

x >

ứ ấ ủ ệ

ậ ậ Th t v y:

, nên t

ừ ươ ph

ng trình th nh t c a h suy ra

+ > (cid:0) y y y y 3 + + 9 3 0

2 x y

ệ

+ > xy y �� 5 0

. ề Theo đi u ki n : (

)

ế

ừ

Khi đó

ố ồ là hàm s đ ng bi n , t

đó ta đ

= x =� xy 3 f t

ứ

ươ

ủ ệ

ượ c : ượ ( c:

.Gi

i ả

ng trình th hai c a h ta đ

ợ

ng pháp nhân liên h p.

= - - - - x x x x x 3 3 y ) 1 3 + 2 4 9 7 0

(cid:0) 5

ươ

ớ ng v i:

y (cid:0)

+ + =

)

(

x x y 1 1 + + 3

+Thay vào ph ằ ươ b ng ph ả ờ ả i tham kh o L i gi xy+ 2 ệ ề Đi u ki n: x y y = không là nghi m c a h ph ệ Ta th y ấ ủ ệ ươ 0 ứ ấ ủ ệ ươ V i ớ 0 ng trình th nh t c a h t , ph 3 2 y

ng trình. ươ ng đ 3 y

(

)

> + > > (cid:0) � �

(

(*) ) + + 2 1 1

Ta có :

y y x y y xy x + + 9 3 3 0 0 0

2 x y

ệ

) ( ề Theo đi u ki n ta có:

, mà

> (cid:0) x >� y 0 0 xy+ 5

(

)

ươ

Do đó ph

ng trình

(1)

2 � � 3 � � y � �

+ + = � x x x * 1 + + 1 3 y 3 y

)

Xét hàm số ( f

ﾡ

= t t t + + , t (cid:0) 2 1 t

(

)

ế

ố

ồ

Ta có

t (cid:0) = + > " (cid:0) f t t t + + 1 1 0, ﾡ , nên hàm s đã cho đ ng bi n trên ﾡ +

)

( f x

Theo (1) ta có:

ươ

= x f xy =� 3

c: x 7

- - - - x 3 0

ượ ng trình th hai c a h ta đ = 2 x x 9 3 ( +

)

Thay vào ph ( ( �

+ - - - - - 3 y ủ ệ + 3 x 2 4 ) x x x x t 1 � � 3 =�� y � � ứ ) 1 ) ( 1 2 3 4 3 = x 3 0

(

) 1

- - - - - 2 ) x ( � x x + 2 x x 3 4 3 = 2 0 + 2 x + - x

(

( vì

)

+ 2 - - � x x 3 2 4 0 - 1 x + 2 x 2 3 + x 2 3 -� ) x 3 � + x 3 � � = x � � - x - - �� x + x 3 2 0 4 0 � - = x x + 2 3 2 0 3 + - 1 x x 3 > 2

ệ

ề

V i ớ

(th a mãn đi u ki n)

= (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) = (cid:0) 2 = x =� y 1 x ỏ

ệ

ề

ỏ

(th a mãn đi u ki n)

(

) 1;3 , 2;

ệ ươ

ậ

ệ

V y h ph

ng trình đã cho có nghi m là:

= x =� y 2 3 3 2

3 � � � � 2 � �

(

)

ụ Ví d 8 : Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

(cid:0) - x y + = - x 6 6 (cid:0) (cid:0) - - 2 ( 2 ) (cid:0) x + y x 2 + = y 2 + x 4 5 1 (cid:0)

(

) 2 ,

) 1

ủ ệ

ứ

ấ

ề

ầ

ặ

Phân tích ừ ươ +T ph

ng trình th hai c a h ta th y :

ặ đ u có m t hai l n. N u ta đ t

- x + y

ươ

thì ph

ở ng trình tr thành:

ế v 2

+ = � u v v u + = 1 1 = - x u = v + y 2; 1 u 2 + v u + 1 1

)

ượ

+ Xét hàm s ố ( f

. Thay

ươ

ỉ

= = - t � � u v x + y = y x - = 2 1 + x 4 3 t

vào ph

ứ ng trình th hai ta đ

ng trình vô t theo x.

c ph

t ừ + . T đó ta đ 2 1 ươ ượ

(cid:0) - (cid:0) - x 6, 1

ả ờ ả i tham kh o L i gi y ệ ề Đi u ki n:

ươ

ủ ệ ươ

ươ

(1)

ứ ng trình th hai c a h t

ng đ

ớ ng v i:

(

+ - y x = - 2 ) 2 + + + x 2 1 1 ) y 1 1

)

Xét hàm s ố ( f

= t t

Ta có

(

)

(

t + trên ﾡ 2 1 t t + + 1 + t 1 (cid:0) = = > " (cid:0) ﾡ t f t 0, + + + t 1 t t 1 ) 1 1

ﾡ

)

(

ế + y

( f x

ố ồ là hàm s đ ng bi n trên ) ) = 1

) ( f t Nên Do đó : (

- � � f + y 1 2 - = x 2 1

(cid:0) (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) y x 4 3

ượ

2 4

ng trình đ u c a h ta đ

V i ớ

= - y x + x + x ầ ủ ệ 3

thay vào ph (

ươ )

- x + 2 x x 2 2 4

) (

)

= 6 3

+ - - + = - x 6 3 ( � x x x + - x 2 2 + 15 2 0

(

) (

(

)

) + 3

- + - - � x x x 5 2 2 0 x x 3 = + + 6 3

(

)

) x 2 + +

(

x =�

( vì

)

) x 2 + +

ỏ

ề

(

- 2 - � x 3 0 x 6 3 � + + x 5 � � - � = � � 2 > x x � � 2 + + 5 0 x 6 3 = x 3 0

V i ớ ậ V y h ph

ệ (th a mãn đi u ki n) ệ ng trình đã cho có nghi m là:

)3;0

=� y ệ ươ

ụ Ví d 9 : Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

)

(cid:0) - y x 2 1 (cid:0) (cid:0) + + - - = + 3 x ( (cid:0) x x x + y x 5 2 6 + = y 2 1 0 (cid:0)

ứ

ươ

Phân tích ừ ươ + T ph

thì ph

ở ng trình tr thành:

= - + y x 1

ng trình th hai c a h : N u đ t u ( 3 + - +

ế (

ặ )

)

ủ ệ )

(

3 2 + u

+ = + - � u x u x u = x x 0 5 5

)

+ Xét hàm s ố ( f

c ượ

ứ ấ ủ ệ

ượ

ươ

ậ

ng trình th nh t c a h ta đ

c ph

ng trình b c hai theo x.

(cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) - � � (cid:0) + 2 - t t t - = x - = x u x y + 2 1 = + . Khi đó ta đ x 1 = (cid:0) y (cid:0) x 2

ươ

ớ ng v i:

- x 1 0

(

)

(

)

ủ ệ ươ ng đ ) 3 +

- - - + y x x + x x 2 5 1 + = - y 2 1 5

ươ Thay vào ph ả ờ ả i tham kh o L i gi + (cid:0) 3 2 ề ệ Đi u ki n: y ứ ươ ng trình th hai c a h t Ph (

(1)

)

3 5 , t

(cid:0) t

)

(

ố ồ

ế

Xét hàm s ố ( t f ( = 23 t f Ta có

là hàm s đ ng bi n trên

(cid:0) = + t + > " (cid:0) t t f 5 0, ﾡ

- - - t ) � ﾡﾡ nên ) ( =

(

Theo (1) ta có :

f + y f x x x x 2 1 + = - y 2 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 = + 2 - - (cid:0) (cid:0) x y x x + = y 1 2 2 1

ươ

ứ ấ ủ ệ

ượ

Thay

vào ph

ng trình th nh t c a h ta đ

- x x + 2 1 = y x 2

) + - 2 1

(

= (cid:0) x - (cid:0) x x = + 3 x x 1 (cid:0) � x x+ = 0 0 = - (cid:0) x 1

ệ

ề

ỏ

V i ớ

(th a mãn đi u ki n)

= x =� y 0 1 2

ệ

ề

ỏ

(th a mãn đi u ki n)

= - x = -� y 1 1 2

ệ ươ

ậ

ệ

V y h ph

ng trình đã cho có các nghi m là:

- - 0; , 1; 1 2 1 � �� 2 � ��

(

)

ụ

Ví d 10: Gi

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

ứ ấ ủ ệ

ả

ng trình th nh t c a h ta chia c hai v c a ph

3x .

(cid:0) + 2 - - - x x - = x x y y 2 4 3 1 2 2 3 2 (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) x x + = 2 14 + y 3 2 1 (cid:0)

(

ươ (

)

ế ủ ) 1

ượ

ng trình cho ) ( 3 + - 1

ta đ

- - = = - - = 3 u v + 2 v + u 2 4 u 3 v y u � , = u u + v v 1

ượ

ươ

= - 1v

ỉ

ươ

ng trình vô t theo x :

, thay vào ph ử ụ ( S d ng

3 2 ) - t t t � x - = 1 3 2

ố ề ả

ượ ủ ệ ng pháp hàm s đ gi

y - + x x x - = 2 1 15

= + . T đó ta đ ừ c ph i)

Phân tích ừ ươ + T ph 1 Đ t ặ x + Xét hàm s ố ( f ứ trình th hai c a h ta đ ươ ph ờ ả L i gi

ề

ệ

Đi u ki n:

(cid:0) (cid:0) y x 2,

ả i tham kh o 3 2

ng trình. ươ ng đ

ớ ng v i:

3 +

x (cid:0) x = không là nghi m c a h ph ệ Ta th y ấ 0 ươ V i ớ ng trình th nh t c a h t ph 0

ủ ệ ươ ứ ấ ủ ệ ươ (

)

(1)

- - - - y + y 3 2 1 3 2 1 = x 1 x � � � � 1 � � � � � � � �

(

)

(cid:0) f t = + 3 t t t , ﾡ

Xét hàm số ) =

(

)

23 t

ố ồ

ế

Ta có

là hàm s đ ng bi n trên

(cid:0) + > " (cid:0) t f t t f ﾡ

)

Theo (1) ta có :

= - - - - ﾡ nên ( � f y f y 3 2 1 3 2 � x x y - = 1 3 2 1 x 1 0, 1 � �- = 1 � � x � �

ươ

ủ ệ

ứ

ượ

Thay

vào ph

ng trình th hai c a h ta đ

- x x y - = 1 3 2

)

Xét hàm s ố ( x g x

- - - � x - = x x 2 15 1 0 - = 2 3 = - - - - 15 x 1 2 15

)

( g x

V i ớ

x > ta có

(

) 2 x 2; +(cid:0)

ế

)

(

- + x 1 x (cid:0) , 1 1 (cid:0) = + > 0 - x - 2 2

ệ

ộ

ươ

( 3 15 ( ) ( g x = có t ố 0

i đa m t nghi m, mà

) Suy ra Do đó trên ( 2; +(cid:0) ệ trình có nghi m duy nh t

g 0 = , nên ph

g x là hàm s đ ng bi n trên ố ồ ươ ng trình x = . ấ 7

ề

ệ

ỏ

V i ớ

x = suy ra

(th a mãn đi u ki n).

y = 111 98

ệ ươ

ậ

ệ

V y h ph

ng trình đã cho có nghi m là

)

(

) - = 6

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

Ví d 11ụ : Gi

(cid:0) - - 111 � � � � 98 � � ( (cid:0) x y y - + x 7 23 3 3 20 0 (cid:0) - - (cid:0) x x 2 + + - y 2 + x 3 + + y 2 8 3 - = x 14 8 0 (cid:0)

Phân tích

ứ ấ ủ ệ ặ

ta đ

cượ :

)

= - - u y 7 = x v , 6

)

. Thay

+ = - � t y x= - 1 � - = x

ỉ

ừ ươ ng trình th nh t c a h , đ t + T ph ( ) ( = + + 2 u u v 2 3 2 3 + Xét hàm s ố ( f ươ vào ph

33 t ứ ng trình th hai c a h ta đ

cượ : u ươ c ph

t 2 . Khi đó ta đ ượ ủ ệ v= 6 7 ng trình vô t theo x y :

ươ

ể ả

ợ

ươ

ử ụ + S d ng ph

ng pháp nhân liên h p đ gi

i ph

ng trình trên.

- x x 3 + - 1 - + x 6 3 - = x 14 8 0

ờ ả

L i gi

ả i tham kh o

ề

ệ

Đi u ki n:

3 +

- (cid:0) (cid:0) x 0 7 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 6 0 (cid:0) y + + (cid:0) y x 2 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) + x 2 0 + (cid:0) y 3 8 0 2

(

)

(

)

ươ

ứ ấ ủ ệ ươ

ươ

ng trình th nh t c a h t

ng đ

ớ ng v i:

(1)

- - - - x = x + y y 3 7 2 7 3 6 2 6

)

33 t

= + (cid:0) t t t 2 , 0

Xét hàm s ố ( f ( =

)

(

)

(

)

39 t

ố ồ

ế

Ta có

là hàm s đ ng bi n trên

(cid:0) t f t t f 0, 0 0;+(cid:0)

) =

(

Theo (1) ta có:

ươ

ủ ệ

ứ

ượ

Thay vào ph

ng trình th hai c a h ta đ

- - - + > 2 ( > , suy ra ) � f x y f x = - � y y x 7 6 - = 7 6 1

- x x 3 + - 1 3 8 0

)

) +

(

+ - - - - - - + x 6 ( - = x 14 ) ( � + x x x 1 5 = x 14 6 3 0

(

) ( 5 3

) = 1

- 3 ( - 3 x 5 + + - � x + x 0 1 4 ) x 5 + + + - x x 3 1 4 1 6

(

)

(

) 1

- � x + x 5 3 0 3 + + + - x + x 3 + 1 4 1 1 6 � � � � = � �

(

) > 1

(cid:0)

x = ( vì 5

)

- � � x + x 3 0 3 + + + - x + x + 1 4 1 1 6 3 1 � � ;6 � � 3 � �

ệ

ề

ỏ

V i ớ

x = ta đ 5

c ượ

(

)

) x y = ;

4 y = (th a mãn đi u ki n)

ệ ươ

ậ

ệ

V y h ph

ấ ( ng trình đã cho có nghi m duy nh t

5;4

ả ệ ươ i h ph

ng trình:

Ví d 12ụ : Gi

(cid:0) + (cid:0) x x y 3 2 (cid:0) + (cid:0) y y x 3 - + 1 - + 1 + = x 1 + = y 1 2 (cid:0)

ờ ả

L i gi

ề

ệ

Đi u ki n:

ả i tham kh o 1 x y (cid:0) , 2

ế ươ ứ

ừ

ươ

ủ ệ

ượ

Tr theo v t

ng ng hai ph

ng trình c a h ta đ

(1)

+ + + + + x x x y y y 4 2 + = 1 4 2 1

)

Xét hàm s ố ( f

= + + + (cid:0) - t t t t 4 t 2 1, 1 2

(

)

V i ớ

ta có

1 (cid:0) = > f t t 3 + + 4 0 t > - + 1 2 t 2 1

(

)

ố ồ

ế

ả

Suy ra

là hàm s đ ng bi n trên kho ng

- t f 1 +(cid:0) ; 2 � � � � � �

)

( f y

Theo (1) ta có

ươ

ứ ấ ủ ệ

( f x x= vào ph

Thay y

ng trình th nh t c a h ta đ

ượ : c

= =� x y

+ x x 2 - + 1 + = x 1 2 0

)

Xét hàm s ố ( g x

= + (cid:0) - x x + x x 2 - + 1 2 1, 1 2

)

( g x

V i ớ

ta có

1 (cid:0) = x 3 + + 2 > " > - x 0, x > - + 1 2 1 2 x 2 1

)

(

ố ồ

ế

ả

Suy ra

( g x là hàm s đ ng bi n trên kho ng

, mà

)

- g = 0 � � �

ươ

ệ

Do đó ph

ng trình

x = 0

0 1 � +(cid:0) ; � 2 � ( g x = có nghi m duy nh t ấ

ề

ệ

ỏ

V i ớ

(th a mãn đi u ki n)

(

ệ ươ

ậ

ệ

ấ

V y h ph

ng trình đã cho có nghi m duy nh t là:

)0;0 .

ả

ệ ươ

i các h ph

ng trình sau:

Bài t p: ậ Gi

= x =� y 0 0

11)

(

) 1

(cid:0) (cid:0) + = + + + 3 - - x xy y y (cid:0) x x = y y y x 5 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - + + - (cid:0) x 6 2 - = y 4 3 1 (cid:0) (cid:0) y x y x x y 7 13 + = 8 2 3 3 (cid:0)

12)

(

) 1

(cid:0) + 3 = - - - - - (cid:0) - - (cid:0) x x x y + y y x 3 4 2 1 (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) + - - + x 11 + + y 2 + = 9 0 + + = + (cid:0) - x y 4 5 5 = 11 2 (cid:0) (cid:0) y y y x x x x 3 4 22 21 2 2 1 (cid:0)

13)

(cid:0) (cid:0) = 3 + 2 - + 3 - - (cid:0) (cid:0) x y y - + x x 3 4 x y = y + 3 x x y 3 3 (cid:0) (cid:0) + + + + - - (cid:0) (cid:0) x y x y y xy 3 3 2 = 19 105 (cid:0) x + x = y 5 - + 1 3 5 (cid:0)

(

)

14)

(cid:0) (cid:0) + + + + - - - (cid:0) x x x y y + y x x y 3 4 + = 2 3 2 3 1 1 - = 1 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) + (cid:0) + x - = y 1 2 (cid:0) (cid:0) x y 7 + + 4 4 3 + = 1 7 (cid:0)

(

) 1

) = 1

(

) 1

15)

)

16)

(

) 1

22 x

(

)

(

)

17)

(

(cid:0) + - - (cid:0) (cid:0) x x y + 2 y 1 4 2 0 + = + + x y y 3 4 4 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) y + + = x xy 2 8 0 3 - - (cid:0) x x ( + x x + y 4 1 = 15 0 (cid:0) (cid:0) = + - - (cid:0) x y x 6 3 + y 3 (cid:0) - - (cid:0) x x 11 + y 2 (cid:0) (cid:0) + - (cid:0) x y x + - x y 4 + - y x y 6 = 10 5 + 4 (cid:0) + + - - (cid:0) y y x = 10 0 + x + y + x x 3 4 22 = 23 2 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) + = y 1 0 2 (cid:0) - - - (cid:0) x - + x y y 53 5 10 5 48 = 9 0 (cid:0) (cid:0) - - - + - 7 ) (cid:0) x x y 2 3 2 - = y 2 1 0 (cid:0) - - (cid:0) x x x y 2 - + + y 6 2 + + x 2 11 (cid:0)

(

) 1

(

18)

(

) 1

(cid:0) + + - (cid:0) x = y + y 21 (cid:0) + 2 - - = - 66 ) x x y = 2 y 3 + + 2 2 1 0 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + + - y = x + x 21 (cid:0) = 2 - - - (cid:0) x x + 2 y x 2 2 1 2 1 (cid:0)

(

)

19)

(cid:0) + (cid:0) - (cid:0) x x y 3 5 - + 9 + = y 1 3 (cid:0) x + y 8 3 2 4 (cid:0) (cid:0) + (cid:0) - = x 1 + 3 - - (cid:0) (cid:0) y y x 3 5 - + 9 + = x 1 3 (cid:0) x + x y y 4 8 3 y + = y 2 3 0

(

)

(

)

(

)

) 1

20)

10)

3 2 12

(cid:0) - - - - (cid:0) - - - x + = x y x y x 2 6 2 (cid:0) (cid:0) x y y 12 3 - + x 4 6 9 = 3 2 0 (cid:0) (cid:0) + - - - - (cid:0) (cid:0) x xy = x x y 3 18 - + x 6 5 x + y x + 2 x (cid:0) 2 7 8 3 14 = y 18 + x 6 13 (cid:0)

ư ạ

ự

ự ụ

ỏ

ằ

ả

ạ

ả

ứ

ươ

i ph

ụ kh năng ng d ng đ o hàm vào gi

ể ệ ươ

ệ

ố ượ

ự

ứ

ệ ứ ỉ ng trình vô t . ị ng, đ a bàn và cách th c nghi m: ề

ớ

ế ị

ệ ở ớ

ở

ng THPT M Tho – Ý Yên – Nam Đ nh. H c sinh

ề

ườ ứ

ọ

ỹ

ệ ệ

ọ ươ ng đ ớ

ứ

ố

ọ

i ph

ệ

ươ ươ

ự

ạ

ư ụ ể

ụ ươ

ế

ạ

ọ ớ ả ợ l p th c nghi m đ ệ ọ

ể ả ng pháp dùng đ o hàm đ gi ờ ự

ừ ầ

ụ

ự

ế

ự

ệ

ế ố ợ ấ ượ

ể ậ ầ

ế ề

ế

ớ

ớ ể ng bài làm gi a hai l p đ rút ra k t lu n c n thi

ỉ t và hoàn ch nh đ tài.

ủ

ự

ở

ự trên, th i gian th c nghi m là t

ừ ầ ả ự

ế ệ

ế

ề ạ

ươ

ượ

ể

ở

ệ 3.Th c nghi m s ph m: 3.1 M c đích th c nghi m: ế Nh m ki m tra ki n th c, làm sáng t trình và h ph ự 3.2 Đ i t Trong khi nghiên c u đ tài này, tôi đã ti n hành th c nghi m hai l p 12A2 và ỹ ộ 12A3 tr hai l p này có trình đ ươ ọ ậ ậ nh n th c, đi u ki n h c t p và k năng h c toán t ng nhau. Tôi ch n l p 12A2 ớ ứ ự ớ ớ ươ ố làm l p th c nghi m và l p 12A3 làm l p đ i ch ng. L p đ i ch ng h c gi ng ừ ỉ ằ ươ ặ ẩ ng trình vô t b ng các ph trình, h ph ng pháp nâng lũy th a, nhân liên h p, đ t n ỉ ớ ở ớ ọ ượ ệ ệ ph , còn ph ng pháp đ o hàm ch gi i thi u qua. Nh ng c h c ạ ở ả ộ i toán m t cách c th , chi ti ph t. Vi c gi ng d y hai ế ọ ệ ớ đ u năm h c cho đ n h t h c l p tr c ti p do tôi ph trách, th i gian th c nghi m là t ả ứ kì I. Cu i đ t th c nghi m tôi cho hai l p làm bài ki m tra. Tôi đã căn c vào k t qu so sánh ch t l ộ 3.3 N i dung và th c nghi m: ố ọ ệ ư đ u cho đ n cu i h c kì I c a năm Nh đã nói ọ ọ ề h c 2014 2015, xong đ tr c ti p đánh giá k t qu th c nghi m cho đ tài, tôi đã ch n ầ ầ ph n ph n 2.2.1.2. Ph

ế c đ a v d ng f(u) = f(v). Khâu ki m tra bài cũ

ữ ệ ờ ể ự ng trình đ

ồ

ặ

ộ ươ

ề ạ ng trình vô t b ng ph

ư ậ

ươ ệ

ươ ả ệ ự

ế

ứ

ươ

ừ ạ ộ

i ph

ể

ệ

ỉ ứ

ệ ố

ọ

ế ướ

ữ

ủ ư ỹ ộ ệ ươ

ệ ươ ng trình và h ph

ự

ớ

i đ

ố

= (cid:0) u v

ệ ứ ấ ề ơ

ư c n u nh hàm s v= . Sau ỉ

ầ a b ( ; ) ươ

ẫ

ả ượ ế u khi và ch khi ạ ươ ng trình d ng này:

ướ ướ c h

f v ( ) ả i ph

)

( f u

( f v

ề ạ

ươ

ế

ổ

ố

( v i ớ ,u v là các hàm s theo

ng trình v d ng:

(

)

ố ( f

ệ

ố ơ là hàm s đ n đi u.

ố ể ế

ướ ướ

ử ụ

ệ

ậ

t f t

ể ậ ộ ố ạ ư ệ ng trình v d ng đ ng b c và m t bài ki m tra t: đ a ph 2.2.1.3. M t s d ng đ c bi ạ ỉ ằ ầ ọ ng pháp đ o i h ph 45 phút sau khi h c xong ph n 2.2. Gi ố ươ ộ ả ả ng pháp hàm s trong hàm. Nh v y, đ m b o cho n i dung th c nghi m v a có ph ớ ứ ả ng trình vô t trong các ho t đ ng nghiêm c u ki n th c m i, gi ng trình, h ph ế ạ ộ ừ ừ v a có trong c ng c hoàn thi n ki n th c, v a có trong ho t đ ng ki m tra, lĩnh hôi ki n ươ ự ế ứ ng pháp ti n hành th c th c cũng nh k năng h c sinh. D i đây tôi xin trình bày ph ệ ử ụ ế ố ể ả ươ nghi m nh ng n i dung có liên quan đ n vi c s d ng ph i ng pháp hàm s đ gi ệ ự ỉ ở ớ l p th c nghi m. ng trình vô t ph ứ ứ ế 3.3.1 Th c nghi m trong nghiên c u ki n th c m i: ể ọ ầ ế ả Th nh t v ph n lý thuy t: h c sinh c n ph i hi u và lý gi f u ( ; )a b thì v i m i f x đ n đi u trên ệ ọ , ớ ( ) ( ) thì ừ đó giáo viên t ng b ng pháp gi ng d n các em ph ướ B c 1: Tìm ĐKXĐ ướ B c 2: Bi n đ i ph x ) ứ , ch ng minh B c 3: Xét hàm s ệ ủ ấ ơ B c 4: S d ng tính ch t đ n đi u c a hàm s đ k t lu n nghi m.

ế

ị

ứ

ố ớ

ế

ặ

đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên

ồ ng pháp đ o hàm đ ch ng minh.

= f t ( ) ( ; )a b

ế

ả

ầ ươ t t

ố ồ ố

ế

ạ thì thì ượ

ươ

ả

" (cid:0) ( ; )a b . " (cid:0) f f

ứ

ế

ị i giáo viên ti p t c kh c sâu ki n th c

( ; )a b . ắ

ng pháp gi ủ ộ

ả ế ụ ầ

ậ

f t là hàm s đ ng bi n trên kho ng ( ) t là hàm s ngh ch bi n trên kho ng f ( ) c ph ụ y ố Riêng đ i v i ph n ch ng minh hàm s ể ứ ể ử ụ có th s d ng ph t > a b N u ế ( ; ) '( ) 0 t < a b N u ế ( ; ) '( ) 0 ắ ọ Sau khi h c sinh đã n m đ ằ cho các em b ng các bài t p áp d ng. Đ khó c a các bài t p tăng d n.

ươ

ả

(

) 1x +

+ - - x 2 - = x 2 5 5 2 2

i ph ọ

ng trình: ấ

ể

ví d này h c sinh th y trong ph

i d u căn là :

2 + - 1 ươ x ứ ướ ấ x 1 ng trình có hai bi u th c d

)

ụ Ví d 1: Gi Ở ụ và ( 5

ặ

ế . Do đó n u ta đ t

, ph

= + = - + = + u x v x 2 1, 5 2 2x - u u v v

ở ươ ng trình tr thành: ) (

(

)

ố ặ

+ Xét hàm s đ c tr ng:

(

)

ế )

ề

ệ

ỏ

1 1 = + > > = + (cid:0) � f t t 0, 0 f t t t t , 0 t 2 t 5 (cid:0) t f (0; )+(cid:0)

(th a mãn đi u ki n)

ố ồ là hàm s đ ng bi n trên ( ) =� = v f u u 1x =� + ượ 5 c: x ệ

x 2 2 1

( f v - = ng trình đã cho có nghi m

Theo (1) ta có : V i ớ u ậ V y ph

v= ta đ ươ 1x =

+ + + Ở ụ x x + + 3 + = 2 2 3

ươ

ng trình t

ng đ

ớ ng v i:

ả ví d 2: Gi ả ộ

)

ng trình: 2 ế ủ + + + + + x 2 ươ ớ ng trình v i 2 thì ph ) ( + x x x x 2 2 2 + = 2 3 2 2 ươ i ph ả + Ta ph i c ng c hai v c a ph ( x ươ + 3

Khi đó đ t ặ

= + (cid:0) (cid:0) u 2 > (cid:0) , u v , 0 + (cid:0) (cid:0) v x 3

ươ

(1)

+ u u = + v v

(

)

t > 0

Ph Xét hàm s ố ( f )

(

)

ế

là hàm s đ ng bi n trên

1 > x 2 = + 2 ở ng trình tr thành: ) � t f 0 = + 1 = + t t t t , > 0 t 2 (cid:0) f t 0; +(cid:0)

)

ố ồ ( ) f u

( f v

ừ

ủ

ệ

ươ

Theo (1) ta có

đó suy ra nghi m c a ph

ng trình.

ỹ

ả

ứ

ươ

i, có k năng phân

ụ

ắ = f u ( ) ậ

ượ ụ ọ Qua hai ví d h c sinh đã n m đ f v ể ư ượ ề ạ ( ) c v d ng tích đ đ a đ ượ ế ế t 2 l Sang đ n ti

ng bài t p khó h n

ơ ở ế ti + +

ể +

= =� u v

(

c ph ng pháp, cách th c gi , giáo viên đ a ra ví d 3 và ví d 4. )

ả

ươ

ụ ra ví d 5: Gi

i ph

ng trình:

ế

ọ

+ = + x x x x 3 9 2 2 1 3 0 1 4

( i. N u các em có l

i t

t 1. Sau khi ki m tra bài cũ giáo viên đ a ) + + x ờ i gi ụ

ụ

ạ

ự ả gi ế

ể

ụ ) ( ả ố ằ ươ t b ng ph ậ Ở các ví d còn l ệ

ượ

ầ

ạ ng pháp đ o hàm có i giáo c các cách phân

ế ậ t v n d ng vào bài t p. ọ f u ( )

ầ f v ( )

ặ ề

ể ư

ầ Yêu c u h c sinh t nghĩa là các em dã hi u ki n th c và bi ỏ ợ viên đ t câu h i g i m cho h c sinh. H c sinh d n d n phát hi n đ ề ạ tích đ bài đ đ a ph

ứ ở ọ ươ ng trình v d ng

ệ

ế

ự ầ

ủ ộ ố ạ

ố ế

ề ạ

ồ

ươ ứ ủ ọ

ổ ặ ể

ệ ộ

ể

ươ

ả

ứ ế 3.3.2 Th c nghi m trong c ng c , hoàn thi n ki n th c: ậ ư t: Đ a ph Đ n ph n 2.2.1.3. M t s d ng bi n đ i đ c bi ng trình v d ng đ ng b c ư ậ 3, trong khâu ki m tra bài cũ, đ tìm hi u trình đ nh n th c c a h c sinh giáo viên đ a ra bài ậ t p gi

ng trình:

i ph

3 3 3

ầ

ọ

Và yêu c u h c sinh t

ự ả gi

+ - = 1 + - - x 4 x x 1 3 1 13

ệ

ể

ộ ề ể

ế

ể

ạ

ầ

ậ ụ

ậ

ấ

ề ể

ạ ư

ự 3.3.3.Th c nghi m trong ki m tra, đánh giá ế t ki m tra 45 phút, giáo viên ti n hành so n b đ ki m tra theo ba yêu c u Trong ti ậ ủ ế ch y u: nh n d ng, v n d ng b c th p, v n d ng cao. Đ ki m tra nh sau:

Câu 1: Gi

+ + 1 2

0 + 6

Câu 2: Gi

- = x 6 + + x 4 1 + x 4 1

ươ ả ng trình sau: i các ph + + a) 3 6 x x 3 2 - = - + b) 5 x x 7 1 5 ả ệ ươ ng trình: i h ph + - + + y 1

)

(cid:0) (cid:0) y 0 (cid:0) x ( + = 2 1 ( (cid:0) - + y x + x y x ) 1 + + + x y 3 2 2 + = + x x 3 1 (cid:0)

ả ự

ệ

ế

3.3.4 Đánh giá k t qu th c nghi m

ế

ể

ử

ể

ướ

+ Trong ti

ng:

ạ

ỏ

ổ

ể

ế

ớ

T ng h p đi m toàn bài làm c a h c sinh t ng l p, x p thành các lo i: Gi

i(810),

ế

ừ i 5). ố

ừ

ạ

ở ỗ ớ

ế

ấ t ki m tra 45 phút tôi đã ch m đi m và s lý theo hai h ủ ọ ợ ướ khá(78), trung bình(56), Y u,kém(d ể ph n trăm h c sinh đ t đi m t

i đa trong t ng câu

ể m i l p đ rút ra k t

ỷ ệ l ế

ậ

ọ lu n. K t qu c th nh sau:

ủ ọ

ả ổ

ể

ớ

ợ

ầ ả ụ ể ư ế

K t qu t ng h p đi m c a h c sinh các l p

ớ

Phân lo iạ

ố

ố ch ngứ T l

nghi mệ T l

ố

iỏ Gi Khá Trung bình ế Y u, kém ổ T ng s

L p đ i ạ S bài đ t 2 15 17 8 42

%ỉ ệ 4.7 35.7 40.5 19.1 100

ự ớ L p th c ạ S bài đ t 12 23 7 0 42

%ỉ ệ 28.6 54.8 16.6 0 100

ả ổ

ể

ế

ợ

ố

K t qu t ng h p đi m t

ỏ i đa cho các câu h i

ớ

Phân lo iạ

ố

nghi mệ T l

ố ch ngứ T l

Câu 1.a Câu 1.b Câu 2

%ỉ ệ 85.7 35.7 9.5 ệ

ự ớ L p th c ạ S bài đ t 42 25 19 ề

%ỉ ệ 100 59.5 45.2 ố

ơ ấ

ớ ớ

ự

ệ l p th c nghi m ít khác bi

ệ

ệ ở t

ả ả ể

ự

ể

ỷ ệ l

ố ư

ươ

ể ả

ươ

L p đ i ạ S bài đ t 36 15 4 ế ả ở ớ ế ư ậ ứ l p th c nghi m cao h n r t nhi u so v i l p đ i ch ng, k t Nh v y, k t qu ế ậ ủ ạ ệ ự ượ ở ớ t trên các d ng khác nhau c a bài t p. K t c qu thu đ ể ặ ọ ự ượ ủ câu phát c c a h c sinh cũng không có s chênh l ch đáng k , đ c bi qu thu đ ấ ề ẳ ạ ọ i đa cao h n h n. Đi u đó cho th y các em đ t đi m t tri n năng l c cho h c sinh t ử ụ ứ ơ ả ế ộ ượ ng pháp c ki n th c c b n cũng nh các kĩ năng s d ng ph các em đã lĩnh h i đ ả ơ ạ ẳ ủ ệ ệ ế ươ ng trình. K t qu th c nghi m cho th y rõ hi u qu h n h n c a i ph đ o hàm đ gi ỉ ạ ử ụ ươ ng trình vô t . ng pháp s d ng đ o hàm trong gi ph

ấ ệ ươ ng trình, h ph

ả ự ả i ph

Tính t

ạ

ệ

ế

ạ

ộ ế ố

ế ị

ọ

ấ ượ

ươ ầ quan tr ng góp ph n quy t đ nh s l ả ươ

ọ ệ ự ư

ứ ụ ể ủ ứ

ọ ủ ừ ươ

ế

ề

ọ

ạ ể ả i u đ gi

ọ

ọ ố ư ng pháp t ọ ọ ủ ươ ệ

ủ

ạ

ỉ

ng trình và h ph ươ

ệ

ộ

ỉ

ạ

ự ơ

ả ằ

ượ

c gi

ươ ế ấ ả

ủ ữ ẹ

ắ

ả III. Hi u qu do sáng ki n đem l ạ ọ ng pháp mà giáo viên Trong d y h c nói chung và trong d y môn toán nói riêng, ph ế ọ ố ượ ứ ề ả i ki n th c cho h c sinh là m t y u t ng truy n t ộ ế ng ki n th c cho h c sinh lĩnh h i. Vi c l a ch n ph ng pháp nào ph i tùy và ch t l ọ ộ ứ ặ ộ thu c vào n i dung c th c a tri th c và đ c tr ng c a t ng môn h c. Trong d y h c ứ ạ ớ ượ ng ki n th c nhi u và ph c t p, ch n ph i toán môn toán, v i l ố ỉ ố ớ ộ ấ ệ ề là m t v n đ vô cùng quan tr ng, không ch đ i v i vi c h c c a h c sinh mà còn đ i ớ ệ ươ ề ng trình vô t thì v i vi c d y c a giáo viên. Trong chuyên đ ph ả ọ ạ ươ ng pháp h c hi u qu cho ng pháp dùng đ o hàm không ch có ý nghĩa là m t ph ph ụ ấ ọ h c sinh mà còn là ph ng pháp d y tích c c c a giáo viên. Đ o hàm là công c r t ể ả ạ “m nh” đ gi i b ng công ụ ạ c đ o hàm thì l

ề ữ i quy t r t nhi u bài toán, h n n a nh ng bài toán đ ọ ỏ ờ ra ng n g n và đ p h n.

i cũng t

i gi

1.Tr

ủ

ươ

ướ ế ố ớ ệ ạ ủ ạ

ụ

ư ả ấ

ươ

ng trình, h ph

ố

ỏ

ệ ị ớ

c h t đ i v i vi c d y c a giáo viên: Trong vi c d y c a giáo viên, ph ề ứ ệ ươ ươ ng trình, b t ph ấ

ạ ệ ng trình mà còn có nhi u ng d ng nh gi ấ ứ ấ ủ

ề ỏ ỉ i t nh.

ỉ

ươ

ng trình, h ph

ượ

ạ ờ

ọ ể ả i ph ấ

ẫ

ề

ế

ụ

ớ ọ

c th i gian cung c p thông tin trên l p, gi m b t nh ng l ể

ươ ng trình vô t giúp cho ả ữ ả i i gi ộ ượ ng

ệ ờ ớ t mà v n có th truy n th cho h c sinh m t l

ầ ố ng đ i khó.

ạ

ể

i u quá trình t

ế

ứ

ươ ỉ ể ả ng pháp đ o hàm không ch đ gi ng i ph ả ươ i bài toán ng trình, gi i b t ph trình, h ph ấ ẳ ứ ố ươ ng trình ch a tham s , ch ng minh b t đ ng ph ế ố ứ th c, tìm giá tr l n nh t nh nh t c a hàm s …Đi u đó giúp cho giáo viên có v n ki n ố ứ ể th c đ ôn thi THPT Qu c Gia và ôn thi h c sinh gi ươ ng pháp dùng đ o hàm đ gi ệ ế t ki m đ giáo viên ti ườ r m rà và các thao tác không c n thi ươ ứ ớ ế ki n th c l n và t ố ư ươ ằ ng pháp đ o hàm giáo viên có th khai thác t B ng ph ế ể

ể ắ

ư ư ự ự

ờ

ồ

ợ

ữ

ậ ệ

ắ ỡ

ỹ ộ ủ

ộ ỹ ả ủ ể ọ

ỉ

ợ

ộ

ị

ọ

ắ

ấ ơ

ủ

ệ

ố

ượ

ơ ữ

ắ ệ ủ ươ

ả c tính đ n đi u c a hàm s trên m t kho ng. ệ ố

ế ậ

ừ

ụ

ộ

ạ t v n d ng linh ho t,

đó bi

ừ

ệ ươ

ươ

ạ

ọ

ỉ

i ph

ng trình h ph ế

ố ủ

ế ứ

ệ

ng trình, ch ng minh b t đ ng th c, bài toán ph

ạ ng trình, h ph

ứ ứ ữ

ươ ẩ

ươ ố

ị ướ

ọ

ị

ố

ươ

i ph

ỉ ự ng trình vô t d a trên c s ả

ả ạ ầ

ặ

ở

ệ ng trình h ph ọ ậ ủ

ưở

ẫ

ầ

ọ

ộ

ự

ộ ộ ươ

ệ

ả

ọ

ạ i bài toán ph

ng trình b ng ph

ươ ẩ

ệ ẫ

ằ ỉ

ỉ ạ

ọ

ố

ọ ậ ạ

ươ

ệ

ụ t trong h c t p. ng pháp dùng đ o hàm đ gi

ỉ ng trình vô t còn là m t c

ng trình h ph

i ph

ự

ừ

ứ

ộ ơ ọ ậ đó cho các em h ng thú trong h c t p,

ể ả ị kh ng đ nh mình, t

ỗ ọ ụ

ẳ ể ế

ệ ươ

ể ả

ươ

ạ

ỉ

ặ ng trình vô t có ý nghĩa đ c

ng trình h ph

i ph

ng pháp dùng đ o hàm đ gi ể

ệ

ọ ỹ

ố ỹ

ươ

ệ

ả

ế ng pháp hàm s , k năng bi n

i bài t p b ng ph ả

ả

ờ

ủ duy c a ả ọ h c sinh và ki m tra m t các khái quát kh năng ti p thu ki n th c cũng nh s hình thành k năng k s o c a các em.Vì v y, có th n m b t nhanh và chính xác năng l c và ề trình đ c a h c sinh đ có nh ng bi n pháp giúp đ riêng thích h p, đ ng th i đi u ạ ủ ch nh hành đ ng d y c a mình cho phù h p. ố ớ ệ ọ ủ ọ 2. Đ i v i vi c h c c a h c sinh: ứ ề ế 2.1 V ki n th c: ứ Giúp cho h c sinh n m ch c đ nh nghĩa và các tích ch t đ n đi u c a hàm s , ch ng ộ minh đ ắ ọ ng pháp m t cách có h th ng, t H c sinh n m v ng ph ạ ạ ậ sáng t o vào t ng d ng bài t p. ể ả ươ ng pháp dùng đ o hàm đ gi Ph ng trình vô t giúp h c sinh có ắ ể ứ ớ th nh và kh c sâu thêm ki n th c liên quan đ n hàm s c a các d ng toán khác nhau ươ ấ ẳ ư ả ấ i b t ph ng nh gi ế ứ trình ch a tham s ….Trang b cho h c sinh ki n th c v ng vàng chu n b b c vào các kì ỏ ọ thi h c sinh gi i và thi THPT Qu c Gia. ề ư ưở ng tình c m: t 2.2 V t ơ ở ể ả ươ ng pháp dùng đ o hàm đ gi Ph ẽ ủ ổ ạ ợ h p tác ch t ch c a th y và trò, t o ra không khi h c t p sôi n i, tình c m c i m thân ả ng l n nhau c a th y và trò. Qua đó đ ng viên, ái, thái đ thông c m, tôn tr ng và tin t ậ ế ầ ừ khuy n kích tinh th n sáng t o, tìm tòi không ng ng và tích c c trong hành đ ng nh n ứ ủ ươ ng trình h ph th c c a h c sinh. Vi c gi ng pháp ầ ạ đ o hàm giáo d c cho các em tính chuyên c n kiên nh n, c n tr ng và t m , t o cho các em thoi quen t ươ Ph ộ ể h i đ cho m i h c sinh t ộ ắ ầ tinh th n kh c ph c khó khăn đ ti n b . ề ỹ 2.3 V k năng: ươ Ph ệ t trong vi c phát tri n h c sinh: bi ọ Rèn luy n cho h c sinh k năng gi ổ đ i, kh năng phân tích phán đoán tìm tòi l

ậ i gi

ằ i.

ỉ

ạ

ươ

ể ả

ứ

ệ ươ ng trình h ph ấ i m c cao nh t kh năng t

ọ

ấ

ế

ễ

ự ọ ả

ố ờ ươ

ươ ớ duy, khát quát phát tri n năng l c t ể ự ọ ớ

ể ở ộ ạ

ọ

ng pháp đ o hàm h c sinh v a t

ứ

ể ự ạ

ữ

ỉ ằ

ươ

ệ

ả

ỏ ọ ng trình vô t đòi h i h c sinh ả ủ ả duy c a b n thân, ự ự ọ h c và thói ự ộ h c su t đ i, m r ng ra đó là năng l c đ c ừ ự t o ra ạ ng pháp đ o

ọ ng pháp ngoài ra h c sinh còn có th t ng trình vô t b ng ph

ừ c nh ng bài toán gi

ọ h c sáng t o, giúp h c sinh có th t ề ự i quy t các v n đ th c ti n đ t ra. V i ph ắ i ph

ể ả

ươ

ỉ

i ph

ng trình h ph ỏ

ệ

ầ

ố

ệ

ạ

ả

ọ

ươ ng trình vô t có ý ể i, góp ph n phát tri n duy sáng t o, tìm tòi không

ừ

ự

ấ ệ ọ ậ ọ

ượ ế ề

ươ

ư ng pháp này ch a khai thác đ

c h t ti m

Ph i ph ng pháp dùng đ o hàm đ gi ả ph i đào sâu suy nghĩ, tìm tòi phát huy t ư ệ thông qua đó rèn luy n cho h c sinh t ạ quen t ặ ậ l p gi ữ ươ ế chi m lĩnh tri th c, v a n m v ng ph ươ ượ đ ng trình, h ph hàm. ư ậ ệ ạ Nh v y ph ng pháp dùng đ o hàm đ gi ớ nghĩa to l n trong vi c ôn thi THPT Qu c Gia và ôn thi hoc sinh gi ạ toàn di n h c sinh và nh t là t o cho các em kh năng t ng ng và tích c c trong vi c h c t p. ạ Tuy nhiên trong d y h c môn toán ph ủ năng c a nó.

ế

ậ

ờ

ệ

ự

ươ

ứ ế ợ

ộ

ầ

ạ

ươ

ớ nghiên c u cùng v i các ph ự ế ả ớ ỉ ằ

ọ

ặ

ả

ươ

i ph

ng trình, h ph

ạ

ề

ươ

ệ ế

ọ

ế

ộ ệ ố ộ

ố t là gi ự ể ậ

ợ

ể

ườ

ươ

ứ ạ ừ

ệ ng pháp đ o hàm. Đ tài này tôi đã d ng m t h th ng ki n th c t ả ụ ể

ọ ụ

ấ ị ạ

ỹ

ạ

ng pháp c th trong t ng tr ứ ệ

ể ệ

ươ

ỉ

ng trình, h ph ậ

ự

ệ

ậ

ể ế

ợ

ổ

ng trình, và h

ả ằ

ượ

ố

ự ng trình đ

c gi

ắ ươ

ọ

ứ ủ ả

ế

ạ

ọ

ng đ

ị ủ ọ

ế

ấ

ng h c sinh chúng ta đ u truy n t ứ ơ ả ệ

ộ ộ

ự

ế

ệ

ọ

ố

ấ ỉ

ề

ạ

ấ

ả

ự ế ng và c p t nh. Áp d ng đ tài này vào gi ng d y th c t ố

ệ ọ

ạ

ấ

ụ

ế ứ

ượ

ọ

ế tìm tòi nghiên c u, đúc k t ỏ ấ i c p ả ủ tôi th y tính hi u qu c a ỏ i ổ ứ ng cho h c sinh

ụ ữ ề ơ ượ c hoàn thi n h n, đáp ng đ

ẽ ồ ưỡ ầ c nhu c u b i đ

ả

ạ

3.K t lu n ọ ộ ng pháp tìm đ c tài li u tham Sau m t th i gian t ề ấ ằ ạ ậ ư ầ ả gi ng d y tôi th y r ng chuyên đ : kh o, s u t m các bài t p và k t h p v i th c t ươ ệ ươ ả ng trình, h ph i ph “Gi ng pháp đ o hàm ”đã m t ph n nào ng trình vô t b ng ph ố ớ ọ ụ có tác d ng đ i v i h c sinh và giáo viên ôn thi THPT Qu c Gia. Sau khi h c xong chuyên ươ ấ ứ ề đ này các em hoc sinh r t h ng thú h c toán đ c bi ng ứ ừ ỉ ằ trình vô t b ng ph ạ ụ ừ ơ ễ ế d đ n khó, t đ n gi n đ n ph c t p giúp h c sinh có th v n d ng m t cách linh ho t ừ ng h p nh t đ nh. Qua đó h c sinh có th đào t ng ph ọ ả ế i hay cho bài toán. Bên c nh đó các ví d có th giúp h c sâu ki n th c, tìm tòi cách gi ả ươ ậ ớ ng sinh rèn luy n k năng, kĩ s o làm quen v i các d ng bài t p ph ọ ẩ ỏ ầ trình vô t khác nhau, góp ph n nh bé trong s phát tri n trí tu , tính c n th n, khoa h c, ệ ươ ứ năng l c nh t xét, phân tích phán đoán t ng h p ki n th c…Khi ph ơ ươ ờ ễ ể ọ ả ươ i ng n g n, d hi u. H n i gi ng pháp hàm s thì l ph i b ng ph ệ ề ở ế ể ể ữ ng di n khác nhau: nhi u ph n a giáo viên có th ki m tra ki n th c c a h c sinh ả ấ ả ố ứ ư ứ ộ ắ t c các đ i duy logic, ph n x nhanh. Tuy nhiên không ph i t m c đ n m ki n th c, t ầ ề ả ộ ể ố ượ ề ượ i n i dung trên mà c n xác đ nh đúng đ i t t ợ ỹ ờ ớ cung c p ki n th c c b n phù h p v i trình đ và qu th i gian c a h c sinh. ứ ả ủ ế Sáng ki n kinh nghi m này là k t qu c a m t quá trình t và rút kinh nghi m trong quá trình ôn thi THPT Qu c Gia và ôn thi h c sinh gi ườ tr ề đ tài r t cao, đã đ t nh ng thành tích trong ôn thi THPT Qu c Gia và ôn thi h c sinh gi ể ỉ t nh, có th áp d ng đ tài này cho các năm ti p theo. Qua đó tôi s nghiêm c u và b ể ề ệ sung đ đ tài này đ ế ể đ có k t qu cao trong các kì thi. ề Trong quá trình biên so n tôi đã có nhi u c g ng xong kinh nghi m còn h n ch ấ

ượ ự

ạ ủ

ữ

ế

ỏ

ố ắ nên không tránh kh i nh ng thi u sót. Tôi r t mong đ

ế ệ c s đóng góp ý ki n c a các

ể ề

ượ

ệ

ồ

ệ

ầ

ọ ậ ủ

ạ ả

ạ

c hoàn thi n h n, góp ph n nâng cao ọ

ầ th y cô và b n bè đ ng nghi p đ đ tài này đ ấ ượ ch t l

ng gi ng d y và h c t p c a giáo viên và h c sinh. ố

ả ơ

Cu i cùng tôi xin chân thành c m n!.

ạ

ặ

ế

ề

IV.Cam k t không sao chép ho c vi ph m b n quy n

ế

ệ

ế

ả

ợ

ỹ

ng THPT M Tho – Ý Yên – Nam Đ nh. Trong tr ề ở ữ ố ớ

ệ

ộ

ộ ả ệ

ế ạ

ườ

ạ

ị

ụ ườ ẩ ầ ướ i vi ph m, tôi hoàn toàn ch u trách nhi m tr

ả Tôi xin cam k t sáng ki n kinh nghi m này tôi đã áp d ng thành công trong gi ng ả ị ạ ạ ườ i tr d y t ng h p có x y ra tranh ề ấ ch p v quy n s h u đ i v i m t ph n hay toàn b s n ph m sáng ki n kinh nghi m này mà tôi là ng c lãnh đ o đ n v , lãnh ạ ở đ o s GD&ĐT.

Ế

SÁNG KI N

Ơ Ị Ế

Ụ

Ả (ký tên)

C QUAN Đ N V TÁC GI ÁP D NG SÁNG KI N (xác nh n)ậ

ữ

…..…………………………………….. ạ ….……………………………………… Hoàng H u Đ t ………………………………………….. ………………………………………….

Ả

Ệ

TÀI LI U THAM KH O

ơ ả

ạ

ọ

ỏ

i tích 12 Tác gi

ng h c sinh gi

:ThS. Lê Hoàng Phò.

ả ạ ố

: ThS. Đ Thanh S n.

ươ

ặ

ả ơ ỗ : Đ ng Thành Nam.

i nhanh Ph ả

ủ

+ SGK, SBT c b n, SGK, SBT nâng cao. + T p trí THTT. ề + Các đ thi ĐH . ạ ố ả ồ ưỡ i Đ i s Gi + B i d ọ ọ ả ể ậ + Tuy n t p các bài toán ch n l c Đ i s Gi i tích 12 – Tác gi ả ệ ươ ả ậ ng trình – H ph ng trình Tác gi + Kĩ thu t gi ễ ấ ễ ủ ề + 18 ch đ Gi

i tích 12 Ch biên: Nguy n T t Thu – Nguy n Văn Dũng.