Giải tích I và II - Phép tính vi phân và tích phân (Tập 2): Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:126

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 cuốn sách "Phép tính vi phân và tích phân" doc GS.TS Nguyễn Văn Khuê làm chủ biên trình bày các nội dung: Tích phân Riemann, phép tính tích phân của hàm vô hướng; tính tích phân nhở nguyên hàm; ứng dụng của tích phân; tích phân suy công; dãy hàm, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi fourier,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích I và II - Phép tính vi phân và tích phân (Tập 2): Phần 1

GS. TS. NGUYỄN VĂN KHUÊ (Chủ b iê n ) PTS. CẤN VẨN TU ẤT - PTS. ĐẬU THÊ CẤP VI PHÂN «TÍCH PHÂN ( G IẢ I TÍCH 1 1 ) ,1 Tập II ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM
GS.TS NGUYỄN VĂN KHUÊ (Chủ biên) PTS. CẤN VẪN TUẤT - PTS. ĐẬU THỂ CẤP PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN (GIẢI TÍCH I VÀ II) TẬP II
CHUƠNG VI PH ÉP T ÍN H T ÍC H PHÂN §1- TÍCH PHÂN RIEMANN 1- K h á i niệm cơ b ả n Cho hàm f: [a,b] F, đoạn [a,b] c R, a < b; F là không gian Bonach (*). Để định nghĩa tích phân của hàm f trên [a,b], ta làm như sau: Chia đoạn [a,b] thành nhừng đoạn nhỏ bởi các điểm tùy ý a = X < X, < x - > < . .. < X = b. o 1 2 n Mỏi phép chia như thế gọi là một phân hoạch của đoạn [a,b] và ký hiệu bỏi chữ 71. Các điểm xo, Xp xn gọi là các điểm chia. Trên mỗi đoạn chia [xk p xk] (k = 1, n), ta chọn một điểm tùy ý: 4.J ^ s k ^Xị. và iập tổng. ơjr(^i>--.ỉn> = ™ = ằ f
hội tụ tới I khi d(;r) -* 0, nếu với mọi số e> 0 cho trước, tòn tại số ò > 0 sao cho với mọi phân hoạch Tí mà d(jĩ ) < ỏ, và mọi Ẹk € [xk J, xk], ta cd. I k * - I II = Il S «£kH*k - * k.i> - I II 0, tồn tại ố > ọ sao chonếu71J và 7 1 Ị là hai phân hoạch của [a,b] với dÍJTj), d ( n 2 ) < á, thì. 1 1 % < £ i ’- > ụ - °n 2( I < £’ I với mọi điểm chọn £p..., ^p; thuộc các đoạn chia của 7 1 và K2 tương ứng. Ngược lại, do F là không gian Banach, nên cũng có thể chứng minh rằng nếu ơn là họ cơ bản, thì nđ hội tụ. '6
1.3. Đmỉĩ lý. Cho hàm f: [a,b -* F. Nếu hàm f khả tích trên [a,b], thì nó bị chặn trên đoạn đd. Chứng m i n h . Thật vậy, giả sử ngược lại hàm f ... khả tích nhưng khổng bị chặn trên đoạn [a,b]. Với số £ = 1, tồn tại số ố> 0 sao cho với mọi phân hoạch JI của đoạn [a,b] bởi các điểm a = Xo < X,1 < ... < Xn = b vói d(;r) < ố, ta đêu cò I a„< I . I I
hàm Dirichlet D: [a,b] -* R cho bởi 1, nếu X hữu tỷ, D(x) = { 0, nếu X vô tỷ. Rỏ ràng hàm này bị chặn: 0 < D(x)
nó khả tích trên đoạn đó. Chứng minh. Dựa vào nhận xét 1.2, định lý 1.6 sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh được rằng: Với mọi số e > 0 cho trước, tồn tại số ố > 0 sao cho với hai phân hoạch bất kỳ JÎ1 và jr2 của đoạn [a,b] thỏa mãn dOr1) < ố, d(;r2) < ố sẽ kéo theo I ƠTÍ ^ I n 1^ ' Ơ7Ĩ ( £ n2^ II < e' Vì hàm f liên tục trên đoạn [a,b], nên nò liên tục đều trên đó. Vậv với e > 0, tồn tại ố > 0 để khi I x’ - xị < ỏ, thì } II f ( x ‘) - f(x) II < 2(b - a) Giả sử 711 và 7Ĩ2 là hai phân hoạch của đoạn [a,b] thành các đoạn chia Alk, k = 1,..., n,; A2ị, j = 1,..., n2> Sao cho J d(ti 1) < ố, d(jĩ2) < ố và e A*k, k = 1, ĩij ; | 2j G A2j, j = 1, n2 là các điểm chọn tùy ý. Xét phân hoạch 7T tạo bởi 3 hợp các điểm chia c ủ a Jtl và JZ 2 và chọn £ p e ^ p’ p = n 3‘ Tầ cổ. - V < * V - ¿ 2n2> I * I - I ° n ^ l’ "’^n2 ' ơt3^ I ^ 7 n^ I + 3 I . + I ơ; I r ^ !>•••>£ „3^ ■ Ơ 7T1 ^ 1>">£ nl) I = I + ll: f f ( ỉ 2j) j= 1 J I A2 I - | f ( £ 3 ) I A3 J p = 1 p H I I + I V 9
+ I 2 ỉ ( ề \ ) I A»k ị - ị ỉ ( Ệ 2ị) I ■ I A2j I lị. < k= 1 j=! J 1 * 2 1 I f ( ề ỳ - ĩ ( ề \ ) I I A3P P + I I i = 1 A3 c A2 ’ p j + 2 1 II « ỉ ẵk>- f ( ề \ ) II I A3P I < k=l A3 c A1. p k < ----------- 2 ỵ I A3P| + 2(b-a) + 1 J = 1 A3pCA2j ỏ đây kí hiệuịAịlà độ dài của đoạn A. 1.7 Định lý. Nếu hàm f: [a,b] F bị chặn trên đoạn [a,b] và liên#tục trên đoạn đổ có thể trừ ra một số hữu hạn điểm, thl hàm f khà tích trên [a,b]. Chứng minh. Để đơn giàn, ta chỉ xét trường hợp f có một điếm gián đoạn c G (a,b). Già sử e > 0 bé tùy ý [a, c - e] c [a,b] và [c + e, b] c [a,b]. Theo giả thiết f liên tục trên các đoạn [a,c - e] và [c + e, b], vậy nd khả tích trên các đoạn đó, do định lý 1.6. Bây giờ chọn ồ > 0 thỏa mãn định nghĩa tích phân của f trên các đoạn [a,c - e] và [c + e, b] tương ứng với e. Giả sử 7T1 và K1 là hai p h â n hoạch tùy ỷ của [a,b] với d(jr1), dOr2) < ố. Như trong định lý 1.6, cổ thể coi rầng mỗi đoạn chia của 712 là được bao hàm trong một đoạn chia nào đó của 7Ĩ1. Ngoài ra c - e và c + e luôn là các điểm chia. Ta có. = II . 2 ỉ(ề2ị\ A2j| -k2 f « ' k)| A 'k I II = 10
£-11 V f ( f *j) I A “ I - v ^ s k„ ' I A l k) I A2 C ịa.c - £| A*J. c (a,c - £| + I l 2 « ê 2j I A2.1 I -h I I I S f ( ^ k) I A‘k I + A . c [c-É\c+£] A 1, c [c-£,c+e] J K + 1 1 2 «¿V I A 2jl S f(i'k)| A ' J I I A . c |c+e.b| A 1, c [c+c.h) J K ,< e + 2Mf + 2Me 4- £ = 2e(2M + 1), * 'VÓHÌ m ọ i £ ' k 6 A \ , k = I T l î j , ặ 2ị e A 2j, j = I 7 ñ 2. Điều này suy ra tính khà tích của f trên đoạn [a,b]. 3.. Tính ch ất của tích phân Bây giờ ta phát biểu và chứng minh một số tính chất cơ bản ciủa tich phân và hàm khả tích. 1.8. Định lý. Nếu hàm f: [a, b] -* F ■ X *♦ f(x) = c G F không đổi, thì nòkhả tích trên đoạn đó, và b / cdx = (b - a)c. a Chứng m in h. Thật vậy, với mọi phân hoạch 7 của đoạn [a, b],và 1 miọi cách chọn ta có ơn = ị f ( f k)(Xk - xk.ị) = V (xk - x k. , r . c K 1 K—ẫ = (b - a)c. Do đó I = lím = (b - a)c. d û ) -*0 71 1.9. Định lý. Cho hai hàm ỉ và g từ [a, b] vào F đều khả tích t:rên đoạn [a, b], Ả E K. Khi đó (a). f + g : [a, b] -* F là hàm khả tích và CỐ 11
/ (f + g)dx = / fdx + / gdx. (b). Ằỉ: [a, b] -* F là hàm khả tích và có > / Afdx = Ầ / fdx. ã ã Chứng minh. Sử dụng định nghĩa 1.1, ta có (a). Với một phân hoạch tùy ý 71 của đoạn [a, b] và chọn tùy ý r các điểm G [xk p xk ], k-?= l,n ta nhận được ơ* = 2 [f + g] ( | k)(xk - xk.j) = = I f ( £ kH x k - x k.j) + f g ( Ụ ( * t - * k.j). Chuyển qua giới hạn tổng trên khi d(;r) -* 0 với lưu ý rằng các: hàm f và g khả tích trên đoạn [a, b], ta có lim ơn = lim 2 " xk-i^ + L im 2 - xk. u) d(7T) 0 d(JT) -* 0 k=l d(JT) 0 k=l = / f dx + / g dx. Diều này ẹuy ra f + g khả tích và / (f + g)dx = / fdx + / gdx. ã ã a (b). Chứng minh tương tự. 1.10. Nhận xét. Từ định lý 1.8, ta cò: nếu hàm f: [a, bl -* F là í hằng c, và g: [a, b] -* R khả tích, thì tích f.g = cg khả tích trêni đoạn [a, b] và cd b b / cgdx = c / gdx G F. Thật vậy từ đẳng thức 12
° n = I (cg)(ík)(xk - xk.j) = ỵ g(Ệk)(xk - xk.,) c k 1 k—1 ỉbầng cách chuyển qua giới hạn khỉ d(7ĩ) 0, ta được b lim ƠT = c / gdx. d(JT) - * ơ a b b Do đó cg khả tích và / cgdx = c / gdx. a a 1.11. Định lý. Già sử hàm f: [a, b] - F. (a). Nếu f khả tích trên các đoạn [a, c] và [c, b] (a < c < b), thỉ nó khả tích trên đoạn [a, b] và / fdx = /fdx + /fdx. a a c (b). Ngược lại, nếu f khả tích trên đoạn [a, b], thì nổ khả tích trên mọi đoạn con [c, d] c [a,b]. Chứng minh (a). Như trong chứng minh.của định lý 1.7 ta có f khà tích trên đoạn [a, b] và do đó khi xác định tích phân của nd trên [a, b] ta luôn coi c là điểm chia Điêu này suy ra / fdx = /fdx + / fdx. ã a C (b) Ngược lại, giả sử f khà tích trên [a, b] và già sử [c, d] c [a, b] Cho e > 0 ta tìm được ố > 0 sao cho với hai phân hoạch bất kỳ JT1 và K2 của [a, b] mà dCjî1), d(7T2) < ỏ, thỉ I a T 2(t2r •• I s •> I < £ I với mọi € A2-, j = 1, n-,; Ệ*k e Alk, k = 1, n r Bây giờ cho hai phân hoạch 5Ĩ1 và của [c, d] với d(jr'), d(5r2) 13
< ố cùng các điểm chọn và £2| thuộc vào mỗi đoạn chia cùa JT1 V ^2 và n L. Thêm vào các điểm chia của il1 và JT các điểm chia của hai đoạn 2 [a, C] và [d, b] để nhận được hai phân hoạch 7 1 và 712 của [a, b] r sao cho d(jr1), d(n2) < ố. Trên các đoạn chia của [a, c] và [d, b] chọn £*k = | 2j. Khi đó II ° n 2 ( Ỉ 2 P - , | 2n2) - ơ * 1 ( I 1!,..., f ‘nj) Il s II ƠT2 - ạ * 1 II < e. Vậy f khả tích trên đoạn [c, d]. 1.12. Nhận xét. Ta có thể mở rộng khẳng định a) của định lý 1.11 cho trường hợp hàm f khả tích trên n đoạn con [a, C ], [Cp j c2 ], ... , [cn, b] của đoạn [a, b] và có / bfdx = / ‘fdx + / ^fdx + ... + / fdx. a a Cj cn 1.13. Định lý. Tính khả tích cùng giá trị tích phâa của hàm f: [a, b] F không thay đổi nếu ta thay đổi giá trị của f tại một số hữu hạn điểm. Chứng minh. Giả sử ta thay đổi giá trị của f tại các điểm íCj, C E [a, to]. Như vậy ta được hàm g: [a, b] p F trùng với f ngoài các điểm Cp c2,..., Cp. Cho e > 0, do f khả tích nên tòn ttại ố ị > 0 sao cho mọi phân hoạch 7 = {Ap A-,,.., Am} của [a, b| f.A 1 'j - ký hiệu các đoạn chia) với d ( t i ) < ố v ta cd I / f(x)dx - § f(£j I Aị I I < £, I a i = 1 i với E A^.i = l,m, tùy ý. Khi đd II ị g(Ệ)\ A | - 2 f(Ệ)\ A | I = I ị I I [ g ( Ệ ) - Uặ.) ] I A | I I i= l v i€EJ 1 J < 2Mp
với mọi phân hoạch 71= { A|, Am} của [a, b], d(7t) < ố2 = e//4Mp và £j € Aị, i = l,m, trong đó J = {i : £ {cr c2, c } .} V'à M = sup { II f(x)II , II g(x)|| : X e [a, b] } < 00 . . Vây II / fdx = 5 g(lị) I A| II < e, ' a i = 1 1 ✓ với mọi phân hoạch 7 của [a, b] với d(jr) < min (ố ^ đ-,) và Ệ E 1 A,ị, i = l,m. Định lý được chứng minh. 1.14. DỊnh lý. Nếu các hàm f và II f(x)|| đều khả tích trên [a, b j, thỉ ta có I / f ( x ) d x II < / I II f (x) I dx. I a a Chứng m inh. Ta thực hiện một phân hoạch tùy ý lĩ của [a, b] Víà lập tổng tích phân ơìt = k * ỉ fi Ak I • Ị ” Vì f khả tích trên [a, b], nên ta có lim ơn = lim 2 I Akl = í y i ự t ) -* 0 d ( ĩ t ) -* 0 k = I a N h ư n g khi đó I K I I s f j | f ( | k)|| | A k| , v
1.15. Nhận xét . Nếu bỏ già thiết ||f(x)|| khả tích, định lý 1.14 không đúng. Thật vậy xét hàm f : [0,1] — B[0,1] xác định bởi * f(t) = D(t)ổ(t) ở đây D là hàm Dirichlet trên [0,1] còn 1 nếu s = t 0 nếu s * t Cho Jĩ : 0 = x() < ... < xn = 1 một phân hoạch tùy ý của [0,1] với các điểm chọn E [ X ị _ Ị , Xj ] , i=T7n. Bởi vì D(s)Ax. s n ế u s = £ ị s Sn)(s) 0 nếu s*£ị V i— T7ĨĨ ta có li mơ71 0 d(.T)— Do đổ hàm f khà tích trên [0,1] với f(t)dt = 0. Tuy nhiê*n o hàm ||f(t)|| = ||D(t)ổ(t)|| = D(t) không khả tích vì hàm Dirichl(8t D không khả tích. Định lý dưới đây tổng quát hóa định lý 1.9. 1.16. Định lý. Nếu T: E — F là một toán tử tuyến tính liôĩìi * tục từ không gian Banach E vào không gian Banach F, v/àt f:[a,b]— là hàm khả tích, thì »E h h T j f ( x ) d x = J(Tof)(x)dx a ti Chứng minh: Ta thực hiện một phân hoạch tùy ý JT của [s,bì] 16
v.'à lập tổng tích phân ơn = Ể f ( ^ | A | i = 1 Khi đổ T / f(x)dx = lim T
sao cho I fíy) - f(x)]| < — — I với I y - x | < ồ. ád m ^ ^ Đo đo' II f (z) - f(y) II < II f ( z ) - f ( x ) | | 4* II f(x) - f(y) I < e, I với mọi y, z E [a, b]: max { | z - x | , | y - x ị } < ố . Ngược lại, giả sử 0(f,x) = 0 và e > 0 đã cho. Khi đố tồn tại ố > 0 sao cho I f(y) - f(z>II I < e, v ớ i |y - x| < ố, I z - x { < ố. Bất đẳng thức trên đây suy ra, với z = X I f(y) - f(x)II I < £, với I y - x| < ố. (b). Với mọi số € > 0, tập B e = { X G [a, b]: 0 (f,x ) > e} là đòng trong [a, b]. Thật vậy, già sử {xn} c B£ và xn -* X E[a, b]. ■ Nếu XỂ B thỉ. tồn tại số ố > 0 để sup { I f(z) - f(y)II I : Iz - xị < ố, I y - x|
Diêu này là không có khả năng, vì 0 (f,X N) > E. 1.19 Định nghia. Tập con B của R gọi là có độ do không nếu với rnọi số e > 0, tồn tại dãy các khoảng (mở) I = (a.., b ) sao cho 00 oo B c u I. và ỵ I bị - a.| < e j =1 J J= 1 J J Ciủ ý ràng hợp đếm được các tập có độ đo không có độ đ° kh 0. Giả sử £ = ------------------------- với 4(1 + I a + b I )M R = 1 + sup {II fix) II : X G [a,b]} < 00. Cật Gjr(f) = { XG [a.b] : OifjX) > ?}. Fhi đó G~(f) là tập con đóng của [a,b] và G¿r(f) c G(f) và vậy thiỉ 6^(0 có độ đo không. Do tính compac của G^(f), tồn tại một số hữiuhạin khoảng mở Ip*..,I sao cho. p p Gf(f) c u L và y II-1 < ĩ J « ! J j = 1 1 Ciả sử Jĩ{ và /r2 là hai phân hoạch tùy ý của [a,b]. Lập phân hcoạrh sao cho mọi đoạn chia của 7T1 và J12 là hợp của các đoạn chik của Ta đánh giá K 3 -**' II- ' ■ (rià sử s 1 1 (Sj3) là họ các đoạn chia của 7Ĩ1 (;r3) sao cho mỗi đoạn cỉhi? ĩiày bao hàm trong một khoảng nào đó của Ip...,Ip. Già sử s *2 (ís3 ) ỉà các đoạn chia còn lại của ỉ í h i độ dài củ a các đ o ạ n c h i a c ủ a J ĩ [ v à T í1 đ ủ nhỏ thỉ m ọ i đoạn cihii t huộc S l->(S\) khỏng giao với G¿r(f). Ta có thể viết 19 •>-,pT/i> ir2
I K 1 -
ƠJI
Dặt ’(x) s f(x) E F: (4) Chứng m in h . Chọn Ax sao cho X I Ax E [a,b]. Ta có (p{x + Ax) - 0 cho trước tồn tại ỏ > 0 để