Giáo trình Các mô hình xác suất và ứng dụng (Phần III: Giải tích ngẫu nhiên): Phần 1

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

297
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung phần 1 giáo trình gồm 2 chương đầu tài liệu: Các kiến thức cơ bản về xác suất, các khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên. Tham khảo nội dung giáo trình để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Các mô hình xác suất và ứng dụng (Phần III: Giải tích ngẫu nhiên): Phần 1

Đ Ạ I HỌC QUỐC GIA HÀ N Ộ I NGUYỄN DUY TIẾN CÁC MÔ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ƯNG DUNG G I Ả I T Í C h m G A U NHIÊ GT.005766 Đoa Gũi* NHÀ XUẤT BÁN Đ Ạ I H O C Q U Ổ C GIA HÀ NÔI Hà N ộ i
Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G I A HÀ NỘI NGUYÊN DUY TIẾN CÁC MÔ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ÚNG DỤNG PHẦN NI: GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Q U Ố C GIA HÀ NỘI - 2001
Chiu trách nhiêm xuất bản G i á m đốc: NGUYEN VĂN THỎA Tổng b i ê n t ậ p : NGUYEN T H I Ệ N GIÁP Người nhận xét: PGS.TS NGUYỄN VĂN H Ữ U PGS. TS ĐINH QUANG L ư u TS NGUYỄN V I Ế T P H Ú Biên tập và sửa bản ỉn: PHẠM PHÚ TRIÊM Trình bày bìa: NGỌC A N H CÁC MỒ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG PHẦN I U : GIẢI TÍCH NGAU NHIÊN Mã s ố : 0 1 . 214. Đ H 2001 - 503.2001 In 1 0 0 0 b ả n t ạ i N h à i n Đ ạ i h ọ c Q u ố c gi li H í t N ộ i S ố x u ấ t b ả n : 4 / 5 0 3 / C X B . So trích n g a n g : 419 KH/XB In x o n g v à n ộ p lưu c h i ể u q u ý IV n ă m 2 0 0 1
3 MỤC • LỤC • L ờ i nói đ ầ u l i C h ư ơ n g 1. C Á C K I Ế N T H Ứ C cơ B Ả N VÊ X Á C SUẤT 1.1. B i ế n n g ẫ u n h i ê n v à h à m p h â n p h ố i 17 1.1.1. Không gùi ri xác suất 17 1.1.2. Biến ngẫu nhiên 22 1.1.3. K ỳ vọng và phương sai 24 1.1.4. P h â n phối dồng thời hai chiề u 32 1.2. V e c t o r n g ẫ u n h i ê n 35 1.2.1. Hàm phân phối và hàm dặc trưng 35 1.2.2. nịnh lý Boohner 36 1.2.3. P h à n phối ( huân ("/-t hiêu 30 1.3. T ố n g c á c b i ế n n g ẫ u n h i ê n đ ộ c l ậ p 37 i .'A.!. rinh ( l o e l á p XMC s u a l 'ẲH ị ..'5.2. Các hii.il 0-J 38 Ì .3.3. T Í C H chi ui li hói tụ 39 Ì .3.1. Li un số lớn 39 1.3.5. ĐỊnli lý &iới hạn trung tám 41 Ì .3.G. 1.1 U11 L()fỉ;fi lặp -li 1.4. Đ i n h n g h ĩ a t ố n g q u á t c ủ a k ỳ v o n g c ó đ i ề u k i ê n 41 1.1.1. Đói với phim hoạch li
4 1.4.2. Đối với
5 2.4. N h ữ n g lớp các q u á t r ì n h ngẫu nhiên quan trong 68 2.4.1. Quá trình Gauss 08 ( 2.4.2. Quá trình gia số độc lập CJ 2.4.3. Q u á trình gia số không tương quan 69 2.4.4. Q u á trình dừng (theo nghĩa hẹp) 70 2.4.5. Quá trình dừng thun nghĩa rộng 71 2.4.G. Quá trình Markov 74 2.5. H a i q u á t r ì n h ngẫu n h i ê n quan trong n h ấ t 76 2.5.1. Quá trình Poisson 76 2.5.2. Quá trình Wiener 78 2.5.3. Các tính chất quỹ đạo cùa quá trình Wiener 80 Bài t á p 83 C h ư ơ n g 3. M A R T I N G A L E V Ớ I T H Ờ I G I A N R Ờ I RẠC 3.1. K h á i n i ê m t ư ơ n g thích và d ư b á o đ ư ơ c 88 3.1.1. Các f 7 - t r i rừng liên quan t ớ i dãy ngẫu nhiên 88 3.1.2. Định nghĩa «8 3.2. T h ừ ] đ i ể m Markov và thủi đ i ề m dừng 81) 3.2.1. Định nghĩa 89 3.2.2. Các ví dụ vồ thủi điểm dừng 90 3:2.'Ẳ. Các tính chất của thủi đ i ể m dừng 91 3.3. Martingale 94 3.3.1. Định nghĩa 94 3.3.2. Các ví dụ 98 3.3.3. Các tính chất 102
6 3.3.4. M a r t i n g a l e đ ị a p h ư ơ n g 100 3.3.5. P h é p b i ế n đ ổ i m a r t i n g a l e 107 3.3.6. H i ệ n m a r t i n g a l e 113 3.3.7. K h a i t r i ể n D o o b 113 3.3.8. Compensator 115 3.4. Các bất đằng thức cơ bản 117 3.4.1. Đ ị n h lý 117 3.4.2. B ấ t đ ằ n g t h ứ c K o l m o g o r o v uy 3.4.3. Bất đ ẳ n g t h ứ c Đ o o b nu 3.4.4. B ấ t đ ẳ n g t h ứ c c ắ t ngang 121 3.5. C á c đ ị n h lý h ộ i t ụ 123 3.5.1. Đ ị n h lý Đ u ô i ) 123 3.5.2. Đ ị n h lý ( h ộ i t ụ t r o n g Lp) 125 3.5.3. Định lý ( h ộ i t ụ t r o n g L i ) 126 3.6. Martingale chính quy 12(i :{.(). 1. Định nghĩa 126 3.U.2. D i n h lý 127 3.6.3. Đ ị n h lý L e v y 128 3.(3.4. Đ ị n h lý 131 3.6.5. Đ ị n h lý 129 3.7. Martingale b ì n h p h ư ơ n g k h ả tích Kỉ2 3.8. L u ậ t số l ớ n 136 3.8. L. L u ậ t y ế u số l ớ n 136 .'ỉ.8.2. L u ậ t m n h số l ớ n 1IỈ7
7 3.9. H ằ n g đẳng thức Wald J 38 3.9.1. Hằng đằng thức Wald 138 3.9.2. Hằng đẳng thức cơ bản Wald 141 3.10. C á c b ấ t đ ẳ n g t h ứ c loai M a r c i n k i e w i c z - Z i g m u n d đ ố i v ớ i martingale 141 3.10.1. Bất đằng thức Khinchii) 141 ;i 10.2. Bất đẵng thức Marcinkiewiez-Zigmtmd 142 3.10.3. B ấ t . d ẳ n g thức Burkholder 143 3.10.4. Bất đằng thức Davis 144 3.10.5. Lun! số lớt) 144 Bài táp 146 C h ư ơ n g 4. M A R T I N G A L E V Ớ I T H Ờ I G I A N L I Ê N T Ụ C 4.1. K h á i niêm t ư ơ n g thích v à d ư báo được 150 4.1.1. Các ( 7 - t r ư ờ n g liên quan r ố i quá trình 150 4.1.2. Định nghĩa 151 4.2. Martingale Ì ri J 4.2.1. Định nghĩa lõi 4.2.2. Các ví dụ 152 1.2.3. Các tính chất 153 4.3. T h ờ i đ i ể m d ng 154 4.3.1. Định nghìn 154 4.3.2. Các ví dụ vò thời đ i ể m d n g 1Õ4 4.3.3. Các: tính chất của t h ờ i đ i ể m d n g 156
8 4.4. T í n h l i ê n t ú c c ủ a q u ỹ đ a o 159 4.4.1. Định lý 159 4.4.2. Định lý m 4.5. C á c b ấ t đ ằ n g t h ứ c c ơ b ả n 159 4.6. Đ ị n h lý D o o b 160 4.7. M a r t i g a n l e c h í n h q u y lơi 4.7.1. Định lý loi 4.7.2. Định lý 161 4.8. K h a i t r i ể n D o o b - M e y e r 162 4.8.1. Lớp D 162 4.8.2. Lớp DI J 102 1.8.3. Định lý 102 4.8.4. Quá trình tầng t ự nhiên 102 4.8.5. T h ố 103 4.8.6. Khai t r i ể n Riesz 163 4.8.7. Khai t r i ể n Doob-Meyer đ ố i v ớ i t h ế 163 4.8.8. Khai t r i ể n Doob-Meyer 163 4.8.9. Martingale địa phương 104 4.8.10. Định lý 164 Bài tập 165 C h ư ơ n g 5. T Í C H P H Â N N G Ẫ U NHIÊN 5.1. Tích p h â n Wiener Hi7 5.1.1. Tích phán Wiener cua hàm số đ ơ n giản LG7 5.1.2. Các lính chất cơ bàn của tích phan Wiener CÚM hàm s ố đơn giản Ki!) 5.1.3. Tích phân Wiener cùa hàm số bình p h ư ơ n g khá tích 171
9 5.2. Tích phân Ito 172 5.2.1. T í c h p h â n It o cua h à m n g ầ u n l i i r n t h u ộ c l ớ p Ái 172 5.2.2. C á c t í n h c h ấ t c ơ b ả n của tích p h â n I t o cua hàm n g ẫ u n h i ê n t i n lóc l ớ p M 177 5.2.3. Định lý 177 5.2.4. Đ ị n h lý ve lìiiii sao Hôn tục cua lích p h â n [ t o cun hàm n g ẫ u n h i ê n I l i lộc l ớ p A 17b 5.3. M ờ rộng tích p h á n Ito 179 5.3.1. T í c h p h à n I t o cùi! h à m n g ầ u n h i ê n t h u ộ c l á p Ai 181 5.3.2. T í c h p h â n W i t t i i c r n h i ề u c h i ề u J82 5.4. V i phân ngẫu nhiên của h à m hơp, công thức Ito 18.5 5.4.1. C ô n g t h ứ c I t o 1-chiều 183 5.4.2. C ô n g t h ứ c ì to n h i ề u c h i ề u 187 5.4.3. V í d ụ 188 5.4. i . C ò n g Ì hức t í c h p h â n t ừ n g p h ầ n 181) 5.5. P h ư ơ n g trình vi phân ngẫu nhiên 189 5.5.1. P h ư ơ n g n i n h vi p h à n ngần n l i i r i i là gì? 189 5.5.2. Định lý t ồ n l ạ i duy nhất n g h i ê m 190 Ĩ)I).'Ổ. Ví d ụ g i ả i p h ư ơ n g t r ì n h vi p h â n n g ẫ u n h i ô n l'JO 5.5.4. N g h i ệ m m ạ n h và n g h i ệ m y ế u 194 5.6. B à i t o á n lọc 195 Bài t p 200 Bảng ký hiêu 203 Tài liệu tham khảo 206
li L Ờ I NÓI ĐÂU Xác suất Thống kê là lĩnh vực toán ứng dung, nó đòi hỏi một nơ sở toán học sâu sắc. Ngày nay các mô hình xác suất đ ã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong khoa học t ự nhiên cũng nhít trong khoa học xã hội. Tuy nhiên, ờ V i ệ t Nam có rất ít những tài liệu về các mô hình xác suất và ứng dụng của chúng. Đó là. lý do chính đ ể chúng tôi viết. giáo trình này. N h ớ m phục: vụ các độc giá trong nhiều lĩnh vực khác nhau (toán học, vật lý, cơ học, sinh học, khoa học trái đ ấ t , kinh tế, y học, nông nghiệp, v.v...) nên giáo trình được v i ế t theo tinh thần: chính xác về lý thuyết tới mức độ nhất định. có nhiều ví dụ ứng dụng cụ thê thường gặp trong thực tế và t ư ơ n g đ ố i dễ hiểu. Giáo trình C á c m ô h ì n h x á c s u ấ t v à ứ n g d u n g (lo GS.TSKH Nguyền Duy T i ế n chủ biên bao gồm: P h ầ n ì. X í c h M a r k o v v à ứ n g d u n g . GS.TSKH Nguyễn Duy T i ế n viết. Phần li. Q u á t r ì n h d ừ n g v à ứ n g d u n g , PGS.TSKH Đặng Hùng Thắng viết. Phần HI. G i ả i t í c h n g ẫ u n h i ê n . GS.TSKH Nguyền Duy T i ế n v i ế t . Các I h à n h viên của Bộ môn Xác suất. Thống kê, Khoa Toán - Cơ - T i n học, Trường Đ H K H T N - Đ H Q G H N đ ã nhiều năm giảng dạy Quá trình ngẫu nhiên và tích lũy được nhiều kinh nghiệm để viết. giáo trình này d ư ớ i dạng mô hình ứng dụng phục vụ cho đòng đ à o bạn đọc. Tuy nhiên, đây không phải là giáo trình sơ cấp. Vì vậy đ ể đ ể đ ạ t được hiệu quả cao, bạn đọc cần phải có kiến thức toán cua hai n ă m đ ầ u đ ạ i học và đặc biệt phải có kiến thức xác suất cổ đ i ể n (chẳng hạn n h ư trong Đào Hữu H ồ [1], Đặng Hùng Thắng [2]. hoặc: Nguyễn Viết P h ú , Nguyễn Duy T i ế n [3]). C h ú n g tôi hy vọng giáo trình này sè có ích cho nhiều bạn đọc. phục vụ tốt cho việc giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng.
12 Chắc chắn giáo trình còn nhiều thiếu sót. R ấ t mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo của bạn đọc. C h ú n g tôi xin chân t h à n h cám ơn. Cuối cùng chúng tôi xin cám ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHKHT.N - Đ H Q G H N , Khoa. Toán - Cơ - T i n học. Bộ môn Xác suất Thống kê Trường Đ H K H T N - Đ H Q G H N và N h à X u ấ t Bản Đ H Q G H N đ ã động viên, cố vù và t ậ n tình giúp đ ỡ chúng tôi biên soạn tài giáo trình này Hà Nội mùa thu n ă m 1999 Các tác giả
13 Phần III GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN M Ở ĐÂU Khác với các phần I - I I , phần H I được viết ờ mức đ ộ khá cao và k h á t r ừ u tượng, bời lò giải tích ngẫu nhiên, ngoài các kiến thức toán học như tích phân Riemaim, đ ạ i số ma t r ậ n , ta can phải nắm vững một. số kết quà t r ừ u tượng của giải tích và đ ạ i số. Giải tích ngẫu nhiên là một chuyên đỳ khó đ ố i với sinh viên. Để hiểu nội (lung cua phần này, bạn cần phải : 1. X ắ m vững các kiến thức cơ bàn cùa xác suất co điển, 2. N ắ m vừng lý thuyết đ ộ đo và tích phân Lebesgue, 3. N ắ m vừng các tính chất của kỳ vọng có điều kiện đ ố i với ơ-trường, 4. Nắm được nội dung cơ bẳn Phần ì: Xích Markov, phần l i : Q u á trình dừng cùa tài liệu: Các mô hình xác suất và ứng dụng (do chúng tôi biên soạn, xom [5], [6]). Giãi tích ngẫu nhiên là cơ sớ toán học đổ nghiên cứu quá trình ngầu nhiêu. Cũng như giai tích kinh điên. giải tích ngẫu nhiên đe cập t ớ i các vấn đ ề then chốt sau: - Giới hạn và liên tục, - Quỹ đạo và các tính chất quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên, - P h â n phối của quá trình ngẫu nhiên trôn không gian quỹ đạo, - P h â n loại quá trình ngẫu nhiên, - Tích p h â n ngẫu nhiên, p h ư ơ n g trình vi phàn ngẫu nhiên,
14 - Hội tụ của quá trình ngầu nhiên. Trong một giáo trình ngắn. không thể trình bày đầy đủ các v ấ n đồ trêu. C h ú n g tòi chì tập trung trình bày một số khái niệm và kế t quả quan trọng nhất của giãi tích ngầu nhiên. P h ầ n I U : G I Ả I T Í C H N G Ẫ U N H I Ê N (gồm 4 chương) C h ư ơ n g Ì trình bày: - Tóm tắt các kế t quả quan trọng nhất của xác suất co điển (lựa trên (lộ đ o và tích phân Lebesgue; - K ạ vọng có điều kiện. (Đây là mục đích chính của chương 1.) C h ư ơ n g 2 t r ì n h b à y các đ i n h nghĩa c ơ b ả n v ề q u á t r ì n h ngẫu n h i ê n . Chúng tòi tập trung vào g i ả i t h í c h ý nghĩa cùa các khái niệm như: P h á n phối hữu hạn chiền; Điêu kiện nhất quán; Sự tun tại n ú i quá trình ngẫu nhiên: Các tính chất quỹ đạo. Sau đó trình bày sự phàn lớp các quá trình ngần nhiên: Quá trình Gauss; Quá trình có gia số độc lập; Quá trình dừng. Đặc biệt quan trọng là quá trình Wiener. C h ư ơ n g 3 d à n h cho lý t h u y ế t martingale v ớ i t h ờ i gian r ờ i rạc. Nội dung chính của chương 3 là: Các bất đằng thức; Các định lý hội tụ; T h ờ i đ i ể m dừng. Bốt đằng thức Doob và định lý Doob về sự hội tụ của martingale là mục đích chính của chương 3. B a n c ó t h ề d ó c c h ư ơ n g 3 ngay sau khi d ó c h ế t c h ư ơ n g 1. N ộ i dung của chương 4 t ư ơ n g t ự n h ư nội dung của chương 3. Chương 4 d à n h cho lý t h u y ế t m a r t i n g a l e v ớ i t h ờ i g i a n l i ê n t ú c . Hầu hế t các kết qua của phần này chi dược phát biểu, không chứng minh (vì các chứng minh hoặc giống trường hợp rời rạc, hoặc rất phức tạp và khó). N h ư n g chúng tòi cố gắng chỉ rõ những khó khăn khi chuyển các kế t quả cua martingale t ừ thời gian rời rạc lên thời giíiii liên tục. C h ư ơ n g 5 d à n h cho lý t h u y ế t t í c h p h â n n g ẫ u n h i ê n . Đầu tiên ta (lịnh nghĩa tích phân Wiener, sau đó là tích phân và vi phân Ito. Công thức Ito vồ vi phân của hàm hợp là kế t quà then chốt. P h ư ơ n g trình vi phân ngẫu nhiên, bài toán lọc Kanman-Bucci cũng được đồ cập t ớ i trong chương này.
15 M ỗ i chương đ ề u có bài tập giúp bạn đọc hiểu sâu t h ê m lý thuyết và tập ứng dụng giải các bài toán thực t ế . Bài tập khó có đ á n h dấu "*". Nội dung của giáo trình này được biên soạn theo các sách trong phần tài liệu tham khảo. C h ú n g tôi chân t h à n h cám ơn TS. Nguyễn V i ế t P h ú , PGS.TSKH. Đinh Quang Lưu và PGS. TS. Ngu n Văn Hữu đã. đọc kỹ bản thảo và góp nhiều ý kiến quí háu đ ể giáo trình này hoàn thiện hơn. Hà N ộ i m ù a thu n ă m 2000 Nguyễn Duy T i ế n
17 Chương Ì CÁC KIẾN THỨC C ơ BẢN VÊ XÁC SUẤT Xác suất và thống kê bắt nguồn t ừ những v ấ n đề thực t ế liên quan đ ế n x ử lý số liệu thực nghiệm. Tuy vậy, có thể nói rằng, cơ sở toán học của. lý thuyết xác suất và thống kê là. đ ộ đo và. tích p h â n Lebesgue, một lĩnh vực t o á n học khá t r ừ u tưảng. Đặc biệt, đ ể nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên, bạn p h ả i nắm khá vững lý thuyết đ ộ đo và tích phân Lebesgue và một số khái niệm cơ bản cùng như những kết quả. then chốt của xác suất cô đ i ể n . Để giúp bạn đọc hiểu rõ bản chất của giải tích ngầu nhiên, trong chương này, chúng tôi trình bày tóm t ắ t những điều cốt yếu nhất của lý thuyết đ ộ đo và t ích phân Lcbcsgue, và của xác suất co điển. Ngoài ra, vì giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu các quá trình ngầu nhiên mô tà quan sát H ự tiến t r i ể n theo thời gian của một hệ thống nào đó, nên cần phải diễn giải sự phụ thuộc giữa các quan sát t ạ i các t h ờ i đ i ể m khác nhau. Trong xác suất và thống kê, khái niệm xác suất có điều kiện và kỳ vọng có đ i ề u kiện thường đưảc dùng đe mô phồng sự phụ thuôc nói trên. Chính vì thế, m ú c đ í c h c h í n h của c h ú n g tôi t r o n g c h ư ơ n g n à y là t r ì n h bày ( k h á c h i t i ế t ) đ i n h n g h ĩ a t ổ n g q u á t của k ỳ v o n g c ó đ i ề u k i ê n ( đ ố i v ớ i (T-trường). Bạn hãy đọc kỹ phần này trước khi đọc tiếp các chương sau. 1.1. B i ế n ngẫu nhiên và h à m phân phối 1.1.1. K h ô n g gian x á c suất T h í nghiệm (hay phép thử) ngẫu nhiên là t h í nghiệm có nhiều k ế t quả mà ta không t h ể đoán trước kết quả nào sẽ xảy ra. T ậ p hảp t ấ t cả các kết
18 quả có t h ể có của thí nghiệm được gọi là k h ô n g gian m ẫ u và được ký hiệu là rì. M ỗ i tập hợp con A c Í2 được gọi là một biến cố. Dưới đây ta. giả sử ũ là tập khác rỗng nào đó. • Một họ các biến cố Ả được gọi là t r ư ờ n g (hay đ a i số) nếu: (i) A chứa không gian mẫu, tức là, n G A , (li) A kin đối với phép lấy phần bù, tức là, A € Ả thì A' € A. trong đó A = íĩ \ A, c (iii) A kín đối vớt phép lấy hợp hữu hạn, túc là, nếu n Ak e Á, k = Ì, 2 , T I thì ( J An G Á. fc=i • Một họ các biến cố A được gọi là ơ - t r ư ờ n g (hay ơ-đai số) nếu: (i) A chứa không gian mầu, túc là, íì £ Ả, r (ri) A kín đối với phép lấy phần bù, tức là A € Ả thì A 6 Ả, trong đó Ac = Ũ\A, (iii) Ả kín đối với phép lấy hợp đếm được, tức là nen. oe An 6 Ả, lĩ = 1 , 2 , ... thì Ị J An € Ả. .' n=ì • K h ô n g gian đ o là cặp (ÍỊừ A)ị trong đó ỉ? là không gian màn nào (ló. A là ơ-trường. • Giả sử c là tập mà mỗi phần từ của nó là tập con của íì. Khi đó ta n nói c là một lớp. Ta ký hiệu 2 là lớp gồm tất cá các tại) con cùa íì. Đù là