Giáo trình chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học (Tái bản lần thứ năm): Phần 1

Chia sẻ: Túcc Vânn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:139

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

(BQ) Phần 1 cuốn giáo trình chuyên đề "Bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học" trình bày các nội dung: Các bài toán về chữ và số, các bài toán về dãy số, các bài toán về điền số vào phép tính, các bài toán về chia hết, các bài toán về phân số và số thập phân, một số dạng toán có lời văn điển hình. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học (Tái bản lần thứ năm): Phần 1

TRẦN DI ÊN HI ẼN G .0 0 0 0 0 2 6 3 8 2 GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐÊ BỒI DUÕNG HỌC TOÁN TIỂU HÓC I NGUYÊN ÍOC LIEU N H À X U Ấ T BẢN Đ Ạ I H Ọ C s ư PH Ạ M
PGS.TS. TRẦN DIÊN HIEN GIÁO TRÌNH CHUYÊN ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI lí ~ I’ TOÁN TIEU HỌC (Tái bản lần tliứ năm) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM
SPI U N I V E R S I T Y OF EDUCATION P U B L IS H IN G HOUSE GIAO TRlNH CHUVÊN ĐỂ: BỐI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TIỂU HỌC Tác giá: PGS.TS. TRẤN DIÊN HIỂN Dơn vị: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Sách được xuát bảin theo chi đao biẻn soạn của Trường Đại học Sư phạm Hầ NỘI phục vụ đầ-o Mo cù rthôn giáo dục tiếu học các trường dại học sư phạm Má sách quốc tế: ISBN 978-304-54-0543-7 Bản quyén xuáf bàn thuộc vé Nhà xuất bán Đại học Sư phạm. Mọi hlnh thửc sao chép hay phát hành mà không có sự cho phép bâng văn bản của Nhà \uât bán Đại học Sư phạm đéu lằ vi phạm pháp luật. Chúng tôi luôn mong muốn nhận đươc những ý kiến đóng góp của quý vị độc già đề sách ngày càng hoàn ĩhiện hơn. Mọi góp ý vé sách, liên hệ vé bàn thào và dịch vụ bàn quyên xin vui lòng gùi vế đìa chi email: kehoach@nxbdhíp.edu. vn Mã SỐ: 01.01. 52/1095. ĐH 2014
MỤC LỤC Trang Lời nói đầu............................................................................................................................ 5 Chương 1. CÁC BÀI TOÁN VỂ s ố VÀ CHỮ s ố ......................................................................7 A. Nội dung bài g iản g ...................................................................................................... 7 I. Những kiến thức cần lưu ý ..................................................................................... 7 II. Một số dạng toán điển hinh.................................................................................. 7 Bài tập tự luyện............................................................................................................... 20 B. Hướng dẫn tự học chương 1 .................................................................................... 23 Chương 2. CÁC BÀI TOÁN VỂ DÃY s ố .................................................................................25 A. Nội dung bài g iả n g ....................................................................................................25 Bài tập tự luyện............................................................................................................... 37 B. Hướng dẫn tự học chương 2 .....................................................................................41 C hương 3. CÁC BÀI TOÁN VỂ ĐIỂN s ố VÀO PHÉP TÍNH................................................43 A. Nội dung bài g iả n g ....................................................................................................43 Bài tập tự lu y ệ n .............................................................................................................. 58 B. Hướng dẫn tự học chương 3 .................................................................................... 64 C hư ơng 4. CÁC BÀI TOÁN VỂ CHIA HẾT..............................................................................65 A. Nội dung bài g iả n g ....................................................................................................65 I. Những kiến thức cần lưu ý ................................................................................... 65 II. MỌt 5)0 dạng loãn điển (linh................................................................................65 Bài tập tự luyện............................................................................................................... 74 B. Hướng dẫn tự học chương 4 .................................................................................... 76 C h ư ơn g 5. CÁC BÀI TOÁN VỂ PHÂN s ố VÀ s ố THẬP PHÂN......................................... 77 A. Nội dung bài giảng .....................................................................................................77 I. Phân s ố ....................................................................................................................77 II. SỐ thập p h â n .........................................................................................................90 Bài tập tự luyện............................................................................................................ 106 B. Hướng dẫn tự học chương 5 ...................................................................................113 3
Chương 6. MỘT s ố DẠNG TOÁN CÓ LỜI VĂN ĐlỂN HÌNH.............................................. 115 A. Nội dung bài giảng.................................................................................................... 115 I. Các bài toán về tính tuổi.......................................................................................115 II. Các bài toán về ti lệ ............................................................................................. 127 III. Toán về trung bình cộng.....................................................................................130 Bài toán tự luyện.......................................................................................................... 133 B. Hướng dẫn tự học chương 6 .....................................................................................136 Chương 7. CÁC BÀI TOÁN VỂ CHUYỂN ĐỘNG...................................................................138 A. Nội dung bài giảng.................................................................................................... 138 I. Những kiến thức cần lưu ý ....................................................................................138 II. Một số dạng toán điển hình................................................................................ 139 Bài tập tự luyện...............................................................................................................156 B. Hướng dẫn tự học chương 7 .....................................................................................160 Chương 8. CÁC BÀI TOÁN VỂ SUY LUẬN LÔGIC............................................................... 161 A. Nội dung bài giảng.................................................................................................... 161 Bài tập tự luyện...............................................................................................................167 * B. Hướng dẫn tự học chương 8 .....................................................................................172 Chương 9. CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC....................................................... 173 A. Nội dụ/ig bài giảng....................................................................................................173 Bài tập tự luyện...............................................................................................................196 B. Hướng dẫn tự học chương 9 .....................................................................................201 Chương 10. CÁC BÀI TOÁN VUI VÀ TOÁN c ổ ở TIỂUHỌC........................................... 203 A. Nội dung bài giảng....................................................................................................203 Bài tập tự luyện...............................................................................................................210 B. Hướng dẫn tự học chương 10 .................................................................................. 216 Phẩn thứ hai. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬ P Tự LU Y Ệ N ........................................... 217 4
LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình chuyên đề “B ổi dưỡng ÌĨỌC sinh giỏi toán tiểu h ọ c ” được biên soạn theo chương trình đào tạo cừ nhân giáo dục tiểu học hệ chính quy, hệ vừa học vừa làm và hệ từ xa. Giáo (rình gồm 10 chương: Trong 5 chương đầu, tác giả trình bày các bài toán vể số, so sánh số, các phép tính về số tự nhiên, phân số và sỏ thập phân; các bài toán về dãy số và chia hết. Trong 5 chương cuối, tác giá trình bày về các bài toán có lời văn (gồm các dạng toán có vãn điên hình, toán vể chuyển động đều), toán suy luận về lôgic và toán có nội dung hình học. Sau mỗi chương là hệ thống bài tập tự luyện, nhằm giúp cho người học củng cô' kĩ năng giải các dạng toán đã học. Phđn cuối cùa giáo trình là hướng dẫn giải các bài tập tự luyện. Nội dung mỗi chương được chia thành hai phần: - Phần thứ nhất: Nội dung bài giảng. - Phán thứ hai: Hướng dẫn học viên một sò vấn đề về nội dung cũng như phương pháp tự học lí thuyết và vận dụng lí thuyết đê giải các dạng bài tập. Giáo trình được biên soạn để dùng chung cho cả ba hệ đào tạo: chính quy, vừa học vừa làm và hệ từ xa nôn khi sử dụng cần lựa chọn những nội dung và hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho từng loại dối tượng đã được xác định trong chương trình đào tạo cùa hệ đào tạo dó. Tác giả chân thành cảm ơn mọi sự đóng góp của bạn đọc dê nội dung và hình thức cùa giáo trình ngày càng hoàn thiện hơn. TÁC GIẢ 5-
CHƯƠNG 1 CÁC BÀI TOÁN VẾ SỖ VÀ CHỮ sô A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG I. NHÙNG KIẾN THỨC CAN LUU Ý 1. Có mười chữ sô lù 0, 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Klii viết một sô' tự nhiên ta sử dụng mười chữ s ố trên. Chữ s ố đầu tiên k ể từ bên trái của một sô tự nhiên plidi khác 0. 2. Phân tích cấu tạo một s ố tự nliiên: ab = 1 0xa + b abc = a x lO O + b x lO + c = abxlO + c = axlOO + bc abed = a x 1000 + b x ÌOO + CX 10 + d = abcx 10 + d = ax 1000 + bed = ... 3. Quy tắc so sánh liai s ố tự nlúên a) Trong lìai s ố tự nhiên, s ố lĩào có s ố chữ sô nhiều hơn s ẽ lớii hơn. b) Nếu hai sô' có s ố chữ s ố bàng nhau thì sô' nào có chữ s ố đầu tiên k ể từ trái sang phải lớn hơn s ẽ lớti hơn. 4. S ố tự nhiên có tận cùng bằng 0 ,2 ,4 , 6 hoặc 8 là s ố chẵn. Số chẵn có tận cùng bâng 0, 2, 4, 6 hoặc 8. 5. Số tự nhiên có tận cùng bằng 1 ,3 ,5 , 7 hoặc 9 lù các s ố lẻ. Sô'lẻ có tận cùng bằng 1 , 3 , 5 , 7 hoặc 9. 6. Hai scứ ự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hui s ố tự nhiên hơn (kém) nhau 1 đơn vị lù hai s ố tự nhiên liên tiếp. 7. Hai s ố chán liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hui s ố chẵn hơn (kém) nhau 2 đơri vị lù hai sô'chẵn liên tiếp. 8. hai sô lè liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai s ố lẻ hơn kém nhau 2 đơn vị là hai sô lè liên tiếp. II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ĐIEN h ì n h D ạig 1. Viết sỏ tự nhiên từ những chữ sô cho trước Ví iụ 1.1. Cho bốn chữ số 0, 1,2, 3. a) Viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho? b) Tìm số lớn nhất, số nhó nhất có .bốn chữ số khác nhau viết được từ bốn chữ số đã clo. 7
c) Tim số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có bốn chữ sô khác nhau viết điợc từ bốn chữ sô' đã cho. Giải: a) Cách 1 (Sơ đổ hình cây). Chọn số 1 làm chữ số hàng nghìn ta được các số: Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy: từ bốn chữ số đã cho, ta viết được 6 só có chữ số hàng nghìn bằng 1 thỏa mãn các điều kiện của đề bài. Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn. Vậy số các số thỏa mãn điều kiện của đề bài là: 6 x 3 = 1 8 (số). Cách 2. Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau: - Có 3 cách chọn chữ sô' hàng nghìn cùa số thỏa mãn điều kiện cùa đề bài (vì số 0 không thể đứng ờ vị trí hàng nghìn). - Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại khác chữ sô hàng nghìn đã chọn). - Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là hai chữ số còn lại khác chữ sỏ hàng nghìn và hàng trăm). - Có 1 cách chọn chư so hang đơn V Ị (đó là chữ sò còn lại khác chữ só hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị). Vậy số các sỏ' viết được là: 3 x 3 x 2 x 1 = 18 (số). b) Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phài có chữ số hàng nghìn là số lớn nhất trong các chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn cùa số phái tìm là 3. - Chữ số hàng trăm phái là số lớn nhát trong ba chữ sô còn lại. Váy chữ số hàng trăm bằng 2. 8
- Chữ số hàng chục phải là sỏ lớn nhất trons các chữ số còn lại. Vậy chữ sỏ hàngchục là 1. Nậy sỏ phái tìm là: 3210. lưcmg tự như trên ta tìm được sô bé nhất tlióa mãn điều kiện của để bài là: 1023 c) Số lé lớn nhất thoa mãn điều kiện của để bài phái có chữ sô hàng nghìn là sô lứi nhất trong 4 chữ số đã cho. Vậy chữ sỏ hàng nghìn của sỏ phái tìm bằng 3. - Sô phải tìm có chữ số hàng nghìn bằng 3 và là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị phải >ằng 1. - Chữ sô hàng trăm phủi là số lớn nhất trong hai số còn lại nên chữ số hàng trăm 3ằng 2. vậy, sô phải tìm là 3201. lương tự, số chẵn nhỏ nhất cần tìm là: 1032. \í dụ 1.2. Cho 5 chữ số 0, 1,2, 3, 4. Tìr năm chữ số đã cho: í) Có thể viết được bao nhiêu sô có bốn chữ số? I) Có thê viết được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số mà chữ sô hàng trăm bằng2? (im : íl Có 4 cách chọn chữ sô hàng nghìn của số thòa mãn điều kiện của đề bài (vì chữ S3 0 k hôn? thê đứng ớ vị trí hàng nghìn). Mỗi chữ số hàng trâm , hàng chục, hàng đơn vị đểu có 5 cách chọn. Vậy số các fđ có bôn chữ số viết được từ 5 chữ số đã cho là: 4 x 5 x 5 x 5 = 500 (số). 1) Số cần tìm có chữ số hàng trăm bằng 2. Vây ta phái xác định các chữ số h à n g n g h ìn , h à n g c h u c v à h à n g đ ơ n vị n ữ a . - Có 4 cách chọn chữ sô hàng nghìn; - Có 5 cách chọn chữ số hàng chục; - Sô cần tìm là số chẵn nên có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị. 'ậ y số các số thóa mãn điều kiện của đề bài là: 4 X 5 X 3 = 60 (số). Tí dụ 1.3. Viết liên tiếp 15 số ]ẻ đẩu tiên đế được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 15 clữ số cùa số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự cúa các chữ số còn hi để được:
a) Sô' lớn nhất; b) Sô' nhỏ nhất; Giải: Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29. Để sau khi xoá 15 chữ sô' ta nhận được số lốn nhất thì chữ sô' giữ lại đầu tiên kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy trước hết ta xoá 4 chữ số đầu tiên của dãy là I, 3, 5, 7. 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29. Ta phải xoá tiếp 15 - 4 = 11 chữ số còn lại để được số lớn nhất. Để sau khi xoá ta nhận được sô' lớn nhất thì chữ số thứ hai giữ lại kể từ bên trái phải là chữ sô' 9. Vậy ta phải xoá tiếp những chữ sô' viết giữa hai chữ số 9 trong dãy, đó là 11 13 15 17 1. 9X y f / 9 21 23 25 27 29 Số còn lại là: 9 9 21 23 25 27 29. Ta phải xoá tiếp 11 - 9 = 2 chữ số từ sô' còn lại để được số lớn nhất. Chữ số thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2. Để được sô' lớn nhất sau khi xoá 2 chữ sô ra phải xoá sô' 12 hoặc 21, tức là 99 X 23 25 27 29 hoặc 99 2 / 23 25 27 29. Sô' còn lại là: 99 23 25 27 29. Vậy sô' lớn nhất cần tìm là: 9 923 252 729. b ) L ộ p lu â n tư ơ n g tự c â u a. Sô' c đ n tìm là 1 111 111 122. Dạng 2. Các bài toán giải bằng phàn tích cấu tạo sô Loại 1. Viết thêm m ột số chữ sô' vào bên trái, bên phải hoặc xen giữa m ột số tự nhiên. V í dụ 1.4. Khi viết thêm số 12 vào bên trái một sô' tự nhiên có hai chữ số thì số đó tăng gấp 26 lần. Tìm sổ có hai chữ số đó. • Giải: Gọi sô' cần tìm là ab . Viết thêm sô' 12 vào bên trái ta được số 12ab . Theo bài ra ta có: 10
12ab = ab X26 ] 200 + ab = ab X26 Cách I: abx 26 - a b = 1200 a b x ( 2 6 - l) = 1200 ăb X 25 = 1200 ãb = 1200:25 ab = 4.8 Thử lại: 1248 : 48 = 26. Vậy số cần tìm là 48. Cách 2. Sau khi phân tích bước 1 và 2 trong cách 1, ta có sơ đồ sau: ab t:,_- J 1 phần 1200 12ab k — 26 phẫn Số cần tìm là: 1200 : ( 2 6 - 1 ) = 48. V í dụ 1.5. Khi viết thêm chữ sô' 2 vào bên phải một số tự nhiên có ba chữ số thì số đó tăng thêm 4106 đơn vị. Tim sổ có ba chữ số đó. Giải: Cácli 1. Gọi sô' cần tìm là abc . Khi viết thêm chữ số 2 vào bên phải ta được số ab c2 . Theo bài ra ta có: abc2 = abcx 10 + 2 abc2 = abc + 4106 abc X 10 + 2 = abc + 4106 abc X 10 - abc = 4106 - 2 ãbcx (1 0 -1 ) = 4104 a b c x 9 = 4104 Vabc = 4104 :9 abc = 456.
Thử lại : 4562 - 4 5 6 = 4106. Vậy số cần tìm là 456. Cách 2. Khi viết thêm chữ sô' 2 vào bên phái một số tự nhiên thì số đó lăng gấp 10 lần và 2 đơn vị. Ta có sơ đồ sau: Sô' cần tìm: t----- d 1 phần 4106 Sô mới: k H 10 phần Sô' cần tìm là: ( 4 1 0 6 - 2 ) : ( 1 0 - 1) = 456. V í dụ 1.6. Tìm một sô' có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ sô' hàng chục và hàng đơn vị thì số đó tãng gấp 10 lần. Khi viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì số đó tăng gấp 3 lần. Giải: Gọi số cần tìm là ab . Khi viết thêm chữ số 0 xen giữa ta được số aOb. Theo bài ra ta có: abx 10 = aOb. Suy ra b = 0. Sô cẩn tìm có dạng aO. Viết thêm số 1 vào bên trái 3Ố aOO ta được sô' laOO. Theo bài ra ta có: ĩãõ õ = 3 Xãõõ. Tương tự ví dụ 1.1 ta tìm được a = 5. Vậy sô' phải tìm là 50. Loại 2. Xoá đi m ột sô chữ sô của một số tự nhiên Ví dụ 1.7. Khi xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị cùa một sô tự nhiên có 4 chữ sô' thì sô' đó giám đi 4455 đơn vị. Tìm sô’ có bốn chữ sô' đó. Giải: Cách 1. Gọi sô' cần tìm là a b cd . Xoá đi chữ sô' hàng chục và hàng đơn vị ta được sô' ab . Theo bài ra ta có: a b c d -a b = 4455 * ab X 100 + cd - ab = 4455 cd + ã b x l 0 0 - ã b = 4455 cd + ãbx (1 0 0 -1 ) = 4455 12
cd + ab X99 = 4455 cd = 45 X 99 - ab X 99 cd = (4 5 - a b ) x 9 9 Ti nhận xét tích cúa 99 với một sô tự nhiên là sỏ tự nhiên nhỏ hơn 100. Cho nên 4) - ab phải bằng 0 hoặc 1. -N ế u 45 - ab = 0 thì ab = 45 và cd = 00. -N ế u 45 - ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99. Sí cần tìm là 4500 hoặc 4499. Cícli 2. Ta viết lại phép tính như sau: 4455 + ab abcd 7i nhận xét: -N ế u phép cộng hàng chục không nhớ thì ab = 44 /à abed = 4455 + 44 = 4499. -N ế u phép cộng hàng chục có nhớ thì ab = 45 và S c d = 4455 + 55 = 4500. G c số cần tìm là 4499 hoặc 4500. V dụ 1.8. Khi xoá đi chữ số hàng trâm cùa một số có ba chữ sô' thì sô' đó giảm đi 7 1ji. Tim số có ba chữ số đó. Gài: Cọi sft' c ẩ n tìm là a h c X o á đi chfr s ố h à n g tră m ta (tirợ r số' ho tír li 1. Theo để bài ta có: a00 + bc = 7 x bc aOO = 7 X bc - bc ãõõ = ( 7 - l)x b c a00 = 6 x b c . Tr đó suy ra a < 6 và a chia hết cho 3. Vậy a = 3. lia y vào ta tính được bc = 50. Số cần tìm là 350. 13
Cách 2. Ta có: abc = be X7 . Vì 7 X c là số có tận cùng là c nén c bằng 0 hoặc 5. - Nếu c = 5, thay vào ta có: ab5 = b 5 x 7 . Vì 7 X 5 = 35 nên 7 X b + 3 = ab . Nếu b chẵn thì vế trái là số'lẻ mà vế phải là số chẵn. Nếu b lẻ thì vế trái là số chẩn mà vế phải là số lẻ. Vậy trường hợp c = 5 bị loại. - Nếu c = 0, thay vào ta có: abO = b0x7 ab = b x 7 . Suy ra b = 0 hoặc 5, nhưng b không thé bằng 0. Vậy b = 5 và ab = 35 . Sô' cần tìm là 350. Loại 3. Các bài toán về s ố tự nhiên và tổng các chữ số của nó V í dụ 1.9. Tim một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó. Giải: Cách 1. Gọi sô' phải tìm là a b . Theo bài ra ta có: ab = 5 x (a + b) 10xa+b=5xa+5xb 10xa-5xa=5xb-b ( 1 0 - 5 ) x a = (5 - 1) X b 5 X a = 4 X b. Tìr đay ta suy ra h chia hết cho 5. Vậy h bằng 0 hoặc 5. - Nếu b = 0 thì a = 0 (loại) - Nếu b = 5 thì 5 X a = 20, vây a = 4. Sô' phải tìm là 45. Cách 2. Gọi sô' phải tìm là a b . Theo bài ra ta có: ab = 5 x (a + b). Vì 5 X (a + b) có tận cùng bằng 0 hoăc 5 nên b bằng 0 hoặc 5. - Nếu b = 0, thay vào ta có a0 = 5xa. 14
v ậy loại vì không có giá trị khác 0 nào của a thoả mãn. - Nếu b = 5, thay vào ta có: a5 = 5 x (a + 5) 10 X a + 5 = 5 X a + 25. 'Inh ra ta được a = 4. "hử lại: 45 : (4 + 5) = 5. vậy số phải tìm là 45. loại 4. Các bài toán về s ố tự nhiên và hiệu các c h ữ sô của nó Ví dụ 1.10. Tìm m ột số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số cùa ló được thương bằng 28 dư 1. Ciùi: Cọi sô' phải tìm là a b . Theo bài ra ta có: ab = c X 28 +1. vậy c = 1; 2 hoặc 3. - Nếu c = 1 thì ab = 29. Tiử lại: 9 - 2 = 7 ; 29 : 7 = 4 (dư 1) (loại). - Nếu c = 2 thì ab = 57. Tiử lại: 7 - 5 = 2; 5 7 : 2 = 28 (dư 1). - Nếu c = 3 thì ab = 85. "hửlại: 8 - 5 = 3; 8 5 : 3 = 28 (dư 1). Tậy sô' phải tìm là 57 hoặc 85. toại 5. Các bài toán vê sô tự nhiên và tích các chữ sô của nó ĩí dụ 1.11. Tìm một sô' tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các ciữ sỏ' của nó (idi: (ách 1. Gọi sô' phải tìm là a b c . Theo bài ra ta có: abc = 5 x a x b x c . 1 5 X a X b X c chia hết cho 5 nên abc chia hết ch o 5. V ậy c = 0 hoặc 5. Nhưig c không thể bằng 0, vậy c = 5. Số phải tìm có dạng ab 5 . 'hãy vào ta có: 100 X a + 10 X b + 5 = 25 X a X b. 20xa+2xb+l=5xaxb 15
Vì 5 X a X b chia hết cho 5 nên 2 0 x a + 2 x b + 1 chia hết cho 5. Suy ra 2 X b có tận cùng là 4 hoặc 9. Vì 2 X h là sô chẵn nên nó có tận cùng bàng 4. Suỵ ra b = 2 hoặc b = 7. - Nếu b = 2 thì a25 = a X 2 X 5. Vế trái là sô lẻ m à vế phải là số chẩn. Vậy ta loại b = 2. —Nếu b = 7 thì ta có 20 X a + 15 = 35 X a. Tính ra ta được a = 1. Thử lại: 175 = 5 X 1 x 7 x 5 . Vậy số cần tìm là 175. C á c li 2. Tương tự cách 1 ta có: ab5 = 25 X a X b. Vậy vế trái chia hết cho 25. Suy ra b bằng 2 hoặc 7. Vì 25 X a X b là số lẻ nên b = 7. Tiếp theo, tương tự cách 1 ta được a = I. Số cần tìm là 175. D ạng 3. Những bài toán giải bằng phương pháp thứ chọn V í dụ 1.12. Biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị cùa số lé có hai chữ số bàng 3. Nếu thèm vào số đó 3 đơn vị ta được số có hai chữ số giống nhau. Tim sô' đó. Giải: Cácli I . Những số lẻ có hai chữ số mà hiệu giữa các chữ số cùa nó bằng 3 là : 41, 25, 6 3 ,4 7 , 85 v à 69. Ta có bảng sau: ab ab + 3 K ết lu ậ n 41 41 + 3 = 44 Chọn 25 25 + 3 = 28 Loại 63 63 + 3 = 66 Chọn 47 47 + 3 = 50 Loại 85 85 + 3 = 88 Chọn 69 69 + 3 = 72 Loại Các số cần tìm là 41, 63 và 85. Cách 2. Những số có hai chữ số giống nhau là: 11, 22, 33. 44, 55, 66, 77, 88, 99. Bớt mỗi số trên 3 đơn vị ta được các số: 8, 19, 30,41, 52, 63, 74, 85, % . 16
Lậ} bàng thử chọn như trên ta tìm được ba số 4 1, 63 và 85. Vidụ 1.13. Chữ sò hàng chục của một số lự nhiên có ba chữ số khác nhau gấp 2 lần chữ sô hàng đơn vị. Nếu lấy tích của chữ sô hàng chục và hàng đơn vị chia cho chr số hàng trăm ta được thirơng bằng 8. Tim số dó. Giii: Sôcán tìm có dạng a21, a42, a63, a84. Tacó báng sau: abc (b + c) : 8 K ế t lu ậ n a2Ĩ 2x1:8 Loại 042 4 X 2: 8= 1 Chọn 063 6x3:8 Loại 084 8 X 4 :8=4 Loại Sôcđn tìm là 142. Vidụ 1.14. Tim một số có bốn chữ số, biết ràng,tổng các chữ số của nó bằng 18, tíci các chữ số cùa nó bằng 64 và viết các chữ số của nótheo thứ tự ngược lại thì sô' (ó không thay đổi. Giii. Theo để bài (hì số cần tìm có dạng abba. Tủig hai chữ số a và b là: 18 : 2 = 9. Sỡ? có thể phân tích thành tổng của nhũng cặp số sau: 0 và 9; 1 và 8; 2 và 7; 3 và 6; 4 và4. C a só cán lìm cú llié là 9009; 1881, 81 18; 7227; 2772; 6330, 3003; 4444. TíCÓ bảng sau: abba a X b X b X a K ế t lu ậ n 9009 0 < 64 Loại 1881 64 = 64 Chọn 8118 64 = 64 Chọn 7227 196 > 64 Loại
2772 196 > 64 Loại 6336 324 > 64 Loại 3663 324 > 64 Loại 4444 256 > 64 Loại Sô' cần tìm là 1881 và 8118. Dạng 4. Những bài toán về chữ sô tận cùng của một sò tự nhiên \ MỘT SỐ KIẾN THỨC CAN LUU Ý 1. Chữ s ố tận cùng của một tổng bâng chữ số tận cùng của tổng các chữ sâ liàng đơn vị của các s ố hạng trong tổng đó. 2. Chữ sô tận cùng của một tícli bằng chữ s ố tận cùng của tícli cúc chữ sô hàng đơri vị của các thừa sô trong tích đó. 3. Tổng 1 + 2 + 3 + ... + 9 có chữ sô'tận cùng bằng 5. 4. T íc h 1 X.5 X 5 X 7 X 9 ró ch ữ s ố tận cùng bằng 5. 5. T íc h a X a không th ể có tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 lioặc 8 V í dụ 1.15. Không thực hiện phép tính hãy cho biết chữ sô' hàng đơn vị cúa mỗi kết quả sau: a) (2001 + 2 0 0 2 + 2003 + ... + 2 0 0 9 ) - ( 2 1 + 32 + 43 + ... + 98 + 19). b) (12 + 23 + ... + 89 + 91) X 91 X 73 X 55 X 37 X 19. c) 123 X 235 K 347 X 4 5 9 X 561 - 71 X 7 3 X 75 X 7 7 X 79. Giải: a) Chữ số hàng đơn vị của tổng 2001 + 2002 + ... + 2009 và tổng 21 + 32 + ... ... + 9 8 + 1 9 đểu bằng chữ số hàng đơn vị của tổng 1 + 2 + ... + 9 và bằng 5. Cho nên hiộu trên có chữ số hàng đơn vị bằng 0. b ) S uy lu â n tư ơ n g tư c â u a ta c ó tổ n g 12 + 2 3 + ... + 8 9 + 91 v à tíc h 91 X 73 X 55 X 37 X 19 đểu có chữ sô' hàng đơn vị bằng 5. Suy ra chữ số hàng đơn vị của kết quả dãy tính bằng 5. c) Tương tự ta có chữ số hàng đơn vị của hiệu bằng 0. Ví dụ 1.16. Có thể thay a, b trong phép tính sau bởi chữ sô' thích hợp đế được một phép tính đúng hay không? Tại sao? a) 12a X 12a - a53b8 = 0. b) 17a7 - 3b X4b = 0. c) 9a X 9a - 8643 = 0. 1S