Giáo trình Cơ học lý thuyết: Phần 2

PH N TH<br /> M<br /> <br /> BA:<br /> <br /> NG L C H C<br /> <br /> u<br /> <br /> 1.<br /> <br /> ng l c h c là ph n cu i cùng c a giáo trình Cơ h c lý thuy t, nghiên c u<br /> chuy n ng c a ch t i m và h ch t i m cơ h c (cơ h ) dư i tác d ng c a l c.<br /> Ch t i m là i m hình h c mang kh i lư ng, cơ h là t p h p hai hay nhi u ch t<br /> i m mà chuy n ng c a ch t i m b t kỳ b ràng bu c b i chuy n ng c a các ch t<br /> i m còn l i thu c cơ h . V t r n tuy t i là trư ng h p c bi t c a cơ h , nó g n<br /> v i th c t và có áp d ng nhi u trong k thu t.<br /> <br /> 2. L c là<br /> <br /> i lư ng o tác d ng cơ h c c a v t th này lên v t th khác, ư c<br /> uur<br /> trưng b ng i lư ng véctơ, ký hi u: F . Trong ph n Tĩnh h c ta g p l c không bi<br /> i (l c tĩnh). Trong ph n ng l c h c, ta g p l c bi n i, ho c ph thu c vào th<br /> gian t (như l c kéo c a u máy, áp l c c a ng cơ lên n n – móng), ho c ph thu<br /> r<br /> vào v trí r (như l c h p d n, l c àn h i c a lò xo), ho c ph thu c vào v n t c (l<br /> uur<br /> c n c a môi trư ng). Nói chung, trong trư ng h p t ng quát l c F là hàm c a th<br /> gian, v trí, v n t c và ương nhiên có th c gia t c. Ta có th bi u th :<br /> uur uur r r<br /> F = F (t , r , v )<br /> <br /> c<br /> n<br /> i<br /> c<br /> c<br /> i<br /> <br /> H l c tác d ng lên cơ h có hai cách phân lo i: Ho c chia thành n i l c và ngo i<br /> ng) và ph n l c liên k t.<br /> l c; ho c chia thành l c ho t ng (l c ch<br /> <br /> - N i l c là các l c tác d ng tương h gi a các ch t i m thu c cơ h , ký hi u<br /> uur i<br /> F . Ngo i l c là l c ngoài cơ h tác d ng lên các ch t i m thu c cơ h kh o sát, ký<br /> uur e<br /> hi u F .<br /> -<br /> <br /> Ph n l c liên k t là l c<br /> <br /> c trưng cho tác d ng c a các v t gây liên k t lên các<br /> uu<br /> r<br /> ch t i m thu c cơ h kh o sát, ký hi u N . Các l c không ph i là ph n l c liên k t tác<br /> uur a<br /> d ng lên cơ h kh o sát g i là l c ho t ng, ký hi u F .<br /> <br /> 3. Năm 1687, I. Niutơn xu t b n cu n “Nh ng nguyên lý toán h c c a tri t h c t<br /> <br /> nhiên”. Công trình này trình bày cơ s c a Cơ h c c i n. Ông ã ưa ra các khái<br /> ni m l c, gia t c và ch ng minh r ng chuy n ng c a các hành tinh có th ư c gi i<br /> thích b ng tương tác h p d n. S ti p c n ngày càng ch t ch v m t nh lư ng c a<br /> cơ h c ư c ti p t c su t trong các th k XVI – XIX và t o thành Lý thuy t Cơ h c<br /> (Cơ h c c i n) áp d ng cho m i v t th thông thư ng.<br /> <br /> 4. N i dung nghiên c u:<br /> 141<br /> <br /> N i dung nghiên c u c a ph n<br /> <br /> ng l c h c là gi i quy t hai bài toán cơ b n.<br /> <br /> a. Bài toán I (bài toán thu n): Cho quy lu t chuy n<br /> xác nh l c tác d ng lên chúng.<br /> <br /> ng c a ch t i m hay cơ h ,<br /> <br /> b. Bài toán II (bài toán ngư c): Cho l c tác d ng lên ch t i m hay cơ h và các<br /> i u ki n ban u c a chuy n ng, xác nh quy lu t chuy n ng c a ch t i m hay<br /> cơ h ó.<br /> Như s th y rõ trong chương ti p theo, do các l c ư c bi u di n theo hàm s c a<br /> v trí, các v n t c, gia t c và th i gian, nên chuy n ng c a ch t i m, cơ h ư c mô<br /> t b i m t h phương trình vi phân c p II. Ta th a nh n r ng: V i các i u ki n ban<br /> u (các v trí và v n t c) cho trư c thì nghi m là duy nh t. Như v y, nghi m c a các<br /> phương trình vi phân và th a mãn các i u ki n ban u s là nghi m c a bài toán cơ<br /> h c vì tính duy nh t.<br /> <br /> 142<br /> <br /> CHƯƠNG I: CÁC NH LU T CƠ B N C A CƠ H C NIUTƠN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUY N<br /> NG<br /> 1.1.<br /> 1.1.1.<br /> <br /> Các<br /> <br /> nh lu t c a cơ h c Niutơn<br /> <br /> nh lu t 1 ( nh lu t quán tính)<br /> <br /> Ch t i m không ch u tác d ng c a l c nào s<br /> ng yên ho c chuy n<br /> u.<br /> uur<br /> uu uuuuur<br /> r<br /> N u F = 0 thì V = const<br /> <br /> ng th ng<br /> <br /> Ch t i m không ch u b t kỳ m t tác d ng cơ h c nào ư c g i là cô l p và chuy n<br /> ng th ng u c a nó ư c d c trưng b i m t véctơ v n t c không i. T ó có th<br /> suy ra:<br /> Tr ng thái ng yên hay chuy n ng th ng u c a ch t i m g i là chuy n ng<br /> theo quán tính c a nó (ch t i m cân b ng). Quán tính<br /> ây ư c hi u là s c c n l i<br /> s bi n i v n t c.<br /> Như v y, nh lu t 1 kh ng<br /> b ng c a ch t i m.<br /> 1.1.2.<br /> <br /> nh r ng: L c là nguyên nhân phá v tr ng thái cân<br /> <br /> nh lu t 2 ( nh lu t cơ b n c a<br /> <br /> ng l c h c)<br /> <br /> Dư i tác d ng c a l c, ch t i m chuy n<br /> l nt l v i<br /> l n c a l c.<br /> c a l c và có<br /> uur<br /> uu<br /> r<br /> F = mW<br /> <br /> ng có gia t c cùng hư ng v i hư ng<br /> (1-1)<br /> <br /> F = m.W<br /> uu<br /> r<br /> Trong ó: W là gia t c c a ch t i m nh n ư c dư i tác<br /> uur<br /> d ng c a l c F ; m là kh i lư ng c a ch t i m, là i lư ng<br /> dương, b t bi n theo th i gian và không ph thu c vào h<br /> quy chi u.<br /> T<br /> <br /> (1-2)<br /> z<br /> <br /> W<br /> <br /> nh lu t 2, ta th y:<br /> <br /> – L c là nguyên nhân làm cho ch t i m chuy n<br /> gia t c.<br /> <br /> V<br /> <br /> M<br /> <br /> ng có<br /> <br /> –<br /> nh lu t ã thi t l p m i quan h<br /> nh lư ng gi a các<br /> i lư ng cơ b n c a cơ h c: L c, kh i lư ng và gia t c (m i<br /> quan h gi a không gian, th i gian và v t ch t).<br /> <br /> F<br /> y<br /> <br /> x<br /> <br /> O<br /> Hình 1-1<br /> <br /> – N u tác d ng lên ch t i m m t l c có tr s không i, t (1-2) suy ra: Kh i<br /> lư ng c a ch t i m càng l n thì tr s c a gia t c càng nh , nghĩa là càng khó thay<br /> i v n t c c a nó. T ó cho th y kh i lư ng là<br /> o quán tính c a ch t i m.<br /> 143<br /> <br /> – Trư ng h p ch t i m ch u tác d ng ng th i m t s l c<br /> u<br /> r<br /> có th thay chúng b i h p l c R . H th c (1-1) tr thành:<br /> uu u<br /> r r<br /> uu<br /> r n uur<br /> mW = R hay mW = ∑ F k<br /> <br /> uur uur<br /> uur<br /> , F 2 ,..., F n thì<br /> 1<br /> <br /> (F<br /> <br /> )<br /> <br /> (1-3)<br /> <br /> k =1<br /> <br /> (1-3) g i là phương trình cơ b n c a ng l c h c ch t i m dư i tác d ng c a nhi u<br /> l c ng th i. H th c (1-3) là cơ s<br /> thi t l p các phương trình vi phân chuy n<br /> ng, các nh lý t ng quát c a ng l c h c và nh ng nguyên lý cơ h c sau này.<br /> –<br /> lân c n b m t trái t, m t v t th có kh i lư ng m ph i ch u tác d ng c a<br /> u<br /> r<br /> tr ng l c P . Theo h th c (1-1) thì:<br /> uu<br /> r<br /> r<br /> (1-4)<br /> P = mg<br /> Trong g n úng b c nh t, tr ng lư ng P b ng tr s c a l c hút trái t tác d ng lên<br /> ch t i m. L c này g n như ng u trong m t ph m vi mà kho ng cách t i m t t<br /> còn nh so v i bán kính trái t. Giá tr c a g x p x g ≈ 9,81 m/s2, ư ng th ng ng<br /> r<br /> là phương c a g .<br /> 1.1.3.<br /> <br /> nh lu t 3 ( nh lu t tác d ng và ph n tác d ng)<br /> <br /> L c tác d ng tương h gi a hai ch t i m là hai l c có<br /> và ngư c chi u nhau”.<br /> cùng giá, cùng cư ng<br /> <br /> Cho hai ch t i m A và B tương tác v i nhau. Các l c<br /> uuu<br /> r<br /> uuu<br /> r<br /> tương tác FA và FB (hình 1-2).<br /> uuu<br /> r<br /> uuu<br /> r<br /> Ta có h th c:<br /> FA = − FB<br /> (1-5)<br /> uuu uuu uuu uuu<br /> r<br /> r<br /> r<br /> r<br /> Hơn n a:<br /> FA ∧ BA = FB ∧ AB = 0<br /> <br /> FA<br /> <br /> FB<br /> <br /> B<br /> <br /> A<br /> Hình 1-2<br /> <br /> D th y r ng, khác v i nh lu t 1 và nh lu t 2 ch phát bi u cho ch t i m, nh<br /> lu t 3 phát bi u cho h hai ch t i m. Do ó nó là cơ s<br /> nghiên c u ng l c h c cơ<br /> h .<br /> 1.2.<br /> <br /> H quy chi u quán tính và h<br /> <br /> ơn v cơ h c<br /> <br /> 1.2.1. H quy chi u quán tính<br /> <br /> T<br /> nh lu t quán tính ta th y: T n t i m t l p các h quy chi u, mà i v i chúng<br /> m t ch t i m không ch u tác d ng c a l c nào s chuy n ng th ng u. H quy<br /> chi u ó là h quy chi u quán tính (hay h quy chi u Galilê). Các nh lu t c a cơ h c<br /> niutơn ch nghi m úng trong h quy chi u quán tính. H quy chi u không th a mãn<br /> các i u ki n v a nêu s là h quy chi u không quán tính.<br /> H quy chi u quán tính thư ng dùng trong cơ h c niutơn.<br /> 144<br /> <br /> - H quy chi u Côpecnic (hình 1-3). H quy chi u Côpecnic ư c xác nh nh<br /> s d ng h t a<br /> Cxcyczc, trong ó C là kh i tâm c a h m t tr i và các tr c Cxc, Cyc,<br /> xa<br /> có th ư c coi là c<br /> nh.<br /> i v i các ch t i m<br /> Czc hư ng v ba ngôi sao<br /> chuy n ng trong h m t tr i, v i<br /> chính xác cao, h quy chi u này là h quy chi u<br /> quán tính.<br /> z<br /> <br /> zC<br /> <br /> zC<br /> yC<br /> <br /> yC<br /> C<br /> <br /> C<br /> <br /> y<br /> <br /> S<br /> <br /> xC<br /> <br /> x<br /> <br /> xC<br /> <br /> Hình 1-4<br /> <br /> Hình 1-3<br /> <br /> - H quy chi u Kêple (hình 1-4). H quy chi u Kêple ư c suy ra t h quy<br /> chi u Côpernic nh phép t nh ti n. G c c a nó là kh i tâm S c a m t tr i, các tr c Sx,<br /> Sy, Sz ch n song song v i các tr c Cxc, Cyc, Czc. Th c t C và S r t g n nhau. Sai s<br /> trong tính toán gi a hai h quy chi u trên là không áng k .<br /> M t h quy chi u g n v i m t t, khi tính n các chuy n ng quay quanh tr c<br /> c a nó và chuy n ng t nh ti n trên qu<br /> o c a trái t, không ph i là h quy chi u<br /> quán tính. Tuy nhiên v i nh ng tính toán trong th c t v i sai s cho phép, h quy<br /> chi u g n v i m t t ư c coi như h quy chi u quán tính.<br /> 1.2.2. H th ng ơn v cơ h c<br /> <br /> Trong tính toán k thu t, ta thư ng dùng h ơn v qu c t SI.<br /> hành h ơn v o lư ng h p pháp d a vào h ơn v qu c t SI.<br /> Các<br /> <br /> i lư ng cơ b n c a Cơ h c là<br /> <br /> nư c ta ã ban<br /> <br /> dài, kh i lư ng và th i gian.<br /> <br /> Các ơn v cơ b n tương ng:<br /> dài là mét, ký hi u là m; kh i lư ng là kilôgam,<br /> ký hi u là kg; th i gian là giây, ký hi u là s.<br /> Các i lư ng còn l i là nh ng i lư ng d n xu t. Ch ng h n, l c ư c tính t<br /> công th c: F = mW là ơn v d n xu t.<br /> N u l y m = 1 kg; W = 1 m/s2 thì F = mW = 1kg.1m/s2 = 1 kgms−2 và g i là<br /> 1 niutơn, ký hi u là N; 1 N = 1 kgm/s2.<br /> 145<br /> <br />