intTypePromotion=1

Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức - Nguyễn Thủy Thanh

Chia sẻ: Tran Khanh Nhat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:567

0
461
lượt xem
197
download

Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức - Nguyễn Thủy Thanh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức trình bày các nội dung cơ bản: mặt phẳng phức và hàm biến thức, hàm chỉnh hình, lý thuyết tích phân hàm chỉnh hình, các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình, hàm da trị và diện Riemann, lý thuyết thặng dư và ứng dụng, ánh xạ bảo giác.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Cơ sở lý thuyết hàm biến phức - Nguyễn Thủy Thanh

  1. Cơ sở lý thuyết hàm biến phức Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 565 Tr. Từ khoá: Mặt phẳng phức, Hàm số phức, số phức, Hàm biến phức, Điểm tụ, Biên của tập hợp, Tập hợp compact, Hàm phức biến thực, Miền đơn liên, Đa liên, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Nguyên lý thác triển giải tích, tập hợp mờ, Hàm đa trị, Diện đa liên, Lý thuyết thặng dư, Hàm đơn diệp, Phiến hàm liên tục, Diện Riemann. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
  2. ˜ ˆ ’ NGUYEN THUY THANH . ’. ´ ´ ˆ CO SO LY THUYET ` ˆ N PHU.C HAM BIE´ ´ ` ´ ˆ ’ ´ ˆ ` ˆ NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI . . . H` Nˆi – 2006 a o .
  3. Muc luc . . L`.i n´i dˆu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o ` a 8 1 M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c a . ’ a u a a ´ e u 10 1.1 Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c . . a . . o u ´ a . ’ a u . . . . . . . . . . . . . 11 -. ´ 1.1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´ ıa o u .c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.2 Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . ´ . o ’ o u ´ . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.3 Ph´p tr`. v` ph´p chia sˆ ph´.c e u a e ´ o u . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.4 M˘t ph˘ng ph´.c . . . . . . . . a. ’ a u . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.5 Mˆdun v` acgumen cua sˆ ph´.c o a ’ o u´ . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.6 Ph´p khai c˘n sˆ ph´.c . . . . . e a o u´ . . . . . . . . . . . . . 28 u ’ o u ´ 1.1.7 Dang m˜ cua sˆ ph´ .c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 . 1.1.8 Kh´i niˆm vˆ m˘t ph˘ng mo. rˆng . a e. ` a e . a’ ’ o. . . . . . . . . . . . 30 ’ 1.1.9 Khoang c´ch trˆn C . . . . . . . . a e . . . . . . . . . . . 33 1.2 C´c kh´i niˆm tˆpˆ co. ban trˆn m˘t ph˘ng a a e . o o ’ e a . ’ a ph´.c . . . . . . . 35 u 1.2.1 Tˆpˆ o o trˆn C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 e 1.2.2 ` Phˆn a a ` trong v` phˆn ngo`i . . . . . . . . . . . . . . . . 38 a a 1.2.3 - e ’ Diˆm tu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.2.4 Biˆn cu e ’a tˆp ho.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 a . . 1.2.5 Tˆp ho.p a . . ´ comp˘c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 a 1.2.6 Tˆp ho.p a . . liˆn thˆng . . . . . e o . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.2.7 H`m ph´ a u .c biˆn thu.c. Tuyˆn e´ ´ e v` du.`.ng cong . . . . . . 46 a o . 1.2.8 e ` Ph´p dˆng luˆn . . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.2.9 ` Miˆn do e .n liˆn v` da liˆn . . e a e . . . . . . . . . . . . . . . 56
  4. 2 MUC LUC . . 1.3 H`m biˆn ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ e u . . . . . . . 59 1.3.1 Dinh ngh˜a h`m biˆn ph´.c . . . . . . . . . -. ı a ´ e u . . . . . . . 59 1.3.2 C´c v´ du vˆ ´nh xa do.n diˆp . . . . . . . a ı . ` a e . e . . . . . . . . 62 1.3.3 Gi´ .o.i han cua h`m . . . . . . . . . . . . . . ’ a . . . . . . . 64 ınh e . a e . ` 1.3.4 T´ liˆn tuc v` liˆn tuc dˆu . . . . . . . . e . . . . . . . 67 1.4 L´ thuyˆt d˜y v` chuˆ i trong miˆn ph´.c . . . . . y ´ e a a ˜ o ` e u . . . . . . . 72 1.4.1 Gi´ .o.i han cua d˜y diˆm . . . . . . . . . . . ’ a ’ e . . . . . . . 72 1.4.2 Chuˆ i sˆ ph´.c v` su. hˆi tu cua n´ . . . . ˜ ´ o o u a . o . ’ o . . . . . . . . 75 ˜ a 1.4.3 D˜y v` chuˆ i h`m . . . . . . . . . . . . . a a o . . . . . . . 79 1.4.4 Chuˆ i l˜y th`.a . . . . . . . . . . . . . . . ˜ o u u . . . . . . . 85 1.4.5 Su. hˆi tu dˆu trˆn t`.ng comp˘c . . . . . . . o . ` . e e u ´ a . . . . . . . 92 1.5 H`m arg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . 95 ınh e . ’ a 1.5.1 T´ liˆn tuc cua h`m arg z . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.5.2 Sˆ gia cua acgumen doc theo du.`.ng cong . ´ o ’ . o . . . . . . . 96 .n tri liˆn tuc cua h`m arg z . . . 1.5.3 Nh´nh do a . e . ’ a . . . . . . . 98 1.6 B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a. . . . . . . . 100 a ’ 2 H`m chınh h` ınh 105 a ’ 2.1 H`m kha vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.1.1 H`m R2 - kha vi . . . . . . . . . . . . a ’ . . . . . . . . . 106 2.1.2 Dao h`m theo phu.o.ng . . . . . . . . . - . a . . . . . . . . . 108 a ’ 2.1.3 H`m C - kha vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.1.4 Mˆi liˆn hˆ gi˜.a C - kha vi v` R2 - kha ´ o e e u. ’ a ’ vi . . . . . . . 114 ’ 2.1.5 H`m chınh h`nh . . . . . . . . . . . . . a ı . . . . . . . . . 115 a a ’ 2.1.6 Khˆng gian c´c h`m chınh h` o ınh . . . . . . . . . . . . . 121 2.2 Mˆt sˆ h`m chınh h`nh so. cˆp . . . . . . . . . . ´ o o a ’ ı ´ a . . . . . . . . . 122 2.2.1 Da th´.c v` h`m h˜.u ty . . . . . . . . - u a a u ’ . . . . . . . . . 122 n √ 2.2.2 H`m w = z v` z = n w, n ∈ N . . . . a a . . . . . . . . . 122 2.2.3 H`m ez . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 124 2.2.4 H`m lˆgarit . . . . . . . . . . . . . . . a o . . . . . . . . . 126 2.2.5 H`m l˜y th`.a z α, α ∈ R . . . . . . . . a u u . . . . . . . . . 130 2.2.6 C´c h`m so. cˆp kh´c . . . . . . . . . . a a ´ a a . . . . . . . . . 131
  5. MUC LUC . . 3 a ’ ınh ’ a 2.2.7 Nh´nh chınh h` cua h`m da tri . . . . . . . . . . . . . 134 2.3 a ’ ı aa . ’ H`m chınh h`nh v` ´nh xa bao gi´c . . . . . . a . . . . . . . . . 138 2.3.1 Y ´ ngh˜ h`nh hoc cua acgumen cua dao ıa ı . ’ ’ . h`m a . . . . . . 138 2.3.2 Y ´ ngh˜ h`nh hoc cua mˆdun dao h`m ıa ı . ’ o . a . . . . . . . . . 140 ´ . ’ 2.3.3 Anh xa bao gi´c . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 141 ´ . e . aa . ’ 2.3.4 Anh xa liˆn tuc v` ´nh xa chınh h`nh . ı . . . . . . . . . 143 2.4 ’ ´ C´c d ˘ng cˆu so a a a a . cˆp . . . . . . . . . . . . . . ´ . . . . . . . . . 146 -a’ ´ 2.4.1 D˘ng cˆu phˆn tuyˆn t´ a a ´ e ınh . . . . . . . . . . . . . . . . 147 ´ 2.4.2 Anh xa w = ez v` z = log w . . . . . . . a . . . . . . . . . 160 2.4.3 H`m Jukovski . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 164 2.4.4 C´c d˘ng cˆu so. cˆp kh´c . . . . . . . a a ’ ´ a ´ a a . . . . . . . . . 172 . ´ 2.4.5 Mˆt sˆ v´ du . . . . . . . . . . . . . . . o o ı . . . . . . . . . . 175 2.5 B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a. . . . . . . . . . 183 ´ 3 L´ thuyˆt t´ phˆn h`m chınh h` y e ıch a a ’ ınh 188 3.1 T´ phˆn trong miˆn ph´ ıch a ` e u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 -. 3.1.1 Dinh ngh˜ t´ phˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 ıa ıch a .. .. 3.1.2 U ´ c lu o ng t´ phˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 o . ıch a 3.1.3 T´ t´ phˆn b˘ng phu.o.ng ph´p qua gi´.i han . . . . 194 ınh ıch a ` a a o . 3.1.4 Dang vi phˆn d´ng v` dang vi phˆn d´ng . . . . . . . 200 . a u a . a o 3.1.5 T´ phˆn du o ıch a .`.ng phu thuˆc tham sˆ . . . . . . . . . . 213 o o´ . . y ´ 3.2 L´ thuyˆt Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 e 3.2.1 Nguyˆn h`m dia phu.o.ng cua h`m chınh h`nh . . . . . 217 e a . ’ a ’ ı ’ a ’ 3.2.2 Nguyˆn h`m cua h`m chınh h`nh theo tuyˆn . . . . . . 223 e a ı e´ ´ ´ e ’ ı 3.2.3 T´ bˆt biˆn cua t´ch phˆn dˆi v´ a ınh a a o o ´ .i c´c tuyˆn dˆng luˆn227 ´ o e ` a 3.2.4 Cˆng th´.c t´ch phˆn co. ban th´. nhˆt cua Cauchy . . . 231 o u ı a ’ u ´ a ’ 3.2.5 Nguyˆn h`m trong miˆn do.n liˆn . . . . . . . . . . . . 234 e a ` e e u.c t´ phˆn Cauchy (cˆng th´.c co. ban th´. 3.2.6 Cˆng th´ ıch a o o u ’ u ’ hai cua Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 3.2.7 Biˆu diˆn t´ phˆn dˆi v´.i dao h`m cua h`m chınh h`nh241 e’ ˜ ıch a o o . a e ´ ’ a ’ ı - ` ’ e a ’ ’ 3.2.8 Diˆu kiˆn du dˆ h`m f chınh h`nh . . . . . . . . . . . . 250 e e . ı 3.2.9 H`m diˆu h`a v` mˆi liˆn hˆ v´.i h`m chınh h`nh . . . 250 a ` o a o e e o a e ´ . ’ ı
  6. 4 MUC LUC . . 3.2.10 T´ phˆn dang Cauchy. Cˆng th´.c ıch a . o u Sokhotski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 ’ ˜ ıch a a ` o 3.2.11 Biˆu diˆn t´ phˆn h`m diˆu h`a . . . . . . . . . . . . 270 e e e 3.3 B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 a a. 4 C´c t´ chˆt co. ban cua h`m chınh h` a ınh a ´ ’ ’ a ’ ınh 278 ´ ’ 4.1 C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t` ı a e ´ a u u. t´ch phˆn Cauchy . . . 279 a . -. 4.1.1 Dinh l´ gi´ tri trung b`nh . . . . . . . . . . . . . . . . 279 y a . ı -i 4.1.2 D.nh l´ Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 y -. y ` e ˜ a 4.1.3 Dinh l´ Weierstrass vˆ chuˆ i h`m hˆi tu dˆu . . . . . . 284 o o . ` . e 4.1.4 T´ chˆt dia phu.o.ng cua h`m chınh h`nh. Chuˆ i Taylor288 ınh a . ´ ’ a ’ ı ˜ o 4.1.5 C´c quan diˆm kh´c nhau trong viˆc xˆy du.ng l´ a e’ a e a . . y ´ thuyˆt h`m chınh h` e a ’ ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 ´ ´ a ’ a ’ 4.2 T´nh chˆt duy nhˆt cua h`m chınh h`nh . . . . . . . . . . . . 310 ı a ı ’ ’ ’ a 4.2.1 Khˆng diˆm (0-diˆm) cua h`m chınh h`nh . . . . . . . 310 o e e ’ ı ´ ´ a ’ a 4.2.2 T´ chˆt duy nhˆt cua h`m chınh h`nh . . . . . . . . 313 ınh a ’ ı 4.2.3 Nguyˆn l´ th´c triˆn giai t´ e y a ’ e ’ ıch . . . . . . . . . . . . . . 317 4.2.4 Nguyˆn l´ mˆdun cu.c dai . . . . . . . . . . . . . . . . 320 e y o . . - iˆm bˆt thu.`.ng cˆ lˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 4.3 D e ’ ´ a o o a . ˜ 4.3.1 Chuˆ i Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 o 4.3.2 Diˆm bˆt thu.`.ng cˆ lˆp do.n tri . . . . . . . . . . . . . 337 - e ’ a´ o o a . . e ’ a . . e’ 4.3.3 D´ng diˆu cua h`m tai diˆm vˆ c`ng . . . . . . . . . . 348 a o u a . a ’ 4.3.4 Phˆn loai h`m chınh h`nh . . . . . . . . . . . . . . . . 350 ı 4.4 T´nh bˆt biˆn cua tˆp ho.p mo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 ı ´ e ’ a a ´ . . ’ 4.4.1 Nguyˆn l´ acgumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 e y -i 4.4.2 D.nh l´ Rouch´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 y e 4.4.3 T´ bˆt biˆn cua tˆp ho.p mo. . . . . . . . . . . . . . . 363 ınh a ´ e ’ a ´ . . ’ 4.5 B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 a a . 5 H`m d a tri v` diˆn Riemann a . a e . 369 5.1 Phu .o.ng ph´p th´c triˆn cua Weierstrass . . . . . . . . . . . . 370 a a ’ e ’ 5.1.1 Phˆn tu. ch´ t˘c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 a ’ ınh ´ ` a
  7. MUC LUC . . 5 5.1.2 Diˆm bˆt thu.`.ng cua phˆn tu. ch´ t˘c . . - e ’ ´ a o ’ `a ’ ınh ´ a . . . . . . 372 5.1.3 Phu.o.ng ph´p th´c triˆn cua Weierstrass . . a a ’ e ’ . . . . . . 373 o e a e’ 5.1.4 H`m khˆng cho ph´p th´c triˆn giai t´ a ’ ıch . . . . . . . . 378 5.2 C´c phu.o.ng ph´p kh´c . . . . . . . . . . . . . . . . a a a . . . . . . 380 5.2.1 ’ ’ ıch ´ Th´c triˆn giai t´ theo tuyˆn . . . . a e e . . . . . . . . . . 380 5.2.2 Th´c triˆn dˆi x´.ng . . . . . . . . . a ’ ´ e o u . . . . . . . . . . 386 5.3 ’ ıch ’ H`m giai t´ d u . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . 391 . a ’ ıch ’ 5.3.1 Kh´i niˆm h`m giai t´ du . . . . . a e . . . . . . . . . . 391 5.3.2 Mˆt v`i v´ du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a ı . . . . . . 393 5.3.3 T´ do.n tri v` da tri. ınh . a . -. Dinh l´ do y .n tri (monodromie) . . . . . . . . . . . . . . 396 . 5.3.4 Nh´nh v` phu a a .o.ng ph´p t´ch nh´nh chınh h`nh a a a ’ ı . . . . 399 5.3.5 e ’ ` e ´ Kh´i niˆm vˆ diˆm bˆt thu o a e a .`.ng . . . . . . . . . . . . . 405 . 5.4 a e . ` e Kh´i niˆm vˆ diˆn Riemann . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 412 5.4.1 Mˆt sˆ v´ du mo. dˆu . . . . . . . o o ı . ’ ` . ´ a . . . . . . . . . . . . 413 5.4.2 Phu.o.ng ph´p du.ng diˆn Riemann a . e . . . . . . . . . . . . . 419 5.5 B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a. . . . . . . . . . . . . 420 6 L´ thuyˆt th˘ng du. v` u.ng dung y ´ e a . a ´ . 422 6.1 Co . so. l´ thuyˆt th˘ng du. . . . . . . . . . . . ’ y ´ e a . . . . . . . . . 423 . 6.1.1 Dinh ngh˜ th˘ng du. . . . . . . . . . . -. ıa a . . . . . . . . . . 423 6.1.2 Phu .o.ng ph´p t´ th˘ng du. . . . . . . a ınh a . . . . . . . . . 425 . -. 6.1.3 Dinh l´ co ’ y . ban cua l´ thuyˆt th˘ng du. ’ y ´ e a . . . . . . . . . 436 . 6.1.4 T´ t´ phˆn theo chu tuyˆ o ınh ıch a ´n d´ng . e . . . . . . . . . 444 .ng dung cua l´ thuyˆt th˘ng du. . . . ´ . ´ 6.2 Mˆt sˆ u o o´ . ’ y e a . . . . . . . . . . 448 6.2.1 Phu .o.ng ph´p t´ t´ch phˆn . . . . . . a ınh ı a . . . . . . . . . 448 2π 6.2.2 T´ t´ phˆn dang I = ınh ıch a . R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ . . . . . . 451 0 +∞ 6.2.3 T´ phˆn dang I = ıch a . R(x)dx . . . . . . . . . . . . . 454 −∞
  8. 6 MUC LUC . . 6.2.4 T´ phˆn dang I = ıch a . eiax R(x)dx . . . . . . . . . . . . 459 R 6.2.5 T´ phˆn dang I = ıch a . R(x)xα dx . . . . . . . . . . . . 463 R+ . ´ 6.2.6 Mˆt sˆ v´ du kh´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o ı . a . 478 ’ ’ ˜ 6.2.7 T` tˆng cua chuˆ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ım o o . 490 6.3 H`m nguyˆn v` h`m phˆn h`nh . . . . . . . . . . . . . . . . a e a a a ı . 495 6.3.1 H`m phˆn h` a a ınh. B`i to´n Cousin th´. nhˆt trong m˘t a a u ´ a a . a’ ph˘ng ph´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 6.3.2 H`m nguyˆn. B`i to´n Cousin th´. hai trong m˘t a e a a u a . ph˘a’ ng ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . 503 6.4 B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a. . 513 ´ . ’ 7 Anh xa bao gi´c a 515 7.1 C´c kh´i niˆm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a e . . . . . . 516 7.1.1 H`m do.n diˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . a e. . . . . . 517 - iˆu kiˆn du dˆ h`m do.n diˆp . . . . . . . . . 7.1.2 D e ` e. ’ e a ’ e . . . . . . 522 . hˆi tu cua d˜y h`m do.n diˆp . . . . . . . . 7.1.3 Su o . ’ a a e . . . . . 524 . . . ´ .o.ng cua ´nh xa chınh h` ’ a 7.1.4 T´ chˆt dia phu ınh a . . ’ ınh c´ dao o . ` h`m b˘ng 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a . . . . . 525 ınh a ´ ’ a 7.1.5 T´ chˆt chung cua ´nh xa bao gi´c . . . . . . ’ a . . . . . 527 -a ’ a a . ’ ´ 7.1.6 D˘ng cˆu v` tu a . d˘ng cˆu . . . . . . . . . . . . ´ a . . . . . 528 - ` . a e ` . a e ` ’ o ’ 7.1.7 Diˆu kiˆn cˆn dˆ tˆn tai d˘ng cˆu . . . . . . . e ´ a . . . . . 532 - ` . a’ 7.1.8 Diˆu kiˆn chuˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . 534 -. 7.2 Dinh l´ co ’ . ban cua l´ thuyˆt ´nh xa bao gi´c . . . . ’ y ´ y e a . ’ a . . . . . 537 7.2.1 Tˆp ho.p bi ch˘n trong H(D) . . . . . . . . . a. . . a . . . . . . 538 7.2.2 Tˆp ho a .p liˆn tuc dˆng bˆc . . . . . . . . . . . e . ` o a . . . . . 539 . . . ´ 7.2.3 Nguyˆn l´ comp˘c . . . . . . . . . . . . . . . e y a . . . . . 540 e´ 7.2.4 Phiˆm h`m liˆn tuc . . . . . . . . . . . . . . . a e . . . . . . 544 7.2.5 Do- .n gian h´a c´ch d˘t b`i to´n Riemann . . . ’ o a a a a . . . . . 546 . -. 7.2.6 Dinh l´ Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . 548 -i y ´ a ’ a 7.2.7 D.nh l´ duy nhˆt cua ´nh xa bao gi´c . . . . . . ’ a . . . . . 553
  9. MUC LUC . . 7 7.2.8 Su. tu.o.ng u.ng . ´ gi˜.a c´c u a biˆn v` cˆng th´.c Christoffel- e a o u Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 7.3 B`i tˆp . . . . . . . . a a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 . ’ T`i liˆu tham khao . . a e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
  10. L`.i n´i dˆu o o ` a Co. so. l´ thuyˆt h`m biˆn ph´.c (LTHBP) du.o.c d˘t nˆn m´ng t`. gi˜.a thˆ ’ y ´ e a ´ e u . a ` . e o u u ´ e ’ ky XVIII bo a o ’.i c´c cˆng tr`nh cua L. Euler. V´.i tu. c´ch mˆt nh´nh dˆc lˆp, ı ’ o a o a o a . . . LTHBP du . .o.c h` th`nh v`o gi˜.a thˆ ky XIX nh`. c´c cˆng tr`nh cua O. ınh a a u ´ ’ e o a o ı ’ Cauchy, C. Weierstrass v` B. Riemann. a Ng`y nay LTHBP l` mˆt trong nh˜.ng phˆn quan trong nhˆt cua to´n a a o . u ` a . ´ a ’ a hoc. D´ l` khoa hoc v` o e u o a .a cˆ diˆn v`.a hiˆn dai, v`.a g˘n b´ mˆt thiˆt v´.i ’ ’ ´ ´ . . u e. . u a o a . e o c´c nh´nh hiˆn dai nhˆt cua to´n hoc l´ thuyˆt lai v` ´ o o a a e . ´ a ’ a ´ .a g˘n b´ v´.i nhiˆu b`i ` a . . y e . u a e to´n vˆt l´ v` co. hoc cu thˆ. Tu. tu.o.ng v` kˆt qua cua n´ d˜ thˆm nhˆp sˆu a a y a . . . e ’ ’ a e ´ ’ ’ o a a a a . a `e ` v`o nhiˆu phˆn kh´c nhau cua to´n hoc. C´c phu a a ’ a a .o.ng ph´p cua LTHBP d˜ a ’ a . ’. th`nh quen thuˆc ca trong nhiˆu ng`nh u.ng dung nhu. thuy dˆng hoc, tro a o ’ ` e a ´ ’ o . . . . v` kh´ dˆng hoc, l´ thuyˆ a o a ı o . . y ´t d`n hˆi,... V` l´ do d´ m` LTHBP l` mˆn hoc e ` ı y o a a o . ´ a ´ ´ ` a e ’ b˘t buˆc, l` mˆt phˆn tˆt yˆu cua gi´o duc to´n hoc dˆi v´ a e a . a o a o a . a ´ .i c´c hˆ d`o tao: . . . o o . To´n, To´n - Co a a ., To´n - Tin u.ng dung cua tru.`.ng Dai hoc Khoa hoc Tu. a ´ ’ o . . . . . nhiˆn (Dai hoc Quˆ e . . ´c gia H` Nˆi). o a o . Gi´o tr` “Co. so. l´ thuyˆt h`m biˆn ph´.c” n`y du.o.c biˆn soan theo a ınh ’ y ´ e a ´ e u a . e . s´t chu a .o.ng tr` H`m biˆn ph´.c du.o.c Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi ban h`nh. ınh a e´ u ´ o a o a . . . . ´ Khˆi lu . o .o.ng v` cˆu tr´c chung cua cuˆn s´ch l` ho`n to`n tu.o.ng u.ng v´.i nˆi a a ´ u ’ ´ o a a a a ´ o o . dung v` cˆa a ´u tr´c cua chu.o.ng tr` hiˆn h`nh cua Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi. u ’ ınh e a . ’ . . ´ o a o . N´ du . o .o.c biˆn soan du.a trˆn nˆi dung cuˆn s´ch “Co. so. l´ thuyˆt H`m biˆn e e o ´ o a ’ y ´ e a e´ . . . ph´ u.c” tru.´.c dˆy cua t´c gia v` kinh nghiˆm tr`nh b`y LTHBP o. tru.`.ng Dai o a ’ a ’ a e ı a ’ o . . hoc Tˆ . o’ng ho.p H` Nˆi tru.´.c dˆy v` Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi ng`y nay. . a o . o a a . . o´ a o . a ` Nh˘m muc d´ch gi´p sinh viˆn hiˆu thˆu d´o co ’ y a ’ ´ . so. l´ thuyˆt cua LTHBP, ´ e ’ . ı u e e a a khi biˆn soan gi´o tr` n`y ch´ng tˆi d˜ cˆ g˘ng du.a v`o nhiˆu v´ du minh e . a ınh a u o a o ´ ´ a a ` ı . e
  11. L`.i n´i dˆu o o ` a 9 hoa du.o.c chon loc k˜ c`ng v` du.o.c giai mˆt c´ch chi tiˆt. . . . . y a a . ’ o a . e´ ` Ch´ng tˆi hy vong r˘ng gi´o tr` n`y c`ng v´ a u o a a ınh a u o.i gi´o tr` “Hu.´.ng dˆ n ınh o ˜ a . giai B`i tˆp H`m biˆn ph´.c” (Nh` Xuˆt ban Dai hoc Quˆc gia H` Nˆi, 2003) ’ a a . a e´ u a ´ a ’ . . o´ a o . ’ cua ch´ng tˆi s˜ l` bˆ s´ch d´p u u o e a o a a ´ .ng du.o.c nh˜.ng yˆu cˆu co. ban vˆ LTHBP u e ` a ’ ` e . . ’ cua DHQG H` Nˆi. a o . Ch´ng tˆi chˆn th`nh b`y to l`ng biˆt o.n dˆn Bˆ mˆn Giai t´ u o a a a ’ o ´ e ´ e o o . ’ ıch, Khoa To´n - Co a . - Tin hoc tru.`.ng Dai hoc Tˆng ho.p H` Nˆi tru.´.c dˆy v` tru.`.ng o o’ a o o a a o . . . . . Dai hoc Khoa hoc Tu . nhiˆn ng`y nay d˜ tao diˆu kiˆn cho tˆi ho`n th`nh e a a . ` e e o a a . . . . . ’ ’ ban thao gi´o tr` n`y. a ınh a Ch´ng tˆi chˆn th`nh cam o.n GS. TSKH Nguyˆn V˘n Mˆu v` PGS. TS u o a a ’ ˜ e a a a . Nguyˆn Minh Tuˆn d˜ c´ nh˜.ng trao dˆi v` d´ng g´p nhiˆu y kiˆn qu´ b´u ˜ e ´ a a o u ’ o a o o ` ´ e e ´ y a ’ ’ a . ’ ’ cho t´c gia khi chuˆn bi ban thao gi´o tr` n`y. a a ınh a a ’ a T´c gia chˆn th`nh mong nhˆn du . . a a .o.c su. quan tˆm v` g´p y cua ban doc a a o ´ ’ . . . ` ` o xa gˆn vˆ nˆi dung v` h`nh th´ e a a e . a ı u .c dˆ gi´o tr` ng`y du.o.c ho`n thiˆn ho.n. ’ ınh a a e . . H` Nˆi, M`a thu 2005 a o. u ’ T´c gia a
  12. Chu.o.ng 1 M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn a . ’ a u a a ´ e ph´.c u 1.1 Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c . . . . . . . . a. . ´ o u a. ’ a u 11 1.1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 -. ´ ıa o u 1.1.2 Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 . ´ . o ’ o u ´ 1.1.3 Ph´p tr`. v` ph´p chia sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . 18 e u a e ´ o u 1.1.4 M˘t ph˘ng ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 a . ’ a u 1.1.5 Mˆdun v` acgumen cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . 20 o a ’ o u´ 1.1.6 Ph´p khai c˘n sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . 28 e ´ a o u 1.1.7 Dang m˜ cua sˆ ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . 29 . ´ u ’ o u 1.1.8 Kh´i niˆm vˆ m˘t ph˘ng mo. rˆng . . . . . . . . . 30 a e . ` a e . ’ a ’ o. 1.1.9 ’ Khoang c´ch trˆn C . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 a e 1.2 C´c kh´i niˆm tˆpˆ co. ban trˆn m˘t ph˘ng ph´.c 35 a a e . o o ’ e a . ’ a u 1.2.1 Tˆpˆ trˆn C o o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.2.2 ` a ` Phˆn trong v` phˆn ngo`i . . . . . . . . . . . . . . 38 a a a 1.2.3 - e’ Diˆm tu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 .
  13. 1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c a . . o u´ a . ’ a u 11 1.2.4 Biˆn cua tˆp ho.p . . . . . . . . e ’ a . . . . . . . . . . . . . 40 1.2.5 Tˆp ho a .p comp˘c . . . . . . . . ´ a . . . . . . . . . . . 41 . . 1.2.6 Tˆp ho.p liˆn thˆng . . . . . . . a . . e o . . . . . . . . . . . 42 1.2.7 H`m ph´.c biˆn thu.c. Tuyˆn v` a u e´ . ´ e a du.`.ng cong . . . . 46 o 1.2.8 e ` Ph´p dˆng luˆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 o a 1.2.9 Miˆn do.n liˆn v` da liˆn . . . . . . . . . . . . . . . 56 ` e e a e 1.3 H`m biˆn ph´.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ e u 59 1.3.1 Dinh ngh˜ h`m biˆn ph´.c . . . . . . . . . . . . . 59 -. ıa a ´ e u 1.3.2 C´c v´ du vˆ anh xa do.n diˆp . . . . . . . . . . . . 62 a ı . `´ e . e . 1.3.3 .i han cua h`m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Gi´ . o ’ a 1.3.4 ınh e . a e . ` T´ liˆn tuc v` liˆn tuc dˆu . . . . . . . . . . . . 67 e 1.4 L´ thuyˆt d˜y v` chuˆ i trong miˆn ph´.c . . . . y ´ e a a ˜ o ` e u 72 1.4.1 Gi´.i han cua d˜y diˆm . . . . . . . . . . . . . . . . 72 o . ’ a ’ e 1.4.2 Chuˆ i sˆ ph´.c v` su. hˆi tu cua n´ . . . . . . . . . 75 ˜ ´ o o u a . o . ’ o . 1.4.3 ˜ D˜y v` chuˆ i h`m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 a a o a 1.4.4 Chuˆ i l˜y th`.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 ˜ o u u 1.4.5 Su. hˆi tu dˆu trˆn t`.ng comp˘c . . . . . . . . . . 92 . o . ` . e e u ´ a 1.5 H`m arg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 95 1.5.1 ’ a T´ liˆn tuc cua h`m arg z . . . . . . . . . . . . . 95 ınh e . 1.5.2 Sˆ gia cua acgumen doc theo du.`.ng cong . . . . . 96 ´ o ’ . o 1.5.3 Nh´nh do.n tri liˆn tuc cua h`m arg z . . . . . . . 98 a . e . ’ a 1.6 B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a . 100 1.1 Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c a . . ´ u o a . ’ a u Tˆp ho.p sˆ ph´.c c´ hai cˆu tr´c: cˆu tr´c dai sˆ cua mˆt tru.`.ng v` dˆng a . ´ . o u o ´ a u ´ a u . o ’ ´ o . o a `o th`.i n´ c´ cˆu tr´c tˆpˆ cua mˆt khˆng gian (khˆng gian Euclide hai chiˆu, o o o a ´ u o o ’ o . o o `e
  14. 12 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c a . ’ a u a a ´ e u t´.c l` m˘t ph˘ng). Do d´ tˆp ho.p c´c sˆ ph´.c c´ ca t´nh chˆt dai sˆ lˆ n u a a . ’ a o a. . ´ a o u o ’ ı ´ a . o a ´ ˜ t´ chˆt tˆpˆ. Trong muc n`y ta s˜ nghiˆn c´.u c´c t´ chˆt dai sˆ cua tˆp ınh a o o´ . a e e u a ınh a . o ’ a´ ´ . .p sˆ ph´.c. ho o u ´ . 1.1.1 Dinh ngh˜ sˆ ph´.c -. ´ u ıa o Ta x´t phu.o.ng tr` e ınh x2 + 1 = 0. R˜ r`ng l` phu.o.ng tr` n`y khˆng c´ nghiˆm thuˆc R v` x2 +1 1, ∀ x ∈ R. o a a ınh a o o e . o . ı o o a ` . . nhiˆn d˘t ra l` t`m mˆt tˆp ho.p (ta k´ hiˆu l` C) thoa . ´ e Do d´ mˆt vˆn dˆ tu e a . a ı o a . . . y e a . ’ a a ` m˜n c´c diˆu kiˆn sau dˆy: e e . a 1. C l` mˆt tru o a o .`.ng; . 2. R ⊂ C; 3. Phu.o.ng tr` x2 + 1 = 0 c´ nghiˆm trong C. ınh o e . V` tˆp ho a o . ı a .p c´c sˆ thu.c R l` mˆt tˆp ho.p con cua C nˆn khi x´c dinh c´c ´ a o a . ’ e a . a . . . . ph´p t´nh sˆ hoc co. ban trˆn c´c sˆ ph´.c ta cˆn d`i hoi r˘ng khi ´p dung cho e ı ´ o . ’ e a o u ´ ` o ’ ` a a a . ´ c´c sˆ thu a a o . .c c´c ph´p to´n d´ du.a lai kˆt qua nhu. kˆt qua thu du.o.c trong sˆ e a o ´ ’ ´ ’ ´ . e e . o hoc c´c sˆ thu´ .c. M˘t kh´c, nˆu ta mong muˆn c´c sˆ ph´.c c´ nh˜.ng u.ng ´ ´ ´ . a o . a . a e o a o u o u ´ dung trong c´c vˆn dˆ cua giai t´ th` ta cˆn d`i hoi r˘ng c´c ph´p to´n co. . a a ` ’ ´ e ’ ıch ı ` o ’ ` a a a e a ’ ban du . .o.c du.a v`o d´ phai thoa m˜n c´c tiˆn dˆ thˆng thu.`.ng cua sˆ hoc c´c a o ’ ’ a a e ` o e o ´ ’ o . a ´ sˆ thu o . .c. Dinh ngh˜ 1.1.1. Mˆ i c˘p sˆ thu.c c´ th´. tu. (a, b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o.c -. ıa ˜ . ´ o a o . o u . . .c nˆu trˆn tˆp ho.p c´c c˘p d´ quan hˆ b˘ng nhau, ph´p ´ ` . ´ goi l` mˆt sˆ ph´ e . a o o u e a . . a a o . e a . e cˆng v` ph´p nhˆn du . o a e a .o.c du.a v`o theo c´c dinh ngh˜a (tiˆn dˆ) sau dˆy: a a  ı e ` e a . . a = c I. (a, b) = (c, b) ⇔ b = d. def II. Ph´p cˆng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 1 v` c˘p (a + c, b + d) du.o.c e o. a a. . . a o ’ ’ a a goi l` tˆng cua c´c c˘p (a, b) v` (c, d). . a 1 Def. l` c´ch viˆt t˘t cua t`. tiˆng Anh definition (dinh ngh˜ a a ´ ´ e a ’ u e ´ . ıa)
  15. 1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c a . . o u´ a . ’ a u 13 def III. Ph´p nhˆn: (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) v` c˘p (ac − bd, ad + bc) e a a a . .o.c goi l` t´ch cua c´c c˘p (a, b) v` (c, d). du . ’ a a . a ı . a a .o.c dˆng nhˆt v´.i sˆ thu.c a, ngh˜a l` IV. C˘p (a, 0) du . ` o ´ a o o . ´ ı a . def (a, 0) ≡ a. Tˆp ho.p c´c sˆ ph´.c du.o.c k´ hiˆu l` C. a . . a o u ´ . y e a . Nhu. vˆy moi phˆn cua dinh ngh˜a sˆ ph´.c dˆu du.o.c ph´t biˆu b˘ng ngˆn a . . `a ’ . ı o u ` ´ e . a ’ ` e a o . sˆ thu.c v` c´c ph´p to´n trˆn ch´ng. u ´ ng˜ o . a a e a e u Trong dinh ngh˜ n`y ba tiˆn dˆ dˆu thu.c chˆt l` dinh ngh˜ c´c kh´i . ıa a e ` ` e a . ´ a a . ıa a a a ıa a e ` niˆm kh´c nhau: dinh ngh˜ kh´i niˆm b˘ng nhau, tˆng v` t´ch c´c sˆ ph´ e a ’ o a ı a o u ´ .c. . . . ´ e a e ` o o .i nhau s˜ khˆng dˆ n dˆn bˆt c´. mˆu ˜ e a u a ´ ´ . ´ Do d´ viˆc dˆi chiˆu c´c tiˆn dˆ d´ v´ o e o e e o a ˜ a a `e ´ a o e a ’ thuˆ n n`o. Diˆu duy nhˆt c´ thˆ gˆy ra dˆi ch´t lo ngai l` tiˆn dˆ IV. Vˆn o u . a e ` e a´ dˆ l` o. chˆ : vˆn d˜ c´c kh´i niˆm b˘ng nhau, tˆng v` t´ c´c sˆ thu.c c´ y ` a ’ ˜ o ı a e o ´ a e . ` a o’ a ıch a o . o ´ ´ ngh˜ ho`n to`n x´c dinh v` do d´ nˆu c´c kh´i niˆm n`y khˆng tu.o.ng th´ch ıa a a a . a ´ o e a a e . a o ı v´.i nh˜.ng kh´i niˆm du.o.c dˆ cˆp dˆn trong c´c tiˆn dˆ I - III khi x´t c´c sˆ o u a e . . ` a ee . ´ a e ` e e a o ´ thu.c v´.i tu. c´ch l` c´c c˘p dang d˘c biˆt th` buˆc phai loai tr`. tiˆn dˆ IV. . o a a a a . . a . e . ı o . ’ . u e ` e o ´ e ` Do d´ ta cˆn dˆi chiˆu tiˆn dˆ IV v´ a e ` ` o a ´ e e o .i c´c tiˆn dˆ I, II v` III. e a 1) I - IV. Gia su. hai sˆ thu.c a v` b b˘ng nhau nhu. nh˜.ng c˘p dang ’ ’ ´ . o a ` a u a . . e ` d˘c biˆt dˆng nhˆt v´ a ´ .i ch´ng: (a, 0) = (b, 0). Khi d´ theo tiˆn dˆ I ta c´ e ` . . o a o u o e o (a, 0) = (b, 0) ⇔ a = b, t´ a e u.c l` nˆu ch´ng b˘ng nhau theo ngh˜a thˆng thu.`.ng. ´ u ` a ı o o 2) II - IV. Theo tiˆn dˆ II, tˆng hai sˆ thu.c a v` c du.o.c x´t nhu. nh˜.ng e ` e o’ ´ o . a . e u a a a a ` c˘p (a, 0) v` (c, 0) l` b˘ng c˘p (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0). Nhu a .ng theo tiˆn dˆ e ` e . . IV th` (a + c, 0) ≡ a + c. Nhu a ı . vˆy . (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0) ≡ a + c t´.c l` dˆng nhˆt b˘ng tˆng a + c theo ngh˜a thˆng thu.`.ng. u a ` o a ` ´ a ’ o ı o o 3) III - IV. Theo tiˆn dˆ III, t´ c´c sˆ thu.c a v` b du.o.c x´t nhu. nh˜.ng e ` e ´ ıch a o . a . e u a . a a ` c˘p (a, 0) v` (c, 0) l` b˘ng c˘p a a . (ac − 0 · 0, a · 0 + 0 · c) = (ac, 0)
  16. 14 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c a . ’ a u a a ´ e u v` theo tiˆn dˆ IV ta c´ (ac, 0) ≡ ac. Nhu. vˆy a e ` e o a . (III) (IV ) (a, 0)(c, 0) = (ac, 0) = ac t´.c l` dˆng nhˆt b˘ng t´ a v´.i c theo ngh˜a thˆng thu.`.ng. u a ` o a ` ´ a ıch o ı o o Nhu a. vˆy tiˆn dˆ IV tu.o.ng th´ch v´.i c´c tiˆn dˆ I, II v` III. e ` e ı o a e ` e a . Ta c˜ng lu.u y cˆng th´.c sau dˆy du.o.c suy tru.c tiˆp t`. III v` IV: u ´ o u a . . ´ e u a m(a, b) = (ma, mb), m ∈ R. Thˆt vˆy t`. IV v` III ta c´ a a u . . a o m(a, b) = (m, 0)(a, b) = (ma − 0 · b, mb + 0 · a) = (ma, mb). ´ Nˆu m ∈ N th` theo II ta c´ e ı o (a, b) + (a, b) = (2a, 2b); (2a, 2b) + (a, b) = (3a, 3b), . . . t´.c l` (ma, mb) l` kˆt qua cua ph´p cˆng liˆn tiˆp m sˆ hang b˘ng (a, b). u a a e ´ ’ ’ e o . e ´ e ´ o . ` a Diˆu d´ ph` ho.p v´.i biˆu tu.o.ng thˆng thu.`.ng l` ph´p nhˆn v´.i sˆ tu. nhiˆn ` o u . e o e ’ . o o a e a o o .´ e tu .o.ng u.ng v´.i ph´p cˆng m sˆ hang b˘ng nhau. ´ o e o ´ o . ` a . Dˆ d`ng thˆy r˘ng c´c tiˆn dˆ II v` III l` tu.o.ng th´ v´.i nhau v` c´c ˜ a e a ` ´ a a e ` e a a ıch o a a quy luˆt thˆng thu o a o .`.ng cua c´c ph´p t´ thu.c hiˆn trˆn c´c sˆ vˆ n du.o.c ’ a e ınh . e e a o ˜ ´ a . . . ba a e’ ’ o to`n khi chuyˆn sang sˆ ph´ ´ u o .c (du.o.ng nhiˆn phai c˘t bo moi quy luˆt c´ e ’ ´ ’ . a a o . .i dˆu >). e o ´ quan hˆ t´ a . Dinh ngh˜ 1.1.2. Gia su. z = (a, b) ∈ C. Khi d´ sˆ ph´.c (a, −b) du.o.c goi -. ıa ’ ’ ´ o o u . . l` sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i sˆ ph´.c z v` du.o.c k´ hiˆu l` z: ´ a o u e . o o u´ a . y e a . z = (a, −b). Ta c´ dinh l´ sau dˆy: o . y a
  17. 1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c a . . o u´ a . ’ a u 15 Dinh l´ 1.1.1. Tˆp ho.p C lˆp th`nh mˆt tru.`.ng thoa m˜n c´c diˆu kiˆn: -. y a . . a . a o . o ’ a a `e e . 1. C ⊃ R; 2. C ch´.a phˆn tu. i v´.i t´ chˆt i2 = −1; phˆn tu. i n`y du.o.c goi l` u ` a ’ o ınh a ´ ` a ’ a . . a .n vi ao. do . ’ Ch´.ng minh. 1. C l` mˆt tru.`.ng. Hiˆn nhiˆn, phˆn tu. do.n vi cua C l` c˘p u a o. o ’ e e `a ’ . ’ a a. (1, 0) v` r˘ng (a, b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b); v` phˆn tu. - ı ` a a ` a ’ o ’ a a . ` khˆng cua C l` c˘p (0, 0) v` r˘ng (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b). ı a Dˆ ch´.ng to C l` mˆt tru.`.ng ta chı cˆn kiˆm nghiˆm su. tˆn tai phˆn tu. ’ e u ’ a o. o ’ `a e’ e . ` . o ` a ’ nghich dao (viˆc kiˆm nghiˆm c´c tiˆn dˆ c`n lai dˆi v´.i mˆt tru.`.ng l` hiˆn . ’ e. ’ e e . a e ` o . o o o e ´ . o a e ’ nhiˆn). Gia su. z = (a, b) = (0, 0) (t´.c l` a2 + b2 > 0). Ta s˜ t`m z = (a , b ) e ’ ’ u a e ı sao cho (a, b)(a , b ) = (1, 0). T`. I v` III suy ra u a aa − bb = 1, ba + ab = 0. a b T`. d´ r´t ra a = u o u , b =− 2 . Nhu. vˆy a . a2 + b2 a + b2 a b z = ,− 2 , a2 + b2 a + b2 v` r˜ r`ng l` a o a a a b z · z = (a, b) ,− 2 a2+b 2 a + b2 a2 + b2 −ab + ab = 2 + b2 ,− 2 = (1, 0). a a + b2 Vˆ sau phˆn tu. nghich dao z cua z thu.`.ng du.o.c k´ hiˆu l` z −1 . `e `a ’ . ’ ’ o . y e a. 2. R ⊂ C. X´t c´c c˘p dang (a, 0). Dˆ d`ng thˆy r˘ng tˆp ho.p R = e a a . . ˜ a e a ` ´ a a . . {(a, 0), a ∈ R} lˆp th`nh mˆt tru o a a o .`.ng con cua C. Ta x´t ´nh xa t`. R v`o R ’ e a . . . u a a → (a, 0).
  18. 16 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c a . ’ a u a a ´ e u Hiˆn nhiˆn r˘ng nˆu (a, 0) = (a , 0) th` a = a v` ngu.o.c lai, dˆng th`.i ’ e e ` a ´ e ı a . . ` o o a + b → (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0), ab → (ab, 0) = (a, 0)(b, 0). Do d´ ´nh xa v`.a x´t l` mˆt d˘ng cˆu gi˜.a R v` R v` ph´p d˘ng cˆu n`y oa . u e a o a . ’ ´ a u a a e a ’ ´ a a cho ph´p ta xem R nhu a o e . l` mˆt tru.`.ng con cua C. o ’ . 3. Phu.o.ng tr` x2 + 1 = 0 c´ nghiˆm trong C, t´.c l` C ch´.a phˆn tu. i ınh o e . u a u ` a ’ 2 m` i = −1. a Thˆt vˆy, gia su. x = (a, b) ∈ C. Khi d´ trong C phu.o.ng tr` x2 + 1 = 0 a a . . ’ ’ o ınh c´ dang: o . (a, b)(a, b) + (1, 0) = (0, 0), hay l` a a2 − b2 + 1 = 0, 2ab = 0. T`. d´ r´t ra a = 0, b = 1 v` a = 0, b = −1. Ta k´ hiˆu hai nghiˆm d´ l` u o u a y e . e . o a i = (0, 1) v` −i = (0, −1). a 1.1.2 Dang dai sˆ cua sˆ ph´.c . ´ . o ’ ´ u o Ta c´ dinh l´ sau dˆy o . y a Dinh l´ 1.1.2. Moi sˆ ph´.c z = (a, b) ∈ C dˆu c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang -. y ´ . o u ` o e e e ’ ’ ˜ e o . z = (a, b) = a + ib. Ch´.ng minh. Thˆt vˆy, ta c´ u a a . . o z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + ib. Ph´p biˆu diˆn sˆ ph´.c z = (a, b) du.´.i dang a + ib du.o.c goi l` dang dai e e’ ˜ o u e ´ o . . . a . . .c. Sˆ a du.o.c goi l` phˆn thu.c cua sˆ ph´.c ´ ´ ’ o u sˆ hay dang Descartes cua sˆ ph´ o . ´ o . . a ` a . ´ ’ o u
  19. 1.1. Tˆp ho.p sˆ ph´.c, m˘t ph˘ng ph´.c a . . o u´ a . ’ a u 17 z v` k´ hiˆu l` a = Re [z], sˆ b du.o.c goi l` phˆn ao cua n´ v` k´ hiˆu l` a y e a . ´ o . . a ` ’a ’ o a y e a . 2 b = Im [z]. Nˆu z = Re [z] th` z l` mˆt sˆ thu.c. Nˆu z = iIm [z] th` z l` mˆt sˆ ´ e ı a o o .. ´ ´ e ı . ´ a o o ` ’ thuˆn ao. V´ a o.i quan diˆm c´c ph´p to´n trong tru.`.ng c´c sˆ ph´.c, sˆ thuˆn e ’ a e a o ´ a o u ´ o ` a ao bi c´ thˆ hiˆu nhu. l` t´ cua sˆ thu.c b v´.i do.n vi ao i v` mˆ i sˆ ph´.c ’ o e e ’ ’ a ıch ’ o . ´ o . ’ ˜ ´ a o o u a + ib nhu. l` tˆng cua sˆ thu.c a v´.i sˆ thuˆn ao ib. a o ’ ’ o . ´ o o ´ ` ’ a Do d´ trong c´ch xˆy du o a a .ng sˆ ph´.c n`y ta d˜ su. dung c´c k´ hiˆu c´ ´ o u a a ’ . a y e o . . mˆt y ngh˜ ho`n to`n cu thˆ a ı e o ´ . ıa a a . e ’ v` v` thˆ tr´nh du.o.c t´nh h`nh th´.c do k´ ´ a . ı ı u y .n vi ao i mang lai. hiˆu do . ’ e . . Hˆ qua. Gia su. z = a + ib ∈ C. Khi d´ sˆ ph´.c liˆn ho.p z c´ thˆ biˆu diˆn e . ’ ’ ’ ´ o o u e . o e e’ ’ e du.´.i dang z = a − ib. o . Ph´p chuyˆn t`. sˆ ph´.c d˜ cho sang sˆ ph´.c liˆn ho.p v´.i n´ du.o.c goi l` e ’ ´ e u o u a ´ o u e . o o . . a ´ ph´p lˆy liˆn ho e a e . .p. Dinh l´ 1.1.3. Gia su. z, z1 v` z2 ∈ C. Khi d´ -. y ’ ’ a o 1. z1 + z2 = z 1 + z2 ; 2. z1z2 = z 1 · z2 , αz = αz, ∀ α ∈ R; 3. z = z. Ch´.ng minh. 1. Thˆt vˆy, gia su. z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2. Khi d´ u a a . . ’ ’ o z1 + z2 = (a1 + a2) − i(b1 + b2 ) = (a1 − ib1) + (a2 − ib2) = z 1 + z2 . 2. Tu.o.ng tu. . z1z1 = (a1 a2 − b1b2 ) − i(a1b2 + a2 b1) = (a1 − ib1)(a2 − ib2) = z1 · z 2 . e’ 3. Hiˆn nhiˆn. e C´c k´ hiˆu Re v` Im xuˆt hiˆn do viˆc viˆt t˘t c´c t`. tiˆng Ph´p Reel (thu.c) v` 2 a y e . a ´ a e . e . ´ ´ e a a u e ´ a . a ’ Imaginaire (ao)
  20. 18 Chu.o.ng 1. M˘t ph˘ng ph´.c v` h`m biˆn ph´.c a . ’ a u a a ´ e u Mˆt sˆ ph´.c tr`ng v´.i sˆ liˆn ho.p v´.i n´ khi v` chı khi n´ l` sˆ thu.c. . ´ o o u u ´ o o e . o o a ’ ´ o a o . Dˆ thˆy ´nh xa t`. tˆp ho.p tˆt ca c´c sˆ ph´.c v`o tˆp ho.p c´c sˆ ph´.c ˜ a a e ´ . u a . ´ . a ’ a o u a a ´ . . ´ a o u liˆn ho.p v´.i ch´ng: e . o u C z→z∈C l` mˆt tu. d˘ng cˆu cua C (Ban doc h˜y tu. kiˆm tra !). a o . a . ’ ´ a ’ . . a . e ’ 1.1.3 Ph´p tr`. v` ph´p chia sˆ ph´.c e u a e ´ u o C´c ph´p to´n tr`. v` chia du.o.c dinh ngh˜ nhu. c´c ph´p to´n ngu.o.c v´.i a e a u a . . ıa a e a . o a a ´ ph´p cˆng v` nhˆn. Dˆi v´ e o o o .i ph´p tr`. ta c´ e u o . Dinh l´ 1.1.4. Gia su. z1 v` z2 ∈ C. Khi d´ tˆn tai mˆt v` chı mˆt sˆ ph´.c -. y ’ ’ a o ` . o o a ’ o o u . . ´ ’ z sao cho z1 + z = z2 , cu thˆ l` z = (−z1 ) + z2. . e a Ch´.ng minh. 1. Ta c´ z1 + ((−z1) + z2) = (z1 + (−z1)) + z2 = 0 + z2 = z2 u o v` nhu. vˆy z = (−z1) + z2 thoa m˜n d`i hoi cua dinh l´. a a . ’ a o ’ ’ . y .o.c lai, nˆu z1 + z = z2 th` (−z1) + (z1 + z) = (−z1) + z2. T`. d´ 2. Ngu . . ´ e ı u o z = (−z1) + z2 v` nhu a . a . vˆy dinh l´ du.o.c ch´.ng minh. y u . . Sˆ ph´.c z = (−z1) + z2 du.o.c goi l` hiˆu cua c´c sˆ ph´.c z2 v` z1. Thˆng ´ o u . . a e ’ a o u . ´ a o .`.ng hiˆu d´ du.o.c k´ hiˆu l` thu o e o . . y e a . z = z2 − z1, a e´ v` nˆu z1 = a1 + ib1, c`n z2 = a2 + ib2 th` o ı z = z2 − z1 = (a2 − a1) + i(b2 − b1 ). Dˆi v´.i ph´p chia ta c´ ´ o o e o Dinh l´ 1.1.5. Gia su. z1 v` z2 ∈ C, z2 = 0. Khi d´ tˆn tai mˆt v` chı mˆt -. y ’ ’ a o ` . o o a ’ o . . ´ sˆ ph´ o u .c z sao cho z2z = z1 , cu thˆ l`: z = z −1 z1 . ’ . e a 2 Ch´.ng minh. 1. Nˆu z = z2 z1 th` z2 z = z2 (z2 z1) = z1. u ´ e −1 ı −1 ´ −1 −1 2. Nˆu z2 z = z1 ⇒ z = z2 (z2 z) = z2 z1 . e
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2